第22章 二次函数 初中数学人教版九年级上册单元检测(含答案)

检测内容：第二十二章 二次函数

得分________ 卷后分________ 评价________

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列函数关系中，y是x的二次函数的是( C )

A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝1x2

C．y＝50＋x2 D．y＝(x＋2)(2x－3)－2x2

2．将二次函数y＝x2－2x－2化成y＝a(x－h)2＋k的形式为( B )

A．y＝(x－2)2－2 B．y＝(x－1)2－3

C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x－2)2－3

3．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是( D )

A．－3 B．－1 C．2 D．3

4．将抛物线y＝2x2－1向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是( D )

A．y＝2x2＋8x＋9 B．y＝2x2－8x＋9

C．y＝2x2＋8x＋8 D．y＝2x2－8x＋8

5．对于二次函数y＝x2－6x＋11的图象，下列叙述正确的是( B )

A．开口向下 B．对称轴为直线x＝3

C.顶点坐标为(－3，2) D．当x≥3时，y随x增大而减小

6．已知函数y＝3x2－6x＋k(k为常数)的图象经过点A(0.8，y1)，B(1.1，y2)，C(2 ，y3)，则有( C )

A．y3>y2>y1 B．y1>y2>y3

C．y3>y1>y2 D．y1>y3>y2

7．在平面直角坐标系中，直线y＝ax＋h与抛物线y＝a(x－h)2的图象不可能是( C )

A B C D

8．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，点C距灯柱AB的水平距离为1.6 m，点C距水平地面的距离为2.5 m，灯罩D距灯柱AB的水平距离为3.2 m，灯柱AB＝1.5 m，则灯罩D到水平地面的距离为( A )

A．1.5 m B．1 m C．1.2 m D．1.4 m

第8题图 第9题图 第10题图

9．如图①，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图②所示，则边BC的长是( A ) A．33

B．30

C．35 D．6

10．(遂宁中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a＋b＞m(am＋b)(m≠1)；⑤若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的结论有( A )

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．如果抛物线y＝(a－3)x2－2有最低点，则a的取值范围为____a＞3____．

12．(兰州中考)点A(－4，3)，B(0，k)在二次函数y＝－(x＋2)2＋h的图象上，则k＝__3__．

13．已知二次函数y＝－14 (x－2)2＋5，y随x的增大而减小，则x的取值范围__x≥2__．

14．如图，过点(0，1)且平行于x轴的直线与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)图象的交点坐标为(1，1)，(3，1)，则不等式ax2＋bx＋c－1＞0的解集为__x＜1或x＞3__．

第14题图 第15题图 第16题图

15．(沈阳中考)如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长度为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝__150__m时，矩形土地ABCD的面积最大．

16．(黔东南州中考)如图，抛物线L1：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴只有一个公共点A(1，0)，与y轴交于点B(0，2)，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为__2__．

三、解答题(共72分)

17．(6分)用配方法把二次函数y＝12 x2－4x＋5化为y＝a(x＋m)2＋k的形式，并指出该函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．

解：y＝12 x2－4x＋5＝12 (x－4)2－3，∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝4，顶点坐标是(4，－3)

18．(8分)(宁波中考)如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3).

(1)求a的值和图象的顶点坐标；

(2)若点Q(m，n)在该二次函数的图象上，则：①当m＝2时，求n的值；

②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．

解：(1)把点P(－2，3)代入y＝x2＋ax＋3中，得a＝2，∴y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴顶点坐标为(－1，2)

(2)①当m＝2时，n＝11；②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴－2＜m＜2，∴2≤n＜11 19．(9分)已知二次函数y＝x2－2mx＋2m－1.

(1)求证：二次函数的图象与x轴总有交点；

(2)若二次函数的图象与x轴的一个交点为原点，求方程x2－2mx＋2m－1＝0的解．

解：(1)证明：∵Δ＝4m2－4(2m－1)＝4m2－8m＋4＝4(m－1)2≥0，∴二次函数的图象与x轴总有交点

(2)把(0，0)代入y＝x2－2mx＋2m－1得2m－1＝0，解得m＝12 ，方程化为x2－x＝0，解得x1＝0，x2＝1，即方程x2－2mx＋2m－1＝0的解为x1＝0，x2＝1

20．(10分)如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，3 )，以点C为顶点的抛物线 y＝ax2＋bx＋c恰好经过x轴上A，B两点．

(1) 求A，B，C三点的坐标；

(2) 求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过点D，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位长度．

解：(1)A，B，C三点的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(2，3 )

(2)设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋3 ，代入点A的坐标(1，0)，得a＝－3 ，∴抛物线的解析式为y＝－3 (x－2)2＋3

(3)设平移后的抛物线的解析式为y＝－3 (x－2)2＋k，代入点D的坐标(0，3 )，得k＝53 ，∴平移后的抛物线的解析式为y＝－3 (x－2)2＋53 ，∴平移了53 －3 ＝43 个单位长度

21．(12分)(营口中考)某超市销售一款免洗洗手液，这款免洗洗手液的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价)，若设这款免洗洗手液的销售单价为x(元)，每天的销售量为y(瓶).

(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式；

(2)当销售单价为多少元时，销售这款免洗洗手液每天的销售利润最大，最大利润为多少元？

解：(1)由题意，得y＝80＋20×20－x0.5 ，∴y＝－40x＋880(x＞16)

(2)设每天的销售利润为w元，则w＝(－40x＋880)(x－16)＝－40(x－19)2＋360，∵a＝－40＜0，∴二次函数图象开口向下，∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．

答：当销售单价为19元时，销售这款免洗洗手液每天的销售利润最大，最大利润为360元

22．(12分)(衢州中考)如图①是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离点D6 m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．

(1)求桥拱顶部O离水面的距离； (2)如图②，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m.

①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式；

②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．

解：(1)根据题意可知点F的坐标为(6，－1.5)，可设拱桥侧面所在二次函数表达式为y1＝a1x2.将F(6，－1.5)代入y1＝a1x2有－1.5＝36a1，解得a1＝－124

，∴y1＝－124 x2，当x＝12时，y1＝－124 ×122＝－6，∴桥拱顶部O离水面高度为6 m (2)①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6，1)，可设其表达式为y2＝a2(x－6)2＋1，将H(0，4)代入其表达式有4＝a2(0－6)2＋1，解得a2＝112 ，∴右边钢缆所在抛物线表达式为y2＝112 (x－6)2＋1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为y3＝112 (x＋6)2＋1；②设彩带的长度为L m，则L＝y2－y1＝112 (x－6)2＋1－(－124 x2)＝18 x2－x＋4＝18 (x－4)2＋2，∴当x＝4时，L最小值＝2，答：彩带长度的最小值是2 m

23．(15分)(眉山中考)如图①，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为(3，0)，点C坐标为(0，3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；

(3)如图②，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)y＝－x2＋2x＋3

(2)∵点B(3，0)，点C(0，3)，∴直线BC解析式为y＝－x＋3，如图，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点G,

设点P(m，－m2＋2m＋3)，则点G(m，－m＋3)，∴PG＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)＝－m2＋3m，∵S△PBC＝12

×OB×PG＝12 ×3×(－m2＋3m)＝－32 (m－32 )2＋278 .∵0

(3)存在N满足条件，理由如下：∵抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，∴点A(－1，0).∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点M为(1，4).

∵点M为(1，4)，点C(0，3)，∴直线MC的解析式为y＝x＋3.如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于点Q, ∴点E(－3，0)，∴DE＝4＝MD，∴∠NMQ＝45°.∵NQ⊥MC，∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，∴MQ＝NQ＝22 MN.设点N(1，n)，∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，∴NQ＝AN，∴NQ2＝AN2，∴(22 MN)2＝AN2，∴(22 |4－n|)2＝4＋n2，∴n2＋8n－8＝0，∴n＝－4±26 ，∴存在点N满足要求，点N的坐标为(1，－4＋26 )或(1，－4－26 )