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第四章 第二次作业及答案1. 考虑地球为自转椭球模型，请推导地面返回坐标系及弹道坐标系(半速度坐标系)下航天器无动力再入返回质心动力学方程和运动学方程，以及绕质心旋转动力学和运动学方程。
解答：（1）地面返回坐标系：原点位于返回初始时刻地心矢径与地表的交点处，ox 轴位于当地水平面内指向着陆点，oy 垂直于当地水平面向上为正，oz 轴形成右手坐标系。
地面返回坐标系下的动力学方程：与发射坐标系下的动力学方程形式相同，令推力为0即可得到。
（2）弹道（航迹，半速度）坐标系定义：原点位于火箭质心，2ox 轴与速度矢量重合，2oy 轴位于包含速度矢量的当地铅垂平面内，并垂直于2ox 轴向上为正，2oz 轴形成右手坐标系。
由于弹道坐标系是动坐标系，不仅相对于惯性坐标系是动系，相对于地面返回坐标系也是动系，在地面坐标系下的动力学方程可以写为：惯性系下：22222()=F=++m e e e d m m m m t dt tδδδδ=+⨯+⨯⨯r r rωωωr P R g地面系下：22=++m -2-()e e e m m m t tδδδδ⨯⨯⨯r rP R g ωωωr弹道系下：22=()=++m -2-()t e e e m m m m m t t t tδδδδδδδδ'=+⨯⨯⨯⨯'r v v rωv P R g ωωωr 式中，tδδ''v 表示速度矢量在弹道坐标系的导数，t ω表示弹道坐标系相对于地面坐标系的旋转角速度，将上式矢量在弹道坐标系分解得到：速度矢量00v ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦v ，角速度矢量=tx t ty tz ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ωωωω 00cos 0sin 00sin =+=()001000sin 0cos 0cos t y L σσσθσσσσθσσθσθ⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ωθσ sin 0cos 0=0cos 0sin 0cos cos 0sin 00t v v v v σθσθσσσθσθσθσθσσθσ⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⨯==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ωv 等式左边：()=cos t vm v tv δσθδσ⎡⎤'⎢⎥+⨯⎢⎥'⎢⎥-⎣⎦vωv 等式右边将所有力转换到弹道坐标系下，如果不方便直接转换，可以先转到地面系，然后再转到弹道系。
第六章弹道计算范文弹道计算是指通过数学模型和计算方法来预测和分析飞行器在大气环境中的运动轨迹和性能的过程。
弹道计算在军事、航天和火箭技术等领域有着广泛的应用。
在弹道计算中，最基本的问题是求解运动物体在给定初始条件下的运动方程。
根据牛顿力学和流体力学的基本原理，可以将弹道计算问题分为两个方面的考虑：一是空气动力学，即考虑大气环境对运动物体的影响；二是力的平衡，即求解物体在外力和内力作用下的加速度和速度。
在空气动力学方面，主要考虑飞行物体与大气之间的相互作用。
通常采用的模型是绕流理论，即将飞行物体视为绕流体的理想流体，根据库伦-维格纳定理和伯努利方程等基本关系，通过求解一系列非线性方程组，得到飞行器所受的升力、阻力和侧力等气动力参数。
这些气动力参数是求解弹道运动方程的重要输入量。
在力的平衡方面，通常考虑的外力有重力和空气动力学产生的阻力。
重力是一个常数，主要影响物体的下降速度和落地位置。
而阻力与物体速度的平方成正比，通过确定物体的参数和气动力参数，可以计算出阻力的大小。
此外，还需要考虑飞行物体自身的推力和姿态操纵等因素，以确定物体的加速度和速度。
在弹道计算中，还需要考虑一些复杂的因素，如弹道修正、风力和地球自转等。
弹道修正是指在飞行过程中对轨迹进行微调，以满足特定的要求，如命中目标或避免危险区域。
风力是一个变化的外界因素，可以通过气象数据预测和观测得到。
地球自转是指地球自转产生的离心力和科里奥利力对弹道运动的影响。
弹道计算的方法包括数值方法和解析方法。
数值方法是通过数值逼近的方式，利用计算机进行迭代计算，得到弹道运动的近似解。
常用的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法和四阶龙格-库塔法等。
解析方法是通过解析推导和积分计算，得到弹道运动的精确解。
解析方法通常适用于简单的模型和特殊的边界条件。
总之，弹道计算是一门涉及多学科知识和多种计算方法的领域，它对现代军事和航天技术的发展起着重要的推动作用。
弹道计算的理论和方法不断发展和完善，将为新一代的飞行器和导弹技术提供更精确和可靠的设计和分析手段。
第28卷第5期2007年9月 宇 航 学 报Journ al of As tronauticsV ol.28September No.52007再入弹道解析算法在新型制导律上的应用研究高长生,荆武兴,郑立伟(哈尔滨工业大学航天工程系,哈尔滨150001) 摘 要:提出了一种再入飞行器新型预测制导方法。
在弹道始端,所有方向的总升力组成一个垂直于再入体速度的平面,称该平面上任意方向的速度增量引起预测落点的变化矢量为虚位移。
通过对最优虚位移的搜索,获得总升力的最佳方向。
然后,针对该制导方法需要预测弹道落点这一情况,给出了再入弹道的解析解。
最后,将具有模型简化误差的解析弹道算法应用到该制导律中,仿真发现:经制导控制后最终落点误差从40公里减小到10米。
结果表明:在解析法再入弹道存在模型简化误差的情况下,该制导律仍然可以执行。
关键词:再入飞行器;制导律;再入弹道;解析算法;最优化中图分类号:V448.235 文献标识码:A 文章编号:100021328(2007)0521219205收稿日期6226; 修回日期6225基金项目国家自然科学基金(5)0 引言对于再入飞行器制导算法设计问题,为消除标准弹道法存在着抗干扰能力差的弊端,具有闭环特点的预测制导方法受到广泛的关注[1,2]。
本文基于分析力学中的虚位移思想,推导了一种适用于攻击地面固定目标的再入飞行器预测制导方法,我们称之为虚位移制导律。
该制导律的基本原理是:在弹道始端,所有方向的总升力组成一个垂直于再入体速度的平面,该平面内任意方向的总升力作用微小时间,引起预测弹道落点的微小变化,称该变化矢量为虚位移,通过对最优虚位移的搜索,求解出总升力的最佳方向。
该导引方法仅给出最优力的方向,对需用过载并无要求。
为提高虚位移制导律的计算效率,采用解析法预测弹道落点。
在忽略重力、离心力等因素的假设条件下,艾伦较早的给出了再入弹道的解析解[3]。
此后,很多学者根据不同的假设条件,得出了相应的近似解[4-6]。
航空外弹道学课程设计姓名：王勋班级： 08030902班学号： 2009302026时间： 2012.7.12一、已知条件及题目要求1.查表可知，标准下落时间()21.12S s s2．气象：760on h mmHg =288.4on K τ=29.27R =温度梯度35.86210G -=⨯度/米8.4on mmHg =e3. 弹丸参数：216.5q kg =0.299d m =弹长 2.11L m =9.806g =4. 空气阻力系数：00.160x C =5. 初始条件：400/u m s =0w =0p =2000m H =要求：列出弹道参数，并画出炸弹弹道曲线。
二、题目分析对于所给题目，取直角坐标系Oxy ，坐标原点取在投弹高度为H 的投弹点O 上，x 轴取在飞机投弹瞬间速度1v →的铅垂面（投弹面）内的水平方向，y 轴铅直向下，如图1所示。
转角方向规定顺时针为正。
设弹道上任一点M 速度向量v →在x 轴与y 轴上的分量分别为u 与w 。
图1 水平轰炸图由题目给出的条件，P=0，W=0可以知道，所要设计的题目类型为无外力的水平轰炸，由于飞机速度V 在X 轴方向上，因而初始条件为：当0t =时，u v,w 0,x=0,y 0,0.θ====建立方程组如下：()G(v )1=()G(v )+cos equations(1)sin du CH H y dt d CH H y g dt dx u v dt dy v dt v τττττωωθωθ⎧=--⎪⎪⎪--⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎩（）（2）（3）（4）（5） 三、相关参数计算(1)弹道系数C 的计算 0.2460.650.16C C i x0x0===2233id 0.2460.299C 10100.10158216.5q ⨯=⨯=⨯= 其中d 为弹直径，q 为炸弹的重量。
(2)288.4G*(2000)y τ=+-，其中310*862.5G -=(3)查表得)Ma (C x0，其中：v Ma a v *(288.40.005862*2000-0.005862y)^0.520.074v *(300.124-0.005862y)^0.520.074==+= Ma 可作如下近似)Ma (C x0=（4）(v )G τ的计算onH τγγ 其中0()x v C a由（3）可求得，τ由（2）计算可求得。
飞行物体的弹道运动与轨迹计算在我们生活的这个广袤世界中，飞行物体的运动是一个充满魅力和复杂性的领域。
从子弹的射击到火箭的升空，从炮弹的发射到飞机的航行，弹道运动与轨迹计算都起着至关重要的作用。
首先，让我们来理解一下什么是弹道运动。
简单来说，弹道运动就是指飞行物体在重力、空气阻力等力的作用下的运动轨迹。
当一个物体被发射出去，它不再受到直接的推力，而是在各种力的影响下自由飞行。
重力是影响弹道运动的一个主要因素。
无论物体的初始速度和方向如何，重力都会始终将其向下拉。
这就导致了物体的飞行轨迹呈现出一种抛物线的形状。
比如，我们扔出一个石头，它会先向上飞行一段距离，然后由于重力的作用开始下落。
空气阻力也是不能忽视的。
空气阻力的大小与物体的形状、速度以及空气的密度等因素有关。
通常情况下，物体的速度越快，空气阻力就越大。
而且，不同形状的物体在空气中受到的阻力也不同。
例如，流线型的物体比不规则形状的物体受到的阻力要小。
在计算弹道轨迹时，我们需要考虑多种因素。
首先是初始速度。
初始速度的大小和方向决定了物体飞行的初始能量和方向。
其次是发射角度。
一个合适的发射角度可以让物体飞得更远或者达到特定的目标。
假设我们要计算一枚炮弹的弹道轨迹。
我们需要知道炮弹的初始速度、发射角度、炮弹的质量以及当地的重力加速度和空气阻力系数等参数。
通过一系列复杂的数学公式和计算方法，我们可以预测出炮弹的飞行轨迹。
在实际应用中，弹道运动与轨迹计算有着广泛的用途。
在军事领域，精确计算炮弹、导弹的弹道轨迹对于打击目标至关重要。
通过准确的计算，可以提高武器的命中率，增强战斗力。
在航天领域，火箭的发射也需要精确的弹道计算。
要将卫星或航天器送入预定的轨道，必须要对火箭的发射速度、角度以及飞行过程中的各种因素进行精细的计算和控制。
体育比赛中也有弹道运动的身影。
比如铅球、标枪等项目，运动员需要掌握好出手速度和角度，以获得更好的成绩。
而教练和运动员们可以通过弹道计算来优化技术动作，提高比赛表现。
太空飞船课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够掌握太空飞船的基本概念，包括飞船的构造、功能及其在太空探索中的作用。
2. 学生能够了解太空飞船的历史发展，对我国及世界航天事业的发展有所认识。
3. 学生能够理解太空飞船飞行原理，掌握与飞船相关的物理知识。
技能目标：1. 学生能够运用所学知识分析太空飞船的飞行轨迹，具备简单的轨道计算能力。
2. 学生能够通过小组合作，设计并制作简单的太空飞船模型，提高动手实践能力。
3. 学生能够运用信息技术，收集、整理和分享太空飞船的相关资料，提升信息处理能力。
情感态度价值观目标：1. 学生能够培养对航天事业的热爱，激发探索未知世界的兴趣。
2. 学生能够增强国家荣誉感，为我国航天事业的发展感到自豪。
3. 学生能够培养团队协作精神，尊重他人的意见，善于倾听和表达。
课程性质：本课程为科学课的拓展内容，以科普性和实践性为主，结合学生年龄特点，注重培养学生的动手实践能力和科学探究精神。
学生特点：六年级学生具备一定的科学知识基础，好奇心强，善于观察和思考，但注意力容易分散，需要通过有趣的教学活动来保持学习兴趣。
教学要求：教师应采用多元化的教学手段，如讲授、讨论、实验、小组合作等，引导学生主动参与，确保课程目标的达成。
同时，注重过程性评价，关注学生的学习成果和情感体验。
二、教学内容1. 太空飞船基本概念：包括飞船的构造、分类、功能及其在太空探索中的应用。
教材章节：第五章“航天器与太空探索”2. 太空飞船发展历史：介绍世界航天发展历程，重点掌握我国航天事业的重要里程碑。
教材章节：第五章“航天器与太空探索”第三节“航天发展简史”3. 飞船飞行原理：学习万有引力、牛顿运动定律等与飞船飞行相关的物理知识。
教材章节：第四章“力和运动”第二节“牛顿运动定律”4. 太空飞船轨道计算：了解轨道基本概念，学习简单的轨道计算方法。
教材章节：第五章“航天器与太空探索”第四节“航天器轨道”5. 太空飞船模型设计与制作：分组进行模型设计与制作，培养动手实践能力。
航天飞行动力学作业（1）1. 动坐标系矢量导数已知火箭相对于地面坐标系的速度5500/v m s =，弹道倾角10θ=，并在纵向平面内运动，俯仰角速度为 1.5/s ω=，火箭俯仰角为30。
整流罩质心距离火箭质心为20m ，质心整流罩分离时相对于火箭箭体的相对速度为2m/s r v =，速度倾角（与火箭纵轴夹角）为45，求整流罩相对于地面坐标系的速度矢量。
解答： c =+r r ρ，c r 为整流罩在地面坐标系下的矢径，r 为火箭质心在地面坐标系下的矢径，ρ为整流罩质心距离火箭质心距离。
c d d d dt dt dt =+r r ρ d dt t δδ=+⨯ρρωρ c d d dt dt tδδ=++⨯r r ρωρ111111cx x rx x x cy y ry y y cz z rz z z v v v v v v v v v ωρωρωρ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 5500*cos102*cos 450205417.95500*sin102*sin 4500956.900 1.5/57.300cx cy cz v v v ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2. 变质量质点动力学方程设火箭发动机秒耗量100kg/s m =，相对喷气速度为3000m/s e μ=，俯仰角速度为 1.5/s ω=，转动惯量变化率1000kg m/s z I =⋅，喷口距离质心距离为10m ρ=，求火箭发动机工作产生的附件哥氏力、附加相对力，附加哥氏力矩，附加相对力矩。
解答：附加哥氏力：0100221000052.3561.5/57.300k T e F m -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=-⨯=-⨯⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ωρ 附加相对力：30003000001000000rele F m -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥'=-⨯=-⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦μ 附加哥氏力矩：0000100100()00001000000001000 1.5/57.30 1.5/57.30287.96kT e T e M m tδδ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=-⋅-⨯⨯=--⨯⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦Iωρωρ 附加相对力矩：0rele e M m '=-⨯=ρμ3. 引力和重力及其夹角将地球视为标准椭球模型，编程求解地表处地心维度分别为=306090φ，，时的：（1）引力加速度,r g g φ；（2）重力加速,r k k φ；（3）离心惯性加速度,er e a a ϕ''； （4）引力加速度与地心矢径夹角1μ；（5）重力加速度与地心矢径夹角μ；（6）地理纬度0B 。
航天飞行动力学课程设计——飞船再入质点弹道日期：2020-11-22航天飞行动力学课程设计 0——飞船再入质点弹道 01.题目重述 (1)1)假设：12)标称轨迹制导 12.背景分析 (1)3.数值求解方法 (1)1)地球以及大气模型12)再入初始数据 13)线性插值方法 14)积分方法-四阶龙格库塔 15)蒙特卡洛打靶随机数生成14.分析过程 (1)1)求解ODE获取基准弹道12)给定偏差量求解ODE获取制导弹道弹道15.结果分析 (1)1)基准弹道情况 12)100次打靶结果分析16.C++程序结构及主要代码 (1)1)头文件12)Cpp文件13)函数声明 14)函数定义 11. 题目重述1) 假设：● 考虑地球旋转影响。
● 地球看成质量均匀分布的圆球，质心在球心。
● 把飞行器看成质点，应用瞬时平衡假设。
2222sin cos sin cos cos cos sin cos (sin cos cos sin cos )1cos ()cos 2cos sin cos (cos cos sin cos sin )1sin cos sin tan 2cos e e e drV dt d V dt r d V dt r dV D g r dt d V L g V r dt V r d L V dt V r γθγψφφγψγωφγφγφψγσγωφψωφγφγψφψσγψφγ====--+-⎡⎤=+-+++⎢⎦⎣⎡=+-⎢⎣2(1)(tan cos cos sin )sin sin cos cos e e r V ωωγψφφψφφγ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎤⎪-+⎥⎪⎦⎩ 上述动力学方程组中，有6个状态变量：[,,,,,]r V θφγψ。
各状态变量的意义为：r ：地球球心到飞行器质心的距离；λ：经度；φ：纬度；V ：相对地球速度；γ：速度倾角；ψ：速度方位角，0ψ=表示正北方向，从正北顺时针旋转为正。
飞行力学弹道设计与分析一．题目重述 (1)二．第一次作业 (2)1.求解思路 ........................................................................................................................................... 2 2. 计算结果：（在MATLAB 环境下编程求解） (3)三．第二次作业 (4)1.要求 (4)2.计算结果展示及问题分析 (5)3.精度分析 (7)四．第三次作业 (8)1.作业要求 (8)2.简单思路分析 (8)3.计算结果及简单问题分析 (8)4.下面我们讨论步长DT 对结果的影响 (10) (10)五．第四次作业 (11)1.作业要求 (11)2.简要分析与计算结果 (12)一．题目重述某一型号导弹，给定参数如下0m =320kg; P=2000N; s m =0.46kg/s;0v =250m/s; 0x =0m; 0H =7000m0θ=0o ; 0ϕ=0o ; 0α=0o ;Sref=0.452m ; Lref=2.5m;0.250.05Cy z αδ=+; 20.20.005Cx α=+;0.10.024z m z αδ=-+; (气动计算里的角度单位都为度)y Y C qSref =; x X C qSref =; z Mz m qSrefLref =; 动压 20.5q v ρ=;其中0 1.2495ρ= 0288.15T =00.0065T T H =-; 00=T T ρρ 4.25588（）; 现要求设计,K K 两个参数在瞬时平衡假设下满足一下飞行方案(飞行中舵偏角015z δ<)1. 9100x m < 0.0/s m kg s =*2000cos(0.000314 1.1)5000H x =⨯⨯+**()()z K H H K H H δ=-+-2. 910024000m x m <<*3000H m =(原题3050m 感觉不太合理，这里改为3000m)*()z K H H KH δ=-+3. 24000m x < ,0y >目标位置 30000,0m m x m y m ==**()z K K θθδθθθθ=-+-（） 采用比例导引法攻击目标 二．第一次作业1.求解思路选取一个微小的时间步长dt 从初始的飞行状态（可看作初始点）的0v =250m/s; 0θ=0o ;可以计算出dt 时刻后下一点的x,y.从而可以计算出下一点的H 和H ，带入式*()z K H H KH δ=-+中求出z δ，又根据瞬时平衡假设求出攻角α，再计算出升力，阻力带入导弹纵向平面的运动方程利用欧拉法求解,v θ的微分方程组就可以求出第二个点的,v θ。
数值分析方法在航天飞行器设计中的应用航天飞行器是人类探索宇宙的重要工具。
其设计和制造中需要经历多个工艺流程，其中数值分析方法在其中扮演了至关重要的角色。
数值分析方法是一种科学计算方法，可用于解决各种基于数学和物理学原理的实际问题。
在航天飞行器的设计中，数值分析方法可以用于模拟和预测各个环节的工艺流程，计算航天器的性能参数，并进行结构优化。
下面将分别介绍数值分析方法在航天飞行器设计中的应用。
1. 流体力学分析流体力学是研究流体运动规律和相互作用的学科。
在航天器的设计中，流体力学分析主要应用于模拟飞船进入大气层时的流体作用，如空气阻力、热传导等。
通过数值模拟，可以预测飞船进入大气层时的受力情况，为设计提供依据，优化飞船结构。
此外，在火箭发动机燃烧室中，数值分析也能够模拟燃烧反应和高温气体流动，以评估火箭推进性能。
2. 结构力学分析在航天器制造过程中，结构力学分析可以用于预测飞船各个结构部件在不同条件下的应力、变形等情况。
通过数值模拟，可以分析不同材料的应力强度情况，优化材料选择和设计。
另外，在飞船的模拟实验中，也可以利用结构力学分析方法对实验数据进行解析和处理，获得更加精确的结论。
3. 制造工艺模拟航天器的制造过程中需要涉及多个制造工艺，如钣金加工、焊接、成型等。
利用数值分析方法，可以对这些制造工艺进行模拟和预测，优化制造过程，提高航天器制造的效率和质量。
4. 控制系统模拟航天器的控制系统对整个航天器的运行状态具有重要影响。
数值分析方法可以用于模拟和预测航天器的控制系统，在不同条件下的响应和性能表现。
通过数值分析，可以针对控制系统的不足之处进行优化，提高航天器的控制精度和安全性。
5. 组合分析航天器是一个复杂的系统，其中涉及多种学科领域的知识和技术。
组合分析，即将多个数值分析方法组合运用，可实现对航天器整体的分析和预测，从而为全面的优化和改进提供基础和支持。
总之，数值分析方法在航天飞行器的设计、制造和运行等各个环节中都发挥着重要的作用。
航天飞行动力学远程火箭弹道设计大作业已知火箭纵向运动方程式如公式(1)所示。
()0sin 1cos cos sin e e pr P v g m v P g m x v y v m m m t A ϕθθαθθθαϕθ⎫=+⋅⎪⎪⎪=⋅⋅+⋅⎪⎪⎬=⋅⎪=⋅⎪⎪=-⋅⎪⎪=⋅-⎭ (1)其中，0,,m ,,,,e v P x y θα分别为火箭飞行速度、发动机推力、火箭初始质量、弹道倾角、攻角、水平位移和飞行高度；A ϕ为角度增益系数，t 为火箭飞行时间，m 为火箭质量。
仿真初始条件如表1和表2所示。
序号变量名 变量值 物理意义及单位 0t 0 火箭飞行时间，s 1θ /2π 初始弹道倾角，弧度 2v 0 火箭初始速度， /m s 4x 0 火箭在地面发射坐标系下的初始水平位置,m 5y 0 火箭在地面发射坐标系下的初始高度,m 表2 有关参数 序号变量名 变量值 物理意义及单位 00m 8000 起飞质量 kg 1m 28.57 单位时间燃料质量消耗， /kg s 2g 9.8 重力加速度常数， 2/N s 3A ϕ 35 角度增益系数 4e P 200 发动机推力，KN 5 w7000 发动机排气速度，/m s 飞行程序角pr ϕ随火箭飞行时间的关系如公式(2)：12111221212312302222= =10s, 130, 150 s 60pr t t t t t t fig t t t t t t t fig t t t fig t t s t πππϕπ⎧≤<⎪⎪⎡⎤⎪⎛⎫--⎪⎛⎫⎢⎥=+-⋅-⋅≤<⎨ ⎪ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎪≤≤⎪⎪⎩==， (2) 问题：（1）请根据如上已知条件，完成火箭纵向运动仿真。
（2）验证齐奥尔科夫斯基公式。
（1） MATLAB 程序：（2）因为Vi1=5370.50655450199Vi2=5370.38223449984=0.1243所以齐奥尔科夫斯基公式正确。
航天器再入轨迹的优化及数值计算方法
南英;吕学富
【期刊名称】《航空与航天》
【年(卷),期】1992(000)003
【总页数】5页(P28-31,35)
【作者】南英;吕学富
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】V412.41
【相关文献】
1.载人航天器深空飞行返回再入轨迹优化 [J], 闵学龙;潘腾;郭海林
2.再入航天器轨迹机动控制研究 [J], 尹永鑫;杨明;王子才
3.利用高斯伪谱法求解升力航天器最优再入轨迹 [J], 周文雅;杨涤;李顺利
4.基于改进蚁群算法的航天器再入轨迹优化 [J], 王银; 王斌
5.航天器轨迹优化的通用数值方法 [J], 南英;陈士橹;严辉
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
航天飞行动力学课程设计——飞船再入质点弹道日期：2022-04-27航天飞行动力学课程设计 0——飞船再入质点弹道 01.题目重述 (1)1)假设：12)标称轨迹制导 12.背景分析 (2)3.数值求解方法 (2)1)地球以及大气模型22)再入初始数据 23)线性插值方法 24)积分方法-四阶龙格库塔 25)蒙特卡洛打靶随机数生成24.分析过程 (3)1)求解ODE获取基准弹道 32)给定偏差量求解ODE获取制导弹道弹道35.结果分析 (3)1)基准弹道情况 32)100次打靶结果分析56.C++程序结构及主要代码 (6)1)头文件62)Cpp文件63)函数声明 74)函数定义 81. 题目重述1) 假设：● 考虑地球旋转影响。
● 地球看成质量均匀分布的圆球，质心在球心。
● 把飞行器看成质点，应用瞬时平衡假设。
2222sin cos sin cos cos cos sin cos (sin cos cos sin cos )1cos ()cos 2cos sin cos (cos cos sin cos sin )1sin cos sin tan 2cos e e e drV dt d V dt r d V dt r dV D g r dt d V L g V r dt V r d L V dt V r γθγψφφγψγωφγφγφψγσγωφψωφγφγψφψσγψφγ====--+-⎡⎤=+-+++⎢⎦⎣⎡=+-⎢⎣2(1)(tan cos cos sin )sin sin cos cos e e r V ωωγψφφψφφγ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎤⎪-+⎥⎪⎦⎩ 上述动力学方程组中，有6个状态变量：[,,,,,]r V θφγψ。
各状态变量的意义为：r ：地球球心到飞行器质心的距离；λ：经度；φ：纬度；V ：相对地球速度；γ：速度倾角；ψ：速度方位角，0ψ=表示正北方向，从正北顺时针旋转为正。
e ω为地球旋转角速度；,D L 分别为阻力加速度和升力加速度，可由下式给出：2211(,)(,)(2)22ref D ref L D V S C Ma L V S C Ma mmραρα==,D LC C 分别为飞行器的阻力系数和升力系数，它们是攻角α和马赫数的函数；ref S为飞行器参考面积；ρ为大气密度。
首先按照配平攻角飞行，得到基准弹道。
2) 标称轨迹制导倾侧角指令(/)cos /cL D L Dσ=0(/)(/)(/)c L D L D L D =+∆，其中0(/)L D 为基准弹道升阻比，取为0.28；(/)L D ∆为与以速度为自变量的基准弹道偏差引起的升阻比，由下式计算：1234(/)x L D k n k R k h k R ∆=∆+∆+∆+∆x n ∆为切向过载偏差，R ∆为航程偏差。
1234,,,k k k k 为系数，通过试验法自行确定。
倾侧角指令在轴向过载大于0.5的时候开始输出，在轴向过载小于0.5时，采用开环制导的方式,即常数10度。
2. 背景分析制导背景：该飞船再入使用弹道-升力式再入，通过配置质心的方法，使航天器进入大气层时产生一定升力，其质心不配置在再入航天器的中心轴线上，而偏离中心轴线一小段距离，同时质心在压心之前，故航天器使用配平攻角飞行，此升力一般不大于阻力的一半，即升阻比小于0.5，其精度比弹道式更优良，外形为简单的旋成体，在一定范围内可以控制航天器的着陆点位置，其最大过载也大大小于弹道式再入时的最大过载。
动力学背景：以配平攻角飞行时，空气动力R 通过航天器的压心和质心，且再入航天器为旋成体，其压心在再入航天器的几何纵轴上，侧滑角为0，攻角小于0.3. 数值求解方法1) 地球以及大气模型重力模型g =g 0(1−(h Re)2)其中g 0=9. 9.80665m/s 2,Re 为地球半径6378.137Km 。
地球自转角速度w ie =7.292e-05rad/s;大气密度模型(10km~120km)选用《航天飞行动力学》P.294~P.295d 的USSA1976标准大气表的拟合值。
声速公式按如下公式计算a =20.0468√T式中的温度（K ）使用大气密度模型进行插值。
2) 再入初始数据=9500m=238.ref S0120km h =θ=0-4; φ=-015 =07600Vγ=03-ψ=0533) 线性插值方法利用Ma 对平衡攻角，阻力系数，升力系数，升阻比进行一阶线性插值。
此外，调取基准弹道偏差量时，也需要进行以速度V 为自变量的线性插值。
4) 积分方法-四阶龙格库塔11234612122322243(22)(,)(,)(,)(,)h i i i i h hi i h hi i i i x x K K K K K f t x K f t x K K f t x K K f t h x hK +=++++==++=++=++5) 蒙特卡洛打靶随机数生成多元线性同余算法生成随机数：本算法选用的线性组合系数a=[269,113,17]，全为质数时性能更加；选用m=16384，默认x0=[91,5,13]。
4. 分析过程1) 求解ODE 获取基准弹道根据6维ODE 方程组：进行4阶龙格库塔积分可求出6个状态变量：[,,,,,]r V θφγψ。
于是可以绘制相关变量关于时间的变化曲线和基准弹道曲线。
方程组中的D 和L 是与Ma 有关的变量，可通过插值得到，(/)cos /cL D L Dσ=，0(/)(/)(/)c L D L D L D =+∆(/)L D ∆按0计算，0(/)L D 取为0.28。
2) 给定偏差量求解ODE 获取制导弹道弹道对飞船加上制导和统计偏差后，1234(/)x L D k n k R k h k R ∆=∆+∆+∆+∆，通过试验调节k1,k2,k3,k4，来控制制导精度，使落点偏差尽可能小，同时避免飞船发散，统计偏差用随机数生成，最后确定落点偏差的均值和置信区间。
本次打靶，对于K 值的初步的设计结果如下k1 = -2e-1, k2 = -5e-7, k3 = -1e-3; k4 = -2e-5;由于本次大作业时间仓促，仅仅只对于这四个值做了初步的设计，只要保证弹道不发散而已。
然而实际使用过程中，必须判断K 值取的好坏。
标准是，能否把任意范围内的拉偏量调整回基准弹道附近，使最终的脱靶量最小，落点精度最高。
5. 结果分析1) 基准弹道情况绘制基准弹道结果曲线，高度-时间, 速度-时间,迎角-时间, 动压-时间,过载-时间，弹道倾角-时间，航程-时间，阻力加速度-时间，倾侧角曲线；基准弹道为S形曲线，在一段时间内飞船平飞，高度变化不大，航程变化率逐渐降低。
速度随高度降低而下降，动压和过载的变化规律相似，在较大的范围内变化。
以上变量均是波动变化的，可以分析出切向过载主要是和阻力加速度相关的。
分析：攻角随高度的降低缓慢增加，而在降低到某一高度时，攻角快速降低。
弹道倾角前期变化不大，而在降低到某一高度时随快速降低。
倾侧角在切向过载小于0.5时输出常值10°，降低到某一高度时变化范围极大，与末制导段复杂的气动特性有关。
2)256次打靶结果分析对终端落点偏差进行蒙特卡洛打靶分析，确定落点偏差的均值和置信区间。
绘制蒙特卡洛打靶的相关曲线。
在加入制导和统计偏差后，进行了256次打靶实验，每一次打靶的弹道如下：对于这256次打靶落点，将其投影到LLH坐标系，可以直观地看到打靶结果的落点散布：可以发现落点基本在以标准弹道落点附近的30km之内。
落点偏差的均方差估计值(25934,22097)m 落点偏差在置信区间（-5930.12，+5930.12）内的概率为95%分析：在k1,k2,k3,k4取值适当的情况下，能得到教理想的弹道，在不同的偏差下，精度基本符合要求。
6.C++程序结构及主要代码本程序创建了三个个类C_RK4和C_linPol以及C_MultiLinMod分别用来实现4阶Runge-Kutta积分、线性插值以及多元线性随机数生成。
使用的时候包含这三个类的头文件和实现文件（cpp文件），就可以创建这三个类的实例；在main函数调用对象的成员函数就可以实现相应的计算以及输出。
这样的对象化编程可以避免直接调用函数时出现太多的形参表，进而简洁高效，有逻辑地实现设定被积函数、初始值、步长、触发条件，以及使用不同方式进行积分和输出结果。
此外，本算法利用C++的重载特性，可以实现不同边界条件下的积分。
调用对象Reentry的不同成员函数，可以实现不同的数值积分算法。
以下介绍程序的结构：1)头文件●C_RK4.h 类声明●C_linPol.h 类声明●C_MultiLinMod.h 类声明●Pch.h 函数以及全局变量声明2)Cpp文件●C_RK4.cpp 4阶Runge-Kutta积分的定义文件●C_linPol.cpp 线性插值定义文件●C_MultiLinMod.cpp 多元线性同余法随机数生成器●Pch.cpp 主要定义全局变量、定义被积函数和它所调用的函数●Main.cpp 执行文件由于所使用的三个类都是通用的文件，以下只对于本次工程项目直接要使用的文件做一说明。
3)#ifndef PCH_H#define PCH_H#include<iostream>//#include <iomanip>#include <fstream>#include<sstream>#include<vector>#include <cstdlib>#include <cmath>#include "C_RK4.h"#include "C_linPol.h"#include "CMulitLinMod.h"// 静态常量—全局变量声明const int neq = 7;static const double g0 = 9.80665, w_ie = 7.2921e-05, Re = 6378137, d2r = 180.0 / 3.141592654;// 函数—求解ODE所需要的函数float atmosphere_density(float h, float *Temperature);float gravity(float h);// 重力模型float soundSpeed(float T);// 声速模型float balanceAOA(double L_D_qS[3], float V, float h);// 配平攻角求解升力阻力void bias2StdTrj(double *y, double biasLpD[]);// 求解相对于基准弹道的偏差double gudiance(float LpD, float N_x);// 制导方程（无偏差）double gudiance(float LpD, float N_x, double t, double *y); 制导方程（打靶使用）void reentry(double t, double *y, double *yDerivative);// ODE方程组float above10km(double *y, float dt);// 判别终止条件int readStdTrjFile(double *stdV, double *stdGamma, double *stdnx, double *stdR);// 读取基准弹道void prt(int num, double *R);// 测试读取值是否正确void MonteCarlo(C_RK4 &trj, const int times);// 打靶并保存结果#endif //PCH_H4)函数定义// pch.cpp: 与预编译标头对应的源文件；编译成功所必需的#include "pch.h"// 未扰动的初始值const float m = 9500, S_ref = 23.8,V0 = 7600, gamma0 = -3.0;static float dm = 0, dL = 0, dD = 0, dTheta = 0, dV = 0;// 在这里定义的作用区域更小，只限于pch.cpp。
