高中数学 2.4 空间直角坐标系学案 新人教B版必修2-新人教B版高一必修2数学学案

2.4 空间直角坐标系

1．通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．

2．会推导空间两点间的距离公式，并能在具体问题中正确应用．

1．空间直角坐标系的建立

为了确定空间点的位置，在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴，y轴都______，这样它们中的任意两条都互相垂直．

轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿____时针方向转90°能与y轴的正半轴重合，这样就在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做坐标原点．每两条坐标轴分别确定的平面yOz，xOz，xOy叫做坐标平面，三个坐标平面把空间分成八个卦限，如图所示．

______平面：由x轴及y轴确定的坐标面；

______平面：由x轴及z轴确定的坐标面；

______平面：由y轴及z轴确定的坐标面．

2．点在空间直角坐标系中的坐标

取定了空间直角坐标系后，就可以建立空间内的任意一点与三个实数的有序数组(x，y，z)之间的一一对应关系．

点M为空间一已知点，在空间直角坐标系中，过这点作两条轴所确定平面的________，交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是点M相应的一个______．设点M在x轴，y轴，z轴的坐标依次为x，y，z.于是空间的点M就唯一确定了一个有序数组x，y，z.这组数x，y，z就叫做点M的坐标，记为________，并依次称x，y和z为点M的x坐标、y坐标和z坐标．反之，设(x，y，z)为一个三元有序数组，过x轴上坐标为x的点，y轴上坐标为y的点，z轴上坐标为z的点，分别作x轴，y轴，z轴的________，这三个平面的交点M便是三元有序数组(x，y，z)唯一确定的____．所以，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组(x，y，z)之间的一一对应关系．

八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点： Ⅰ：(＋，＋，＋)；Ⅱ：(－，＋，＋)；Ⅲ：(－，－，＋)；

Ⅳ：(＋，－，＋)；Ⅴ：(＋，＋，－)；Ⅵ：(－，＋，－)；

Ⅶ：(－，－，－)；Ⅷ：(＋，－，－)．

坐标轴及坐标平面上点的坐标形式

点的位置 坐标形式

xOy平面 (x，y,0)

xOz平面 (x,0，z)

yOz平面 (0，y，z)

x轴 (x,0,0)

y轴 (0，y,0)

z轴 (0,0，z)

【做一做1】若半径为r的球在第Ⅴ卦限内，且与各坐标平面均相切，则球心的坐标是( )．

A．(r，r，r) B．(r，r，－r)

C．(－r，－r，r) D．(r，－r，r)

3．空间两点的距离公式

空间两点的距离公式可以看作平面内两点间距离公式的推广，如图．

M1(x1，y1，z1)，P(x2，y1，z1)，

M2(x2，y2，z2)，N(x2，y2，z1)，

|M1P|＝__________，|PN|＝__________，

|M2N|＝__________，

|M1N|2＝|M1P|2＋|PN|2＝____________，

|M1M2|2＝|M1N|2＋|NM2|2＝______________.

∴点M1与M2间的距离为

d(M1，M2)＝____________________________.

应用两点间的距离公式时，注意是三组对应坐标之差的平方和再开方．

特别地，点M(x，y，z)到原点的距离公式为

d(O，M)＝__________.

【做一做2】求下列两点间的距离：

(1)A(1,1,0)，B(1,1,1)；(2)C(－3,1,5)，D(0，－2,3)．

求空间一点A(x，y，z)关于坐标轴、坐标原点、坐标平面的对称点的坐标．

剖析：对称点坐标问题，无非就是中点与垂直问题．空间点关于已知点的对称点，与平面内点关于点的对称点定义一样，已知点与其对称点连接线段的中点即为对称中心；空间点关于已知直线的对称点，与平面内点关于已知直线的对称点的定义一样，已知点与其对称点连接线段被对称轴垂直平分；空间点与其关于已知平面的对称点的连接线段垂直于平面，且中点在平面内．

A(x，y，z)关于坐标平面xOy的对称点A1(x，y，－z)；

A(x，y，z)关于坐标平面yOz的对称点A2(－x，y，z)；

A(x，y，z)关于坐标平面xOz的对称点A3(x，－y，z)；

A(x，y，z)关于x轴的对称点A4(x，－y，－z)；

A(x，y，z)关于y轴的对称点A5(－x，y，－z)；

A(x，y，z)关于z轴的对称点A6(－x，－y，z)；

A(x，y，z)关于原点的对称点A7(－x，－y，－z)．

题型一 空间点的坐标

【例1】已知一个长方体的长、宽、高分别为5,4,3，试建立适当的空间直角坐标系，将长方体的各个顶点表示出来．

分析：可以以长方体的一个顶点为原点，建立空间直角坐标系，也可以以长方体的中心作为原点．

反思：建立适当的坐标系的原则一般是让更多的点落在坐标轴上，进而使得点的坐标表示比较简单．

题型二 空间点的对称问题

【例2】在空间直角坐标系中，给定点M(1，－2,3)，求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标．

分析：此题要类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．

反思：本题反映了求对称点时的一个规律：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反．

题型三 空间中点坐标公式的应用

【例3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，试建立适当的空间直角坐标系，求点E，F的坐标．

分析：E，F分别为棱BB1和面对角线D1B1的中点，应先求出点B，B1，D1的坐标，再根据公式求E，F两点的坐标．

反思：平面上中点坐标公式可推广到空间，即设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB的中点为Px1＋x22，y1＋y22，z1＋z22.

题型四 空间两点的距离公式的应用

【例4】在空间直角坐标系中，已知△ABC的顶点分别是A(－1,2,3)，B(2，－2,3)，C12，52，3.求证：△ABC是直角三角形．

分析：欲证△ABC是直角三角形，可从三边长之间的关系满足勾股定理入手求证．

反思：本题通过空间两点的距离公式，求解三角形的三边长，进而判断三角形的形状．

【例5】在三棱锥A－BCD中， |AD|＝|BC|＝1，|AC|＝|AB|＝|DC|＝|DB|＝2，求该三棱锥的体积．

分析：三棱锥的六条棱长都已知，且比较特殊，我们不难求得△ACB的面积，但点D在面ABC内的射影位置不明显，三棱锥的高比较难求．于是，我们以点A为原点，建立空间直角坐标系，问题便转化为求点D的坐标，而这不难用空间两点的距离公式求解．

反思：本题采用建立空间直角坐标系，将问题转化为求点D的坐标问题的方法，避开了逻辑推理与空间想象而进行代数运算，思路也比较自然，求解也不复杂．这种通过建立空间坐标系来解决的立体几何问题，显得有规律可循，而且少了立体几何的空间想象．

题型五 易错辨析

【例6】已知点A(1,2,3)，B(3，－1，－2)，且|MA|＝|MB|，求动点M的轨迹方程．

错解：设M(x，y，z)，依题意得，

(x－1)2＋(y－2)2＋(z－3)2＝(x－3)2＋(y＋1)2＋(z＋2)2，

整理得2x－3y－5z＝0.

∴动点M的轨迹方程为2x－3y－5z＝0，轨迹是线段AB的垂直平分线．

错因分析：把平面几何中的结论硬套在空间中了，实际上满足|MA|＝|MB|的动点M在空间中的轨迹是线段AB的垂直平分面．注意范围的改变．

1点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )．

A．y轴上 B．xOy平面上

C．xOz平面上 D．第一卦限内

2点P(1,2,1)关于xOz平面的对称点坐标是( )．

A．(1，－2,1) B．(－1，－2,1)

C．(1,2，－1) D．(－1，－2，－1)

3如图所示，正方体的棱长为1，M是所在棱上的中点，N是所在棱上的四分之一分点，则M，N之间的距离为( )．

A．214 B．294

C．212 D．292

4已知点P(2,3,4)，则点P到x轴的距离是__________．

5指出下列各点在空间中的哪一个卦限．

(1)(－1,3,2)；(2)(3,3,－1)；(3)(－5,－2,－2)；

(4)(－5,1,－1)．

答案；

基础知识·梳理

1．垂直 逆 xOy xOz yOz

2．平行平面 坐标 (x，y，z) 垂直平面 点

【做一做1】B

3．|x2－x1| |y2－y1| |z2－z1| (x2－x1)2＋(y2－y1)2 (x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2

x1－x22＋y1－y22＋z1－z22 x2＋y2＋z2

【做一做2】解：(1)d(A，B)＝1－12＋1－12＋0－12＝1.

(2)d(C，D)＝－3－02＋[1－－2]2＋5－32＝22.

典型例题·领悟

【例1】解：如图所示，以A为坐标原点，AB＝3所在的直线为x轴，AD＝5所在的直线为y轴，AA1＝4所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.

则A(0,0,0)，B(3,0,0)，D(0,5,0)，A1(0,0,4)，C(3,5,0)，D1(0,5,4)，B1(3,0,4)，C1(3,5,4)．

【例2】解：M(1,－2,3)关于坐标平面xOy对称的点是(1,－2,－3)，关于xOz面对称的点是(1,2,3)，关于yOz面对称的点是(－1,－2,3)；M(1,－2,3)关于x轴对称的点是(1,2,－3)，关于y轴对称的点是(－1,－2,－3)，关于z轴对称的点是(－1,2,3)；M(1,－2,3)关于原点的对称点是(－1,2,－3)．

【例3】解：如图，建立空间直角坐标系．

由于正方体的棱长为1，可得B，B1，D1的坐标分别为B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，

∵E为B1B的中点，F为B1D1的中点，

∴E的坐标为1＋12，1＋12，1＋02＝1，1，12，

F的坐标为1＋02，1＋02，1＋12＝12，12，1.

【例4】证明：d(A，B)＝－1－22＋2＋22＋3－32＝5，

d(A，C)＝－1－122＋2－522＋3－32＝102，

d(B，C)＝2－122＋－2－522＋3－32＝3102.

故[d(B，C)]2＋[d(A，C)]2＝904＋104＝25＝[d(A，B)]2，

∴△ABC是以C为直角顶点的直角三角形．

【例5】解：以点A为原点，△ABC所在平面为xOy面，将AB置于Oy轴的正半轴上，建立空间直角坐标系，如图所示．

|AC|＝|AB|＝2，|BC|＝1，

易求得S△ABC＝12×1×152＝154.