数值分析习题集及答案

数值分析习题集及答案

数值分析习题集

（适合课程《数值⽅法A 》和《数值⽅法B 》）

长沙理⼯⼤学

第⼀章 绪 论

1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.

2. 设x 的相对误差为2％,求n

x 的相对误差.

3. 下列各数都是经过四舍五⼊得到的近似数,即误差限不超过最后⼀位的半个单位,试指

出它们是⼏位有效数字:

*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====?

4. 利⽤公式求下列各近似值的误差限:

********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****

1234

,,,x x x x 均为第3题所给的数.

5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少

6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=…)

计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多⼤误差

7. 求⽅程2

5610x x -+=的两个根,使它⾄少具有四位有效数字.

8. 当N 充分⼤时,怎样求

2

11N

dx x +∞

+?

9. 正⽅形的边长⼤约为100㎝,应怎样测量才能使其⾯积误差不超过1㎝2

10. 设

2

12S gt =

假定g 是准确的,⽽对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误

差增加,⽽相对误差却减⼩.

11. 序列

{}n y 满⾜递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),

若0 1.41y =≈(三位有效数字),

计算到

10y 时误差有多⼤这个计算过程稳定吗

12.

计算6

1)f =,

1.4≈,利⽤下列等式计算,哪⼀个得到的结果最好3

-- 13.

()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平⽅⽤六位函数表,问求对数时误差有多⼤

若改⽤另⼀等价公式

ln(ln(x x =-

计算,求对数时误差有多⼤

14. 试⽤消元法解⽅程组

{

101012121010;2.

x x x x +=+=假定只⽤三位数计算,问结果是否可靠

15. 已知三⾓形⾯积

1sin ,2s ab c =

其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为

,,.a b c 证明⾯积的误差s ?满⾜

.s a b c

s a b c ≤++

第⼆章 插值法

1. 根据定义的范德蒙⾏列式,令

2000

011211121

()(,,

,,)1

1

n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x

x

x ----==

证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且

101101()(,,,)()

()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.

2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的⼆次插值多项式.

3. 给出f

(x )=ln x 的数值表⽤线性插值及⼆次插值计算ln 的近似值.

4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数

字,研究⽤线性插值求cos x 近似值时的总误差界.

5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设

j

x 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:

i) 0()(0,1,,);

n

k

k

j j j x l x x

k n =≡=∑

ii)

()()1,2,

,).

n

k j

j j x

x l x k n =-≡0(=∑

7. 设

[]2

(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21

()()().

8max max a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤≤-"

8. 在44x -≤≤上给出()x

f x e =的等距节点函数表,若⽤⼆次插值求x

e 的近似值,要使截

断误差不超过6

10-,问使⽤函数表的步长h 应取多少

9. 若2n

n y =,求4n y ?及4n y δ.

10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ?=+-,证明()f x 的k 阶差分

()(0)k f x k m ?≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +?=为正整数).

11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?.

12. 证明1

1

0010

.

n n k

k

n n k k k k f g

f g f g g f --+==?=--?∑∑

13. 证明

1

2

00

.

n j n j y y y -=?

=?-?∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明

{

10,02;

, 1.

1

()

n k n

j

k n a k n j j

x f x -≤≤-=-==

'∑

15. 证明n 阶均差有下列性质: i) 若()()F x cf x =,则

[][]0101,,,,,

,n n F x x x cf x x x =;

ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]01

0101,,,,,

,,,

,n n n F x x x f x x x g x x x =+.

16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f

及01

82,2,,2f

.

17. 证明两点三次埃尔⽶特插值余项是

(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈

并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.

18. 求⼀个次数不⾼于4次的多项式()P x ,使它满⾜(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次

埃尔⽶特插值的误差限.

19. 试求出⼀个最⾼次数不⾼于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满⾜以下边界条件

(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.

20. 设

[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造⼀个台阶形的零次分段插值函数()

n x ?并证明当n →∞时,()n x ?在[

],a b 上⼀致收敛到()f x .

21. 设2

()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,

计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.

22. 求2

()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差. 23. 求4

()f x x =在[

],a b 上的分段埃尔⽶特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下:

试求三次样条插值并满⾜条件 i)(0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)

(0.25)(0.53)0.S S "="=

25. 若

[]2

(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)

[][][][]2

2

2

()()()()2()()()b

b

b

b

a

a

a

a

f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx

"-"="-"+""-"

;

ii) 若()()(0,1,

,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则

[][][]

()()()()()()()()()b

a

S x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'?

.

26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可⽤式的

表达式).

第三章 函数逼近与计算

1. (a)利⽤区间变换推出区间为[

],a b 的伯恩斯坦多项式.

(b)对()sin f x x =在[

]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的

马克劳林级数部分和误差做⽐较. 2. 求证:

(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.

3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[

]0,2π的最佳⼀致逼近多项式.

4. 假设()f x 在[

],a b 上连续,求()f x 的零次最佳⼀致逼近多项式.

5. 选取常数a ,使301

max x x ax

≤≤-达到极⼩,⼜问这个解是否唯⼀

6. 求()sin f x x =在[

]0,/2π上的最佳⼀次逼近多项式,并估计误差.

7. 求()x

f x e =在[]0,1上的最佳⼀次逼近多项式.