人教版数学高一-人教A版必修4章末综合检测 第1章 三角函数

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精校版 章末综合检测(一)

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．函数y＝tan x2是( )

A．最小正周期为4π的奇函数

B．最小正周期为2π的奇函数

C．最小正周期为4π的偶函数

D．最小正周期为2π的偶函数

解析：选B．该函数为奇函数，其最小正周期T＝π12＝2π.

2．简谐运动y＝4sin5x－π3的相位与初相是( )

A．5x－π3，π3 B．5x－π3，4

C．5x－π3，－π3 D．4，π3

解析：选C.相位是5x－π3，当x＝0时的相位为初相即－π3.

3．设a＜0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a，4a)，那么sin α＋2cos α的值等于( )

A.25 B．－25

C.15 D．－15

解析：选A.因为点P在单位圆上，则|OP|＝1.

即（－3a）2＋（4a）2＝1，解得a＝±15.

因为a＜0，所以a＝－15.

所以P点的坐标为35，－45.

所以sin α＝－45，cos α＝35.

所以sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25. 高中数学-打印版

精校版 4．设α为第二象限角，则sin αcos α·1sin2α－1＝( )

A．1 B．tan2α

C．－tan2α D．－1

解析：选D.sin αcos α·1sin2α－1＝sin αcos α·cos2αsin2α＝sin αcos α·cos αsin α.

因为α为第二象限角，所以cos α＜0，sin α＞0.

所以原式＝sin αcos α·cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.

5．已知函数f(x)＝sinx－π2(x∈R)，下列结论错误的是( )

A．函数f(x)的最小正周期为2π

B．函数f(x)在区间0，π2上是增函数

C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称

D．函数f(x)为奇函数

解析：选D.因为f(x)＝sinx－π2＝－cos x，所以T＝2π，故A选项正确；因为y＝cos x在0，π2上是减函数，所以y＝－cos x在0，π2上是增函数，故B选项正确；因为f(0)＝sin－π2＝－1，所以f(x)的图象关于直线x＝0对称，故C选项正确；f(x)＝－cos x是偶函数，故D选项错误．

6．sin 600°＋tan 240°的值等于( )

A．－32

B．32

C．－12＋3 D.12＋3

解析：选B．sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°

＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32，

tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3，

因此sin 600°＋tan 240°＝32.

7．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin

α的值是( ) 高中数学-打印版

精校版 A.355 B．377

C.31010 D.13

解析：选C.由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.

8．设g(x)的图象是由函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移π3个单位得到的，则gπ6等于( )

A．1 B．－12

C．0 D．－1

解析：选D.由f(x)＝cos 2x的图象向左平移π3个单位得到的是g(x)＝cos2x＋π3的图象，则gπ6＝cos2π6＋π3＝cos π＝－1.故选D.

9．设ω＞0，函数y＝sinωx＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(

)

A.23 B．43

C.32 D．3

解析：选C.法一：函数y＝sinωx＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后得到函数y＝sinωx－4π3＋π3＋2＝sinωx－4π3ω＋π3＋2的图象．因为两图象重合，所以ωx＋π3＝ωx－4π3ω＋π3＋2kπ，k∈Z，解得ω＝32k，k∈Z.又ω＞0，所以ω的最小值是32.

法二：由题意可知，4π3是函数y＝sinωx＋π3＋2(ω＞0)的最小正周期T的正整数倍，即4π3＝kT＝2kπω(k∈N*)，所以ω＝32k，所以ω的最小值为32.

10．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为(

)

A.π6 B．π4

C.π3 D.π2

解析：选A.由y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点4π3，0中心对称，知f4π3＝0，即高中数学-打印版

精校版 3cos8π3＋φ＝0，

所以8π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，所以φ＝kπ＋π2－8π3(k∈Z)，|φ|的最小值为π6.

11．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T，且当x＝2时，取得最大值，那么( )

A．T＝2，θ＝π2 B．T＝1，θ＝π

C．T＝2，θ＝π D．T＝1，θ＝π2

解析：选A.因为T＝2ππ＝2，f(x)＝sin(πx＋θ)，

所以f(2)＝sin(2π＋θ)＝sin θ＝1，

又0＜θ＜2π，则θ＝π2.故选A.

12．已知函数y＝sin(2x＋φ)0＜φ＜π2图象的一条对称轴在区间π6，π3内，则满足此条件的一个φ值为( )

A.π12 B．π6

C.π3 D.π4

解析：选A.令2x＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，解得x＝kπ2＋π4－φ2(k∈Z)，因为函数y＝sin(2x＋φ)0＜φ＜π2图象的一条对称轴在区间π6，π3内，所以令π6＜kπ2＋π4－φ2＜π3(k∈Z)，解得kπ－π6＜φ＜kπ＋π6(k∈Z)，

四个选项中只有A符合，故选A.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知cos(45°＋α)＝513，则cos(135°－α)＝________．

解析：cos(135°－α)＝cos[180°－(45°＋α)]

＝－cos(45°＋α)＝－513.

答案：－513

14．函数f(x)＝2sinx2－π6，当f(x)取最大值时，x的取值集合为________． 高中数学-打印版

精校版 解析：由x2－π6＝2kπ＋π2，k∈Z，

得x＝4kπ＋43π，k∈Z.

答案：x|x＝4kπ＋43π，k∈Z

15．若f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在区间0，π3上的最大值为2，则ω＝________．

解析：因为0＜ω＜1，x∈0，π3，

所以ωx∈0，ωπ30，π2，

所以f(x)max＝2sin ωπ3＝2，

所以sin ωπ3＝22，所以ωπ3＝π4，ω＝34.

答案：34

16．有下列说法：

①函数y＝－cos 2x的最小正周期是π；

②终边在y轴上的角的集合是α|α＝kπ2，k∈Z；

③把函数y＝3sin2x＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数y＝3sin 2x的图象．

其中，正确的说法是________．

解析：对于①，y＝－cos 2x的最小正周期T＝2π2＝π，故①对；

对于②，因为k＝0时，α＝0，角α的终边在x轴上，故②错；

对于③，y＝3sin2x＋π3的图象向右平移π6个单位长度后，得y＝3sin2x－π6＋π3＝3sin

2x，故③对．

答案：①③

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知cosπ2＋θ＝12，

求cos（3π＋θ）cos θ[cos（π＋θ）－1]＋cos（θ－4π）cos（θ＋2π）cos（3π＋θ）＋cos（－θ）的值． 高中数学-打印版

精校版 解：因为cosπ2＋θ＝－sin θ，

所以sin θ＝－12.

原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos

θcos θ（－cos θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos

θ＝21－cos2θ＝2sin2θ＝8.

18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin2x－π6＋a，a为常数．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若x∈0，π2时，f(x)的最小值为－2，求a的值．

解：(1)f(x)＝2sin2x－π6＋a，

所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.

(2)当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，5π6，所以x＝0时，f(x)取得最小值，即2sin－π6＋a＝－2，

故a＝－1.

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin2ωx＋π6＋1(其中0＜ω＜1)，若点－π6，1是函数f(x)图象的一个对称中心，

(1)试求ω的值；

(2)先列表，再作出函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象．

解：(1)因为点－π6，1是函数f(x)图象的一个对称中心，

所以－ωπ3＋π6＝kπ，k∈Z，

所以ω＝－3k＋12，k∈Z， 高中数学-打印版

精校版 因为0＜ω＜1，所以k＝0，ω＝12.

(2)由(1)知f(x)＝2sinx＋π6＋1，x∈[－π，π]，列表如下，

x＋π6 －56π －π2 0 π2 π 76π

x －π －23π －π6 π3 56π π

y 0 －1

1 3 1 0

则函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象如图所示．

20．(本小题满分12分)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的一段图象如图所示．

(1)求此函数的解析式；

(2)求此函数在(－2π，2π)上的递增区间．

解：(1)由题图可知，其振幅为A＝23，

由于T2＝6－(－2)＝8，

所以周期为T＝16，

所以ω＝2πT＝2π16＝π8，

此时解析式为y＝23sinπ8x＋φ.

因为点(2，－23)在函数y＝23sinπ8x＋φ的图象上，

所以π8×2＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，