第三高考数学一轮复习 直线与平面的位置关系教案

20213

第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

［考纲解读] 1。理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解可以作为推理依据的公理和定理，并运用它们证明一些空间图形的位置关系的简单命题．(重点)

2.主要考查平面的基本性质，空间两直线的位置关系及线面、面面的位置关系，能正确求出异面直线所成的角．(重点、难点)

[考向预测］ 从近三年高考情况来看，尽管空间点、线、面的位置关系是立体几何的理论基础,但却很少独立命题．预测2021年高考会有以下两种命题方式：①以命题形式考查空间点、线、面的位置关系;②以几何体为载体考查线、面的位置关系或求异面直线所成的角．题型为客观题，难度一般不大，属中档题型.

1．空间两条直线的位置关系

（1）位置关系分类

错误!错误!

（2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的□04锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）． 20213

②范围:错误!(0°，90°]．

(3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角错误!相等或互补．

2．空间直线与平面、平面与平面的位置关系

图形语言 符号语言 公共点

直线与平面 相交

错误!a∩α＝A □021个

平行 错误!a∥α 错误!0个

在平面内 错误!a⊂α 错误!无数个

续表

图形语言 符号语言 公共点

平面与平面 平行 错误!α∥β 错误!0个

相交 错误!α∩β＝l 错误!无数个

3．必记结论 20213

（1)唯一性定理

①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

②过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

④过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

(2)异面直线的判定定理

平面外一点A与平面内一点B的连线与平面内不经过B点的直线互为异面直线．

1．概念辨析

- 1 - 专题40 空间点、直线、平面之间的位置关系

1．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面。其中正确的序号是( )

A．① B．①④

C．②③ D．③④

【答案】：A

2．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是( )

A．a平行于α内的所有直线

B．α内有无数条直线与a平行

C．直线a上的点到平面α的距离相等

D．α内存在无数条直线与a成90°角

【答案】A.

【解析】：选A.若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面且垂直，所以A不正确，B、D正确．又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确．

3．已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( )

A．a∥b，b⊂α，则a∥α

B．a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β

C．a⊥α，b∥α，则a⊥b

D．当a⊂α，且b⊄α时，若b∥α，则a∥b

【答案】C

【解析】：选C.A选项是易错项，由a∥b，b⊂α，也可能推出a⊂α；B中的直线a，b不一定相交，平面α，β也可能相交；

C正确；D中的直线a，b也可能异面．

4．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：

①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α； - 2 - ③若a∥α，b∥α，则a∥b.

其中真命题的个数是( )

A．0 B．1

C．2 D． 3

【答案】A

5．已知直线a与平面α、β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一一条与a平行的直线

【答案】D

【解析】：选D.设直线a和点B所确定的平面为γ，则α∩γ＝a，记β∩γ＝b，∵α∥β，∴a∥b，故存在唯一一条直线b与a平行．

第二课时 两条直线的位置关系

【考点诠释】：

掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系；会求两条直线的夹角和交点；掌握点到直线的距离公式。这部分内容在高考中出现频繁，且多在选择题、填空题中进行考查。在两条直线的位置关系中，考查最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系。夹角、点到直线的距离，另外关于直线对称也是这一章考查的一个重点。

【知识整合】：

1. 两条直线的平行与垂直

（1）对于两条直线L1：A1x+B1y+C1=0和L2:A2x+B2y+C2=0，若L1∥L2，则 ；若L1⊥L2,则 。

（2）特别地，若L1:y=k1x+b1，L2:y=k2x+b2, L1∥L2 , L1⊥L2

(3)若L1、L2的方向向量分别为(a1,b1)和(a2,b)时, L1∥L2

L1⊥L2

2. 两条直线所成的角

（1）直线L1到L2的角：______________________ ，叫做L1到L2的角。

（2）直线L1与L2的夹角： 。

（3）到角和夹角公式：

设L1与L2的斜率分别为k1和k2，L1到L2的角为(L2到L1的角为)，L1与L2的夹角为。①当1+k1k2=0时，k1k2=-1，有L1⊥L2所以===2②当1+k1k20时,tan=21121kkkk

(tan= ) tan= .

3. 点到直线的距离

设点P的坐标为(x0,y0)，直线L的方程为Ax+By+C=0，d为点P到直线L的距离，

则d= .

4. 两平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d= .

高三数学一轮复习教案

1 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系

考纲传真 1.理解空间直线，平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理．

2．能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

1．平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

2．空间点、直线、平面之间的位置关系

直线与直线 直线与平面

平面与平面

平行

关系

图形

语言

符号

语言 a∥b a∥α α∥β

相交

关系

图形

语言

符号

语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l

独有 高三数学一轮复习教案

2 关系

图形

语言

符号

语言 a，b是异面直线 a⊂α

3.异面直线所成的角

(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．

(2)范围：(0，π2』．

4．平行公理

平行于同一条直线的两条直线平行．

5．等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

1．(人教A版教材习题改编)下列命题正确的个数为( )

①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

A．0 B．1 C．2 D．3

『解析』 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．

『答案』 C

2．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )

A．一定是异面直线 B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线