角的平分线的性质(1)

八年级上册数学导学案

1 11．3．1角的平分线的性质

执笔人：王金梅 审核人：董介文 孙秀云

【学习内容】教材P19－20

【学习目标】

1.掌握作已知角的平分线的方法，并掌握角平分线的性质。

2.在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。

3.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力。

4.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用。

5.在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。

【学习重点】利用尺规作已知角的平分线，角的平分线的性质的证明及运用。

【学习难点】角的平分线性质的探究；运用角平分线的性质解决相关的实际问题。

【教学准备】平分角的仪器（自制）、三角尺、圆规、多媒体课件。

【学习过程】

[知识回顾]

1、全等三角形的性质：若△ABC≌△DEF，则有 。

2、三角形全等的判定方法有： 。

3、如图，AB＝AD，BC＝DC，求证AC是∠DAB的平分线

[自主探究]

【活动1】

问题：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？

学生实验：通过折纸的方法作角的平分线。

教师展示课件，并展示学生作品。

[设计意图]回忆角的平分线的定义，掌握角的平分线的简易作法。让学生体验成功。

【活动2】 ( 体会平分角的仪器道理)

议一议：如何将一个角平分是一个有趣的实验课题，有一个简易平分角的仪器，如图，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

（教师演示，并介绍“平分角的仪器”的特点。学生将实物图抽象出数学图形，思考后组内交流.）

本次活动中，教师重点关注：

(1)学生是否能从简易角平分仪器中抽象出两个三角形； 八年级上册数学导学案

2 (2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明线段AE是∠BAD的平分线。

（师生共同分析讨论，探究问题的解答.）

分析：要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB。∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了。

看看条件够不够．

ABADBCDCACAC

所以△ABC≌△ADC（SSS）．

所以∠CAD=∠CAB．

即射线AC就是∠DAB的平分线。

[设计意图]培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识（SSS）解决问题的能力。

【活动3】（学会作角平分线）

由活动一的启示，你能用尺规作一个角的平分线吗？说一说，写一写角平分线的作法.

已知：如图，∠AOB．

求作：∠AOB的平分线．

作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在

∠AOB内部交于点C．

（3）作射线OC，射线OC即为所求．

（注：学生与老师一起完成探究过程，学生相互讨论、交流后独立说明作法，教师归纳展示作法。）

[设计意图]从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法。培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力，让学生体验成功。

议一议：

1.在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？

2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？

3.请用全等三角形的知识证明你的作图是正确的.

注意：角的平分线是一条射线,它不是线段，也不是直线.

总结：

1.去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线。 八年级上册数学导学案

3 2.若分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了。

3.角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可。

4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明。

练习：画出下列各角的平分线

问题：作平角的平分线即可平分平角，由此你能得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法吗？

（结论：平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直．将OC反向延长得到直线CD，直线CD与AB•也垂直。）

[交流提高]

【活动4】按以下步骤折纸：

1.在活动1中剪好的三角形的每个顶点上标好字母：A、B、C，把角A对折，使得这个角的两边重合。

2.在折痕（即平分线）上任意找一点O，

3.过点O折AC边的垂线，得到新的折痕OD，其中，点D是折

痕与AC边的交点，即垂足。

4.将纸打开，又一新的折痕与OB边交点为E。

问题：你发现OD与OE间有怎样的关系？

（让学生分组折纸，验证上面的事实，并利用三角形全等的知识进行解释。）

【活动5】

(1)在活动3已画好的角的平分线OC上任意找一点P,过P点分别作OA、OB的垂线交OA、OB于D、E。PE、PD的长度是∠AOB的平分线上一点到∠AOB两边的距离。量出PE、PD的长度，你发现了什么？

(2)你能归纳角平分线的性质吗?

(3)你能用三角形全等证明这个性质吗?

(学生实验——学生分组讨论,教师引导得出结论。)

【活动6】试一试：多媒体课件动态演示（用“几何画板”制作），当拖动AOB平分线OC上的点P时，观察PM、PN（PMOA,PNOB）度量值的变化规律，发现：PM=PN，即“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的事实。 八年级上册数学导学案

4 用数学语言来表述角的平分线的性质定理：

角平分线的性质：角平分线上的 点 到角两边的 距离 相等.

(体会命题的题设和结论,结合图形,写出已知、求证并加以证明)

下面让我们用学过的知识进一步验证：

你能用数学语言来表述角的平分线的性质定理吗？

（探索新知，建立模型）

已知：如图,

求证：

证明：

学生分析已知条件,利用(AAS)证明.

本次活动中,教师重点关注(1)学生能否从实验中探索、发现角的平分线的性质;(2)学生能否独立运用三角形全等的条件证明两个三角形全等;(3)说明射线OP就是∠AOB的平分线吗?

[设计意图]从实验探索中发现角的平分线的性质，培养学生的数学抽象概括能力，让学生体验成功。

小结证明几何命题的步骤：教材P21

1.明确命题中的已知和求证；

2.根据题意画出图形，并用数学符号表示已知和求证；

3.经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.

【例题解析】如图:△ABC中, ∠C=900，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.求证：CF=EB。

（注：学生独立练习，同组同学交流，老师根据学生的学习情况适当加以指导，获得正确的结论。抽学生上来展示分析过程。）

本次活动中,教师重点关注(1)不同层次的学生对角的平分线的性质的理解程度;(2)对学生在练习中的问题进行针对性的分析、讲解。

[当堂实践]

1.已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一

点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F.求证：PE=PF

（此题已知中有垂直，缺乏角平分线这个条件）

八年级上册数学导学案

5 2.如图,在△ABC中, ∠C=900,BD平分∠ABC,交AC于点 D,AC=15cm,且CD∶AD=2∶3,求点D

到AB的距离.（提示:需作出点D到AB的距离,添加辅助线来完成）

小结：

①应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是：有角的平分线，

有垂直距离;

②若图中具备了垂直条件，缺乏角平分线时可直接做出；若图中有角平分线,可尝试添加辅助线的方法——向角的两边引垂线段。

3.已知：△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。

求证：EB＝FC

(注：学生独立练习，同组同学交流，抽学生上台展示分析过程。)

[提升能力]

变式：已知：如图，△ABC中，D是BC上一点，BD=CD，∠1=∠2

求证：AB=AC

分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌△ACD，所以必须添加辅助线帮助解题。

方一:延长AD到AE，使DE=AD，再连接CE。

方二:过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，①利用全等证明 ②利用面积相等证明。

[设计意图]通过学生对角平分线的知识进行独立练习，自我评价学习效果，及时发现问题、解决知识盲点，培养学生的创新精神和实践能力，掌握相应的解题技巧，让学生体验成功。

【反思归纳】(学生小组合作交流,教师引导学生回顾。)

1.本节课你学到了哪些角平分线的知识？

2.角平分线有多种画法（借助量角器、折纸、角尺、平分角的仪器等），但尺规画图最佳，这些画法的道理可以通过三角形全等的证明来获得。

3.在探究得到了角平分线仪器的操作原理的基础上，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质。