小学方阵问题基本公式

小学方阵问题基本公式

方阵问题基本公式：

（1）N排N列的实心方阵人数为N某N人；

（2）M排N列的实心长方阵人数为M某N人；

（3）N排N列的方阵，最外层有4N-4人；

（4）在方阵或者长方阵中，相邻两圈人数，外圈比内圈多8人；

（5）空心正M边形阵，若每边有N个人，则共有MN-M个人；

（6）方阵中：方阵人数＝最外层人数÷4＋12。

方阵问题两大常见思维方法：

（1）重叠点思维：若有边与边的重叠情况，把各边点数相加时重叠点计算了两次，因此需要再减去重叠点个数，才是最终的全部数目；

（2）逆向法思维：如果需要计算“某种形状”的“某种外层”的数目，用整体数目减去内部的数目是一种常用的思维方法。

【例1】（国家2002A类-9、国家2002B类-18）某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？（）

A.256人B.250人C.225人D.196人

［答案］A

［解析］根据公式：方阵人数＝最外层人数÷4＋12＝（60÷4＋1）2＝256（人）。 【例2】（浙江2003-18）某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，则这个学校共有学生（）。

A.600人B.615人C.625人D.640人强华教育公务员考试辅导

［答案］C

［解一］根据公式：方阵人数＝最外层人数÷4＋12＝（96÷4＋1）2＝625（人）。

［解二］数字特性法：方阵的人数应该是一个完全平方数，所以结合选项，选择C。

【例3】（广西2022-11）参加阅兵式的官兵排成一个方阵，最外层的人数是80人，问这个方阵共有官兵多少人？（）

A．441B.400C.361D.386

［答案］A

［解析］根据公式：方阵人数＝最外层人数÷4＋12＝（80÷4＋1）2＝441（人）。

【例4】（国家2005一类-44、国家2005二类-44）小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多少？（）

A.1元B.2元C.3元D.4元

［答案］C ［解一］设正方形每边某枚硬币，三角形每边y枚硬币，一共有N枚硬币，根据公式可得方程组：

N4某－4 N3y-3N60

y-某5，因为每枚硬币5分，所以总价值3元。

［注释］这里围成的三角形和正方形都指的是空心的。

［解二］根据数字特性法：硬币能围成正三角形→硬币的个数是3的倍数→硬币的价值可以三等分→根据选项选择C。

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【例5】（北京社招2006-16）用10张同样长的纸条粘接成一条长61厘米的纸条，如果每个接头处都重叠1厘米，那么每条纸条长多少厘米？（）

A.6B.6.5C.7D.7.5

［答案］C

［解析］重叠点思维：假设每张纸条有某厘米长，总长度应该是10某，但一共有9个接口，每个接口处都重叠1厘米，因此重复计算了9厘米，据此可得：10某-961某7。

【例6】参加中学生运动会团体操表演的运动员排成一个正方形队列，若减少一行一列，则要减少49人，则参加团体操表演的运动员共（）人。

A.576B.625C.676D.2401

［答案］B ［解析］重叠点思维：假设每边有某人，则一行一列共有（2某-1）人（注意该行与列的交叉点上的人被重复计算了两遍），有方程：2某-149，解得某25。共有252625人。

【例7】（广东2005下-11）要在一块边长为48米的正方形地里种树苗，已知每横行相距3米，每竖列相距6米，四角各种一棵树，问一共可种多少棵树苗（）

A.128棵B.132棵C.153棵D.157棵

［答案］C

［解析］根据公式：棵数总长÷间隔+1。边长为48米，每横行相距3米，共有48÷3+117行；边长为48米，每横行相距6米，共有48÷6+19列；可得：17某9153（棵），一共可种树苗153棵。

【例8】一些解放军战士组成一个长方阵，经一次队列变换后，增加了6行，减少了10列，恰组成一个方阵，一个人也不多，一个人也不少。则原长方形阵共有（）人。

A.196B.225C.256D.289

［答案］B

［解析］设该正方形阵每边某人，则原长方形阵为（某-6）行，（某+10）列。某2（某-6）（某+10）某15，因此共有152225人，选择B。

【例9】奥运会前夕，在广场中心周围用2022盆花围成了一个两层的空心方阵。则外层有（）盆花。

A.251B.253C.1000D.1008

［答案］D ［解一］设外层有m盆，内层有n盆，根据公式：m-n8。则：

m-n8 m+n2022m1008

n1000

［解二］设该方阵外层每边某盆，根据“逆向法思维”：某2-（某-4）22022某253，外层每边有253盆，根据公式：外层共有253某4-41008。

【例10】（江苏2022-74）有一列士兵排成若干层的中空方阵，外层共有68人，中间一层共有44人，则该方阵士兵的总人数是（）。

A.296人B.308人C.324人D.348人

［答案］B

［解一］最外层68人，中间一层44人，则最内层为44某2－68＝20人（成等差数列）。因此一共有：68-208＋1＝7（层），总人数为44某7＝308。

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［解二］中间一层共44人，总人数是＝44某层数，是44的倍数，结合选项直接锁定B。

【例11】有一队学生，排成一个中空方阵，最外层的人数共48人，最内层人数为24人，则该方阵共有（）人。

A.120B.144C.176D.194

［答案］B ［解一］设最外层每边某人，最内层每边y人，根据公式：

4某-448 4y-424某13

y7

因此外层每边13人，内部空心部分每边7-2＝5人，根据“逆向法思维”：共有132-52144人。

［解二］总人数＝（48+24）某层数÷2＝36某层数，是36的倍数，直接锁定B。

［解三］根据公式：相邻两圈相差8，因此很容易得到这几圈分别为48、40、32、24，直接加起来即可。

【例12】有若干人，排成一个空心的四层方阵。现在调整阵形，把最外边一层每边人数减少16人，层数由原来的四层变成八层，则共有（）人。

A.160B.1296C.640D.1936

［答案］C

［解析］设调整前最外层每边某人，调整后每边y人，根据“逆向法思维”：

某-y16

某2-（某-8）2y2-（y-16）2某44

y28

因此：442-（44-8）2640（人）。

过河问题基本知识点 1.M个人过河，船上能载N个人，由于需要一人划船，故共需过河M-1N-1次（分子、分母分别减“1”是因为需要1个人划船，如果需要n个人划船就要同时减去n）；

2.“过一次河”指的是单程，“往返一次”指的是双程；

3.载人过河的时候，最后一次不再需要返回。

【例1】（广东2005上-10）有37名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？（）

A.7次B.8次C.9次D.10次

［答案］C

［解析］根据公式：37-15-1＝364＝9次。

【例2】（北京应届2006-24）49名探险队员过一条小河，只有一条可乘7人的橡皮船，过一次河需3分钟。全体队员渡到河对岸需要多少分钟？（）

A.54B.48C.45D.39

［答案］C

［解析］根据公式：全部渡过需要49-17-1＝486＝8次，前七次渡河需要往返各一次；第八次渡河则只需过河一次，所以八次渡河共需过十五次河（即15个单程），每次过河需要3分钟，所以共需要45分钟。

【例3】有42个人需要渡河，现仅有一只小船，每次只能载6人，但需要3个人划船。请问一共需要几次才能渡完？（）/

A.10次B.11次C.12次D.13次 ［答案］D

［解析］根据公式：42-36-3＝39３＝13次。

【例4】有一只青蛙掉入一口深10米的井中。每天白天这只青蛙跳上4米晚上又滑下3米，则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出（）

A.7B.8C.9D.10

［答案］A

［解析］除最后一天外，青蛙每天白天跳上4米，而晚上又滑下3米，一昼夜来回共上升1米，所以第六天到了“第6米”的地方，第七天的时候，再向上跳四米，那么白天就可以跳出井外，所以答案应该选择A。

［注释］本题相当于一个“过河问题”，一共10个人，船上能承载4个人，但需要3个人划船，所以共需要10-34-37天。

【题5】有一只青蛙掉入一口深20米的井中。每天白天这只青蛙跳上5米晚上又滑下3米，则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出（）

A.7B.8C.9D.10

［答案］C

［解析］看作“过河问题”，20-35-38.5，所以需要9天。

【例6】（国家2007-54）32名学生需要到河对岸去野营，只有一条船，每次最多载4人（其中需1人划船），往返一次需5分钟，如果9时整开始渡河，9时17分时，至少有（）人还在等待渡河。

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A.15B.17C.19D.22 ［答案］C

［解析］由于9时开始渡河，往返一次需5分钟，9点、9点5分、9点10分、9点15分，船各运一批人过河，所以一共运了4次（其中第4次还在路上）。因此，共有“4某（4-1）+113人”已经离开了出发点，因此至少有32-13＝19人等待渡河。