e大学物理 真空中的静电场

第五章 真空中的静电场

一、思考讨论题

1、电场强度与电势有什么关系？试回答下列问题，并举例说明：

（1）场强为零的地方，电势是否一定为零？

（2）电势高的地方，场强是否一定大？

（3）电势相等处，场强是否一定相等？

（4）已知某一点的电势，可否求出该点的场强？反之如何？

解：

（1）不一定。比如两同种点电荷连线中点，场强为零，电势不为零。

（2）不一定。匀强电场，场强处处相等，而电势不等。

（3）不一定。点电荷产生的电场线中，电势相等的地方场强方向不一样。

（4）都不可以求。

2、已知某一高斯面所包围的空间内0q，能否说明穿过高斯面上每一部分的电通量都是0？能否说明高斯面上的场强处处为0？

解：由高斯定理qSdES01，0q仅指通过高斯面的电通量为零，并非场强一定在高斯面处处为零（高斯面外的电荷也在高斯面上各点产生场强）。

3、已知某高斯面上处处E0，可否肯定高斯面内0q，可否肯定高斯面处处无电荷？

解：可以肯定。高斯面上处处E0，0SdES，由高斯定理必有0q。

4、如图1.1所示，真空中有A、B两均匀带电平板相互平行并靠近放置，间距为d（d很小），面积均为S，带电分别为+Q和－Q。关于两板间的相互作用力，有人说，根据库仑定律应有：2024dQf；

又有人说，根据fQE，应有：SQf02。

他们说得对吗？你认为f应等于多少？

解：（1）2024dQf是错误的，因为库仑定律只适用于

点电荷，两个带电平板不能直接用库仑定律计算。

（2）SQf02也错误。因为用sqE0计算的场强是两带电平板产生的合场强，而

EqF中的场强是一个带电板的电荷量乘以另一个所产生的场强，而不是合场强。电荷与A B Q -Q

图1.1 自身产生的场强作用力恒为零。

正确答案是：SqqSqEdqF02022

5、在无限大带电平面和无限长带电直线的电场中，确定各点电荷时，可否选无穷远处为0势点？为什么？

第6章 真空中的静电场 习题及答案

1. 电荷为q和q2的两个点电荷分别置于1xm和1xm处。一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零

解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q位于点电荷q的右侧，它受到的合力才可能为0，所以

200200)1(π4)1(π42xqqxqq

故 223x

2. 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)(2)这种平衡与三角形的边长有无关系

解：(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知，q为负电荷，所以

20220)33(π4130cosπ412aqqaq

故 qq33

(2)与三角形边长无关。

3. 如图所示，半径为R、电荷线密度为1的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l、电荷线密度为2的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。

解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dldq1，dq在带电圆环轴线上x处产生的场强大小为

)(4220RxdqdE

根据电荷分布的对称性知，0zyEE

23220)(41 cosRxxdqdEdEx

式中：为dq到场点的连线与x轴负向的夹角。

 23220)(4dqRxxEx

232210)(24RxRx232201)(2RxxR

下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dxdq2，dq受到的电场力大小为

dqEdFxdxRxxR2322021)(2

方向沿x轴正方向。

直线段受到的电场力大小为

dFFdxRxxRl02322021)(2

R

O 1

2

l

x y

第七章 真空中的静电场

7－1 在边长为a的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q和2q，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。

解：如图可看出两2q的电荷对单位正电荷的在作用力

将相互抵消，单位正电荷所受的力为

)41()22(420aqF＝,2520aq方向由q指向-4q。

7－2 如图，均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为λ。（1）求棒的延长线上任一点P的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q的场强。

解：（1）如图7－2 图a，在细棒上任取电荷元dq，建立如图坐标，dq＝d，设棒的延长线上任一点P与坐标原点0的距离为x，则

2020)(4)(4xdxddE

则整根细棒在P点产生的电场强度的大小为

)11(4)(40020xLxxdEL

＝)(40LxxL方向沿轴正向。

（2）如图7－2 图b，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q与坐标原点0的距离为y

204rdxdE

cos420rdxdEy，

sin420rdxdEx

因cos,cos,2yrdydxytgx， q 2q

-4q 2q

习题7－1图

0 dq



d

P

习题7－2 图a x

0 dq x

dx

P

习题7－2 图b y

dE



y Q

0 代入上式，则

)cos1(400y＝)11(4220Lyy，方向沿x轴负向。

dydEEyy000cos4

00sin4y＝2204LyyL

7－3 一细棒弯成半径为R的半圆形，均匀分布有电荷q，求半圆中心O处的场强。

解：如图，在半环上任取dl=Rd的线元，其上所带的电荷为dq=Rd。对称分析Ey=0。

sin420RRddEx

00sin4RdEEx

WORD格式可编辑

专业知识 整理分享 第6章真空中的静电场习题及答案

1.电荷为q和2q的两个点电荷分别置于x1m和x1m处。一试验电荷置于x轴上何

处，它受到的合力等于零？

解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷 q位于点电荷 0

q的右侧，它受到的合力才可能为0，所以

2qqqq 00 22

4(x1)4(x1)

ππ 00

故x322

2.电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放

一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都

为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?

解：(1)以A处点电荷为研究对象，由力平衡知，q为负电荷，所以

2 4 1

π

0 q

a 2

2 cos30

4 1

π

0

( q

3

3 q

a

2 )

3

故qq

3

(2)与三角形边长无关。

3.如图所示，半径为R、电荷线密度为

1的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l、电

荷线密度为2的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。

解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dqdl

1，dq在带电圆环轴

线上x处产生的场强大小为

dE

4 dq

2

0(xR

y 2 )

根据电荷分布的对称性知，yE0

E z

dEdEcos x

4 1xdq 1 R

3 22 2 O

(xR)

0 2

x l

式中：为dq到场点的连线与x轴负向的夹角。

E x

4 x

22

0(xR) 3

2 dq z

x2 1 R R 1 x

4x2R 2

0() 3 2 2xR 2 ( 0 2 ) 3 2 WORD格式可编辑

专业知识 整理分享 下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dqdx 2，dq受到的电场力大小为