2024届北京东城区高三一模数学试题及答案
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第1页/共11页 2024北京东城高三一模
数 学
2024.4
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试
结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）如图所示，U是全集，AB，是U的子集，则阴影部分所表示的集合是
（A）AB（B）AB
（C）UAB（）
（D）UAB（）
（2）已知,abR，0ab，且ab，则
（A
）11
ab
（B）2abb （C） 33ab （D
）lglgab
（3）已知双曲线221xmy−=的离心率为2，则m=
（A）3 （B）1
3（C）3− （D）1
3−
（4）设函数()1
1
lnfx
x=+
，有
（A）()1
2fxf
x+=
（B）()1
2fxf
x−=
（C）()1
2fxf
x=
（D）()1
2fxf
x=
（5）已知函数()sincosfxtxx=+(0,0)t的最小正周期为π，最大值为2，则函数()fx的图象
（A）关于直线π
4x=−
对称 （B）关于点π
(,0)
4−
对称
（C）关于直线π
8x=
对称 （D）关于点π
(,0)
8对称
（6）已知4432
43210()axaxaxaxxma++++=+，若0234181aaaaa++++=，则m的取值可以为
（A）2（B）1（C）1−（D）2−
（7）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的
方法. 某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底
面外圆的直径为20cm，高20cm . 首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm
的粘土，然后，
第2页/共11页 沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同
学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数
据：π3.14）
（A）38.0m
（B）34.1m
（C）38.1m
（D）32.2m
（8）设等差数列{}na的公差为d，则“10ad”是“{}na
n为递增数列”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（9）如图1，正三角形ABD与以BD为直径的半圆拼在一起，C是BD的中点，O为ABD的中心. 现将
ABD沿BD翻折为1ABD，记1ABD的中心为1O，如图2. 设直线1CO与平面BCD的夹角为，则
sin的最大值为
图1 图2
（A）1
3 （B）1
2（C
）3
3（D
）6
3
（10）已知()fx是定义在R上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数()()
()()
afxfa
gxa
xa−
=
−R
，
下列说法正确的是
（A）若()fx在R上单调递增，则存在实数a，使得()
agx在()a+，上单调递增
（B）对于任意实数a，若()
agx在()a+，上单调递增，则()fx在R上单调递增
（C）对于任意实数a，若存在实数10M，使得1()fxM，则存在实数20M，使得2()
agxM
（D）若函数()
agx满足：当()xa+，时，()0
agx，当()xa−，时，()0
agx，则()fa为()fx的最
小值
第3页/共11页 第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）若复数1i
iz+
=
，则z=___________.
（12）设向量(1)(34),m,,==−ab
，且abab=
，则=m___________.
（13）已知角,
的终边关于直线yx=
对称，且1
sin
2−=（）
，则,
的一组取值可以是= ，
= .
（14）已知抛物线2
1:4Cyx=的焦点为1F，则1F的坐标为______；抛物线2
2:8Cyx=的焦点为2F，若直
线0ymm（）=分别与1C，2C交于P，Q两点，
且121PFQF−=
，则PQ=_____.
（15）已知数列{}na的各项均为正数，满足2
1nnnacaa+=+，其中常数cR.给出下列四个判断：
①若11a=，0c，则1
2
1nan
n
+（）
；
②若1c=−，则1
2
1nan
n
+（）
；
③若1c=，2nann（），则11a；
④11a=，存在实数c，使得2nann（）.
其中所有正确判断的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(16)（本小题13分）
在ABC中，23
coscoscos
3aCcAbB+=
.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若12a=，D为BC边的中点，且3AD=，求b的值.
(17)（本小题13分）
某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读
速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分
布直方图：
第4页/共11页 （Ⅰ）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；
（Ⅱ）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的
人数为X,求X的分布列与数学期望(X)E;
（Ⅲ）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506, 516, 553, 592, 617, 632, 667, 693, 723, 776,
从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y, 试判断数
学期望(Y)E与(Ⅱ)中的(X)E的大小.(结论不要求证明)
(18)（本小题14分）
如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，4AB=，1EF=.
（Ⅰ）求证：AB∥EF；
（Ⅱ）若H为CD的中点，M为BH的中点，EMBH⊥，23EM=，再从条件①、条件②这两个条件中
选择一个作为已知，求直线CF与平面ADE所成角的正弦值．
条件①：EDEA=；
条件②：5AE=.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
.
第5页/共11页 （19）（本小题15分）
已知函数()ln(1)fxxx=−.
（Ⅰ）求曲线()yfx=在2x=处的切线方程；
（Ⅱ）设()'()gxfx=，求函数()gx的最小值；
（III
）若()
2fx
xa
−，求实数a的值.
（20）（本小题15分） 已知椭圆()22
2210:xy
Cab
ab+=的短轴长为23
，离心率2
2e=
.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设O为坐标原点，直线l是圆221xy+=的一条切线，且直线l与椭圆C交于M,N两点，若平行四边
形OMPN的顶点P恰好在椭圆C上，求平行四边形OMPN的面积.
（21）（本小题15分）
有穷数列12(2)
naaan，，，中，令
1()(1)
ppqSpqaaapqnpq
+=+++N，，，
，
当pq=时规定()
pSpqa=，
.
（Ⅰ）已知数列3213−−，，，，写出所有的有序数对()pq，，且pq，使得()0Spq，；
（Ⅱ）已知整数列12naaa，，，,n为偶数. 若(1)Sini−+，(12)
2n
i=，，，
满足：当i为奇数时，
(1)0Sini−+，；当i为偶数时，(1)0Sini−+，. 求12
naaa+++的最小值；
（Ⅲ）已知
数列12naaa，，，满足(1)0Sn，，定义集合{(1)0121}AiSinin=+=−，，，，，.若
12{}()
kAiiik=N，，，且为非空集合，求证：12(1)
kiiiSnaaa+++，
.
第6页/共11页 参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）D （2）C （3）B （4） A （5）C
（6）A （7）B （8）A （9） C （10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）2 （12）4
3− （13）ππ
36==， (答案不唯一)
（14）(1,0)，2 （15）②③④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：
（Ⅰ）因为23
coscoscos
3aCcAbB+=， 根据正弦定理得23
sincossincossincos
3ACCABB+=.
所以()23
sinsincos
3ACBB+=.
因为ABC++=，所以()sinsinBAC=+， 从而得23
sinsincos
3BBB=.
又因为()0,B，所以sin0B， 所以3
cos
2B=，可得
6B
=. ........................................5分
（Ⅱ）在ABD中，3AD=，1
6
2BDBC==，
6B
=. 由正弦定理得63
πsinsin
6BAD=
，
所以sin1BAD=，π
2BAD=. 所以2π
3ADCBADB=+=.
在ADC中，由余弦定理得
22222
oπ
3csACADDCADDC=+−2236236co2π
63
3s+−==. 所以37bAC==. ............................13分
（17）（共13分）
