(江苏专用)2020版高考数学复习第十章算法、统计与概率10.2抽样方法教案

§10.2 抽样方法

考情考向分析 在抽样方法的考查中，系统抽样，分层抽样是考查的重点，题型主要以填空题为主，属于中低档题．

1．简单随机抽样

(1)定义：一般地，从个体数为N的总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本(n

(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数表法．

2．系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．

(1)采用随机的方式将总体中的N个个体编号；

(2)将编号按间隔k分段，当Nn是整数时，取k＝Nn；当Nn不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除，这时取k＝N′n，并将剩下的总体重新编号；

(3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l；

(4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l，l＋k，l＋2k，…，l＋(n－1)k的个体抽出．

3．分层抽样

(1)定义：一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，所分成的各个部分称为“层”．

(2)分层抽样的应用范围：

当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．

概念方法微思考

三种抽样方法有什么共同点和联系？

提示 (1)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等．

(2)系统抽样中在起始部分抽样时采用简单随机抽样；分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．( √ )

(2)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．( × )

(3)系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样．( √ )

(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．( × )

(5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( × )

题组二 教材改编

2．[P52习题T1]某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是________．

答案 分层抽样法

解析 从全体学生中抽取100名宜用分层抽样法，按男、女学生所占的比例抽取．

3．[P52习题T4]某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_____名学生．

答案 15

解析 从高二年级中抽取的学生数与抽取学生总数的比为310，所以应从高二年级抽取学生人数为50×310＝15.

4．[P52习题T2]某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是________．

答案 16

解析 从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16.

题组三 易错自纠

5．在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则________．

答案 p1＝p2＝p3

解析 由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等．

6．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．

答案 1800

解析 分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的产品有50件，则乙设备生产的产品有30件．在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1800件．

题型一 简单随机抽样

1．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生，6名女生，则下列命题正确的是________．(填序号)

①这次抽样中可能采用的是简单随机抽样；

②这次抽样一定没有采用系统抽样；

③这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率；

④这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率．

答案 ①

解析 利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样，①正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，②错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，③和④均错误．

2．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________.

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

答案 01

解析 由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.

3．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为________．

答案 514

解析 由题意知9n－1＝13，得n＝28，所以整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为1028＝514.

思维升华应用简单随机抽样应注意的问题

(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．

(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．

题型二 系统抽样

例1(1)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．

答案 4

解析 由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139,151]内的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．

(2)某单位有840名职工，现采用系统抽样的方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________．

答案 12

解析 由84042＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为720－48020＝24020＝12.

引申探究

1．若本例(2)中条件不变，若号码“5”被抽到，那么号码“55”________被抽到．(填“能”或“不能”)

答案 不能

解析 若55被抽到，则55＝5＋20n，n＝2.5，n不是整数．故不能被抽到．

2．若本例(2)中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为________．

答案 28

解析 因为在编号[481,720]中共有720－480＝240(人)，又在[481,720]中抽取8人，

所以抽样比应为240∶8＝30∶1，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为84030＝28.

思维升华(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．

(2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．

(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．

跟踪训练1将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，则三个营区被抽中的人数依次为________．

答案 25,17,8

解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得1034

题型三 分层抽样

命题点1 求总体或样本容量

例2(1)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝________.

答案 13

解析 ∵360＝n120＋80＋60，∴n＝13.

(2)(2018·江苏省南京金陵中学模拟)某校共有教师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为50人，那么n的值为________．

答案 120

解析 因为共有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，

所以女学生占的比例为10002400＝512，

女学生中抽取的人数为50人，

所以n×512＝50，所以n＝120.

命题点2 求某层入样的个体数

例3(1)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师的人数为________.

类别 人数

老年教师

900

中年教师 1800

青年教师 1600

合计 4300

答案 180

解析 由题意，得抽样比为3201600＝15，

∴该样本中的老年教师的人数为900×15＝180.

(2)我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣________人．

答案 108

解析 由题意可知，这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×81008100＋7488＋6912＝300×810022500＝108.

思维升华分层抽样问题类型及解题思路

(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．

(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．

(3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．

跟踪训练2 (1)某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人，高二1 200人，高三n人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n＝________.

答案 1040

解析 分层抽样是按比例抽样的，

所以81×12001000＋1200＋n＝30，解得n＝1040.