课时作业4：4.4 幂函数
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4.4 幂函数
[合格基础练]
一、选择题
1．下列函数是幂函数的是( )
A．y＝5x B．y＝x5
C．y＝5x D．y＝(x＋1)3
2．已知点33，3在幂函数f(x)的图像上，则f(x)是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数
3．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是( )
A．y＝x13 B．y＝x2
C．y＝x3 D．y＝x－2
4．如图所示，给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是( )
二、填空题
6．已知幂函数f(x)的图像过点(4,2)，则f18＝________.
7．
8．若幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图像与坐标轴无公共点，且关于原点对称，则实数m的取值集合为________．
三、解答题
9．已知幂函数f(x)＝(－2m2＋m＋2)·xm＋1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若a≤2，判断y＝f(x)－2ax＋1在区间(2,3)上的单调性并用定义加以证明．
10．已知幂函数y＝f(x)经过点2，18.
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．
[等级过关练]
1．若(a＋1)-12<(3－2a)-12，则a的取值范围是( )
A.12，23 B.23，32
C.23，2 D.32，＋∞ 2．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－1a的图像可能是( )
A B C D
3．已知幂函数f(x)＝x-12，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是________．
4．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一组美丽的曲线．设点A(1,0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图像三等分，即有BM＝MN＝NA，那么，αβ等于__________．
5．已知幂函数y＝f(x)＝，其中m∈{x|－2 (1)是区间(0，＋∞)上的增函数； (2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0. 求同时满足(1)(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域． 【参考答案】 [合格基础练] 一、选择题 1．B [函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．] 2．A [设幂函数为f(x)＝xα，又因为图像过点33，3，所以33α＝3，解得α＝－1，故f(x)＝x－1，又f(－x)＝(－x)－1＝－f(x)且f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减函数 ，因此A正确，B、C、D错误．] 3．B [∵A、C项在(－∞，0)上为增函数；D项中y＝x－2＝1x2在(－∞，0)上也是增函数，故选B.] 4．B [因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．] 5． 二、填空题 6． 7． 8．{0,2} [幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图像与坐标轴无公共点，且关于原点对称，可得m2－2m－3＜0(m∈Z)，并且m2－2m－3为奇数，解得m＝0，或m＝2.则实数m的取值集合为{0,2}．] 三、解答题 9．[解] (1)由f(x)为幂函数知－2m2＋m＋2＝1， 得m＝1或m＝－12. 当m＝1时，f(x)＝x2，符合题意； 当m＝－12时，f(x)＝x12，不为偶函数，舍去． 所以f(x)＝x2. (2)由(1)得y＝x2－2ax＋1，对称轴为x＝a≤2， 所以y在区间(2,3)上单调递增． 设x1，x2∈(2,3)，且x1 所以Δy＝y1－y2＝x21－x22＋2a(x2－x1)＝(x1－x2)(x1＋x2－2a)＝(x1－x2)(x1－a＋x2－a)， 因为Δx＝x1－x2<0，a≤2，x1－a>0，x2－a>0， 所以Δy<0，所以y＝f(x)－2ax＋1在区间(2,3)上单调递增． 10．[解] (1)设幂函数为f(x)＝xα(α为常数)， 由题意，得f(2)＝2α＝18，即α＝－3， 故函数解析式为f(x)＝x－3. (2)∵f(x)＝x－3＝1x3，∴要使函数有意义，则x≠0， 即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， ∵f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，∴该幂函数为奇函数． 当x＞0时，根据幂函数的性质可知f(x)＝x－3在(0，＋∞)上为减函数， ∵函数f(x)是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数， 故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． [等级过关练] 1．B [令f(x)＝x-12＝1x，∴f(x)的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于 a＋1>0，3－2a>0，a＋1>3－2a，解得23 2．C [当a＜0时，函数y＝ax－1a是减函数，且在y轴上的截距－1a＞0，y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，∴A，D项均不正确． 当a＞0时，函数y＝ax－1a为增函数，且在y轴上的截距－1a＜0，排除B项，只有C项正确．] 3．(3,5) [∵f(x)＝x-12＝1x(x＞0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(a＋1)＜f(10－2a)， ∴ a＋1＞0，10－2a＞0，a＋1＞10－2a，解得 a＞－1，a＜5，a＞3.∴3＜a＜5.] 4． 5．[解] 因为m∈{x|－2 因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数． 当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)； 当m＝1时，f(x)＝x0，条件(1)(2)都不满足； 当m＝0时，f(x)＝x3，条件(1)(2)都满足，且在区间[0,3]上是增函数， 所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．
