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二次函数平行四边形存在性问题例题

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二次函数平行四边形存在性问题例题

例题：

已知二次函数f(x) = ax² + bx + c，其中a ≠ 0，现给定两点A(x₁,

y₁)和B(x₂, y₂)，求是否存在一个平行四边形ABCD，使得AC和BD都平行于直线y = kx + m。

解题思路：

首先，我们需要确定k和m的值，因为平行四边形ABCD中的AC和BD必须平行于直线y = kx + m。根据平行的性质，我们可以得到AC和BD的斜率都为k。所以，我们首先需要求得二次函数f(x)的斜率。

二次函数f(x) = ax² + bx + c的斜率可以通过求导得到。将f(x)对x求导，得到f'(x) = 2ax + b。所以，二次函数f(x)的斜率k =

f'(x)处的斜率 = 2ax + b。

在已知的两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)处，可以得到f(x₁) = ax₁² +

bx₁ + c = y₁和f(x₂) = ax₂² + bx₂ + c = y₂。我们可以根据这两个条件，列出方程组，并通过求解方程组来求得平行四边形ABCD的存在性。

方程组如下所示：

1. ax₁² + bx₁ + c = y₁

2. ax₂² + bx₂ + c = y₂

为了方便计算，可以移项，得到以下形式：

1'. ax₁² + bx₁ + c - y₁ = 0

2'. ax₂² + bx₂ + c - y₂ = 0 现在我们需要判断是否存在一个平行四边形ABCD，使得AC和BD都平行于直线y = kx + m。根据平行四边形的性质，可以得知AC的斜率等于k，即AC的斜率为2ax + b，同样，BD的斜率也等于k。所以我们需要判断是否存在一组x₁、y₁、x₂、y₂的值，使得如下两个方程成立：

3. 2ax₁ + b = k

4. 2ax₂ + b = k

将方程3和方程4化简，得到如下形式：

3'. 2ax₁ + b - k = 0

4'. 2ax₂ + b - k = 0

现在我们有了方程2'和方程4'，我们可以组成如下新的方程组：

2'. ax₂² + bx₂ + c - y₂ = 0

4'. 2ax₂ + b - k = 0

这是一个二次函数与一次函数的方程组，我们可以通过求解这个方程组来判断是否存在平行四边形ABCD。

解方程组的方法有多种，比如代入法、消元法、求解整体系数法等。这里我们以代入法为例来解方程组。将方程2'中的ax₂² + bx₂ + c替换为y₂，得到如下等式：

y₂-y₂=y₂-y₂

通过这个等式我们可以得到一个结论，即只要x, y满足要求，那么(2'. 2ax₂ + b - k = 0) 成立。 所以，只要方程组2'和4'有解，那么就存在一个平行四边形ABCD，使得AC和BD都平行于直线y = kx + m。

综上所述，二次函数平行四边形存在性问题可以通过解二次方程组来求解。

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题型一、角度及平行四边形存在性问题

1. （2019·湖北咸宁中考）如图，在平面直角坐标系中，直线221xy与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线cbxxy221经过A,B两点且与x轴的负半轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标；

（3）已知E,F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B,O,E,F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）在122yx中，y=0时，x=4；x=0时，y=2，

即A(4,0)，B(0,2),

将A、B两点坐标代入抛物线解析式，得：

8402bcc，解得：b=32，c=2，

即抛物线解析式为：213222yxx.

（2）如图，过点B作BE∥x轴交抛物线于点E，过D作DF⊥BE于F，

∴∠BAC=∠ABE， ∵∠ABD=2∠BAC，

∴∠ABD=2∠ABE，

即∠DBE=∠BAC，

设点D的坐标为（x，213222xx），则BF=x，DF=21322xx，

∵tan∠DBE=DFBF, tan∠BAC=OBOA,

∴DFBF=OBOA，即2132224xxx，

解得：x=0（舍）或x=2，

即点D的坐标为：（2,3）.

（3）B（0,2）,O（0,0）

设E点坐标为（m，122m），F点坐标为（n，213222nn），

①若四边形BOEF是平行四边形，

则2113222222mnmnn，解得：22mn，

即E点坐标为（2，1）；

②若四边形BOFE是平行四边形时，

则2131222222mnnnm，解得：222222222222mmnn或，

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学科

名称 年级 上课时间 月 日 _ _ ：00-- __ ：00

课题

名称 二次函数与平行四边形的存在问题

教学

重点 (完整)二次函数与平行四边形存在性问题

文档大全 教

学

过

程 【知识梳理】

1、平行四边形的性质是什么？

2、在坐标系中,平行四边形又有哪些性质?

3、解决问题的策略:

①根据要求画出满足要求的图形，然后根据几何性质计算未知量

②分类讨论，根据对角线“共中点”的性质直接计算。

1. (2011•盘锦）如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过A(1，﹣1)、B（4，0)两点．

专题6二次函数与平行四边形存在性问题(解析版)

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专题6 二次函数与平行四边形存在性问题

以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.

解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.

1. 平面直角坐标系中，点 A的坐标是11(,)xy，点B的坐标是22(,)xy，则线段AB的中点坐标是1212(,)22xxyy.

2. 平行四边形ABCD的顶点坐标分别为(,)AAxy、(,)BBxy、(,)CCxy、(,)DDxy，则ACBDxxxx，

ACBDyyyy.

3. 已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：

【例1】（2020•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长；

（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．

（2）求出AB，OA，AC，利用相似三角形的性质求解即可．

（3）分两种情形：①PA为平行四边形的边时，点M的横坐标可以为±2，求出点M的坐标即可解决问题．②当AP为平行四边形的对角线时，点M″的横坐标为﹣4，求出点M″的坐标即可解决问题．

中考数学专题复习 二次函数背景下的平行四边形的存在性问题

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专题二 二次函数背景下的平行四边形的存在性问题

知识梳理

平行四边形的存在性问题是分类讨论中的一大难点。此类题目多在直角坐标平面内，辅以二次函数为背景.一般会根据两个或者三个定点,在某个特定的位置上找另两个顶点或者第四个顶点，这样的顶点往往不止一个,需要仔细考虑解题策略,如:若已知两点构成的线段是平行四边形的一边或者对角线.如何利用平行四边形的性质确定出其他的顶点的位置，否则在分类时就容易漏解.

【典型例题】

【例1】 如图.抛物线y= ax2 +bx+c与y轴正半轴交于点C，与x轴交于点A(1， 0)、

B (4，0)，∠OCA=∠OBC.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、 A、 B、C为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点M的坐标.

[思路分析]本题在平行四边形分类讨论中已经有三个点是定点,则第四个顶点可利用平行四边形两组对边分别平行的方法去找，AC，AB，BC中任意两边可作为平行四边形的邻边，分别作这两邻边的平行线，它们的交点就是所求的平行四边形的第四个顶点.

当CA和CB为平行四边形的邻边时，M在第四象限，BH=AO=1,M,=−2 解： 所以M3(5, −2)

综上所述:M点的坐标为M1(3，2)或M2(−3，2)或M3(5， −2).

[点评]M1，M2的坐标相对易求得，而M3的坐标利用平行四边形的性质:对角顶点到对角线距离相等或者三角形全等求得M3的坐标.

【例2】如图，抛物线y=ax2+ 2ax+3与y轴交于点C，与x轴交于A、 B两点(点A和点B分别在x轴的正、负半轴上)，cot∠OCA = 3.

(1)求抛物线的解析式;

(2)平行于x轴的直线l与抛物线交于点E, F(点F在点E的左边)，如果四边形OBFE是平行四边形,求点E的坐标.

[思路分析]由题意得 BO不可能是平行四边形的对角线,所以只可能OB = EF =3,又因为EF被对称轴平分,根据对称轴的方程便能求得点E的坐标