1 方阵问题
方阵是古代军队作战时采用的一种队形，方阵平面一般呈现“回”字形状，是把军队在野外开阔地上排列成方形阵式。数学中的方阵是指行数与列数一样多的矩阵。n×n阶矩阵被称为n阶方阵。 将若干人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总数，求每条边个数或层数等，这类问题就叫做方阵问题。 1. 方阵每边人数 相邻两层物体总数相差8，每边相差2。 每边人数＝一层总数÷4＋1 或 一层总数＝（每边人数－1）×4 2. 方阵总人数 ① 实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
② 空心方阵：总人数＝外边方阵人数－内边方阵人数 内边人数＝外边人数－层数×2 若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则： 空心方阵总人数＝（外边人数－层数）×层数×4
3. 方阵问题思维方法： ① 重叠点思维：若有边与边的重叠情况，把各边点数相加时重叠点计算了两次，因此需要再减去重叠点个数，才是最终的全部数目； ② 逆向法思维：如已知空心方阵的总数求外层每条边的数目，可逆用求总数公式：外边人数＝空心方阵总人数÷4÷层数＋层数。
【例1】 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？ 解：22×22＝484（人）
练习一 1、小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵，最外层每边摆6枚，请问：要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子？最外一层的棋子总数是多少？ 2、同学们做早操，排成一个方阵，从前、后、左、右数，王强都是第5个，这个方阵共有多少人？
2 3、花坛最外层一条边上有18盆花，最外层有多少盆花？
【例2】 有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有100人，请问：方阵中一共有士兵多少人？
解析：100÷4＋1＝26（人），因此方阵中一共有26×26＝676（人）。 练习二 1、四年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，请问：方阵最外层每边的人数是多少？这个方阵共有多少人？ 2、某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？ 3、正方形舞厅四周均匀的装彩灯，如果四个角都装一盏且每边装12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？ 4、五年级有4个班级，每个班级有36人，要组成一个方阵，最外层有几个人？
四年级奥数-教师版-第三讲-方阵问题(总10页)
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学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：
1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）
2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋1
3．方阵外一层总人数比内一层总人数多2
4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1
例1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少
人?
解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
根据四周人数和每边人数的关系可以知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列
的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）
整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。
【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方
阵外层每边有多少人这个方阵共有五年级学生多少人
解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可
以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）
整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）
答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。
【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子
14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
解析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边
放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。
解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）
第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个） 第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）.
方阵问题的解题思路
方阵问题的解题思路：
(1)实心方阵：(外层每边人数)2=总人数。
(2)空心方阵：
(最外层每边人数)2-(最外层每边人数-2×层数)2=中空方阵的人数。
或者是：
(最外层每边人数-层数)×层数×4=中空方阵的人数。
总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。
例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？
解一先看作实心方阵，则总人数有：
10×10=100(人)
再算空心部分的方阵人数。从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是：
10-2×3=4(人)
所以，空心部分方阵人数有：
4×4=16(人)
故这个空心方阵的人数是：
100-16=84(人)
解二直接运用公式。根据空心方阵总人数公式得：
(10-3)×3×4=84(人)
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方阵问题
一、方法思维
1、方阵可以分为实心方阵和空心方阵。
2、方阵的基本特点是：方阵中，里一层总比外一层的一边少 2 个物体，里一层物
体的个数一定比上一层物体总个数少 8 个。
3、实心方阵（核心公式）：
物体个数=最外层的一边个数的平方=每边数×每边数；
每层数=（每边数—1）×4； 每边数=每层数÷4+1
方阵最外层每边数=（方阵最外层总数÷4）+1
4、空心方阵（核心公式）：
外边数=总数÷4÷层数+层数
物体的总数=（最外层一边个数—层数）×层数×4
=（最外层层数+最内层层数）×层数÷2
内层数=外层数-8
每层数=（每边数—1）×4；
5、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1
6、实心方阵的总人数是一完全平方数，空心方阵的总人数是 4 的倍数。
二、典型例题
1、有一个正方形的稻田，四个角上都放 1 个稻草人，如果每边放
5 个，四边共
放多少个稻草人？
