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高中文科数学立体几何知识点(大题)

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γmβαllαβ高考立体几何中直线、平面之间的位置关系知识点总结（文科）

一．平行问题 （一） 线线平行：

方法一：常用初中方法（1中位线定理；2平行四边形定理；3三角形中对应边成比例；4同位角、内错角、同旁内角）

方法二：1线面平行线线平行

mlmll////

方法三：2面面平行线线平行

mlml////

方法四：3线面垂直 线线平行

若ml,，则ml//。

（二） 线面平行：

方法一：4线线平行线面平行

////llmml

方法二：5面面平行线面平行

////ll

（三） 面面平行：6方法一：线线平行面面平行

//',','//'//且相交且相交mlmlmmll

方法二：7线面平行面面平行

//,////Amlmlml，

方法三：8线面垂直面面平行

面面面面//ll mlαm'l'lαβmlmmβαl学习必备 欢迎下载

二．垂直问题：（一）线线垂直

方法一：常用初中的方法（1勾股定理的逆定理；2三线合一 ；3直径所对的圆周角为直角；4菱形的对角线互相垂直。）

方法二：9线面垂直线线垂直

mlml

（二）线面垂直：10方法一：线线垂直线面垂直

lABACAABACABlACl,

方法二：11面面垂直线面垂直

llmlm,

（面） 面面垂直：

方法一：12线面垂直面面垂直

ll

三、夹角问题：异面直线所成的角：

(一) 范围：]90,0(

(二)求法：方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。(计算结果可能是其补角)

线面角：直线PA与平面所成角为,如下图

求法：就是放到三角形中解三角形

四、距离问题：点到面的距离求法

1、直接求，2、等体积法（换顶点）

lβαmlβαmαl学习必备 欢迎下载

1、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．

2、设 ab，是两条不同的直线， ，是两个不同的平面，则（ ）

A．若a∥，b∥，则ab∥ B．若a∥，∥，则∥

C.若ab∥，a，则b D．若a∥，，则a

3、如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．

4、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．5 B．163 C．7 D．173

5、某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．73 B．83 C．83 D．73

6、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图是 学习必备

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7、某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为

A．223 B．43 C．2 D．4

8、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

（A）23 （B）43 （C）2 （D）83

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1、（2017新课标Ⅰ文数）（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC,90APD,且四棱锥P-ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积.

2、（2017新课标Ⅱ文）（12分）

如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,1,90.2ABBCADBADABC

（1）证明：直线BC∥平面PAD;

（2）若△PCD的面积为27，求四棱锥PABCD的体积.

3、（2017新课标Ⅲ文数）（12分）

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD． 学习必备 欢迎下载

（1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

4、（2017北京文）（本小题14分）

如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．

（Ⅰ）求证：PA⊥BD；

（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；

（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．

5、（2017山东文）（本小题满分12分）

由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD. 学习必备 欢迎下载

（Ⅰ）证明：1AO∥平面B1CD1;

（Ⅱ）设M是OD的中点,证明：平面A1EM平面B1CD1.

6、（2017江苏）（本小题满分14分）

如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC．

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高中数学《立体几何》大题及答案解析

高中数学《立体几何》大题及答案解析

高中数学《立体几何》大题及答案解析 ( 理)

1.（2009 全国卷Ⅰ）如图，四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD为矩形， SD 底面 ABCD ，

AD 2 ， DC SD 2，点 M 在侧棱 SC上， ∠ABM=60。

（I）证明： M 是侧棱 SC的中点；

求二面角 S AM B的大小。

2.（2009 全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱 ABC-A 1B1C1 中，AB ⊥AC,D 、E 分别为 AA 1、B1C 的中点，

DE⊥平面 BCC1（Ⅰ）证明： AB=AC （Ⅱ）设二面角 A-BD-C 为 60°,求 B1C 与平面 BCD 所成

的角的大小 A 1 C1

B1

D E

A

C

B

3.（2009 浙 江卷） 如图， DC 平 面 ABC ， EB/ /DC ， AC BC EB 2DC 2 ，

ACB 120 ， P,Q 分别为 AE, AB 的中点．（I）证明： PQ / / 平面 ACD ；（II ）求 AD 与平

面 ABE所成角的正弦值．4.（2009 北京卷）如图，四棱锥 P ABCD 的底面是正方形，

PD 底面ABCD ， 点 E 在 棱 PB 上 . （ Ⅰ ） 求 证： 平 面

AE C 平面 P D B；（Ⅱ） 当 PD 2AB 且 E 为 PB 的中点时，

求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小 .

5.（2009 江西卷）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是矩形， PA 平面 ABCD ，

PA AD 4， AB 2．以 BD的中点 O为球心、 BD为直径的球

P

面交 PD 于点 M ．

（1）求证：平面 ABM ⊥平面 PCD；

（2）求直线 PC 与平面 ABM 所成的角；

M

（3）求点 O到平面 ABM 的距离．

D A

O

B C

6（. 2009 四川卷） 如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF

所 在 平 面 互 相 垂 直 ， △ ABE 是 等 腰 直 角 三 角 形 ，

文科数学高考立体几何考点总结学习资料

文科数学高考立体几何考点总结学习资料

立体几何考点总结（文科）

一、线面位置关系的证明与判定

知识梳理：

【例1】四棱锥中,,,

分别为的中点

(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:

【例2】在四棱锥PABCD中ABPAD平面,//ABCD,PDAD,E

PB的中点，F是CD上的点，且1

2DFAB,PH为PAD中AD边上的高。

（1）证明：PHABCD平面；

（2）若121PHADFC，，，求三棱锥EBCF的体积；

（3）证明：EFPAB平面.

【例3】.[2010·安徽卷]如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，

EFFB，22ABEF，90BFC，BFFC，H为BC的中点。

(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB；

(Ⅱ)求证：AC平面EDB；

(Ⅲ)求四面体BDEF的体积

HFE

DC

BA【例4】[2011·安徽卷文]如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点

O在线段AD 上，1OA，2OD，OAB、OAC、

ODE、ODF都是正三角形.

（Ⅰ）证明直线//BCEF；

（Ⅱ）求棱锥FOBED的体积.

【例5】[2009·安徽卷文]如图，ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E

和F式l上的两个不同点，且EAED，FBFC, E和F是平面ABCD内的两点，EE和FF都与平面ABCD垂直，

(Ⅰ)证明：直线EF垂直且平分线段AD：

(Ⅱ)若60EADEAB,2EF,求多面体ABCDEF的体积。

A

B C D E F

第20题【例6】 [2014·安徽卷理] 如图1-5，四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边

形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点

为Q.

图1-5

(1)证明：Q为BB1的中点；

(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；

高中数学必修二第八章立体几何初步知识点题库(带答案)

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单选题

1、如图，在一个正方体中，E

，G

分别是棱𝐴𝐵，𝐶𝐶′

的中点，F

为棱𝐶𝐷靠近C

的四等分点.平面𝐸𝐹𝐺截正方体

后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是（ ）

A．B．C．D．

答案：D

分析：根据条件可得平面𝐸𝐹𝐺经过点𝐵′

，然后可得答案.

连接𝐸𝐵′

，

𝐺𝐵′

因为E

，G

分别是棱𝐴𝐵，𝐶𝐶′

的中点，F

为棱𝐶𝐷靠近C

的四等分点

所以𝐸𝐵′

//𝐹𝐺，所以平面𝐸𝐹𝐺经过点𝐵′

所以多面体𝐴′

𝐷′

𝐷𝐴−𝐸𝐹𝐺𝐶′

𝐵′

的正视图为

故选：D

2、“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取

型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心

模型，已知模型内层底面直径为12cm，外层底面直径为16cm，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为

20cm的球面上.此模型的体积为（ ）

A．304πcm3

B．840πcm3

C．912πcm3

D．984πcm3

答案：C

分析：求出内层圆柱，外层圆柱的高，该模型的体积等于外层圆柱的体积与上下面内层圆柱高出的几何体的

体积之和，计算可得解.

如图，该模型内层圆柱底面直径为12cm，且其底面圆周在一个直径为20cm的球面上，

可知内层圆柱的高ℎ

1=2√

(20

2)2

−(12

2)

2

=16

同理，该模型外层圆柱底面直径为16cm，且其底面圆周在一个直径为20cm的球面上，

可知外层圆柱的高ℎ

2=2√

(20

2)2

−(16

2)

2

=12

此模型的体积为𝑉=𝜋(16

2)2

×12+𝜋(12

2)2

×(

16−12)

=912π

故选：C

3、某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（ ）

A．13

2B．22

3C．15

2D．23

3

答案：C

高中数学立体几何大题(有答案)

高中数学立体几何大题(有答案)

©2010-2014 菁优网 1 1．（2014•山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．

（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；

（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．

解答： 证明：（Ⅰ）连接CE，则

∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点，

∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，

设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，

∵F为线段PC的中点，

∴PA∥OF，

∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，

∴AP∥平面BEF；

（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，

∴BE∥CD，

∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AP⊥CD，

∴BE⊥AP，

∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，

∴四边形ABCE是菱形，

∴BE⊥AC，

∵AP∩AC=A，

∴BE⊥平面PAC．

3．（2014•湖北）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2． ©2010-2014 菁优网 2 （Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；

（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD；

（Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点，，试确定λ的值，使得二面角Q﹣BD﹣P为45°．

解答： 解：（Ⅰ）取PD的中点F，连接EF，AF，

∵E为PC中点，∴EF∥CD，且，

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，

∴EF∥AB，EF=AB，∴四边形ABEF为平行四边形，

∴BE∥AF，∵BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，

∴BE∥平面PAD．（4分）

（Ⅱ）∵平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥AD．（5分）

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz．

则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）．（6分）