二次函数与实际问题典型例题

二次函数与反比例函数知识点总复习

题型1：二次函数的判定

例1.下列函数中，哪些是二次函数？

分析：一般地，形如2yaxbxc（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。判断函数是否是二次函数， ①首先是要看它的右边是否为整式，②若是整式且仍能化简的要先将其化简，③ 然后再看自变量是否为2，④最后看二次项系数是否为0这个关键条件

题型2：有关二次函数与一次函数、反比例函数的图象与系数的关系的问题.

二次函数2yaxbxc中图象与系数的关系:（1）二次项系数a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． a>0时，开口向上，a<0时，开口向下。a越大，开口越小。a越小，开口越大。（2）一次项系数b，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．若0ab，则对称轴abx2在y轴左边，若0ab，则对称轴abx2在y轴的右侧。若b=0，则对称轴abx2＝0,即对称轴是y轴.概括的说就是“左同右异,y轴0” （3）常数项c，c决定了抛物线与y轴交点的位置．当0c时，交点在y轴的正半轴上 ;当0c时，抛物线经过原点，;当0c时，交点在y轴的负半轴上, 简记为“上正下负原点0”(4) △=b2－4ac 决定了抛物线与x轴交点的个数. ① 当0时，抛物线与x轴有两个交点 ② 当0时，抛物线与x轴只有一个交点； ③ 当0时，抛物线与x轴没有交点.另外当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y； 当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y．

一次函数:y=kx＋b(k,b是常数，k≠0) 中图象与系数的关系:

（1）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限

b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

00bk直线经过第一、二、三象限 00bk直线经过第一、三、四象限

二次函数-面积产生的函数关系问题

【例1】如图1， △ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次

函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函

数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．

（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；

（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运

动，问：

①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？

②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

图1

思路点拨

1．求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C

的坐标得到，点D的坐标由AD＝BC可以得到．

2．设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的

长表示出来．

3．四边形PDCQ的面积最小，就是△APQ的面积最大．

满分解答

（1）由，得A(0,3)，C(4,0)．

由于B、C关于OA对称，所以B(－4,0)，BC＝8．

因为AD//BC，AD＝BC，所以D(8,3)．将B(－4,0)、D(8,3)分别代入，得

解得，c＝－3．所以该二次函数的解析式为．

（2）①设点P、Q运动的时间为t．

如图2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝

cos∠ACO＝．当PQ⊥AC时，．所以．解得．

图2 图3

②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．

由于S△APQ＝，

S△ACD＝，

所以S四边形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝．

所以当AP＝时，四边形PDCQ的最小值是．

考点伸展

如果把第（2）①题改为“当P运动到何处时，△APQ是直角三角

形？”

除了PQ⊥AC这种情况，还有QP⊥AD的情况．这时，所以．解得（如图4所示）．

图4

【例2】如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结

BC、AC．

（1）求AB和OC的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过

点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于

【典型例题】—⼆次函数的切线

【典型例题】—⼆次函数的切线

034．（12宜宾）给出定义：设⼀条直线与⼀条抛物线只有⼀个公共点，只这条直线与这条抛物

线的对称轴不平⾏，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：

①直线y＝0是抛物线y

＝x2的切线；

②直线x＝﹣2与抛物线y

＝x2 相切于点（﹣2，1）；

③直线y＝x＋b与抛物线y

＝x2相切，则相切于点（2，1）；

④若直线y＝kx﹣2与抛物线y

＝x2 相切，则实数k

＝，

其中正确命题的是（ ）

A．①②④ B．①③ C．②③ D．①③④

视频解析请点击：

【解析】

解：（1）∵直线y＝0是x轴，抛物线y

＝x2的顶点在x轴上，

∴直线y＝0是抛物线y

＝x2的切线，故本⼩题正确；

（2）∵抛物线y

＝x2的顶点在x轴上，开⼝向上，直线x＝2与y轴平⾏，

∴直线x＝﹣2与抛物线y

＝x2 相交，故本⼩题错误；

（3）∵直线y＝x＋b与抛物线y

＝x2相切，∴x2﹣4x﹣b＝0，

∴△＝16＋4b＝0，解得b＝﹣4，把b＝﹣4代⼊x2﹣4x﹣b＝0得x＝2，把x＝2代⼊抛物线解析式

可知y＝1，∴直线y＝x＋b与抛物线y＝x2相切，则相切于点（2，1），故本⼩题正确；

（4）∵直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2 相切，∴x2＝kx﹣2，即x2﹣kx＋2＝0，△＝k2﹣2＝0，

解得k＝±，故本⼩题错误．

故答案为：B．

【总结】根据已知条件给出的切线定义，排除命题①，通过计算易得命题④是错误的，切线的切

点就是⼆次函数与直线的交点．

【举⼀反三】

034．（12南宁）已知⼆次函数y＝ax2＋bx＋1，⼀次函数y＝k（x－1）－，若它们的图象对于任意的⾮零实数k都只有⼀个公共点，则a，b的值分别为（ ）．

A．a＝1，b＝2B．a＝1，b＝－2C．a＝－1，b＝2D．a＝－1，b＝－2

上⼀期【举⼀反三】解析：

036【解析】

解：分段函数y

＝的图象如图所⽰：

故要使直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，常数m的取值范围

商品利润问题与二次函数典型例题解析

知识链接复习：

1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

解：设每千克应涨价x元，读题完成下列填空

问题一：涨价后每千克盈利 元；

问题二：涨价后日销售量减少 千克；

问题三：涨价后每天的销售量是 千克；

问题四：涨价后每天盈利 元？

根据题意列方程得：

解方程得：

因为商家涨价的目的是 ；所以 符合题意。

答： 。

2、二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标是x= y=

3、函数y=x2+2x-3(-2≤x≤2)的最大值和最小值分别是

新知解析：

例1、某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件。市场调查发现：如果调整价格，每降价1元，那么每天可多卖出两件。请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？

解：设当降价X元时销售额为y元，根据题意得：

y=（35-x）（50+2x）=-2x2+20x+1750

x=-ab2=-)2(×220=5

因为0<5<35且a=-2<0

所以y=(35-5)(50+10)=1800