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平面向量的复习指导

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- 1 - 平面向量的复习指导

平面向量是指在平面上的一种矢量，它有两个分量：横纵坐标，即横向分量和纵向分量，它可以代表一个平面上的任何点或方向。比如，在二维空间中，我们可以用一个向量a来代表它在x轴和y轴上的分量，即a=(a_x,a_y)。

二、平面向量的特点

1、平面向量有两个分量：横轴和纵轴；

2、平面向量可以表示一个二维空间中的点，也可以表示一个二维空间中某一点到另一点的方向；

3、平面向量可以使用箭头图示表示，向量的方向表示箭头的方向，向量的大小表示箭头的长度；

4、向量的大小，也就是它的模，可以使用勾股定理来求得；

5、平面向量可以相加减，可以乘以常数，也可以做点积；

6、平面向量可以表示力，按它们能够产生的作用力来求得；

7、平面向量在标准坐标系下，有特殊的表示方法极坐标表示法。

三、平面向量的运算

1、平面向量的加法：两个向量的和是指它们的横轴和纵轴的和，比如a=(a_x,a_y),b=(b_x,b_y)那么a+b=(a_x+b_x,a_y+b_y)；

2、平面向量的减法：两个向量的差是指它们的横轴和纵轴的差，比如a=(a_x,a_y),b=(b_x,b_y)那么a-b=(a_x-b_x,a_y-b_y)；

3、平面向量的数乘：一个向量乘以一个数，是指它们每一个分量都乘以这个数，比如a=(a_x,a_y),x是一个数，那么 - 2 - ax=(xa_x,xa_y)；

4、平面向量的点积：两个向量的点积是指它们的横轴的乘积加上纵轴的乘积，比如a=(a_x,a_y),b=(b_x,b_y)，那么ab=a_xb_x+a_yb_y；

5、平面向量的投影：平面向量的投影就是把它投影到另一个向量上，比如a=(a_x,a_y)投影到b=(b_x,b_y)上，那么投影的结果就是ab/|b|*(b_x/|b|,b_y/|b|)，其中|b|表示向量b的模。

四、平面向量的实际应用

1、平面向量可以应用于物理学，比如刚体力学中的力和速度等，以及天文学中的位置向量等；

2、平面向量可以用来表示某种趋势，比如存在变化的物理量的变化趋势；

3、平面向量可以用于几何学中，比如求直线的斜率，求圆心角等；

4、在建筑绘图中，向量可以用来表示建筑物的三维形体；

5、平面向量在算法设计中也有很多应用，比如实现最短路径问题的算法等；

6、在计算机图像处理中，平面向量也有很多应用，比如用于图像的边缘检测、图像的锐化处理等等。

五、复习技巧

1、熟悉基本的概念：复习时要熟悉平面向量的概念，这是基本的知识； - 3 - 2、背诵重要的定义：复习时要背诵重要的定义，比如勾股定理、极坐标表示法等；

3、掌握基本运算：复习时要掌握基本的向量运算，比如加法、减法、数乘、点积等；

4、练习例题：复习时要多练习一些相关的例题，可以帮助检验自己的学习效果；

5、多读书：复习时要多阅读相关书籍，多了解向量的应用，这样可以增加自己的知识；

6、多交流：复习时要多和老师和同学交流，以便更好地理解向量的概念和运算。

综上所述，平面向量是二维空间中的矢量，它有两个分量：横向分量和纵向分量，它可以代表一个平面上的任何点或方向。它拥有加减乘除等基本运算，也有极坐标表示法，可以用来表示力和趋势，也应用于物理、几何、算法设计等诸多领域。复习时要熟悉概念，背诵定义，掌握基本运算，练习例题，多看书，多交流，用心复习，相信一定能够掌握平面向量。

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平面向量复习导引

平面向量复习导引

1 平面向量全章复习

【教学目标】

复习平面向量的概念，向量的加法、减法、数乘、向量共线定理、平面向量基本定理，平面向量坐标表示．向量的数量积、数量积的坐标表示，向量的应用。

本章知识框架

推论及公式：

 设a=（x，y），则a2=x2+y2，即|a|=x2+y2．

 两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式为AB = 221212xxyy．

 a=(x1,y1)，b= (x2,y2)，它们的夹角为θ，则有121222221122cosxxyyxyxyabab

 0abab1212xxyy=0．

二．典型例题分析

例1. 在四边形ABCD中, 已知ADABAC, 试判断四边形ABCD是什么样的四边形?

例2. 化简：

（1）ABBCCD______；（2）ABADDC_____；（3）()()ABCDACBD_____．

例3. 若AB=3e1,CD=－5e1,且|AD|=|BC|，判断四边形ABCD的形状．

例4. 若112()(3)032xabcxb，则x__________．

例5. 已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式3xa+(10－y)b=2xb+(4y+4)a,则x=_____________,y=_____________． 向量的定义

向量的表示

向量间的关系 向量 相等向量

相反向量

共线向量 符号表示

几何表示

基底表示

坐标表示

向量的运算 加法

减法

数乘

向量的应用 数量积 平行与共线

长度

夹角 垂直

2 例6. 向量(1,1)a，且与ba2的方向相同，则ba的取值范围是 ),1(．

高考一轮复习：平面向量的概念及线性运算

高考一轮复习：平面向量的概念及线性运算

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我爱学习网 高中数学学习方法/gaozhong/shuxue/fangfa/ 第1讲 平面向量的概念及线性运算

【2015年高考会这样考】

1．考查平面向量的线性运算．

2．考查平面向量的几何意义及其共线条件．

【复习指导】

本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别．

基础梳理

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则 (1) 交换律：

a＋b＝b＋a.

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

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减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则 a－b＝a＋(－b)

3.向量的数乘运算及其几何意义

(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则

①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb.

4．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

平面向量专题复习

平面向量专题复习

平面向量专题复习

考点一、平面向量的概念，线性表示及共线定理题型一、平面向量的概念1．给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是

四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a

＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命

题的序号是( )

A．②③ B．①② C．③④ D．④⑤

2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，

则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a

＝a0.假命题的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

题型二、平面向量的线性表示1．(2014·新 课 标 全 国 卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边

BC，CA，AB的中点，则＋＝( )

A． B. C． D.

2．(2013·江 苏 高 考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的

点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为

________．

3．(2015·聊 城 二 模 )在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝

( )

A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c4．若典例2条件变为：若＝2，＝＋λ，则λ＝________. 题型三、平面向量共线定理典题：设两个非零向量e1和e2不共线．如果＝e1＋e2，＝2e1－

3e2，＝3e1－ke2，且A，C，F三点共线，求k的值．

[变式1]　在本例条件下，试确定实数k，使ke1＋e2与e1＋ke2共线．

考点二、平面向量基本定理及其坐标表示

题型一、平面向量基本定理及其应用

1．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量

中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1

平面向量及应用

平面向量及应用

平面向量及应用

温州八中 林胜杰

向量在数学、物理学以及许多生产实践中有着广泛的应用，通过本章的复习将使我们对量的数学表达式的认识进入到一个新的领域，进一步领会数形结合的思想方法，增强我们解决实际问题的能力。

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个“交汇点”，成为联系多项内容的媒介，特别是在处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题时，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。

【考点梳理】

一、考试内容

1．向量、向量的概念，向量的加法与减法，实数与向量的积。

2．平面向量的坐标表示，线段的定比分点。

3．平面向量的数量积，平面两点间的距离公式。

4．平移及平移公式。

二、考试要求

1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2．掌握向量的加法与减法。

3．掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。

4．了解平面向量基本定理。理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5．掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6．掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

三、考点精析

1．平面向量知识结构

2．向量的概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也即是向量的长度，叫做向量的模。

（2）特定大小或特定关系的向量：零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。

（3）表示法

①几何法：画有向线段表示，记为AB或a。

②坐标法：AB=xi+yj=(x,y)；AB=(x2－x1,y2－y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)