灰⾊预测模型及MATLAB实例
下⾯将主要从三⽅⾯进⾏⼤致讲解，灰⾊预测概念及原理、灰⾊预测的分类及求解步骤、灰⾊预测的实例讲解。
⼀、灰⾊预测概念及原理：
1.概述：
关于所谓的“颜⾊”预测或者检测等，⼤致分为三⾊：⿊、⽩、灰，在此以预测为例阐述。
其中，⽩⾊预测是指系统的内部特征完全已知，系统信息完全充分；⿊⾊预测指系统的内部特征⼀⽆所知，只能通过观测其与外界的联系来
进⾏研究；灰⾊预测则是介于⿊、⽩两者之间的⼀种预测，⼀部分已知，⼀部分未知，系统因素间有不确定的关系。细致度⽐较：⽩>⿊>
灰。
2.原理：
灰⾊预测是通过计算各因素之间的关联度，鉴别系统各因素之间发展趋势的相异程度。其核⼼体系是灰⾊模型（Grey Model，GM），即对
原始数据做累加⽣成（或者累减、均值等⽅法）⽣成近似的指数规律在进⾏建模的⽅法。
⼆、灰⾊预测的分类及求解步骤：
1.GM（1,1）与GM（2,1）、DGM、Verhulst模型的分类⽐较：
预测模型适⽤场景涉及的序列
GM（1,1）模型⼀阶微分⽅程，只含
有1个变量的灰⾊模
型。适⽤于有较强指
数规律的序列。累加序列
均值序列
GM（2,1）模型适⽤于预测预测具有
饱和的S形序列或者
单调的摆动发展序列
缺陷。累加序列
累减序列
均值序列
DGM模型累加序列
累减序列
Verhulst模型累加序列
均值序列
2.求解步骤思维导图：
其中预测过程可能会涉及以下三种序列、⽩化微分⽅程、以及⼀系列检验，由于⼤致都相同，仅仅是某些使⽤累加和累减，⽽另外⼀些则使
⽤累加、累减和均值三个序列的差别⽽已。于是下⾯笔者将对其进⾏归纳总结再进⾏绘制思维导图，帮助读者理解。
（1）原始序列（参考数据列）：
（2）1次累加序列（1-AGO）：
（3）1次累减序列（1-IAGO）：（也就是原始序列中，后⼀项依次减去前⼀项的值，例如，[x(2)-x(1),x(3-
x(2),...,x(n)-x(n-1))]。）
（4）均值⽣成序列：（这是对累加序列"（前⼀项+后⼀项）/2"得出的结果。）
２０１７年第７期 （第４５卷） 黑龙江水利科技 Ｈｅｉｌｏｎｇｊｉａｎｇ Ｈｙｄｒａｕｌｉｃ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｎｏ．７．２０１７ （Ｔｏｔａｌ Ｎｏ．４５）
文章编号：１００７—７５９６（２０１７）０７—００１６一Ｏ３
灰色预测系统ＧＭ（１，１）模型及其Ｍａｔｌａｂ实现
殷鹏远
（辽宁省锦州水文局，辽宁锦州１２１０００）
摘要：灰色模型有严格的理论基础，最大的优点是实用，用灰色模型预测的结果比较稳定，不
仅适用于大数据量的预测。目前，灰色模型ＧＭ（１，１）已广泛应用于工程技术、社会、经济、农
业、生态、环境等各种系统的预测中。文章根据所建立的ＧＭ（１，１）模型以及模型分析，来预测
未来安阳市旱灾发生年份，以期积极主动地采取措施进行防旱抗旱工作提供科学依据。
关键词：灰色系统；ＧＭ（１，１）模型；Ｍａｔｌａｂ；灾变预测
中图分类号：Ｓ１６２．３ 文献标识码：Ｂ
ＧＭ（１，１）Ｍｏｄｅｌ ａｎｄ Ｍａｔｌａｂ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｇｒａｙ Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ Ｓｙｓｔｅｍ
ＹＩＮ Ｐｅｎｇ—ｙｕａｎ
（Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｐｒｏｖｉｎｃｉａｌ Ｊｉｎｚｈｏｕ Ｈｙｄｒｏｌｏｇｉｃａｌ Ｂｕｒｅａｕ，Ｊｉｎｚｈｏｕ １２１０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｇｒａｙ ｍｏｄｅｌ ｏｗｎｓ ｓｔｒｉｃｔ ｔｈｅａｔｒｉｃａｌ ｂａｓｉｓ，ｔｈｅ ｂｉｇｇｅｓｔ ａｄｖａｎｔａｇｅ ｉｓ ｐｒａｃｔｉｃａｌ，ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ
ｐｒｅｄｉｃｔｅｄ ｂｙ ｇｒａｙ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｍｏｒｅ ｓｔａｂｌｅ，ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍａｓｓ ｄａｔａ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ，ｂｕｔ ａｌｓｏ ａｐｐｌｉｅｓ ｗｉｄｅｌｙ ｉｎ ｐｒｏｊｅｃｔ ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ｓｏｃｉｅｔｙ，ｅｃｏｎｏｍｙ，ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒｅ，ｅｃｏｌｏｇｙ ａｎｄ
器穆 专题研究 — — 睁嘲 睁 基于ＭＡＴＩＡＢ的灰色预测ＧＭ（１，１）模型 在经济分析中的应用 ◎宋秀英 （四川信息职业技术学院数学教研室 ６２８０１７） 【摘要】灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相 异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻 找系统变动的规律．ＭＡＴＬＡＢ具有强大的数据处理和分析 功能，可以方便、快捷、准确、直观地进行预测分析．本文介 绍了灰色预测模型ＧＭ（１，１）的基本原理和精度检验方法， 并用ＧＭ（１，１）模型对经济指标进行了预测．考虑到人工计 算的复杂性和不准确性，本文将ＭＡＴＬＡＢ程序用于ＧＭ（１， １）模型对经济指标的预测中，得到了理想的预测结果． 【关键词】灰色预测；ＭＡＴＬＡＢ；ＧＭ（１，１）模型；检验；经 济预测 一、灰色预测与ＭＡＴＬＡＢ简介 客观世界，既是物质的世界又是信息的世界，它既包含 大量的已知信息，也包含大量的未知信息与非确知信息．未 知的或非确知的信息称为黑色信息，已知信息称为白色信 息．既含有已知信息又含有未知的、非确知的信息的系统， 称为灰色系统．灰色预测是灰色系统建模的具体数学方法 之一，灰色预测不是把观测到的数据序列视为一个随机过 程，而是看作随时间变化的灰色量或灰色过程，灰色预测通 过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分 析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律．基 于灰色系统理论的灰色模型主要有ＧＭ（１，１）灰色预测模 型．ＧＭ（１，１）模型是基于随机的原始时间序列，经按时间累 加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分 方程的解来逼近．经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所 揭示的原始时间数列呈指数变化规律，因此，当原始时间序 列隐含着指数变化规律时，灰色模型ＧＭ（１，１）的预测将是 非常成功的． 在实际进行预测时，由于数据量大、涉及的因素多以及 计算的复杂性，给手工建立数学模型和进行预测分析造成 了很大的困难，有的根本无法进行．而ＭＡＴＬＡＢ就可以通过 编程解决这一问题．ＭＡＴＬＡＢ，即“矩阵实验室”，是美国 ＭａｔｈＷｏｒｋ公司自２０世纪８０年代中期推出的数学软件，用 于线性代数、自动控制理论、概率论及数理统计、数字信号 处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的基本教学 工具，可解决工程、科学计算和数学学科中许多问题． 数学学习与研究２０１１ １１ ● ． ． －＿Ｉ ● 二、灰色预测模型ＧＭ（１。１）基本原理 １．生成时间序列 为了减弱原始时间序列的随机性，先要对原始序列进 行数据处理，即通过累加的方式产生时间序列． （１）原始时间序列 ‘ ＝（ 。 （１）， ‘。 （２），…， ‘。 （ｎ））． （２）一次累加生成序列Ｘ‘“＝（ ‘ （１）， ‘ （２），…， “ （ｎ）），其中 （ ）＝∑ （ ），ｋ＝１，２，…，ｍ （３）紧邻均值（ＭＥＡＮ）生成序列Ｚ‘ ：（。‘ （２）， ‘ （３），…， ‘ （，１）），其中ｚ‘ （ ）＝Ｏ．５ｘ‘ （ ）＋０． （ 一１）． 由于生成序列接近指数曲线，可认为是光滑的离散系 数，则可用微分方程进行描述． ２．灰色预测模型ＧＭ（１。１）的建立 对生成的时间序列，ＧＭ（１，１）相应的微分方程为 ＋ ：６． ｄｔ 求解微分方程，即可得到预测模型： …）＝ （１）一 ＋÷，㈦，ｚ，…，ｍ 上式中，参数ｎ，ｂ是用最小二乘法估计，即 ＝（ｏ，６） ， ＆＝（Ｂ Ｂ）Ｉ１Ｂ ｙ ，其中 Ｂ＝ 一 ‘ （２） 一ｚ‘”（３） ‘。’（３） ３．灰色预测模型ＧＭ（１，１）精度检验 灰色预测模型检验有残差检验、关联度检验、后验差 检验． （１）残差检验．计算原始序列和原始序列的灰色预测序 列之间的： 绝对误差：ｓ‘。 （ｉ）＝ ‘。 （ｉ）一 ‘。 （ｉ）（ｉ＝１，２，…，ｒｔ）． 相对误差： （０ ｃ ＝ｆ Ｉ ｃ ＝ ，ｚ，…， ）． 其中 ‘。 （ｉ）＝ ‘ （ｉ）一 ‘ （ｉ一１）（ｉ＝１，２，…，／＇ｔ）． 相对误差越小，模型精度越高． （２）后验差检验．首先计算原始序列 （ｉ）的均方差：
基于时间加权的改进灰色预测模型及其应用
摘要:本文就GM(1,1)传统模型及其辨识值求解模型做了一定探讨。GM(1,1)传统模型的本质是曲线拟合,然而此曲线对于各历史点的拟合是最优的,但对于预测未来值不一定最优;传统灰色预测辨识值求解模型采用等权最小二乘法,认为各已知历史点的一次累加值与实测值累加值的误差对辨识值模型的权值均为1,未考虑时间因素,在理论上存在一定缺陷。本文提出一种时间加权辨识值求解模型,用加权最小二乘求解辨识值,进而求出系统预测方程,并用MATLAB语言编写了改进的灰色预测模型程序。将本文提出的模型应用到超高层建筑物的变形预测中,将改进预测模型预测结果与传统方法得到的预测结果进行比较,证明本文提出的改进模型具有较好的实用性和参考价值。
关键词:灰色模型 辨识值 最小二乘 变形预测 MATLAB
1 灰色预测模型概述
灰色系统是既含有已知信息又含有未知信息或非确知信息的系统。灰色预测是就灰色系统所做的预测。灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测,就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的,但毕竟是有序的、有界的,因此这一数据集合具备潜在的规律,灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测[1]。 自从80年代初邓聚龙教授创立了灰色系统理论以来,灰色系统理论得到了较普遍的应用和广泛的重视,在农业、林业、水利、能源、交通、经济等领域,灰色系统理论在预测方面取得了令人瞩目的成就[2][3]。
本文就权值矩阵的确定和辨识值求解模型的选取进行一定的探讨,提出采取变权最小二乘模型来求解辨识值的改进方法;并利用现有的超高层建筑物实测变形量数据,采用传统方法和改进方法进行预测,比较两种方法的预测精度。
2 GM(1,1)传统模型
记原始序列为:
3 时间加权GM(1,1)改进模型
传统模型采用式(9)作为辨识值求解模型,采用等权最小二乘来求解辨识值,该方法缺少理论依据;事实上,一次累加值的最后时刻距离现在时刻越近,新信息含量越多,越能够代表未来的变化趋势,所占权值应越大;基于以上的缺陷,下面就灰色预测的辨识值求解模型做出一定讨论,并进行改进。
