二次函数压轴题之平行四边形存在性问题

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平行四边形存在性问题

考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：

（1）对应边平行且相等；

（2）对角线互相平分．

这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：

（1）对边平行且相等可转化为：ABDCABDCxxxxyyyy，

可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同．

yD-yCxD-xCyA-yBxA-xBABCD

（2）对角线互相平分转化为：2222ACBDACBDxxxxyyyy，

可以理解为AC的中点也是BD的中点．

DCBA

【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：ABDCACDBABDCACDBxxxxxxxxyyyyyyyy，

2222ACBDACBDxxxxyyyy→ACBDACBDxxxxyyyy．

当AC和BD为对角线时，结果可简记为：ACBD（各个点对应的横纵坐标相加）

以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？ 2

反例如下：

ABCDM

之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．

虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：

（1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．

（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．

【题型分类】

平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题．

1．三定一动

已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形．

D3D2D1OyxCBAABCxyO

思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：

设D点坐标为（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：

（1）BC为对角线时，531352mn，可得17,6D；

（2）AC为对角线时，135253mn，解得21,4D；

（3）AB为对角线时，153235mn，解得33,0D． 3 D3D2D1OyxCBA

当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．

比如：1=DBCA，2=DACB，3DABC．（此处特指点的横纵坐标相加减）

2．两定两动

已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求C、D坐标．

BAOyx

【分析】

设C点坐标为（m，0），D点坐标为（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．

（1）当AB为对角线时，130120mn，解得43mn，故C（4，0）、D（0，3）；

（2）当AC为对角线时，130102mn，解得21mn，故C（2，0）、D（0，-1）；

（3）当AD为对角线时，103120mn，解得21mn，故C（-2，0）、D（0，1）．

DCDCCDBAOyxBAOyxxyOAB 4

【动点综述】

“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．

从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．

找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：

（1）对边平行且相等；

（2）对角线互相平分．

但此两个性质统一成一个等式： ACBDACBDxxxxyyyy，

两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．

由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．

【2019宜宾中考】

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线22yaxxc与直线ykxb都经过(0,3)A、(3,0)B两点，该抛物线的顶点为C．

（1）求此抛物线和直线AB的解析式；

（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．

ABCEOxy 5

【分析】

（1）抛物线：223yxx，直线AB：3yx；

（2）考虑EC∥MN，故若使点M、N、C、E是平行四边形，则EC=MN即可，

∵E（1，-2）、C（1，-4），

∴EC=2，

设M点坐标为（m，m-3）（m>1），则N点坐标为2,23mmm，

则MN=222333MNmmmmm

由题意得：232mm，

232mm，解得：13172m，23172m（舍），

对应P点坐标为317317,22；

232mm，解得：32m，41m（舍）．

对应P点坐标为（2，-1）．

MNyxOECBAMNyxOECBA

综上，P点坐标为317317,22或（2，-1）．

（3）铅垂法可解．

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【2018河南中考（删减）】

如图，抛物线26yaxxc交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线5yx经过B、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M．当AMBC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标．

备用图yxOCBAABCOxy 7

【分析】

（1）265yxx；

（2）考虑到AM∥PQ，故只需AM=PQ即可．

过点A作BC的平行线，与抛物线交点即为P点，

易得直线AP的解析式：1yx，

联立方程：2651xxx，解得：11x（舍），24x，

故对应P点坐标为（4，3）；

QPMyxOCBA

作点A关于B点的对称点A，过点A作BC的平行线，

与抛物线的交点亦为题目所求P点，

易求直线解析式：9yx，

联立方程：2659xxx，解得：15412x，25412x．

故对应P点坐标为5411341,22、5411341,22．

A'PQQPxyOAMB

综上所述，P点坐标为（4，3）、5411341,22、5411341,22． 8

【2018郴州中考（删减）】

如图，已知抛物线2yxbxc与x轴交于(1,0)A，(3,0)B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

lABCDOPxyM

【分析】

（1）抛物线：223yxx；

（2）由题意可知CP、DM为对角线，

考虑DM在直线x=-1上，故CP中点在直线x=-1上，

∵点C坐标为（0，3），故点P横坐标为2，代入解析式得P（2，3），

易知M点坐标为（1，6）．

MyxPODCBAl 9

【三定一动】

（2018·恩施州中考删减）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为(1,0)，2OC，3OB，点D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标．

ABCDOxyABCDOxy

【分析】

（1）抛物线：224233yxx；

（2）设P点坐标为（m，n），又B（3，0）、C（0，2）、D813，

①若BC为对角线，由题意得：3018023mn，解得：223mn，

故1P的坐标为22,3；

②若BD为对角线，由题意得：3108023mn，解得：423mn，

故2P坐标为24,3；

③若BP为对角线，由题意得：3018023mn，解得：2143mn，

故3P坐标为142,3．

P3P2P1yxODCBA

综上所述，P点坐标为22,3、24,3、142,3．