一元二次方程-韦达定理的应用及答案
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一元二次方程韦达定理的应用
知识点：
一元二次方程根的判别式 ：
当△>0 时________方程_____________，
当△=0 时_________方程有_______________ ，
当△〈0 时_________方程___________ .
韦达定理的应用：
1。已知方程的一个根，求另一个根和未知系数
2。求与已知方程的两个根有关的代数式的值
3.已知方程两根满足某种关系， 确定方程中字母系数的值
4.已知两数的和与积， 求这两个数
例 1.关于 x 的一元二次方程 2223840xmxmm.求证： 当 m〉2 时，原方程永远有两个实数根.
例 2.已知关于 x 的方程22(1)10kxxxk有两个不相等的实数根.
(1）求 k 的取值范围；
（2)是否存在实数 k， 使此方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在， 求出 k 的值;若不存在, 说明理由。
例 3.已知关于 x 的方程222(3)410xkxkk
(1)若这个方程有实数根， 求 k 的取值范围;(2）若这个方程有一个根为 1， 求 k 的值;
例 4。已知关于 x 的一元二次方程21(2)302xmxm
（1）求证： 无论m取什么实数值， 这个方程总有两个不相等的实数根。
(2)若这个方程的两个实数根12,xx 满足1221xxm， 求 m 的值。
例 5。当 m 为何值时， 方程28(1)70xmxm的两根:
(1) 均为正数； （2)均为负数； (3)一个正数， 一个负数； (4）一根为零； （5）互为倒数; （6)都大于
2。
例 6.已知 a,b,c,是△ ABC 的三边长， 且关于 x 的方程 22(1)2(1)0bxaxcx有两个相等的实根,
求证: 这个三角形是直角三角形。
例 7.若 n>0 ，关于 x 的方程21(2)04xmnxmn有两个相等的正的实数根， 求mn的值。
课堂练习：
1。下列一元二次方程中， 没有实数根的是（ )
A. 2210xx B。 22220xx C. 2210xx D。 220xx
2.已知12,xx是方程2310xx的两个根，则1211xx的值是( ）
A.3 B.—3 C C. 13 D .1
3。关于 x 的二次方程22(1)230mxxmm的一个根为 0， 则 m 的值为( ）
A。1 B。-3 C。1 或－3 D.不等于 1 的实数
4。方程 22(25)(2)0xkxk 的两根互为相反数, k 的值为（ ）
A. k =5或 - 5 B。 k =5 C. k = —5 D。以上都不对
5。若方程240xmx的两根之差的平方为 48， 则 m 的值为（ ）
A.±8 B。8 C。-8 D.±4
6.已知关于 x 的方程210(3)70xmxm， 若有一个根为0, 则 m=________ ， 这时方程的另一个根是 ________； 若两根之和为35， 则 m=_______ ， 这时方程的两个根为____________
7。已知方程 210xpx的一个根为25， 可求得 p=_______
8.若23是关于 x 的方程2280xxk的一个根， 则另一个根为 _____ ， k = _____ 。
9.方程22650xx两根为α，β， 则222______,()=______。
10。要使2469nna与3na是同类项, 则 n=______________
11。解下列方程：
（1） 2(21)16x (2) 2430xx （3) 25320xx
12.关于 x 的方程2(21)(3)0axaxa有实数根， 求 a 的取值范围.
13。设12,xx是方程22410xx的两根， 利用根与系数关系求下列各式的值：
(1） 12(1)(1)xx； （2) 1221xxxx； (3） 2212xx 。
14。关于 x 的方程2(21)(3)0xaxa， 试说明无论 a 为任何实数， 方程总有两个不等实数根。
15。已知关于 x 的方程222(1)3110xmxm ，
( 1） m 为何值时， 方程有两个相等的实数根？
（ 2） 是否存在实数 m， 使方程的两根1221+1xxxx？若存在, 求出方程的根; 若不存在， 请说明理由.
16。关于 x 一元二次方程 2()2()0cbxbaxab 有两个相等的实数根，其中 a， b， c 是三角形三边的长,试判断这个三角形的形状。
17。已知 Rt△ABC 中, 两直角边长为方程2(27)4(2)0xmxmm的两根， 且斜边长为 13， 求SABC的值.
韦达定理的应用测试题
日期:_______月________日 满分：_________ 100 分 姓名:______ 得分：__________
1.关于 x 的方程2210axx 中， 如果 a〈0， 那么根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根 B。有两个不相等的实数根 C。没有实数根 D.不能确定
2.将方程2410xx的左边变成平方的形式是（ ）
A。 2(2)1x B。 2(2)1x C. （x - 2） 2 =5 D. 2(2)5x
3。设 12,xx是方程222630xx的两根， 则2212xx 的值是（ ）
A。15 B.12 C.6 D.3
4.已知 x 方程20(0)mxnxkm有两个实数根， 则下列关于判别式的判断正确的是（ ）
A. 240nmk 0 B。 240nmk C. 240nmk D。 240nmk
5。若关于 x 的一元二次方程2690kxx有两个不相等的实数根, 则 k 的取值范围为（ )
A. k〈1 B.k≠0 C。 k〉0 D。 k〈1 且 k≠0
6.关于 x 的方程2(2)210axaxa有两个不相等的实数根，a 的值为（ ）
A. a〈-2 B。 — 2〈a<2 C。 a>—2 且 a ≠ 2 D。 a ≥ -2 且 a ≠ 2
7.设 n 为方程20(0)xmxnn的一个根， 则 mn 等于________
8。如果一元二次方程 2240xxk有两个相等的实数根， 那么 k=_______
9.如果关于 x 的方程222(41)210xkxk有两个不相等的实数根， 那么 k 的取值范围是_______
10。已知12,xx是方程2520xx的两根， 则：
（1） 12xx =________ ; (2） 12xx ==________ ； (3) 212()xx=________
11。解下列一元二次方程：
(1） 22310xx （2） 27430xx (3) 2620xx
12.已知关于 x 的方程22(1)10xmxm的一个根为 4， 求 m 值及此方程的另一个根。
13。已知： 关于 x 的一元二次方程222(23)41480xmxmm， 若 m＞0， 求证: 方程有两个不相等的实数根。
14。若规定两数 a, b 通过“ ※" 运算, 得到 4ab, 即 a※b=4ab。 例如 2※6=4×2×6=48.
(1) 求 3※5 的值； （2） 求 x※x+2 ※x-2※4=0 中 x 的值。
15。求证： 不论 k 取什么实数, 方程2(6)4(3)0xkxk一定有两个不相等的实数根。
一元二次方程韦达定理的应用参考答案
知识点：
一元二次方程根的判别式 ：
当△〉0 时240bac方程有两个不相等的实数根，
当△=0 时240bac方程有有两个相等的实数根，
当△〈0 时240bac方程没有实数根.
韦达定理的应用：
1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数
2。求与已知方程的两个根有关的代数式的值
3。已知方程两根满足某种关系， 确定方程中字母系数的值
4。已知两数的和与积, 求这两个数
例 1.关于 x 的一元二次方程 2223840xmxmm.求证： 当 m〉2 时,原方程永远有两个实数根。
分析:224(2)41(84)bacmm 配方法 论证
例 2。已知关于 x 的方程22(1)10kxkxk有两个不相等的实数根。
（1）求 k 的取值范围;
（2）是否存在实数 k, 使此方程的两个实数根的倒数和等于 0？若存在， 求出 k 的值;若不存在， 说明理由.
（1）13k且0k (2）不存在，k=-1时无实数根
例 3.已知关于 x 的方程222(3)410xkxkk
(1)若这个方程有实数根， 求 k 的取值范围;(2)若这个方程有一个根为 1， 求 k 的值;
(1）k≤5 (2）33k
例 4.已知关于 x 的一元二次方程21(2)302xmxm
(1）求证： 无论m取什么实数值, 这个方程总有两个不相等的实数根。
（2）若这个方程的两个实数根12,xx 满足1221xxm, 求 m 的值。
（1）222214(2)4(3)616(3)702bacmmmmm
（2）121121221xxxxxxmm，121xm
121xm，代入方程求m的值，12120,17mm
