高二数学导数及其应用综合检测综合测试题
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第一章 导数及其应用综合检测
时间120分钟;满分150分..
一、选择题本大题共12个小题;每小题5分;共60分．在每小题给出的四个选项中;只有一项是符合题目要求的
1．2010·全国Ⅱ文;7若曲线y＝x2＋ax＋b在点0;b处的切线方程是x－y＋1＝0;则
A．a＝1;b＝1 B．a＝－1;b＝1
C．a＝1;b＝－1 D．a＝－1;b＝－1
答案 A 解析 y′＝2x＋a;∴y′|x＝0＝2x＋a|x＝0＝a＝1; 将0;b代入切线方程得b＝1.
2．一物体的运动方程为s＝2tsint＋t;则它的速度方程为
A．v＝2sint＋2tcost＋1 B．v＝2sint＋2tcost
C．v＝2sint D．v＝2sint＋2cost＋1
答案 A
解析 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝st在t0的导数;S′＝2sint＋2tcost＋1;故选A. 3．曲线y＝x2＋3x在点A2;10处的切线的斜率是
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 D 解析 由导数的几何意义知;曲线y＝x2＋3x在点A2;10处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x＝2时的导数;y′|x＝2＝7;故选D.
4．函数y＝x|xx－3|＋1
A．极大值为f2＝5;极小值为f0＝1
B．极大值为f2＝5;极小值为f3＝1
C．极大值为f2＝5;极小值为f0＝f3＝1
D．极大值为f2＝5;极小值为f3＝1;f－1＝－3
答案 B
解析 y＝x|xx－3|＋1
＝错误!
∴y′＝错误!
x变化时;f′x;fx变化情况如下表：
x －∞;0 0 0;2 2 2;3 3 3;＋∞
f′x ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋
fx 无极值 极大值5 极小值1 ∴fx极大＝f2＝5;fx极小＝f3＝1 故应选B.
5．2009·安徽理;9已知函数fx在R上满足fx＝2f2－x－x2＋8x－8;则曲线y＝fx在点1;f1处的切线方程是
A．y＝2x－1 B．y＝x C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3
答案 A 解析 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式．
∵fx＝2f2－x－x2＋8x－8;
∴f2－x＝2fx－x2－4x＋4;
∴fx＝x2;∴f′x＝2x;
∴曲线y＝fx在点1;f1处的切线斜率为2;切线方程为y－1＝2x－1;∴y＝2x－1.
6．函数fx＝x3＋ax2＋3x－9;已知fx在x＝－3时取得极值;则a等于
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D 解析 f′x＝3x2＋2ax＋3;
∵fx在x＝－3时取得极值;
∴x＝－3是方程3x2＋2ax＋3＝0的根; ∴a＝5;故选D.
7．设fx;gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时;f′xgx＋fxg′x>0;且g－3＝0;则不等式fxgx<0的解集是
A．－3;0∪3;＋∞ B．－3;0∪0;3
C．－∞;－3∪3;＋∞ D．－∞;－3∪0;3
答案 D
解析 令Fx＝fx·gx;易知Fx为奇函数;又当x<0时;f′xgx＋fxg′x>0;即F′x>0;知Fx在－∞;0内单调递增;又Fx为奇函数;所以Fx在0;＋∞内也单调递增;且由奇函数知f0＝0;∴F0＝0.
又由g－3＝0;知g3＝0 ∴F－3＝0;进而F3＝0
于是Fx＝fxgx的大致图象如图所示
∴Fx＝fx·gx<0的解集为－∞;－3∪0;3;故应选D.
8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象;其中一定不正确的序号是
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
答案 B 解析 ③不正确；导函数过原点;但三次函数在x＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增;而导函数先负后正再负．故应选B.
9．2010·湖南理;5错误!错误!dx等于
A．－2ln2 B．2ln2 C．－ln2 D．ln2
答案 D 解析 因为lnx′＝错误!;
所以 错误!错误!dx＝lnx|错误!＝ln4－ln2＝ln2.
10．已知三次函数fx＝错误!x3－4m－1x2＋15m2－2m－7x＋2在x∈－∞;＋∞是增函数;则m的取值范围是
A．m<2或m>4 B．－4
答案 D 解析 f′x＝x2－24m－1x＋15m2－2m－7;由题意得x2－24m－1x＋15m2－2m－7≥0恒成立;∴Δ＝44m－12－415m2－2m－7
＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28
＝4m2－6m＋8≤0;
∴2≤m≤4;故选D.
11．已知fx＝x3＋bx2＋cx＋d在区间－1;2上是减函数;那么b＋c
A．有最大值错误! B．有最大值－错误!
C．有最小值错误! D．有最小值－错误!
答案 B
解析 由题意f′x＝3x2＋2bx＋c在－1;2上;f′x≤0恒成立．
所以错误!
即错误!
令b＋c＝z;b＝－c＋z;如图
过A错误!得z最大;
最大值为b＋c＝－6－错误!＝－错误!.故应选B. 12．设fx、gx是定义域为R的恒大于0的可导函数;且f′xgx－fxg′x<0;则当a
A．fxgx>fbgb B．fxga>fagx
C．fxgb>fbgx D．fxgx>fagx
答案 C
解析 令Fx＝错误!
则F′x＝错误!<0
fx、gx是定义域为R恒大于零的实数
∴Fx在R上为递减函数;
当x∈a;b时;错误!>错误!
∴fxgb>fbgx．故应选C.
二、填空题本大题共4个小题;每小题4分;共16分．将正确答案填在题中横线上
13.错误!错误!＝________.
答案 错误! 解析 取Fx＝－错误!;
从而F′x＝错误! 则错误!错误!＝F－1－F－2＝－错误!＋错误!＝错误!－错误!＝错误!.
14．若函数fx＝错误!的单调增区间为0;＋∞;则实数a的取值范围是________． 答案 a≥0
解析 f′x＝错误!′＝a＋错误!;
由题意得;a＋错误!≥0;对x∈0;＋∞恒成立;
∴a≥－错误!;x∈0;＋∞恒成立;∴a≥0.
15．2009·陕西理;16设曲线y＝xn＋1n∈N*在点1;1处的切线与x轴的交点的横坐标为xn;令an＝lgxn;则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
答案 －2
解析 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．
k＝y′|x＝1＝n＋1;∴切线l：y－1＝n＋1x－1;
令y＝0;x＝错误!;∴an＝lg错误!;
∴原式＝lg错误!＋lg错误!＋…＋lg错误!
＝lg错误!×错误!×…×错误!＝lg错误!＝－2.
16．如图阴影部分是由曲线y＝错误!;y2＝x与直线x＝2;y＝0围成;则其面积为________．
答案 错误!＋ln2
解析 由错误!;得交点A1;1
由错误!得交点B错误!.
故所求面积S＝错误!错误!dx＋错误!错误!dx
＝错误!x错误!错误!＋lnx错误!＝错误!＋ln2.
三、解答题本大题共6个小题;共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．本题满分12分2010·江西理;19设函数fx＝lnx＋ln2－x＋axa>0．
1当a＝1时;求fx的单调区间；
2若fx在0;1上 的最大值为错误!;求a的值．
解析 函数fx的定义域为0;2; f ′x＝错误!－错误!＋a;
1当a＝1时;f ′x＝错误!;所以fx的单调递增区间为0;错误!;单调递减区间为错误!;2；
2当x∈0;1时;f ′x＝错误!＋a>0;
即fx在0;1上单调递增;故fx在0;1上的最大值为f1＝a;因此a＝错误!.
18．本题满分12分求曲线y＝2x－x2;y＝2x2－4x所围成图形的面积．
解析 由错误!得x1＝0;x2＝2.
由图可知;所求图形的面积为S＝错误!2x－x2dx＋|错误!2x2－4xdx|＝错误!2x－x2dx－错误!2x2－4xdx.
因为错误!′＝2x－x2;
错误!′＝2x2－4x;
所以S＝错误!错误!－错误!错误!＝4. 19．本题满分12分设函数fx＝x3－3ax＋ba≠0．
1若曲线y＝fx在点2;f2处与直线y＝8相切;求a;b的值；
2求函数fx的单调区间与极值点．
分析 考查利用导数研究函数的单调性;极值点的性质;以及分类讨论思想．
解析 1f′x＝3x2－3a.
因为曲线y＝fx在点2;f2处与直线y＝8相切;
所以错误!即错误!
解得a＝4;b＝24.
2f′x＝3x2－aa≠0．
当a<0时;f′x>0;函数fx在－∞;＋∞上单调递增;此时函数fx没有极值点．
当a>0时;由f′x＝0得x＝±错误!.
当x∈－∞;－错误!时;f′x>0;函数fx单调递增；
当x∈－错误!;错误!时;f′x<0;函数fx单调递减；
当x∈错误!;＋∞时;f′x>0;函数fx单调递增．
此时x＝－错误!是fx的极大值点;x＝错误!是fx的极小值点．
20．本题满分12分已知函数fx＝错误!x2＋lnx.
1求函数fx的单调区间；
2求证：当x>1时;错误!x2＋lnx
解析 1依题意知函数的定义域为{x|x>0};
∵f′x＝x＋错误!;故f′x>0;
∴fx的单调增区间为0;＋∞．
2设gx＝错误!x3－错误!x2－lnx;
∴g′x＝2x2－x－错误!;
∵当x>1时;g′x＝错误!>0;
∴gx在1;＋∞上为增函数;∴gx>g1＝错误!>0;
∴当x>1时;错误!x2＋lnx
21．本题满分12分设函数fx＝x3－错误!x2＋6x－a.
1对于任意实数x; f′x≥m恒成立;求m的最大值；
2若方程fx＝0有且仅有一个实根;求a的取值范围．
分析 本题主要考查导数的应用及转化思想;以及求参数的范围问题．
解析 1f′x＝3x2－9x＋6＝3x－1x－2．
