第三章随机过程作业

第三章随机过程作业1. 设A 、B 是独立同分布N(0,σ2)的随机变量，求随机过程{X t =At +B,t ∈R 1}的均值函数、自相关函数和协方差函数。

2. 设{X t ,t ≥a}是独立增量过程，且X a =0，方差函数为σX t 2。

记随机过程Y t =kX t +c ，k 、c 为常数，c≠0。

（1） 证明Y t 是独立增量随机过程；（2） 求Y t 的方差函数和协方差函数。

3. 设随机过程X t =X +Y ⋅t +Z ⋅t 2，其中X,Y,Z 是相互独立的随机变量且均值为0、方差为1，求{X t }的协方差函数。

4. 设U 是随机变量，随机过程X t =U,−∞ <t <∞ .(1) X t 是严平稳过程吗？为什么？(2) 如果E(U)=μ ,Var(U)=σ2，证明：X t 的自相关函数是常数。

5. 设随机过程X t =U cos t +V sin t,−∞ <t <∞ ,其中U 与V 独立同分布N(0,1)。

(1) X t 是平稳过程吗？为什么？(2) X t 是严平稳过程吗？为什么？6. 设随机变量X 的分布密度为f X ( x), 令 Y( t) = e − X t ( t > 0 ,X > 0), 试求Y( t)的一维概率分布密度及E(Y ( t ))、R X (s,t)。

7. 若从t = 0开始每隔1/2分钟查阅某手机所接收的短信息 , 令X (t )={cos πt ,如t 时手机接收到短信息，2t ，如t 时手机未接收到短信息，试求：X (t )的一维分布函数 F [12;x],F[1;x]8. 设随机过程Y n =∑X k n k=1,Y 0=0, 其中X k ( 1 ≤ k ≤ n) 是相互独立的随机变量 ,且P( X k = 1 ) = p ,P( X k = 0 ) = 1 − p = q , 试求{ Y n } 的均值与协方差函数 .9. 设X( t) = A sin (ωt +Z) ,其中A 、ω为常数 , 随机变量Z ～ U( −π ,π) , 令Y ( t) = X 2 ( t ) , 试求 :EY ( t ) 和R Y ( t,t +τ)。

第三章 Poisson 过程（Poisson 信号流）习题解答1、 设}0),({≥t t N 是一强度为λ的齐次泊松过程，而12/)()(-=t N t X ，0≥t 。

对0>s ，试求：（1） 计算)}()({s t N t N E +及})()({s N t s N E +的分布律；（2） 证明过程)(t X ，0≥t 是马氏过程并写出转移概率),;,(j t i s p ，其中t s ≤。

解：（1）由泊松过程状态空间可知)(t X 的状态空间为：},2,1,0:2/)2{(},2,2/3,1,2/1,0,2/1,1{ =-=--=k k St s t t s t t s t t s t N t N E λλλλ++=+++=+)(},min{)()}()({22由于tn e m t n m e n k t k n k t N kP n s N P n s N k t s N P k n s N k t s N kP n s N t s N E m tm n k t n k n k n k nk λλλλλ+=+=-=-=====+===+==+∑∑∑∑∑∞+=-∞+=--∞+=∞+=+∞=0!)()()!()(})({})({})(,)({})()({})()({因此t s N s N t s N E λ+=+)(})()({其分布列为：sn e n s n s N P t n s N t s N E P λλλ-===+=+!)(})({}})()({{（2）由泊松过程的独立增量性可知过程)(t X 也是独立增量的，又因为1)0(-=X ，因此可知过程)(t X 是一马氏过程，其转移概率为：),(;)]!(2[)]([)}1(2)({)}(2)({)}1(2)({)}1(2)({)}1(2)(),1(2)({})({})(,)({),;,()()(2s t i j e i j s t i s N P i j s t N P i s N P i s N P j t N i s N P i s X P j t X i s X P j t i s p s t i j ≥≥--=+=-=-+==+=+=+======---λλ),(;0),;,(s t i j j t i s p ≥<=附：泊松过程相关函数的计算： 设210t t ≤<，我们有：∑∑+∞=+∞=+==+=002121})(,)({)()}()({m n n m t N m t N P n m m t N t N E由于当210t t ≤<时，,2,1,0,,!!)(})(,)({212121=-=+==-+n m e n m t t t n m t N m t N P t nm n m λλ因此，我们有：1212)(1212)(1)(2121112111111212121111101222122121112110121201211112110121001210012120012100212112121212121222222222222)()!1()(!)1()(!)(!)1(!)(!)2(!)1(!)1()(!!)1()(!!)2()(!)1(!)1()(!!)1()(!!)(!!)(!!)()(})(,)({)()}()({t t t e e e t t t e e e t e e e t n t t m t et t t n t t m t et n t t m t et e n m t t t e n m t t t en m t t t en m t t t e n m t t t m en m t t t n m e n m t t t m e n m t t t n m m n m t N m t N P n m m t N t N E t t t t t t t t t t t t n n n m m m t n nn m m m t n nn m m m t m n t n m n m m n t nm n m m n t nm n m m n t n m n m m n t n m n m m n t n m n m m n t n m n m m n t nm n m m n λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+=-++=----+--+--=---++--+--=---+--=-+-=-+=+==+=------∞+=--∞+=---∞+=∞+=---∞+=∞+=---∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-+∞+=∞+=-++∞=+∞=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑同理我们有：当120t t ≤<时221221)}()({t t t t N t N E λλ+=因此，有：},min{)}()({),(212122121t t t t t N t N E t t R N λλ+==2、 设}0);({≥t t X 与}0);({≥t t Y 是相互独立，参数分别为1λ与2λ的Poisson 过程。

第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。

求X 的特征函数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

第三章 马尔科夫过程1、将一颗筛子扔多次。

记X n 为第n 次扔正面出现的点数，问{X(n) , n=1,2,3,···}是马尔科夫链吗？如果是，试写出一步转移概率矩阵。

又记Y n 为前n 次扔出正面出现点数的总和，问{Y(n) , n=1,2,3,···}是马尔科夫链吗？如果是，试写出一步转移概率矩阵。

解：1)由已知可得，每次扔筛子正面出现的点数与以前的状态无关。

故X(n)是马尔科夫链。

E={1,2,3,4,5,6} ,其一步转移概率为:P ij = P ij =P{X(n+1)=j ∣X(n)=i }=1/6 (i=1,2,…,6,j=1,2,…,6) ∴转移矩阵为2)由已知可得，每前n 次扔正面出现点数的总和是相互独立的。

即每次n 次扔正面出现点数的总和与以前状态无关，故Y(n)为马尔科夫链。

其一步转移概率为其中2、一个质点在直线上做随机游动，一步向右的概率为p , (0<p<1)，一步向左的概率为 q , q =1-p 。

在x = 0 和x = a 出放置吸收壁。

记X(n)为第n 步质点的位置，它的可能值是0,1,2,···,a 。

试写出一步转移概率矩阵。

解：由已知可得, 其一步转移概率如下：故一步转移概率为3、做一系列独立的贝努里试验，其中每一次出现“成功”的概率为p ( 0<p<1 ) ,出现“失败”的概率为q , q = 1-p 。

如果第n 次试验出现“失败”认为 X(n) 取得数值为零；如果第n 次试验出现“成功”，且接连着前面k 次试验都出现“成功”，而第 n-k 次试验出现“失败”，认为X(n)取值k ，问{X(n) , n =1,2,···}是马尔科夫链吗？试写出其一步转移概率。

解：由已知得：故为马尔科夫链，其一步转移概率为616161616161616161616161616161616161P ={6,,2,1,6/1,,8,7,,0)1,(+++=<++==+i i i j i j i i i j ij n n P 或)1(6,,2,1;6,,2,1,+++=++=n n n j n n n n i {}α,,2,1,0 =E )(0,1;)0(0,1)1,1(0,,1,,2,1101,1,ααααα≠==≠==+-≠===-=-+j P P j P P i i j P q P P P x j j ij i i i i 而时，当 10000000000000001Pp q p q p q ={}{}m m m m m m i n X l n X i n X i n X i n X l n X P ==+=====+)(0)()(,,)(,)(0)(2211 {}{}mm m m m m in X k l n X i n X i n X i n X k l n X P ==+=====+)()()(,,)(,)()(22114、在一个罐子中放入50个红球和50个蓝球。

《概率论与随机过程》第三章习题答案3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。

解：由题意可得:()[]()()002121020022222002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()12021202120202120202221202022021012022022202010022222200201021212122112210212212121221212222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。

∴()t X 是平稳过程另解：()[][]0022000000[cos()][cos()][];(,)cos()cos(())cos()cos(())t E A t E A E t E A R t t E A t t E A E t t E X ωΦωΦτωΦωτΦωΦωτΦ⎡⎤=+=+=⨯=⎣⎦⎡⎤⎡⎤+=+++=+++⎣⎦⎣⎦[][][])cos()cos())cos((τωτωτωω0200022222A E t E A E =+Φ++= ∴()t X 是平稳过程3.3 设S(t) 是一个周期为T 的函数，随机变量Φ在（0，T ）上均匀分布，称X(t)=S （t+Φ）,为随相周期过程，试讨论其平稳性及各态遍历性。

作业1（随机过程的基本概念）1、对于给定的随机过程{(),}X t t T ∈及实数x ，定义随机过程1,()()0,()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩，t T ∈ 请将{(),}Y t t T ∈的均值函数和相关函数用{(),}X t t T ∈的一维和二维分布函数表示。

2、设(),Z t X Yt t R =+∀∈，其中随机变量X ，Y 相互独立且都服从2(0,)N σ，证明{(),}Z t t R ∀∈是正态过程，并求其相关函数。

3、设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的Wiener 过程，求下列过程的协方差函数： （1）{(),0}W t At t +≥，其中A 为常数；（2）{(),0}W t Xt t +≥，其中(0,1)X N ，且与{(),0}W t t ≥相互独立；（3）2{(),0}taW t a ≥，其中a 为正常数； （4）1{(),0}tW t t≥作业2（泊松过程）1、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令()()()Y t N t L N t =+-，其中L>0为常数，求{(),0}Y t t ≥的一维分布，均值函数和相关函数。

2、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，证明对于任意的0s t ≤<，(()|())()(1),0,1,,k kn k n s s P N s k N t n C k n t t-===-=作业3 （更新过程）1 设{(t),0}N t ≥是更新过程，更新间距,1,2,i X i = 服从参数为λ的指数分布，则(t),0N t ≥是服从参数为λ的Poisson 分布。

2 某收音机使用一节电池供电，当电池失效时，立即换一节同型号新电池。

如果电池的寿命服从30小时到60小时的均匀分布，问长时间工作情况下该收音机更换电池的速率是多少？ 若没有备用电池，当收音机失效时，立即在市场上采购同型号电池，获得新电池的时间服从0小时到1小时的均匀分布，求在长时间工作的情况下，更换电池的速率。

3-1、设X 是0,1a σ==的高斯随机变量，试确定随机变量Y cX d =+的概率密度函数()f y ，其中,c d 均为常数。

解：由题得：2()0,()1E x a D x σ====()()()E y E cx d cE x d c a d d=+=+=+=222()()D y D cx d c c σ=+==22()()]2x d f y c -=-3-2、设随机过程()t ξ可表示成()2cos(2)t t ξπθ=+，式中θ是一个离散随机变量，且11(0),()222P P πθθ====,试求(1)E ε和(0,1)R ε解：首先应理解(1)E ε和(0,1)R ε的含义，(1)E ε是指当t=1时，所得随机变量的均值，(0,1)R ε 是指当t=0和t=1时，所得的两个随机变量的自相关函数。

111[2cos(2)][2cos(2)]2(cos0cos )1222t E E E εππθπθ==+=+=+=22211(0,1)[(0)(1)][2cos 2cos(2)]4[cos ]4(cos 0cos )2222R E E E επξξθπθθ==⨯+==+=3-3、设1020()cos sin z t x t x t ωω=-是一随机过程，若1x 和2x 是彼此独立且具有均值为0，方差为2σ的正态随机变量，试求： （1）2[()],[()]E z t E z t（2）z(t)的一维分布密度函数f(z)； （3）12(,)B t t 和12(,)R t t解：（1）由已知条件12[][]0E X E X ==且1x 和2x 彼此相互独立。

所以1212[][][]0E X X E X E X == 212()()D x D x σ==，而222[][]E x E x σ=- 所以222111[]()[]E x D x E x σ=+=同理 222[]E x σ=10200102[()][cos sin ]cos []sin []0E z t E x t x t tE x tE x ωωωω=-=-=2210202222102012002201020012222200[()][(cos sin )][cos sin 2cos sin ]cos 2[]sin []2cos sin [](cos sin )E z t E x t x t E x t x t x x t t tE x tE x t tE x x t t ωωωωωωωωωωωωσσ=-=+-=+-=+=（2）由于1x 和2x 是彼此独立的正态随机变量且()z t 是1x 和2x 的线性组合，所以z 也是均值为0，方差为2σ的正态随机变量，其一维概率密度为22())2z f z σ=-（3）1,2121012011022022010*********()[()()]{[cos sin ][cos sin ]}[cos cos sin sin ][cos ()]R t t E z t z t E x t x t x t x t t t t t t t ωωωωσωωωωσω==--=+=-令12t t γ-=，则21,20()cos R t t σωγ==2121212120(,)(,)[()][()](,)cos B t t R t t E z t E z t R t t σωγ=-==3-4、已知()x t 与()y t 是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为12(),a a τ，自相关函数分别为(),()x y R R ττ。

第三章 随机过程错误！未定义书签。

．设()()()cos 2c Y t X t f t πθ=+，其中()X t 与θ统计独立，()X t 为0均值的平稳随机过程，自相关函数与功率谱密度分别为()X R τ，()X P f 。

(1)若θ在()0,2π均匀分布，求()Y t 的均值、自相关函数和功率谱密度(2)若θ为常数，求()Y t 的均值、自相关函数和功率谱密度 解：无论是(1)还是(2)，都有()()()cos 20c E Y t E X t E f t πθ=+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()()()()()()()()cos 2cos 22cos 2cos 221cos 2cos 422211cos 2cos 42222Y c c c c c c X c c c X c X c c R E Y t Y t E X t f t X t f t f E X t X t E f t f t f R E f f t f R f R E f t f ττπθτπθπττπθπθπττπτπθπττπττπθπτ=+⎡⎤⎣⎦=++++⎡⎤⎣⎦=++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+++⎡⎤⎣⎦=+++⎡⎤⎣⎦在(1)的条件下，θ的概率密度函数为[)10,2()2 0 else p θπθπ⎧∈⎪=⎨⎪⎩于是()()201cos 422cos 42202c c c c E f t f f t f d ππθπτπθπτθπ++=++=⎡⎤⎣⎦⎰因此()()1cos 22Y X c R R f ττπτ=()()()()()22cos 224X c j f j f Y Y X c X c R f P f R e d e d P f f P f f πτπττπττττ∞∞---∞-∞==-++=⎰⎰在(2)的条件下()()()()11cos 2cos 42222Y X c X c c R R f R f t f ττπττπθπτ=+++表明()Y t 是循环平稳过程。