《随机信号分析基础》第2章 课件_随机信号时域分析
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第二章 随机信号的时域分析
在实际通信和信息系统中，将承载信息的、随时间、空间或其他几个参量变化的物理量
（如声、光、电）抽象为信号，用确定时间函数来表示—确定信号。信号与系统等课程分析的
就是确定信号。
而实际通信信号显然是不确定的，具有随机性，是随机信号。但正如前章所述，随机并
不意味着无规律，随机信号与随机变量一样，其特性服从某种统计规律，这就是本课程的研究
目的。
研究思路：统计规律Þ
用统计方法处理，将时间t
作为常量。因此完全可以借鉴随机变
量的处理方法，但需要考虑随机信号的时间函数特性！
2.1 随机信号的基本概念与统计特性
2.1.1随机信号的基本概念
1、引例
当对接收机的噪声电压作“单次”观察时，可以得到波形
1()xt
，也可能得到波形
2()xt
，
3()xt
等等，每次观测的波形的具体形状，虽然事先不知道，但肯定为所有可能的波形中的一个。而
这些所有可能的波形集合
1()xt
，
2()xt
，
3()xt
，…，()
mxt
，…..，就构成了随机过程()Xt
。
如图2.1.1所示。
tX(t,ξ
1)
0
tX(t,ξ
2)
0t
0
t
0X(t
0,ξ
2)X(t
0,ξ
1)
t
0
X(t
0,ξ
5)
X(t
0,ξ
4)X(t
0,ξ
3)
X(t
0,ξ
6,7)
在确定的t
0时，是一随
机变量X(t
0,ξ)ξ=ξ
1 的样本时间函数（波形）
图2.1.1 噪声电压的起伏波形
说明：①样本函数：每次试验的结果：
1()xt
，
2()xt
，
3()xt
，…，()
nxt
，都是时间的函数，
称为样本函数。 2－ 2 / 13
②随机性：一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本函数带有随机性。随
机性使得每一次观测到不同的电压波形
12(),(),xtxt×××
。因此，噪声电压为无限多可能
波形中的一种，噪声电压信号为一族随机的时间波形函数。
2、定义
令随机试验的概率空间为{}
,,FPW
，若对于样本空间W
中的任何一个样本点
ixÎW
，总有一个确知函数(,)
iixXtx=
，tTÎ
与之对应，这样对于所有的xÎW
，就可得
到一族关于t
的函数(,)Xtx
，称为随机信号。
族中的每一个函数称为该随机过程的样本函数。随机信号(,)Xtx
常简记为()Xt
，对应的
样本函数简记为()xt
。
【随机信号/过程的理解】
①关于随机信号概念的理解（如图2.1.1）
横向（延坐标轴t
）看： 一个样本（时间）函数；
纵向（延实验样本x
）看：某一时刻
0t
下的随机样本
ixÎW
因此：
随机信号――所有样本函数的集合
随机过程――随时间变化的随机变量---- 前一章对随机变量的统计分析方法可直接应
用于随机变量。
②关于随机信号概念的含义
根据以上讨论可列出(,)Xtx
在四种不同情况下的含义：
（1）,tx
均为变量Þ
一个时间函数族=随机信号
（2）t
变量，x
固定Þ
一个确知的时间函数=一个样本函数
（3）t
固定，x
变量Þ一个随机变量＝状态（State）
（4）t
固定，x
固定Þ
一个确定的数值
③一般随机变量写成:,,XYZ
。一般随机信号写成:(),(),()XtYtZt
。
2.1.2 随机过程（信号）的分布 分布描述：类似于随机变量，用概率分布函数（CDF）与概率密度函数（PDF）来描述。
（1）一维分布：
一维随机分布函数
(;)(())
XFxtPXtx=£
它是时间t
和取值x
的二元函数。
一维概率密度函数
(;)
(;)X
XFxt
fxt
x¶
=
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随机过程的一维统计特性具有普通随机变量的各种性质，区别在它们同时还是时间t的函
数。“一维”只描述出随机过程在各个孤立时刻（任一时刻）的统计特性，没有反映各时刻之
间的内在联系Þ
用“n维”更为全面。
（2）二维分布
二维概率分布函数：
1()Xt
与
2()Xt
，
1212X121122(,;,)(,)[(),()]
XFxxttFxxPXtxXtx==££
二维概率密度函数：
2
1212X121212
12(,;,)(,)(,;,)
XXfxxttfxxFxxtt
xx¶
==
¶¶
（3）n维分布
n维概率分布函数
{}
1212112222(,,,,)(),(),()
XnnFxxxtttPXtxXtxXtx××××××=££×××£；
若n阶偏导数存在，可有n维概率密度函数
1212
1212
12(,,,,)
(,,,,)Xnn
Xnn
nFxxxttt
fxxxttt
xxx¶××××××
××××××=
¶¶××׶；
；
显然，nÞ
反映“内在联系”愈充分，也就越为完整地描述随机过程的全部统计特性。
2.1.3 随机过程的数字特征
由于随机过程是随时间变化的随机变量，其统计特性也随相应时间呈现出规律性。
1. 一维数字特征
（1） 数学期望()
Xmt
{}
()()(;)
XXmtEXtxfxtdx¥
-¥º=ò
图2.1.4.1 随机信号的数学期望
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【含义】
① ()
Xmt
是随机过程()Xt
的所有样本函数在各个时刻摆动的中心，是()Xt
在各个时刻的概
率分布的“中心位置”
② 若()Xt
是接收机输出端的电压（或电流），则()
Xmt
是此电压（或电流）的瞬时统计平
均值——直流成分
（2）均方{}
2()EXt
与方差2()tt
22{()}()(;)
XEXtxtfxtdx¥
-¥=ò
{}
{}
{}2
2
22
22()()()()
()()2()()
()()XX
XX
XDXttEXtmt
EXtmtXtmt
EXtmttéùéù
==-
ëûëû
=--
=-
【含义】
① 2()tt
----随机信号在t时刻取值相对于中心（均值）的偏离程度。()tt
称为标准差。
② 若()Xt
为归一化阻抗下的电压或电流，则{}
2()EXt
表示时刻t
上的瞬时总功率的统计平
均, 2()tt
为瞬时交流功率的统计平均。
2.二维数字特征
一个随机信号()Xt
的任两个时刻(
1t
与
2t
)的随机变量
12(),()XtXt
，或者两个随机信号任
两个时刻(
1t
与
2t
)的随机变量
12(),()XtYt
，
12()~()XtXt
或者
12()~()XtYt
取值变化之间的
关联或依赖程度用“相关”衡量：自相关函数或互相关。这种统计相关也可看成是一个随机变
量依赖于另一个随机变量的程度。
------处理方法：将相同随机信号不同时间t
，不同随机信号不同/相同t
的随机变量都
看作不同的随机变量来处理，不相关，正交和统计独立的概念与随机变量相应概念一致。
（1） 自相关函数
1,2()
XRtt
{}
1,21212121,212()()()(,;)
XXRttEXtXtxxfxxttdxdx¥¥
-¥-¥==òò
1,2()
XRtt
表示：
12()()XtXt、
取值变化之间的关联或依赖程度。其中
121,2(,;)
Xfxxtt
为二维概
率密度函数。
1t
和
2t
为任意两时刻。
若
12ttt==
：2(,)[()()][()]
XRttEXtXtEXt==
（2） 自协方差函数
