平面及其基本性质

1 平面、平面的基本性质及应用

一、平面的基本性质回顾

平面的基本性质包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种方法：

（1）选不共线的三点

（2）选一条直线与直线外一点

（3）选两条相交直线

（4）选两条平行直线

二、证明共面的两种方法：

1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。

下面我们来分析两道例题：

例1．已知a//b, A∈a, B∈b, C∈b.

求证：a,b及直线AB，AC共面。

思路（1）：由a//b可确定平面α，再证ABα，ACα；

思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。因为α，β都经过不共线的三点A、B、C，所以α，β重合。

思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。

另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示：

写法（一）：

证明：

∵ a//b（已知）

∴ a,b确定一个平面α（推论3）

∵ A∈a, b∈b, c∈b（已知）

∴ A∈α，B∈α，C∈α，

∴ 直线ABα，直线ACα（公理1）

∴ a,b,AB,AC共面。

写法（二）：

证明：

∵ a//b（已知）

∵ a,b确定一个平面α（推论3）

∴ A∈α，B∈b, C∈b（已知）

∴ a经过A，B，C三点， 2 ∵ AB∩AC=A

∴ 直线AB，AC确定一个平面β（推论2）

∴ β经过A，B，C三点，

∵ A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知）

∴ A，B，C不共线，

资源信息表

标题: 14．1平面及其基本性质（1）

关键词: 平面，平面的表示法，平面的画法，点、线、面的位置关系的集合语言表示法.

描述: 教学目标

理解平面的概念，能画出平面和用字母表示平面，掌握用集合符号表示点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系；培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣.

教学重点与难点

平面的概念，点、线、面的位置关系的集合语言表示法.

学 科: 高三年级>数学第一册>14.1（1） 语 种: 汉语

媒体格式: 教学设计.doc

课件ppt 学习者: 学生

资源类型: 文本类、课件类素材 教育类型: 高中教育>高中三年级

作 者: 金霞 单 位: 上海市南洋中学

地 址: 中山南二路225号

Email: mailtojx@

14．1 （１）平面及其基本性质

——平面及其表示法

上海市南洋中学 金霞

一、教学内容分析

本节的重点是平面的概念、平面的画法，点、线、面的位置关系的集合语言表示法.集合语言是学生比较熟悉的内容，而点、线、面是学生刚刚接触不太熟悉的内容，用已知的知识来表示未知的内容，更有利于学生接受和掌握新知识，也让学生更清楚的明确点、线、面的关系.但要注意的是，这里仅是借用集合语言来表示点、线、面的关系，而并不完全等同于集合中的相应关系，如a∩α=A就是一个例子.

本节的难点是平面的概念、平面的画法.“平面”没有具体的定义，它的概念是现实中平面形象抽象的结果，所以，可以从学生之前学习的点、直线的概念入手，让学生理解平面的“平，没有厚度，在空间无限延伸”的特点.通过对平面概念的理解以及动手在纸上划出一个或几个平面的过程，初步认识平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，为以后解决空间一些基本直线和平面之间的位置关系打下基础.

二、教学目标设计

高中数学备课组 教师 班级 学生

日期 上课时间

学生情况：

主课题：平面及其基本性质

课时目标：

1理解并会应用平面的基本性质 会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图

2掌握证明关于“线共点”、“线共面”、“点共线”的方法

3会作几何体的截面图

教学内容

知识精要

1．平面的概念：

平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性

2．平面的画法及其表示方法：

①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45o，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画

②一般用一个小写的希腊字母、、……或一个大写英文字母来表示，如平面,平面或平面M,平面N,还可用平面上的三个（或三个以上）点的字母表示如平面ABCD等

3．空间图形是由点、线、面组成的

点、线、面的基本位置关系如下表所示：

图形 符号语言 文字语言（读法）

Aa Aa 点A在直线a上

Aa Aa 点A不在直线a上

A A 点A在平面内

A A 点A不在平面内

baA abAI 直线a、b交于A点

a aØ 直线a在平面内

a aI或a∥ 直线a与平面无公共点

aA aAI 直线a与平面交于点A

lI 平面、相交于直线l

∩或∥ 平面与平面平行

4平面的基本性质

公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内

推理模式：AABBØ． 如图示：

应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．

公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．

公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线

高中高三数学《平面及其基本性质》教案、教学设计

一、教学目标

（一）知识与技能

1. 理解平面的基本概念，掌握平面的表示方法，如点、直线、射线的表示。

2. 掌握平面几何的基本性质，如平面内的直线与直线、直线与平面的位置关系，平面内的角度、距离、面积等计算方法。

3. 学会运用平面几何知识解决实际问题，如建筑图纸、地理信息系统等。

（二）过程与方法

1. 采用问题驱动的教学方法，激发学生的学习兴趣和求知欲，引导学生主动探究平面几何的基本性质。

2. 组织课堂讨论，让学生在讨论中相互启发，共同解决问题，提高解决问题的能力。

3. 设计丰富的例题和练习，帮助学生巩固所学知识，形成系统的知识体系。

（三）情感态度与价值观

1. 激发学生对数学学科的兴趣，使他们认识到数学在现实生活中的重要性，增强学习数学的自信心。

2. 培养学生的空间想象力和逻辑思维能力，提高审美观念，感受数学之美。

3. 引导学生树立正确的价值观，认识到数学学习对个人发展和社会进步的促进作用，培养积极向上的学习态度。

二、学情分析

本章节面向的是高中三年级学生，他们在前两年的数学学习中，已经积累了较为扎实的几何基础知识，对点、线、面的概念有了初步的理解。在此基础上，学生对平面及其基本性质的学习具备了一定的基础。然而，由于平面几何涉及抽象思维和空间想象力，部分学生在理解上可能存在困难，需要教师耐心引导和个别辅导。

此外，高三学生在面临高考的压力下，对数学学科的学习态度可能存在两极分化，一部分学生对数学学习充满热情，另一部分学生可能产生恐惧心理。因此，在本章节的教学过程中，教师应关注学生的心理变化，适时调整教学策略，激发学生的学习兴趣，帮助他们克服困难，提高学习效果。同时，针对学生的个体差异，实施差异化教学，使每位学生都能在原有基础上得到提高。

三、教学重难点和教学设想

（一）教学重难点

1. 重点：平面几何基本性质的理解与应用，包括平面内的直线与直线、直线与平面的位置关系，以及相关计算方法。