八年级数学寒假班讲义阶段复习

1 / 12 哈佛北大精英创立 1对3辅导教讲义（6）

学员姓名： 学科教师：

年 级： 八年级 辅导科目：

授课日期 时 间

主 题 阶段性复习与检测

教学内容

1．巩固复习八年级第一学期的二次根式、一元二次方程、正反比例函数、几何证明章节知识。

（此环节设计时间在10-15分钟）

说明：学科教师根据八年级上学期的章节思维导图，通过提问的方式与学生一起回顾相关知识点，也可以通过三人之间的竞争抢答来加强对知识点的巩固，让学生与学生之间多一些互动。

2 / 12 哈佛北大精英创立 （此环节设计时间在20-30分钟）

例题1：如图，正比例函数图像直线l经过点A（3，5），点B在x轴的正半轴上，且∠ABO＝45°，AH⊥OB，垂足为点H。

（1）求直线l所对应的正比例函数解析式；

（2）求线段AH和OB的长度；

（3）如果点P是线段OB上一点，设OP＝x，△APB的面积为S，写出S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。

答案：（1）35yx

（2）AH＝5，OB＝8

（3）5202Sx（08x）

试一试：已知：如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3cm，OB＝33cm．以O为原点、OB为x轴建立平面直角坐标系．设P是AB边上的动点，从A向点B匀速移动，速度为1cm／秒；Q是OB边上的动点，从O向点B匀速移动，速度为2cm／秒．当任意一点到达点B，运动随之停止．

（1）试求B的度数；

（2）设P、Q移动时间为t秒，建立△OPQ的面积S（cm2）与t（秒）之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

yxBAOPQ yx备用图BAOPQ

答案：（1）∠B＝30°； （2）2132Stt yxlBHOA

3 / 12 哈佛北大精英创立 此环节设计时间在60分钟左右（40分钟练习+20分钟互动讲解）。

一、填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分）

1．化简二次根式2)3(＝ ．

2．在实数范围内因式分解：241xx______________________．

3．方程23xx的解是_________________．

4．如果反比例函数2kyx的图像在当0x的范围内，y随着x的增大而增大，那么k的取值范围

是__________．

5．如果关于x的一元二次方程260xxc（c是常数）没有实数根，那么c的取值范围是__ ____．

6．若直角三角形两直角边的长是8和6，则斜边上的高是_______ ___．

7．点C在x轴上，点C到点A（﹣1，4）与点B（2，﹣5）的距离相等，则点C的坐标为 ．

8．如图，等腰三角形ABC中，已知,40ABACA，AB的垂直平分线交AC于D，那么CBD的度数为 ．

9．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝1，那么EF＝ _________ .

10．如图，AD是ABC△的中线，45ADCo，2cmBC，把ACD△沿AD对折，使点C落在E的位置，那么BE cm．

BA第9题图CEOF

二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分）

11．下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）

A．022x B．012mxx C．0222xx D．02mxx

12．下列命题中，不正确的是（ ） D A

B C

第8题图

4 / 12 哈佛北大精英创立 （A）各有一个角为95°，且底边相等的两个等腰三角形全等；

（B）各有一个角为40°，且底边相等的两个等腰三角形全等；

（C）各有一个角为40°，且其所对的直角边相等的两个直角三角形全等；

（D）各有一个角为40°，且有斜边相等的两个直角三角形全等．

13．在Rt△ABC中，90C，15B，AC＝2，如果将这个三角形折叠，使得点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N，那么BN等于（ ）．

（A） 2 （B） 4 （C） 6 （D） 8

14．已知函数)0(kkxy中y随x的增大而增大，那么它和函数(0)kykx在同一直角坐标平面内的大致图像可能是（ ）．

(A) (B) (C) (D)

三、计算题（本大题共3题，第15、16题各6分，第17题8分，满分20分）

15．用配方法解方程：01242xx

16．计算： 86218322xxxxxx

17．已知函数21yyy，1y与x成反比例，2y与2x成正比例，当1x时，1y，当3x时，5y。

（1）求y关于x的函数的解析式；

（2）求当3x时的函数值。 x y

O x y

O x y

O

x y

O

5 / 12 哈佛北大精英创立

四、综合题（本大题共3题，第18题10分，第19题、20题各12分，满分34分）

18．甲、乙两人同时从A地前往相距5千米的B地．甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，甲行驶的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数图像如图所示；乙慢跑所行的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数解析式为1(060)12stt．

（1）在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图像；

（2）乙慢跑的速度是每分钟 千米；

（3）甲修车后行驶的速度是每分钟 千米；

（4）甲、乙两人在出发后，中途 分钟时相遇．

19．如图，在ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的两侧，BM直线a于点M，CN直线a于点N，联结PM、PN， 延长MP交CN于点E．

（1）求证：BPM≌CPE； （2）求证：PMPN． 0 10 20 30 40 50 60 t（分钟） s（千米）

1 2 3 4 5

第18题图

6 / 12 哈佛北大精英创立

20．已知：在△ABC中，∠ABC＝90，点E在射线BA上,，ED与直线AC垂直， 垂足为D，且点M为EC中点， 联结BM， DM.

（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；

（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.

DMBACE

解：（1）BM与DM的数量关系是： ；

（2）∠BMD与∠BCD所满足的数量关系是： .

参考答案：

一、填空题：

1、3； 2、(23)(23)xx； 3、120,3xx； 4、2k； 5、9c； 6、245；

7、(2,0)； 8、30°； 9、2； 10、2 A

B

M P N

E

C a

MDBACE

7 / 12 哈佛北大精英创立

二、选择题：

11、B； 12、B； 13、B； 14、D

三、计算题：

15、154x； 16、922xx； 17、（1）34(2)yxx （2）﹣21

四．解答题：

18、（1）略； （2）112； （3）320； （4）24； 19、证明略；

20、解：（1） 结论：BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD.

（2）在（1）中得到的结论仍然成立. 即BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD.

∵ 点M是Rt△BEC的斜边EC的中点（已知），

∴ BM＝21EC＝MC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.

同理，DM＝21EC＝MC. ∴ BM＝DM.

∵ BM＝ MC，DM ＝MC（已证），

∴ ∠CBM ＝∠BCM， ∠DCM＝∠CDM.

∴ ∠BMD＝∠EMB—∠EMD＝2∠BCM—2∠DCM

＝2(∠BCM-∠DCM)＝ 2∠BCD.

即 ∠BMD＝2∠BCD.

补充类试题：（可选择使用）

1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于G．给出四个结论：

①AE=CF； ②EF=AP；

③△EPF是等腰直角三角形； ④∠AEP=∠AGF．

其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

答案：C．

8 / 12 哈佛北大精英创立 2．已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上，且AM＝BN，联结MN交边AB于点P．

（1）猜测MP与NP的数量关系；

（2）若设AM＝x，BP＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；

NMFBCA DNMFBCA

答案：（1）证明：过点M作MD∥BC 交AB于点D．

∵MD∥BC，∴∠MDP＝∠NBP．

∵AC＝BC，∠C＝90°∴∠A＝∠ABC＝45°．

∵MD∥BC，∴∠ADM＝∠ABC＝45°．∴∠ADM＝∠A，∴AM＝DM．

∵AM＝BN，∴BN＝DM．

在△MDP和△NBP中，∠MDP＝∠NBP，∠MPD＝∠NPB，BN＝DM

∴△MDP≌△NBP． ∴MP＝NP．