第一章 勾股定理
1. 3 勾股定理的应用 教学设计
1. 能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.
2. 学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
3. 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学.
【教学重点】
探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.
【教学难点】
利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.
一、创设情境，引入新知
从二教楼到综合楼怎样走最近？说明理由
二、合作交流，探究新知
1. 蚂蚁怎么走最近 ◆ 教学过程 ◆ 教学重难点
◆ ◆ 教学目标
AB
AB
出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)．
（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）
（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?
（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）
我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图).
我们不难发现，刚才几位同学的走法：
(1)A→A′→B； (2)A→B′→B；
(3)A→D→B； (4)A—→B.
哪条路线是最短呢？你画对了吗？
第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.
2. 李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
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勾股定理
本章常用知识点：
1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。如果用字母a,b,c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。
2、勾股数：满足a2+b2=c2的三个 ，称为勾股数。
常见勾股数有：
3、常见平方数：
121112； 144122； 169132； 196142； 225152；256162
289172； 324182； 361192； 400202；441212； 484222
529232； 576242； 625252； 676262；729272
专题归类：
专题一、勾股定理与面积
1、、在Rt▲ABC中，C=90,a=5,c=3.，则Rt▲ABC的面积S= 。
2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为：
。
3、直线l上有三个正方形a、b、c，若a和c的面积分别为5和11，则b的面积为
4、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，
则S1＋S2＋S3＋S4等于 。
5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。
6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c且满足：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。
7、如图1，90ACB，BC=8,AB=10,CD是斜边的高，求CD的长？ l a b
c
l321S4S3S2S1
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7、如下图，在∆ABC中，90ABC，AB=8cm，BC=15cm，P是到∆ABC三边距离相等的点，求点P到∆ABC三边的距离。
第1页—总14页 《勾股定理》典型例题分析
考点一：利用勾股定理求面积
1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．
2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．
3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）
A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3< S1 D. S2- S3=S1
4、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
S3S2S1
第2页—总14页 考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为 ．
2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是
3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．
4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）
A． 2倍 B． 4倍 C． 6倍 D． 8倍
5、在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；
④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
6、如果直角三角形的两直角边长分别为1n2，2n（n>1），那么它的斜边长是（ ）
A、2n B、n+1 C、n2－1 D、1n2
7、在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（ ）
勾股定理知识点归纳和题型归类
一．知识归纳
１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc
２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：4EFGHSSS正方形正方形ABCD，2214()2abbac，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc
大正方形面积为222()2Sabaabb，所以222abc
方法三：1()()2Sabab梯形，2112S222ADEABESSabc梯形，化简得证
３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a，b，c满足222abc，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22ab与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222abc，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222abc，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；
