数值分析习题集及答案[1](精)

数值分析习题集

（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）

长沙理工大学

第一章 绪 论

1. 设x>0,x的相对误差为δ,求lnx的误差.

2. 设x的相对误差为2％,求nx的相对误差.

3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:

*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,71.0.xxxxx 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:

********12412324(),(),()/,ixxxiixxxiiixx其中****1234,,,xxxx均为第3题所给的数.

5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?

6. 设028,Y按递推公式

11783100nnYY ( n=1,2,…)

计算到100Y.若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y将有多大误差?

7. 求方程25610xx的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982).

8. 当N充分大时,怎样求211Ndxx?

9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?

10. 设212Sgt假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小.

11. 序列{}ny满足递推关系1101nnyy(n=1,2,…),若021.41y(三位有效数字),计算到10y时误差有多大?这个计算过程稳定吗?

12. 计算6(21)f,取21.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?

36311,(322),,99702.(21)(322)

13. 2()ln(1)fxxx,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式

22ln(1)ln(1)xxxx 计算,求对数时误差有多大?

14. 试用消元法解方程组101012121010;2.xxxx假定只用三位数计算,问结果是否可靠?

15. 已知三角形面积1sin,2sabc其中c为弧度,02c,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.abc证明面积的误差s满足

.sabcsabc

第二章 插值法

1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令

2000011211121()(,,,,)11nnnnnnnnnxxxVxVxxxxxxxxxx

证明()nVx是n次多项式,它的根是01,,nxx,且

101101()(,,,)()()nnnnVxVxxxxxxx.

2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.

3.

给出f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.

x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765

-0.223144

4. 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.

5. 设0kxxkh,k=0,1,2,3,求032max()xxxlx.

6. 设jx为互异节点(j=0,1,…,n),求证:

i) 0()(0,1,,);nkkjjjxlxxkn

ii) 0()()1,2,,).nkjjjxxlxkn

7. 设2(),fxCab且()()0fafb,求证21()()().8maxmaxaxbaxbfxbafx

8. 在44x上给出()xfxe的等距节点函数表,若用二次插值求xe的近似值,要使截断误差不超过610,问使用函数表的步长h应取多少?

9. 若2nny,求4ny及4ny.

10. 如果()fx是m次多项式,记()()()fxfxhfx,证明()fx的k阶差分()(0)kfxkm是mk次多项式,并且()0(mlfxl为正整数).

11. 证明1()kkkkkkfgfggf.

12. 证明1100100.nnkknnkkkkfgfgfggf

13. 证明1200.njnjyyy

14. 若1011()nnnnfxaaxaxax有n个不同实根12,,,nxxx,证明

10,02;,1.1()nknjknaknjjxfx

15. 证明n阶均差有下列性质:

i) 若()()Fxcfx,则0101,,,,,,nnFxxxcfxxx;

ii) 若()()()Fxfxgx,则010101,,,,,,,,,nnnFxxxfxxxgxxx.

16. 74()31fxxxx,求0172,2,,2f及0182,2,,2f.

17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是

(4)22311()()()()/4!,(,)kkkkRxfxxxxxx 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

18. 求一个次数不高于4次的多项式()Px,使它满足(0)(1)PPk并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()Px,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0PP,(1)(1)1PP,(2)1P.

20. 设(),fxCab,把,ab分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()nx并证明当n时,()nx在,ab上一致收敛到()fx.

21. 设2()1/(1)fxx,在55x上取10n,按等距节点求分段线性插值函数()hIx,计算各节点间中点处的()hIx与()fx的值,并估计误差.

22. 求2()fxx在,ab上的分段线性插值函数()hIx,并估计误差.

23. 求4()fxx在,ab上的分段埃尔米特插值,并估计误差.

24. 给定数据表如下:

jx 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53

jy 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280

试求三次样条插值()Sx并满足条件

i) (0.25)1.0000,(0.53)0.6868;SS

ii) (0.25)(0.53)0.SS

25. 若2(),fxCab,()Sx是三次样条函数,证明 i) 222()()()()2()()()bbbbaaaafxdxSxdxfxSxdxSxfxSxdx;

ii) 若()()(0,1,,)iifxSxin,式中ix为插值节点,且01naxxxb,则()()()()()()()()()baSxfxSxdxSbfbSbSafaSa.

26. 编出计算三次样条函数()Sx系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()Sx可用(8.7)式的表达式).

第三章 函数逼近与计算

1. (a)利用区间变换推出区间为,ab的伯恩斯坦多项式.

(b)对()sinfxx在0,/2上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较.

2. 求证:

(a)当()mfxM时,(,)nmBfxM. (b)当()fxx时,(,)nBfxx.

3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin4fxx在0,2的最佳一致逼近多项式.

4. 假设()fx在,ab上连续,求()fx的零次最佳一致逼近多项式.

5. 选取常数a,使301maxxxax达到极小,又问这个解是否唯一?

6. 求()sinfxx在0,/2上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.

7. 求()xfxe在0,1上的最佳一次逼近多项式.

8. 如何选取r,使2()pxxr在1,1上与零偏差最小?r是否唯一?

9. 设43()31fxxx,在0,1上求三次最佳逼近多项式.

10. 令()(21),0,1nnTxTxx,求***0123(),(),(),()TxTxTxTx.

11. 试证*()nTx是在0,1上带权21xx的正交多项式.

12. 在1,1上利用插值极小化求11()fxtgx的三次近似最佳逼近多项式.

13. 设()xfxe在1,1上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()nLx,若nfL有界,证明对任何1n,存在常数n、n,使

11()()()()(11).nnnnnTxfxLxTxx

14. 设在1,1上234511315165()128243843840xxxxxx,试将()x降低到3次多项式并估计误差.

15. 在1,1上利用幂级数项数求()sinfxx的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.

16. ()fx是,aa上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,()fx的最佳逼近多项式*()nnFxH也是奇(偶)函数. 17. 求a、b使220sinaxbxdx为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.

18. ()fx、1(),gxCab,定义

()(,)()();()(,)()()()();bbaaafgfxgxdxbfgfxgxdxfaga 问它们是否构成内积?

19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101xdxx的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.

20. 选择a,使下列积分取得最小值:1122211(),xaxdxxaxdx.

21. 设空间10010121,,,spanxspanxx,分别在1、2上求出一个元素,使得其为20,1xC的最佳平方逼近,并比较其结果.

22. ()fxx在1,1上,求在2411,,spanxx上的最佳平方逼近.

23. 2sin(1)arccos()1nnxuxx是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系

112nnnuxxuxux.

24. 将1()sin2fxx在1,1上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.

25. 把()arccosfxx在1,1上展成切比雪夫级数.

26. 用最小二乘法求一个形如2yabx的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.