2012年苏教数学必修5：第3章3.1知能优化训练

正方体内任意取一点， 【解】 依题意，在棱长为 3 的正方体内任意取一点， 1 棱长(即大于 ， 这个点到各面的距离都大于 棱长 即大于 1)，则满足 3 题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为 1 题意的点区域为： 的小正方体．由几何概型的定义， 的小正方体．由几何概型的定义，可得满足题意的概 13 1 率为 P＝ 3＝ . ＝ 3 27 名师点评】 这是一道与体积有关的几何概型题， 【名师点评】 这是一道与体积有关的几何概型题， 事件的全部结果对应的区域就是棱长为 的正方体， 事件的全部结果对应的区域就是棱长为 3 的正方体， 事件 A 应满足各点到六个面的距离都大于 1，即由六 ， 个与原正方体六个面分别平行且距离都为 1 的面围成 的几何体——位于该正方体中心且棱长为 1 的小正方 的几何体 位于该正方体中心且棱长为 V小正方体 1 体，故 P＝ ＝ ＝ . V原正方体 27
36π 则(1)投中大圆内的概率 P(A1)＝ 投中大圆内的概率 ＝ ≈0.442； ； 256 (2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率 投中小圆与中圆形成的圆环的概率 投中小圆与中圆形成的圆环的概 12π P(A2)＝ ＝ ≈0.147； ； 256 (3)投中大圆之外的概率 投中大圆之外的概率 256－36π － 36π P(A3)＝ ＝ ＝1－ － ＝1－P(A1)≈0.558. － ≈ 256 256
_______，而与 的____________无关，满足以上 ，而与A的 无关， 无关 条件的试验称为几何概型． 条件的试验称为几何概型．
2．在几何概型中，事件A的概率定义为
µA P(A)＝ ＝ __________________， 其中 Ω 表示区域 ， 其中µ 表示区域Ω µΩ
的几何度量， 表示子区域A的几何度量 的几何度量． 的几何度量，µA表示子区域 的几何度量． 思考感悟 概率为0的事件一定是不可能事件吗 的事件一定是不可能事件吗？ 概率为 的事件一定是不可能事件吗？概率 的事件也一定是必然事件吗？ 为1的事件也一定是必然事件吗？ 的事件也一定是必然事件吗 提示： 如果随机事件所在区域是一个单点， 提示： 如果随机事件所在区域是一个单点， 因单点的长度、 面积、 体积均为0， 因单点的长度 、 面积 、 体积均为 ， 则它出 现的概率为0(即 ＝ ，但它不是不可能事件； 现的概率为 即P＝0)，但它不是不可能事件；

1．a ，b ，c 为互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是________．(填序号)①a >b >c ②b >c >a③b >a >c ④a >c >b解析：由a 2＋c 2>2ac ⇒2bc >2ac ⇒b >a 可排除①，④，令a ＝2，c ＝1，可得b ＝52.可知③可能成立．答案：③2．(2011年镇江调研)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝4，则下列各式中正确的是________． ①1a ＋1b ≤14 ②1a ＋1b≥1 ③ab ≥2 ④1ab≥1 解析：由a ＞0，b ＞0，知a ＋b 2≥ab ， 又a ＋b ＝4，∴ab ≤4，∴1ab ≥14， ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，即1a ＋1b≥1. 答案：②3．下列结论正确的是________． ①当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 ②当x >0时，x ＋1x ≥2 ③当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 ④当0<x ≤2时，x －1x无最大值 解析：①中，当x >0且x ≠1时，lg x 不一定是正数；③中，当x ≥2时，x ＋1x ≥2x ×1x ＝2中的等号不成立；④中，当0<x ≤2时，可以证明y ＝x －1x 是增函数，则其最大值为f (2)＝32. 答案：②4．已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，则a 2＋b 2________22(a ＋b )．(填“>”“＝”或“<”) 解析：由不等式a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ，b ∈(0，＋∞)，可得a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 又∵a ≠b ，∴a 2＋b 2>22(a ＋b )． 答案：>一、填空题1．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是________．解析：∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，∴a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )(当且仅当a ＋c ＝2b 时，取“＝”)． 答案：(a －b )(b －c )≤a －c 2 2．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg (a ＋b 2，则P 、Q 、R 的大小关系为________． 解析：∵lg a >lg b >0，∴12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P . 又∵a >b >1，∴a ＋b 2>ab . ∴lg(a ＋b 2)>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，即R >Q . 故有P <Q <R .答案：P <Q <R3．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)的最小值为________． 解析：(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c＝(a ＋a ＋b ＋c a )＋(b ＋a ＋b ＋c b )＋(c ＋a ＋b ＋c c ＝4＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． 答案：104．(2010年高考安徽卷)若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________．(写出所有正确命题的编号)①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2. 解析：①ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，成立．②欲证a ＋b ≤2，即证a ＋b ＋2ab ≤2，即2ab ≤0，显然不成立．③欲证a 2＋b ＝(a ＋b )2－2ab ≥2，即证4－2ab ≥2，即ab ≤1，由①知成立．④a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)≥3⇔a 2－ab ＋b 2≥32 ⇔(a ＋b )2－3ab ≥32⇔4－32≥3ab ⇔ab ≤56，由①知，ab ≤56不恒成立． ⑤欲证1a ＋1b ≥2，即证a ＋b ab2，即ab ≤1，由①知成立． 答案：①③⑤5．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．解析：∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＋3≥2ab ＋3，∴ab ≥2ab ＋3，∴(ab －3)(ab ＋1)≥0.∴ab ≥3，∴ab ≥9.答案：[9，＋∞)6．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈(0，＋∞)，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2 xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4，即x ＝32，y ＝2时，取等号． 答案：37．已知a >0，b >0，1a ＋2b1，则a ＋2b 的最小值为________． 解析：a ＋2b ＝(a ＋2b )(1a ＋2b )＝1＋2a b ＋2b a ＋4≥5＋22a b ×2b a＝9， 当且仅当⎩⎨⎧2a b ＝2b a 1a ＋2b＝1，即a ＝b ＝3时，取“＝”． 答案：98．某民营企业的一种电子产品，2009年的年产量在2008年基础上增长率为a ；2010年又在2009年的基础上增长率为b (a ，b ＞0)，若这两年的平均增长率为q ，则q 与a ＋b 2的大小关系是________．解析：设2008年的年产量为1，则2010年的年产量为(1＋a )(1＋b )，∴(1＋q )2＝(1＋a )(1＋b )．∴1＋q ＝(1＋a )(1＋b )≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b 2， ∴q ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，取“＝”． 答案：q ≤a ＋b 29．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是________．①6.5 m ②6.8 m③7 m ④7.2 m 解析：设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2， ∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵够用且浪费最少，∴应选③.答案：③二、解答题10．判断下列各式的正误，并说明理由． (1)f (x )＝12x＋3x 的最小值为12； (2)x ＞0时，函数f (x )＝1x 2＋2x ≥21x 2·2x ＝22x ， 所以当且仅当x 2＝2x 即x ＝2时，取最小值； (3)x ＞0时，x ＋1x ＋1x ＋1x的最小值为2. 解：(1)错误．∵x 的正负不知，∴应分x ＞0与x ＜0两种情况进行讨论．当x ＞0时，f (x )＝12x ＋3x ≥212x ×3x ＝12， 当且仅当12x＝3x ，即x ＝2时，等号成立， ∴x ＞0时，f (x )有最小值12.当x ＜0时，f (x )＝12x ＋3x ＝－[－12x ＋(－3x )]．∵－12x ＋(－3x )≥2(－12x)·(－3x )＝12， ∴f (x )≤－12，当且仅当x ＝－2时等号成立，∴当x ＜0时，f (x )有最大值－12. (2)错误．∵1x2·2x 不为定值(常数)， 不能运用基本不等式． (3)错误．等号当且仅当x ＋1x ＝1x ＋1x，即(x ＋1x )2＝1时成立， 又x ＞0，∴x ＋1x ＝1，即x 2－x ＋1＝0，此方程无解， ∴等号取不到，应该有x ＋1x ＋1x ＋1x＞2.11．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .证明：∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0.∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .12．已知函数f (x )＝lg x ，若a >0，b >0，试判断12[f (a )＋f (b )]与f (a ＋b 2的大小，并加以证明． 解：12[f (a )＋f (b )]≤f (a ＋b 2)． ∵f (a )＋f (b )＝lg a ＋lg b ＝lg(ab )，f (a ＋b 2)＝lg a ＋b 2. 又∵a ，b >0，∴a ＋b 2≥ab >0. 而函数f (x )＝lg x 在定义域内单调递增，∴lg a ＋b 2≥lg ab ＝12lg(ab ) ＝12(lg a ＋lg b )， 即12[f (a )＋f (b )]≤f (a ＋b 2)， 当且仅当a ＝b 时，取“＝”．。

指出下列事件是必然事件、不可能事件， 指出下列事件是必然事件、不可能事件， 还是随机事件． 还是随机事件． (1)2010年亚运会在广州举行； 年亚运会在广州举行； 年亚运会在广州举行 (2)甲同学今年已经上高一，三年后他被北大自 甲同学今年已经上高一， 甲同学今年已经上高一 主招生录取； 主招生录取； (3)A地区在十二五规划期间会有 条高速公路 地区在十二五规划期间会有6条高速公路 地区在十二五规划期间会有 通车； 通车； (4)在标准大气压下且温度低于 ℃时，冰融 在标准大气压下且温度低于0 在标准大气压下且温度低于 化． 思路点拨】 根据三种事件的定义判定． 【思路点拨】 根据三种事件的定义判定．
2 提示：不可以． 只是 提示：不可以．“ ”只是 3 次抛掷时正面朝 3 上的频率，不是大量试验下的概率． 上的频率，不是大量试验下的概率．
课堂互动讲练
考点突破 必然事件、不可能事件、 必然事件、不可能事件、随机事件 的判定 要判断事件是哪种事件， 首先要看清条件， 要判断事件是哪种事件 ， 首先要看清条件 ， 条件决定事件的种类， 随着条件的改变， 条件决定事件的种类 ， 随着条件的改变 ， 其 结果也会不同． 结果也会不同．
例1
必然事件： 【解】 (1)必然事件：因事件已经发生． 必然事件 因事件已经发生． (2)(3)是随机事件，其事件的结果在各自的条 是随机事件， 是随机事件 件下不确定． 件下不确定． (4)是不可能事件，在本条件下，事件不会发 是不可能事件， 是不可能事件 在本条件下， 生． 思维总结】 在给定的条件下， 【思维总结】 在给定的条件下，判断是一 定发生，不一定发生，还是一定不发生， 定发生，不一定发生，还是一定不发生，来 确定属于哪一类事件． 确定属于哪一类事件．

一、填空题1．在已知五个点A (1,1)，B (－1,1)，C (－1，－1)，D (1，－1)，O (0,0)中，位于直线x －2y ＋1＝0上方(不含边界)的点的个数是________．解析：位于直线x －2y ＋1＝0上方的点坐标满足不等式x －2y ＋1＜0，将上述五个点的坐标分别代入式子x －2y ＋1中知，点B 坐标满足不等式x －2y ＋1＜0.答案：12．若点(1,2)在Ax ＋By ＋5≤0表示的区域内，ω＝A ＋2B ，则ω的范围是________． 答案：ω≤－53．已知点(1,1)和(－1,2)在直线x ＋y ＋n ＝0的同侧，则n 的取值范围是________． 答案：n <－2或n >－14．如果点(5，a )不在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间的带形区域(含边界)内，则整数a 的取值范围为________．答案：a ≤3或a ≥65．直线l ：x ＋y －4＝0与线段AB 有公共点，其中点A (a ＋2,3)，点B (1,2a )，则a 的取值范围为________．解析：因为A 、B 两点在直线l 的两侧或其上．所以(a ＋2＋3－4)(1＋2a －4)≤0，即(a ＋1)(2a －3)≤0.解得－1≤a ≤32. 答案：－1≤a ≤326．设U ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|x ＋y >m }，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤n }，点M (1,2)满足M ∈(∁U A )∩B ，则m 、n 的取值范围是________．答案：m ≥3且n ≥5 7.若满足x 2＋y 2－2y ＝0的实数x ，y 使x ＋y ＋c ≥0恒成立，则c 的取值范围是________．解析：画出图形，数形结合．答案：c ≥2－18．不等式|3x ＋2y ＋k |≤8表示的平面区域必包含两点(0,0)和(1,1)，则k 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3×0＋2×0＋k |≤8，|3×1＋2×1＋k |≤8. 即⎩⎪⎨⎪⎧ |k |≤8，|k ＋5|≤8.∴⎩⎪⎨⎪⎧－8≤k ≤8，－13≤k ≤3. ∴－8≤k ≤3.答案：－8≤k ≤39．点P (a ,4)到直线x －2y ＋2＝0的距离等于25，且在不等式3x ＋y ＞3表示的平面区域内，则P 点坐标为________．解析：由题意知|a －2×4＋2|1＋(－2)2＝25， 得a ＝16或a ＝－4.又P (a ,4)在不等式3x ＋y ＞3表示的平面区域内， ∴a ＝16，∴P (16,4)．答案：(16,4)二、解答题10．用不等式表示下列平面区域：解：(1)x －y ＋1≥0；(2) x ＋2y －2≥0.11．已知直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a ，b 不同时为0，c <0)，点P (x 0, y 0)和坐标原点位于直线l 同侧，求点P 到直线l 的距离．解：由题意得：(ax 0＋by 0＋c )·c >0，∵c <0，∴ax 0＋by 0＋c <0点P 到直线l 的距离d ＝|ax 0＋by 0＋c |a 2＋b 2＝－ax 0＋by 0＋c a 2＋b2. 12．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在直线x －y －1＝0的上方，且点P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为35，求点P 的坐标．解：设点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋2y 0＋3＝0，x 0－y 0－1<0，|2x 0＋y 0－6|5＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－5，y 0＝1.∴P (－5,1)。