新人教A版必修1高中数学3.1.1方程的根与函数的零点教案

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“方程的根与函数的零点〞

【教学目标】

一、知识与技能

1、通过探索一元二次方程的实根与二次函数图象之间的关系，让学生领会方程的根与

函数零点之间的联系，了解零点的概念 .

2、以具体函数在某区间上存在零点的特点，探索在某区间上图象连续的函数存在零点

条件以及个数，理解并掌握在某个区间上图象连续的函数零点存在的判定方法 .

二、过程与方法

、采用“设问——探索——归纳——定论〞层层递进的方式来突破本课的重难点。由

二次函数的图象与 x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口， 探究方程的根与函

数的零点的关系，以探究的方法发现函数零点存在的条件。

、在课堂探究中渗透由特殊到一般的认识规律，渗透数形结合思想及转化思想以及函

数与方程的思想，培养学生观察、分析、归纳、抽象和概括能力 .

三、情感、态度、价值观

努力营造平等、 民主的课堂气氛，以学生为主体，营造学习气氛， 使学生产生热爱学习

数学的积极心理，引导学生进行积极主动的学习， 培养良好的数学学习情感 . 在函数与方程

的联系中体验数形结合思想， 培养学生的辨证思维能力， 以及分析问题解决问题的能力． 从

易到难，使学生体会到学习数学的成功感，体验规律发现的快乐．

【教学重点】 1、体会函数的零点与方程根之间的联系； 2、掌握函数零点存在的判定方法 . 【教学难点】 函数零点存在的判定方法及其运用 . 【教学方式与手段】 电脑，多媒体，黑板． 【教学过程设计】 〔一〕设问激疑，引出新知

方程解法史话 ：在人类用智慧架设的无数座从未知通向的金桥中， 方程的求解是其中璀 璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法， 但这一切却经历了相当

1 新人教A版必修1高中数学3.1.1方程的根与函数的零点教案 2 / 92 百度文库 -让每个人平等地提升自我 漫长的岁月.对于方程的求解问题，古今中外的数学家已经作了大量的工作，取得辉煌的成 果，比方花拉子米公元 825年左右编辑著成了?代数学? ，比拟完整地讨论了一次、二次方 程的一般原理；我国南宋数学家秦九绍在?数书九章?中提出了“正负开方术〞 ，此法可以 求出任意次代数方程的正根； 1824年，挪威数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程 没有根式解。随着计算机技术的开展，方程的数值解法得到了广泛的运用， 如二分法，牛顿 法、弦截法等，今天我们将沿着前人走过的足迹一起探索对于一般方程的求解方法 . 【设计意图： 了解数学史，激发学生学习兴趣。 】 问题1 求以下方程的根． 1〕3x20； 〔2〕x2 5x 6 0；

〔3〕lnx 2x 6 0. 问题2观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标。

方 程 x2 2x 30 x2 2x10 x2 2x30

函 数 yx2 2x3 yx2 2x1 yx2 2x3

函 数

图 象

〔简图〕

方程的实数根

函数的图象与轴的交

点

提出疑问：方程的根与函数图象与 x轴交点的横坐标之间有什么关系？

结论：方程的根就是函数图象与 x轴交点的横坐标。

问题3 假设将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程

ax2 bx c0(a 0) 及相应的二次函数 y ax2 bx c(a 0)的图象

与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？

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ax2 bxc0 函数的图象 图象与x轴

(a 0) 方程的根

〔简图〕 的交点

0 0 0

【设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系 .为引出函

数零点的概念做准备。】

〔二〕总结归纳，形成概念

1、函数的零点：

对于函数y=f〔x〕，我们把使方程 f〔x〕=0的实数x叫做函数y=f〔x〕的零点。

辨析练习：函数yx2 2x3的零点是：〔 〕

A．〔-1，0〕，〔3，0〕； B．x=-1 ； C．x=3； D．-1和3．

问：零点是一个点吗？

说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．

②求函数零点就是求方程 f(x)＝0 的根．

【设计意图：及时矫正“零点是交点〞这一误解． 】

2、你能说说方程的根、函数图象与 x轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？

等价关系：方程f〔x〕=0有实数根

函数y=f〔x〕的图象与 x轴有交点 函数y=f〔x〕有零点

【设计意图：引导学生给出函数零点的定义，并引导学生仔细体会这段文字，感悟其中的思想方法；通过引导，学生自己归纳出三者之间的关系，并且明确提出转化思想。】3、归纳函数的零点与方程根的关系

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函数的零点与方程的根有什么联系和区别？ 联系：〔1〕数值上相等：求函数零点就是求方程的根 . 2〕存在性相同：函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 区别：零点对于函数而言，根对于方程而言． 【设计意图：进一步理解零点的概念， 灵活运用三者之间的关系。以上关系说明：函数与方 程有着密切的联系， 函数问题有时可转化为方程问题， 同样，有些方程问题可以转化为函数 问题来求解，这正是函数与方程思想的根底．】 〔三〕初步运用，例如练习

例1：求函数 f(x) lg(x 1)的零点。

求函数零点的步骤： (1) 令f(x)=0; (2) 解方程f(x)=0； (3) 写出零点 变式练习：求以下函数的零点。 (1) f(x) x2 5x 6； 〔2〕f(x) 2x 1 【设计意图： 让学生再次认识零点的概念 ,熟悉零点的求法〔即求相应方程的实数根〕 ．】 〔四〕实例探究 ,发现定理

重温?小马过河的故事? 问题4：观察以下三组画面，请你推断哪组画面一定能说明小马已经成功过河？ ① ②

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③

【设计意图：通过形象的生活问题，为引出函数零点存在性定理做准备 .】

y

问题5：函数y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数 y＝f(x) 一定有

零点？

a c

观察下面函数y f(x)的图象

Ob dx

1、在区间[a,b]

2、在区间[b,c]

3、在区间[c,d]

上______(有/无)零点；f(a)·f(b)_____0〔＜或＞〕．

上______(有/无)零点； f(b)·f(c)_____0〔＜或＞〕．

上______(有/无)零点； f(c)·f(d)_____0〔＜或＞〕．

函数零点存在性定理：

如果函数y f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有f(a) f(b) 0，

那么，函数y f(x)在区间〔a,b〕内有零点，即存在c (a,b)，使得f(c) 0.这个c也

就是方程 f(x) 0的根。 【设计意图：先从一个已研究过的、简单的函数入手，引导学生结合函数图象，通过计算、 观察、比拟得出函数在区间端点处函数值乘积的情况与函数在该区间内是否存在零点之间有 什么关系。总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析。】 定理辨析与灵活运用： 练习：判断正误，假设不正确，请使用函数图象举出反例。

〔1〕函数y f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a) f(b) 0，那么f(x) 在区间〔a,b〕

内有且仅有一个零点. 〔 〕

〔2〕函数y f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a) f(b) 0，那么f(x) 在区间〔a,b〕

内没有零点. 〔 〕

〔3〕函数 y f(x)在区间[a,b]上连续，且在区间〔 a,b〕内存在零点，那么有

f(a)f(b) 0。 〔 〕

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〔4〕函数 y f(x)在区间[a,b]满足f(a) f(b) 0，那么f(x)在区间〔a,b〕内存

在零点. 〔 〕 函数零点存在定理的四个注意点： 〔1〕函数是连续的。 〔2〕定理不可逆。 〔3〕至少存在一个零点，不排除更多。 〔4〕在零点存在性定理的条件下，如果函数具有单调性，函数 y=f(x) 在区间(a,b) 上存 在唯一零点。 【设计意图：通过对定理中条件的改变， 将几种容易产生的误解正面给出， 在第一时间加以 纠正，从而促进对定理本身的准确理解。】 〔五〕观察感知，例题学习

例2〔教材第 88页〕求函数 f(x) lnx 2x 6的零点个数。

1〕你可以想到什么方法来判断函数零点个数？ 2〕判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

解法1〔借助计算工具〕：用计算器或计算机作出 x、f(x)的对应值表和图象．

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(

x) 由表或图象可知， f(2)<0，f (3)>0,那么f (2) f (3)<0，这说明函数 f(x)在区间(2，3)内

有零点．

又由于函数 f(x)在(0，+∞)内单调递增，所以它仅有一个零点．

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