解一元二次方程练习题韦达定理
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解一元二次方程练习题(配方法)
1．用适当的数填空：
①、x2+6x+ =（x+ ）2；②、x2－5x+ =（x－ ）2；
③、x2+ x+ =（x+ ）2；④、x2－9x+ =（x－ ）2
2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．
3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．
4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为______，•所以方程的根为_______．
5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对
6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（ ）
A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1
7．把方程x+3=4x配方，得（ ）
A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2
8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ）
A．2±10 B．-2±14 C．-2+10 D．2-10
9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数 10．用配方法解下列方程：
（1）3x2-5x=2． （2）x2+8x=9 （3）x2+12x-15=0 （4）41 x2-x-4=0
7、01842xx 8、0222nmxx 9、00222mmmxx
11.用配方法求解下列问题
（1）求2x2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x2+5x+1的最大值。
一．填空题：
1．关于x的方程mx2-3x= x2-mx+2是一元二次方程,则m___________．
2．方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是______________,二次项系数是____,一次项系数是_____,常数项是____.
3．方程x2=1的解为______________.
4．方程3 x2=27的解为______________； x2+6x+____=(x+____)2； a2±____+41=(a±____ )2
5．关于x的一元二次方程(m+3) x2+4x+ m2- 9=0有一个解为0 , 则m=______.
二．选择题： 6．在下列各式中
①x2+3=x; ②2 x2- 3x=2x(x- 1) – 1 ; ③3 x2- 4x – 5 ; ④x2=- x1+2
是一元二次方程的共有( )
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
8．一元二次方程的一般形式是( )
A x2+bx+c=0 B a x2+c=0 (a≠0 ) C a x2+bx+c=0 D a x2+bx+c=0 (a≠0)
9．方程3 x2+27=0的解是( )
A x=±3 B x= -3 C 无实数根 D 以上都不对
10．方程6 x2- 5=0的一次项系数是( )
A 6 B 5 C -5 D 0
11．将方程x2- 4x- 1=0的左边变成平方的形式是( )
A (x- 2)2=1 B (x- 4)2=1 C (x- 2)2=5 D (x- 1)2=4
三.。将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
t(t + 3) =28
2 x2+3=7x
x(3x + 2)=6(3x + 2)
(3 – t)2+ t2=9
五. 用配方法或公式法解下列方程.：
(10) x2－6x+9 =0 （1）x2+ 2x + 3=0 （2）x2+ 6x－5=0 (3) x2－4x+ 3=0
(4) x2－2x－1 =0 (5) 2x2+3x+1=0 (6) 3x2+2x－1 =0
(7) 5x2－3x+2 =0 (8) 7x2－4x－3 =0 (9) -x2-x+12 =0
韦达定理：对于一元二次方程20(0)axbxca，如果方程有两个实数根12,xx，那么
1212,bcxxxxaa
说明：（1）定理成立的条件0
（2）注意公式重12bxxa的负号与b的符号的区别
根系关系的三大用处
（1）计算对称式的值
例 若12,xx是方程2220070xx的两个根，试求下列各式的值：
(1) 2212xx； (2)
1211xx； (3) 12(5)(5)xx； (4) 12||xx．
解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007xxxx
(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018xxxxxx
(2) 121212112220072007xxxxxx
(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972xxxxxx (4)
22212121212||()()4(2)4(2007)22008xxxxxxxx
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
222121212()2xxxxxx，12121211xxxxxx，22121212()()4xxxxxx，
2121212||()4xxxxxx，2212121212()xxxxxxxx，
33312121212()3()xxxxxxxx等等．韦达定理体现了整体思想．
【课堂练习】
1．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值为_________
2．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1·x2＝，
（x1－x2）2＝
3．已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为212 ，则k=;
4．若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a=;
5．若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为;
6． 设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：
(1)x12x2+x1x22 (2) 1x1 －1x2
7．已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
2221x1x1
（2）构造新方程
理论：以两个数为根的一元二次方程是。
例解方程组 x+y=5 xy=6
解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0①的两根
由方程①解得 z1=2,z2=3
∴原方程组的解为 x1=2,y1=3
x2=3,y2=2
显然，此法比代入法要简单得多。
（3）定性判断字母系数的取值X围
例一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值X围。
解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2
由题意知
△＝k2-4×2×2≥0，k≥4或k≤-4
∴为所求。
【典型例题】
例1 已知关于x的方程221(1)104xkxk，根据下列条件，分别求出k的值．
(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,xx满足12||xx． 分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是120xx，二是12xx，所以要分类讨论．
解：(1) ∵方程两实根的积为5
∴222121[(1)]4(1)034,412154kkkkxxk
所以，当4k时，方程两实根的积为5．
(2) 由12||xx得知：
①当10x时，12xx，所以方程有两相等实数根，故302k；
②当10x时，12120101xxxxkk，由于
302k，故1k不合题意，舍去．
综上可得，32k时，方程的两实根12,xx满足12||xx．
说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0．
例2 已知12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根．
(1) 是否存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由．
(2) 求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值．
解：(1) 假设存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立．
∵ 一元二次方程24410kxkxk的两个实数根
∴2400(4)44(1)160kkkkkk，
又12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根 ∴1212114xxkxxk
∴222121212121212(2)(2)2()52()9xxxxxxxxxxxx
939425kkk，但0k．
∴不存在实数k，使12123(2)(2)2xxxx成立．
(2) ∵222121212211212()44224411xxxxxxkxxxxxxkk
∴ 要使其值是整数，只需1k能被4整除，故11,2,4k，注意到0k，
要使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值为2,3,5．
说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．
(2) 本题综合性较强，要学会对41k为整数的分析方法．
一元二次方程根与系数的关系练习题
A 组
1．一元二次方程2(1)210kxx有两个不相等的实数根，则k的取值X围是( )
