高中数学 第一章 三角函数单元综合测试 新人教A版必修

【红对勾】2015-2016学年高中数学 第一章 三角函数单元综合测试

新人教A版必修4

时间：120分钟 分值：150分

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是( )

A．－43 B．±43

C.3 D．43

解析：因为tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60°

＝3，故a＝－43.

答案：A

2．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|

A．－33 B.33

C．－3 D.3

解析：由cos(π2＋φ)＝32，得sinφ＝－32，又|φ|

∴cosφ＝12，∴tanφ＝－3.

答案：C

3．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝π3对称的是( )

A．y＝sin(2x＋π6) B．y＝sin(x2＋π6)

C．y＝sin(2x－π6) D．y＝sin(2x－π3)

解析：∵最小正周期为π，∴ω＝2，又图象关于直线x＝π3对称，

∴f(π3)＝±1，故只有C符合．

答案：C

4．若2kπ＋π

A．sinθ

C．cosθ

解析：设π

cosθ＝cosα，tanθ＝tanα，

∵tanα>0，而sinα<0，cosα<0，

∴B、D排除，又∵cosα<－22

答案：C

5．已知A是三角形的内角，且sinA＋cosA＝52，则tanA等于( )

A．4＋15 B．4－15

C．4±15 D．以上均不正确

解析：因为sinA＋cosA＝52，所以2sinAcosA＝14>0.所以A为锐角．又(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝1－14＝34，所以sinA－cosA＝±32.从而可求出sinA，cosA的值，从而求出tanA＝4±15.

答案：C

6．函数y＝2sin(π6－2x)(x∈[0，π])的单调递增区间是( )

A．[0，π3] B．[π12，7π12]

C．[π3，5π6] D．[5π6，π]

解析：由π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ

可得π3＋kπ≤x≤5π6＋kπ(k∈Z)．

∵x∈[0，π]，∴单调递增区间为[π3，5π6]．

答案：C

7．为得到函数y＝cosx＋π3的图象，只需将函数y＝sinx的图象( )

A．向左平移π6个单位长度

B．向右平移π6个单位长度

C．向左平移5π6个单位长度

D．向右平移5π6个单位长度

解析：∵y＝cosx＋π3＝sinx＋π3＋π2

＝sinx＋5π6，

∴只需将y＝sinx的图象向左平移5π6个单位长度．

答案：C

8．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|

A.－7π12，5π12

B.－7π12，－π12

C.－π4，π6

D.11π12，17π12

解析：由图形可得14T＝23π－512π，

∴T＝π，则ω＝2，又图象过点512π，2.

∴2sin2×512π＋φ＝2，

∴φ＝－π3，∴f(x)＝2sin2x－π3，

其单调递增区间为kπ－π12，kπ＋512π(k∈Z)，

取k＝1，即得选项D.

答案：D

9．设a为常数，且a>1,0≤x≤2π，则函数f(x)＝cos2x＋2asinx－1的最大值为( )

A．2a＋1 B．2a－1

C．－2a－1 D．a2

解析：f(x)＝cos2x＋2asinx－1

＝1－sin2x＋2asinx－1

＝－(sinx－a)2＋a2，

∵0≤x≤2π，∴－1≤sinx≤1，

又a>1，∴f(x)max＝－(1－a)2＋a2＝2a－1.

答案：B

10.

函数y＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0

A．x＝2π B．x＝π2

C．x＝1 D．x＝2

解析：函数y＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0

所以函数解析式为y＝cos(π2x＋π2)＝－sinπ2x，所以直线x＝1为该函数图象的一条对称轴．

答案：C

11．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮进行5分钟后离地面的高度为( )

A．41米 B．43米

C．78米 D．118米

解析：摩天轮转轴离地面高160－1562＝82(米)，ω＝2πT＝π15，摩天轮上某个点P离地面的高度h米与时间t的函数关系是h＝82－78cosπ15t，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h＝82－78cosπ15t＝82－78×12＝43(米)．

答案：B

12．设ω>0，函数y＝sin(ωx＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )

A.23 B.43

C.32 D．3

解析：方法一：函数y＝sin(ωx＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后得到函数y＝sin[ω(x－4π3)＋π3]＋2＝sin(ωx－4π3ω＋π3)＋2的图象．

∵两图象重合，∴ωx＋π3＝ωx－4π3ω＋π3＋2kπ，k∈Z，解得ω＝32k，k∈Z.又ω>0，

∴当k＝1时，ω的最小值是32.

方法二：由题意可知，4π3是函数y＝sin(ωx＋π3)＋2(ω>0)的最小正周期T的正整数倍，即4π3＝kT＝2kπω(k∈N*)，

ω＝32k，ω的最小值为32.

答案：C

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．

解析：圆心角α＝lr＝128＝32，

扇形面积S＝12lr＝12×12×8＝48.

答案：32 48

14．方程sinx＝lgx的解的个数为________．

解析：画出函数y＝sinx和y＝lgx的图象(图略)，结合图象易知这两个函数的图象有3个交点．

答案：3

15．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β为非零常数．若f(2

013)＝－1，则f(2 014)＝________.

解析：f(2 013)＝asin(2 013π＋α)＋bcos(2 013π＋β)

＝－1，

f(2 014)＝asin(2 014π＋α)＋bcos(2 014π＋β)

＝asin[π＋(2 013π＋α)]＋bcos[π＋(2 013π＋β)]

＝－[asin(2 013π＋α)＋bcos(2 013π＋β)]＝1.

答案：1

16．关于函数f(x)＝cos2x＋π3＋1有以下结论：①函数f(x)的值域是[0,2]；②点－512π，0是函数f(x)的图象的一个对称中心；③直线x＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴；④将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，与所得图象对应的函数是偶函数．其中，所有正确结论的序号是________．

解析：①∵－1≤cos2x＋π3≤1，

∴0≤cos2x＋π3＋1≤2；

②∵f－5π12＝cos－5π6＋π3＋1＝cos－π2＋1

＝1≠0，

∴点－512π，0不是函数f(x)图象的一个对称中心；

③∵fπ3＝cos2π3＋π3＋1＝cosπ＋1＝0，函数取得最小值，∴直线x＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴；

④将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，与所得图象对应的函数解析式为g(x)＝cos2x－π6＋π3＋1＝cos2x＋1，此函数是偶函数．综上所述，①③④正确．

答案：①③④

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知sinθ＝45，π2

(1)求tanθ；

(2)求sin2θ＋2sinθcosθ3sin2θ＋cos2θ的值．

解：(1)∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴cos2θ＝1－sin2θ＝925.

又π2

∴tanθ＝sinθcosθ＝－43.

(2)sin2θ＋2sinθcosθ3sin2θ＋cos2θ＝tan2θ＋2tanθ3tan2θ＋1＝－857.

18．(12分)(1)已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值；

(2)已知π

解：(1)cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]

＝－cos(75°＋α)＝－13，

sin(α－105°)＝－sin[180°－(75°＋α)]

＝－sin(75°＋α)．

∵α为第三象限角，

∴75°＋α为第三或第四象限角，又cos(75°＋α)＝13>0，

∴75°＋α为第四象限角，