高考数学一轮复习教学案两直线的位置关系(含解析)
- 格式：docx
- 大小：195.28 KB
- 文档页数：12
1 / 12 两直线的位置关系
[知识能否忆起]
一、两条直线的位置关系
斜截式 一般式
方
程 y＝k1x＋b1
y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)
A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)
相
交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
当A2B2≠0时，记为A1A2≠B1B2
垂
直 k1＝－1k2或
k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
当B1B2≠0时，记为A1B1·A2B2＝－1
平
行 k1＝k2
且b1≠b2 { A1B2－A2B1＝0，B2C1－B1C2≠0或{ A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0
当A2B2C2≠0时，记为A1A2＝B1B2≠C1C2
重
合 k1＝k2
且b1＝b2 A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)
当A2B2C2≠0时，记为A1A2＝B1B2＝C1C2
二、两条直线的交点
设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组{ A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．
三、几种距离
1．两点间的距离
平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：
d(A，B)＝|AB|＝x1－x22＋y1－y22.
2．点到直线的距离
点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax1＋By1＋C|A2＋B2.
3．两条平行线间的距离
2 / 12 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)．若l1⊥l2，则实数m为( )
A．6 B．－6
C．5 D．－5
解析：选B 由已知得k1＝1，k2＝m＋15.
∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，
∴1×m＋15＝－1，即m＝－6.
2．(教材习题改编)点(0，－1)到直线x＋2y＝3的距离为( )
A.55 B.5
C．5 D.15
解析：选B d＝|0＋2×－1－3|5＝5.
3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( )
A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)
C．(－a，－b) D．(－b，－a)
解析：选B 设对称点为(x′，y′)，则
y′－bx′－a×－1＝－1，x′＋a2＋y′＋b2＋1＝0，
解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.
4．l1：x－y＝0与l2：2x－3y＋1＝0的交点在直线mx＋3y＋5＝0上，则m的值为( )
A．3 B．5
C．－5 D．－8
解析：选D 由{ x－y＝0，2x－3y＋1＝0，得l1与l2的交点坐标为(1,1)．
所以m＋3＋5＝0，m＝－8.
5．与直线4x＋3y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________________．
3 / 12 解析：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，由3＝|m＋5|42＋32，得m＝10或－20.
答案：4x＋3y＋10＝0或4x＋3y－20＝0
1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．
2．在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax＋By＋C＝0的形式，否则会出错．
两直线的平行与垂直
典题导入
[例1] (·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[自主解答] 由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.
[答案] A
在本例中若l1⊥l2，试求a.
解：∵l1⊥l2，∴a×1＋2×(a＋1)＝0，
∴a＝－23.
由题悟法
1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．
2．(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.
(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
以题试法
4 / 12 1．(·大同模拟)设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是( )
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
解析：选C 由已知得a≠0，sin B≠0，所以两直线的斜率分别为k1＝－sin
Aa，k2＝bsin
B，由正弦定理得k1·k2＝－sin Aa·bsin B＝－1，所以两条直线垂直．
两直线的交点与距离问题
典题导入
[例2] (·浙江高考)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.
[自主解答] 因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为0－－42－2＝22－2＝2，所以曲线C1与直线l不能相交，故x2＋a＞x，即x2＋a－x＞0.
设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝|x0－y0|2＝－x0＋x20＋a2＝x0－122＋a－142≥4a－142＝2，所以a＝94.
[答案] 94
由题悟法
1．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直线方程为一般式．
2．点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解：
(1)点P(x0，y0)到与y轴垂直的直线y＝a的距离d＝|y0－a|.
(2)点P(x0，y0)到与x轴垂直的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.
以题试法
2．(·通化模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为21313，则c的值是________．
解析：由题意得63＝a－2≠c－1，
5 / 12 得a＝－4，c≠－2，
则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋c2＝0，
则c2＋113＝21313，解得c＝2或－6.
答案：2或－6
对 称 问 题
典题导入
[例3] (·成都模拟)在直角坐标系中，A(4,0)，B(0，4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A．210 B．6
C．33 D．25
[自主解答] 如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4,2)，C(－2,0)，由对称性知，D，M，N，C共线，则△PMN的周长＝|PM|＋|MN|＋|PN|＝|DM|＋|MN|＋|NC|＝|CD|＝40＝210即为光线所经过的路程．
[答案] A
由题悟法
对称问题主要包括中心对称和轴对称
(1)中心对称
①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
{ x′＝2a－x，y′＝2b－y.
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有 n－bm－a×－AB＝－1，A·a＋m2＋B·b＋n2＋C＝0.
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
以题试法
6 / 12 3．(·南京调研)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
解析：选A 与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.
1．(·海淀区期末)已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 由k1＝k2,1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2知k1×1－k2×1＝0，所以k1＝k2.故“k1＝k2”是“l1∥l2”的充要条件．
2．当0＜k＜12时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(
)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选B 解方程组{ kx－y＝k－1，ky－x＝2k，得两直线的交点坐标为kk－1，2k－1k－1，因为0＜k＜12，所以kk－1＜0，2k－1k－1＞0，故交点在第二象限．
3．(·长沙检测)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为( )
A.85
B.32
C．4
D．8
解析：选B ∵直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即为3x＋4y＋12＝0，∴直线l1与直线l2的距离为12＋732＋42＝32.
4．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )
A．(0,4) B．(0,2)
C．(－2,4) D．(4，－2)
