直角三角形角平分线的性质
直角三角形是指一个三角形中存在一个内角为90度的角。直角三角形角平分线，顾名思义，就是将直角三角形的直角角平分为两个相等的角的线段。下面将介绍直角三角形角平分线的性质。
1. 角平分线相等性：
直角三角形的角平分线将直角角等分为两个相等的角。这意味着，当一条直角三角形的角平分线与另一条角平分线相交时，它们所形成的两个角必然相等。
2. 角平分线与斜边的关系：
直角三角形的角平分线与斜边的关系很特殊，它们具有以下性质：
(a) 角平分线与斜边垂直：
直角三角形的角平分线与斜边垂直相交。这意味着，角平分线与斜边所形成的两个角互为互补角，它们的和为90度。也就是说，两个角的度数加起来等于90度。
(b) 角平分线与斜边的比例关系：
在直角三角形中，角平分线与斜边的长度之比等于直角三角形的两个直角角边对斜边的比值。这一比例关系被称为角平分线定理，它表达为：
AC / AB = BC / AB = AC / BC
其中，AC和BC分别为直角角边，AB为斜边。
3. 角平分线与底边的比例关系：
直角三角形的角平分线与底边的长度之比等于直角三角形的两个直角角边对底边的比值。这一比例关系也被称为角平分线定理。
4. 角平分线的交点：
直角三角形的角平分线两两相交于直角的外心，也就是直角的顶点所在的点。这个点被称为直角三角形的外心。
5. 角平分线与直角角边的关系：
直角三角形的角平分线与直角角边的交点，将直角角边分割成两个部分，其长度比等于斜边与整个直角角边的比值。这一比例关系也被称为角平分线定理。
通过研究直角三角形角平分线的性质，我们可以应用这些性质去解决一些几何问题。例如，可以利用角平分线与斜边的垂直关系来证明直角三角形的三个内角之和为180度；也可以利用角平分线与底边的比例关系来计算直角三角形的边长等等。
总之，直角三角形角平分线具有多种性质，包括相等性、垂直性、比例关系以及与直角的外心等特点。这些性质为解决几何问题提供了有力的工具和方法。
第九讲：角平分线的性质（二）
知识点：
角平分线的性质：
角平分线的判定：
例题讲解：
例1、（1）如图1，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC=PD，则∠1_____∠2；
（2）如图2，AB⊥BC于B，AD⊥DC于D，若CB=CD，且∠1=30°，则∠BCD=______；
（3）在R⊿tABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若DC=7，则D到AB 的距离是_______；
（4）如图3，在⊿ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，则
⊿DEB的周长为________
（5）如图4，到三条直线a、b、c的距离相等的点共有______个。
例2、如图5，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F是OC上另一点，连接DF、EF。
求证：DF=EF
例3、如图6，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N。
求证：PM=PN
例4、如图7，已知AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：DE=DF
例5、如图8，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于O点，∠1=∠2。
（1）图中共有______对全等三角形；
（2）选择其中一对给予证明。
巩固：
1、如图，⊿ABC中，AD是它的角平分线，若23ACAB，求ACDABDSS的值。
2、PA、PB分别是⊿ABC外角∠MAC、∠NCA的平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BC于F，则BP是∠MBN的平分线吗？说明理由。
3、如图，在三角形ABC中，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．
求证：点P必在∠A的平分线上．
4、如图，在数学活动课上，小林提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠CDM=35°，请你求出∠MAB的度数。
5、如图，在⊿ABC中，∠ABC=100°，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20°。
三角形中的角平分线和中线性质
一、角平分线性质
1. 定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质
1. 定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质
1. 定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用
1. 判断三角形的形状：
（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2. 求解三角形的问题：
（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。 三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：
1. 习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2. 习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
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3.1.2 点、线、面、体
角的平分线的性质(二)
一、 教材分析
1 、教材的地位和作用
角的平分线的性质是全等三角形知识的运用和延续，它为后面证明线段相等、角相等的几何证明提供了一种新的更为简单的证明方法。本节分为两课时：第一课时让学生动手探究角的平分线的画法；第二课时主要探究角的平分线的性质和判定，并在此基础上进行简单应用。本节课是第二课时的内容，它不仅为学生动手操作、观察、交流等活动提供了良好的素材，同时也让学生学习了怎样从实际问题中建立数学模型，解决实际问题。
2 、重、难点分析
本节的重点是掌握角的平分线的性质和判定，本节的难点是对角平分线性质和判定的准确理解。
二、目标分析
（1） 知识与技能：掌握角的平分线的性质和判定，并会运用它们解决实际问题。
（2） 过程与方法：通过让学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操作能力和逻辑推理能力，提高解决问题的能力。
（3） 情感与态度：经历对角的平分线的性质和判定的探索过程，发展应用数学知识的意识与能力，培养学生良好的学习态度及严谨的科学态度。
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三 、过程分析
（1）
创 引
设 入
情 课
景 题
（2）
动 探
手 究
操 新
作 知
（3）
初 巩
步 固
运 理
用 解
（4）
变 综
式 合
练 应
习 用
（5）
拓 培
展 养
探 能
究 力
（6）
归 整
纳 理
小 反
结 思
（7）
布
置
作
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环节 教 学 过 程 设 计 意 图
创
设
情
