matlab微积分基本运算

第九章微积分基础1函数的极限（符号解法）一元函数求极限函数 limit格式 limit(F,x,a) %计算符号表达式F=F(x) 当x→a时的极限值。

limit(F,a) %用命令findsym(F)确信F中的自变量，设为变量x，再计算F当x→a时的极限值。

limit(F) %用命令findsym(F)确信F中的自变量，设为变量x，再计算F当x→0时的极限值。

limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,'left') %计算符号函数F的单侧极限：左极限x →a- 或右极限x→a+。

【例1】>>syms x a t h n;>>L1 = limit((cos(x)-1)/x)>>L2 = limit(1/x^2,x,0,'right')>>L3 = limit(1/x,x,0,'left')>>L4 = limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0)>>v = [(1+a/x)^x, exp(-x)];>>L5 = limit(v,x,inf,'left')>>L6 = limit((1+2/n)^(3*n),n,inf)计算结果为：L1 =L2 =infL3 =-infL4 =1/xL5 = [ exp(a), 0] L6 = exp(6)注：在求解之前，应该先声明自变量x,再概念极限表达式fun,假设0x 为∞，那么能够用inf 直接表示。

若是需要求解左右极限问题，还需要给出左右选项。

【例2】 试别离求出tan 函数关于pi/2点处的左右极限。

>> syms t;f=tan(t);L1=limit(f,t,pi/2,'left'), L2=limit(f,t,pi/2,'right') L1 = Inf L2 = -Inf【例3】求以下极限1）312lim20+-→x x x 2）x x x t 3)21(lim +∞→解：编程如下：>>syms x t ;L1 = limit((2*x-1)/(x^2+3)) >>L2 = limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf)回车后可得： L1 = -1/3 L2 = exp(6*t) 多元函数求极限求多元函数的极限能够嵌套利用limit()函数，其挪用格式为：limit(limit(f,x,x0),y,y0)或limit(limit(f,y,y0),x,x0)【例4】求极限：x xy y x )sin(lim 30→→>> syms x y;f=sin(x*y)/x;limit(limit(f,x,0),y,3)ans = 3注：若是x0或y0不是确信的值，而是另一个变量的函数，如)(y g x →,那么上述的极限求取顺序不能互换。

matlab解微积分方程Matlab是一种功能强大的数值计算软件，可以用于解决各种数学问题，包括微积分方程。

微积分方程是描述自然界中许多现象的数学模型，它们在物理、化学、生物等领域有着广泛的应用。

本文将介绍如何使用Matlab解微积分方程。

我们需要明确什么是微积分方程。

微积分方程是包含未知函数及其导数的方程，通常可以写成形如y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)的形式。

其中y(x)是未知函数，p(x)、q(x)和f(x)是已知函数。

解微积分方程的过程可以分为两步：建立方程和求解方程。

建立方程是将实际问题转化为数学模型，而求解方程则是找到满足方程的函数。

在Matlab中，可以使用dsolve函数来求解微积分方程。

dsolve 函数可以根据方程的类型自动选择合适的求解方法，并给出满足方程的函数表达式。

例如，对于一阶线性微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)，可以使用以下代码求解：syms x y(x)p = input('请输入p(x)的表达式：'); % 输入p(x)的表达式q = input('请输入q(x)的表达式：'); % 输入q(x)的表达式eqn = diff(y,x) + p*y - q == 0; % 建立微分方程sol = dsolve(eqn); % 求解微分方程disp('方程的解为：');disp(sol);在以上代码中，首先使用syms命令定义符号变量x和y(x)，然后使用input命令分别输入p(x)和q(x)的表达式。

接下来，使用diff 命令计算y'(x)，然后将其代入微分方程中得到eqn。

最后，使用dsolve命令求解方程，并将结果存储在sol中，最后将结果打印出来。

对于更高阶的微积分方程，可以使用符号变量来表示未知函数及其导数的各阶，并按照相应的形式建立方程。

第三章 微积分的数学实验3.1极限与一元微积分3.1.1 初等运算1．定义单个或多个符号变量：syms x y z t ；定义单个符号变量或者符号函数还可以用单引号定义，如x=’x ’，f=’sin(x^2)+2*x-1’。

符号表达式的反函数运算g=finverse(f)，g 是返回函数f 的反函数。

例1 求sin(1)y x =-的反函数>>syms x>>y=sin(x-1); g=finverse(y),结果为 g=1+asin(t)2. f actor(f) 因式分解函数ｆ3．Collect(f) 对函数f 合并同类项4. expand(f) 将函数f 表达式展开5. simple(f) 找出表达式的最简短形式（有时需要用2次）6. roots （p ）对多项式p 求根函数。

7. solve(F) 一般方程的求根函数例2 解方程2510x x +-=解 >>syms x>>solve(x^2+5*x-1)结果为x =[ -5/2+1/2*29^(1/2) -5/2-1/2*29^(1/2)]8．fzero(f,x0)或fzero(f,[a,b]) 在初始点x0处开始或在区间[a,b]上搜索函数的零点，f(a)与f(b)需要符号相反。

3.1.2 Matlab计算函数的极限函数形式：1）limit(F,x,a)，求函数F在 x ->a时的极限。

2）limit(F,a)，默认其中的变量为极限变量.3）limit (F)，默认其中的变量为极限变量且趋向于0.4）limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,’left') 求函数F在x->a时的右、左极限.例3 >>syms x a t h; %syms作用是申明x,a,t,h是符号变量，不需先赋值再调用。

>>limit(sin(x)/x) %结果为 1>>limit((x-2)/(x^2-4),2) %结果为 1/4>>limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) %结果为 exp(6*t)>>limit(1/x,x,0,'right') %结果为 inf>>limit(1/x,x,0,'left') %结果为 -inf>>limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) %结果为 cos(x)>>v = [(1 + a/x)^x, exp(-x)];limit(v,x,inf,'left') %结果为[exp(a),0]3.1.3 Matlab计算导数与微分1．一元导数和微分diff函数用以计算函数的微分和导数，相关的函数语法有下列4个：diff(f) 返回f对预设独立变量的一次导数值diff(f,'t')或diff(f,t) 返回f对独立变量t的一次导数（值）diff(f,n) 返回f对预设独立变量的n阶导数（值）diff(f,'t',n) 或diff(f,t，n)返回f对独立变量t的n阶导数（值）这里尽管自变量已经作为符号变量，可以不用syms说明，但是在具体执行diff(f)、diff(f,'t')和diff(f,t)会出现差异，有的能够执行，有的不能够，有的执行符号微分，有的执行数值微分，所以比较麻烦。

用matlab 计算积分4．1积分的有关理论定积分：积分是微分的无限和，函数)(x f 在区间],[b a 上的积分定义为∑∫=→∆∆==ni iix baxf dx x f I i 1)max()(lim)(ξ其中.,,2,1),,(,,1110n i x x x x x b x x x a i i i i i i n =∈−=∆=<<<=−−ξ从几何意义上说，对于],[b a 上非负函数)(x f ，记分值I 是曲线)(x f y =与直线b x a x ==,及x 轴所围的曲边梯形的面积。

有界连续（或几何处处连续）函数的积分总是存在的。

微积分基本定理（Newton-Leibniz 公式）：)(x f 在],[b a 上连续，且],[),()('b a x x f x F ∈=，则有)()()(a F b F dx x f ba−=∫这个公式表明导数与积分是一对互逆运算，它也提供了求积分的解析方法：为了求)(x f 的定积分，需要找到一个函数)(x F ，使)(x F 的导数正好是)(x f ，我们称)(x F 是)(x f 的原函数或不定积分。

不定积分的求法有学多数学技巧，常用的有换元积分和分部积分法。

从理论上讲，可积函数的原函数总是存在的，但很多被积函数的原函数不能用初等函数表示，也就是说这些积分不能用解析方法求解，需用数值积分法解决。

在应用问题中，常常是利用微分进行分析，而问题最终归结为微分的和（即积分）。

一些更复杂的问题是含微分的方程，不能直接积分求解。

多元函数的积分称为多重积分。

二重积分的定义为∑∑∫∫∆∆=→∆+∆ijji jiy x Gy x f dxdy y x f i i ),(lim),(0)max(22ηξ当),(y x f 非负时，积分值表示曲顶柱体的体积。

二重积分的计算主要是转换为两次单积分来解决，无论是解析方法还是数值方法，如何实现这种转换，是解决问题的关键。

MATLAB的微积分基本运算第六章 MATLAB 的微积分基本运算学习⽬标：1、熟悉符号对象和表达式的创建；2、熟悉计算结果的类型与精度控制和转换3、掌握MATLAB 中符号微积分运算：极限、导数、积分的命令及格式。

第⼀节极限⼀、极限概念演⽰：数列极限是指当n ⽆限增⼤时，n u 与某常数⽆限接近或n u 趋向于某⼀定值，就图形⽽⾔，其点列以某⼀平⾏y 轴的直线为渐近线。

函数极限也是如此。

例1：观察数列?+1n n ，当∞→n 时的变化趋势。

输⼊程序：>> n=1:100;xn=n./(n+1); >> for i=1:100;plot(n(i),xn(i),'r') % plot 是⼆维图形作图命令。

hold onend % for ……..end 语句是循环语句，循环体内的语句被执⾏100次由图可看出，随n 的增⼤，点列与直线y=1⽆限接近，所以11lim=+∞→n nn 例2：观察函数 xx f 1sin)(=，当0→x 时的变化趋势。

输⼊程序：>> x=-1:0.01:1;y=sin(1./x);plot(x,y)从图可看到，当0→x 时，x1sin 在-1和1之间⽆限次振荡，极限不存在。

例3：观察函数 xxx f )11()(+=，当∞→x 时的变化趋势输⼊程序：>> x=-1:10:1000;y=(1+1./x).^x;plot(x,y)从图可看到，当∞→x 时，函数值与某常数⽆限接近，这个常数就是e 。

⼆、极限计算：如果符号表达式F中只有⼀个变量x，x可以省略，当a=0时0也可以省略。

例：阅读理解下列程序>> syms x n>> limit(x^2*exp(x))ans =>> limit(exp(-1/x),x,0,'left')ans =inf>> limit((1+2/n)^(3*n),n,inf)ans =exp(6)三、符号对象与表达式的建⽴微积分运算的对象为函数，MATLAB称为符号表达式， MATLAB进⾏微积分运算⾸先要建⽴符号表达式，然后才可以利⽤MATLAB符号数学⼯具箱提供的函数进⾏运算。

MATLAB中的微积分运算（数值符号）显然这个函数是单词differential（微分）的简写，⽤于计算微分。

实际上准确来说计算的是差商。

如果输⼊⼀个长度为n的⼀维向量，则该函数将会返回长度为n-1的向量，向量的值是原向量相邻元素的差，于是可以计算⼀阶导数的有限差分近似。

(1)符号微分1.常⽤的微分函数函数:diff(f) 求表达式f对默认⾃变量的⼀次微分值diff(f,x) 求表达式f对⾃变量x的⼀次积分值diff(f,n) 求表达式f对默认⾃变量的n次微分值diff(f,t,n)求表达式f对⾃变量t的n次微分值>> x=1:10x =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10>> diff(x)ans =1 1 1 1 1 1 1 1 1例1:求矩阵中各元素的导数求矩阵[1/(1+a) (b+x)/cos(x)1/(x*y) exp(x^2)]对x的微分,可以输⼊以下命令A = sym('[1/(1+a),(b+x)/cos(x);1,exp(x^2)]');B = diff(A,'x')可得到如下结果:例2:求偏导数求的偏导数。

syms x y;f = x*exp(y)/y^2;fdx = diff(f,x)fdy = diff(f,y)可得到如下结果：例3:求复合函数的导数求的导数sym('x');y = 'x*f(x^2)'y1 = diff(y,'x')得到结果如下：例4:求参数⽅程的导数对参数⽅程求导syms a b tf1 = a*cos(t);f2 = b*sin(t);A = diff(f2)/diff(f1) %此处代⼊了参数⽅程的求导公式B = diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/diff(f1)^3 %求⼆阶导数可得到如下结果：例5:求隐函数的导数求的⼀阶导数syms x yp = 'x*y(x)-exp(x+y(x))'%隐函数可进⾏整体表⽰%注意y（x）这种写法，它代表了y是关于x的函数p1 = diff(p,x)可得到如下结果：2.符号积分1符号函数的不定积分函数:int功能:求取函数的不定积分语法:int(f)int(f,x)说明:第⼀个是求函数f对默认⾃变量的积分值;第⼆个是求⾃变量f对对⾃变量t的不定积分值。

matlab积分模块一、概述MATLAB是一种数学软件，它提供了许多强大的工具，包括积分模块。

积分是数学中的一个重要概念，它可以用于计算曲线下面积、求解微积分方程等问题。

MATLAB的积分模块提供了多种方法来计算不同类型的积分，使得用户可以方便地解决各种数学问题。

二、基本语法MATLAB的积分模块有两个主要函数：integral和quad。

其中integral函数用于计算定积分，quad函数用于计算一般积分。

下面是这两个函数的基本语法：1. integral函数y = integral(fun,a,b)其中fun是被积函数的句柄（handle），a和b是积分区间的上下限。

该函数将返回定积分的值y。

2. quad函数y = quad(fun,a,b)其中fun是被积函数的句柄（handle），a和b是积分区间的上下限。

该函数将返回一般积分的值y。

三、常见应用场景1. 计算曲线下面面积曲线下面面积可以通过定积分来求解。

例如，假设要计算曲线y=x^2在x=0到x=1之间所围成图形的面积，可以使用以下代码：fun = @(x) x.^2;a = 0;b = 1;y = integral(fun,a,b)该代码中，定义了被积函数fun，积分区间为a到b，使用integral函数计算定积分的值y。

2. 求解微积分方程微积分方程可以通过一些特定的方法转化为一般积分的形式。

例如，假设要求解微分方程y''+2y'+y=0的通解，在已知初始条件y(0)=1和y'(0)=0的情况下，可以使用以下代码：fun = @(t,y) [y(2); -2*y(2)-y(1)];tspan = [0 10];y0 = [1; 0];options = odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',1e-6);[t,y] = ode45(fun,tspan,y0,options);plot(t,y(:,1));该代码中，定义了微分方程的函数句柄fun，并使用ode45函数求解微分方程。

matlab 积分范围Matlab是一种功能强大的数学软件，可用于解决各种数学问题，包括积分。

积分是数学中的重要概念，用于求解曲线下的面积、计算连续变量的平均值等。

本文将探讨在Matlab中进行积分计算的范围。

我们需要了解一些基本的积分知识。

积分是微积分的重要组成部分，可以通过求解定积分来计算。

定积分可以看作是对某个函数在给定范围上的曲线下的面积进行求和。

在Matlab中，使用int函数可以进行积分计算。

在Matlab中，积分范围可以是一个数值范围，也可以是一个符号范围。

数值范围是指给定的具体数值范围，而符号范围是指使用符号表示的范围，例如从负无穷到正无穷。

下面我们将分别介绍这两种情况。

首先是数值范围的积分计算。

在Matlab中，可以使用int函数来计算数值范围上的积分。

例如，要计算函数f(x)在区间[a, b]上的积分，可以使用以下代码：```a = 0;b = 1;f = @(x) x.^2;integral = int(f, a, b);```在上面的代码中，我们定义了一个函数f(x)为x的平方，然后使用int函数计算了在区间[0, 1]上的积分。

计算结果将保存在变量integral中。

接下来是符号范围的积分计算。

在Matlab中，可以使用符号计算工具箱来进行符号计算。

符号计算工具箱可以用于求解符号表达式的积分。

例如，要计算函数f(x)的不定积分，可以使用以下代码：```syms x;f = x^2;integral = int(f, x);```在上面的代码中，我们使用了符号变量x，并定义了一个函数f(x)为x的平方。

然后使用int函数计算了函数f(x)的不定积分。

计算结果将保存在变量integral中。

除了上述的数值范围和符号范围的积分计算，Matlab还提供了其他一些积分计算的方法。

例如，可以使用quad函数进行数值积分的计算。

quad函数可以用于计算数值积分，特别适用于计算复杂函数的积分。

matlab解微积分方程使用Matlab解微积分方程微积分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

解微积分方程是研究微积分方程的一个重要问题，而Matlab作为一种强大的数值计算软件，可以有效地解决微积分方程。

Matlab提供了多种求解微积分方程的方法，包括欧拉法、龙格-库塔法、四阶龙格-库塔法等。

这些方法可以用来求解常微分方程、偏微分方程以及一些特殊类型的微积分方程。

我们来看看如何使用Matlab求解常微分方程。

常微分方程是一种只涉及一个自变量的微分方程，可以表示为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的函数。

在Matlab中，可以使用ode45函数来求解常微分方程。

下面以一个简单的一阶常微分方程为例，来演示如何使用Matlab求解。

假设我们要求解方程dy/dx = x + y，且初始条件为y(0) = 1。

首先，我们需要定义方程的函数形式，即f(x, y) = x + y。

然后，使用ode45函数来求解：```function dydx = myode(x, y)dydx = x + y;end[t, y] = ode45(@myode, [0, 1], 1);```上述代码中，myode函数定义了方程的函数形式，ode45函数用于求解微分方程，[0, 1]表示求解的时间范围，1表示初始条件。

最后，得到的结果存储在变量t和y中，t表示时间，y表示方程的解。

除了常微分方程，Matlab还可以求解偏微分方程。

偏微分方程是一种涉及多个自变量的微分方程，可以表示为∂u/∂t = f(x, y, t, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y)。

在Matlab中，可以使用pdepe函数来求解偏微分方程。

假设我们要求解一个简单的二维热传导方程，即∂u/∂t = ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2，且初始条件为u(x, y, 0) = sin(x)sin(y)，边界条件为u(0, y, t) = 0，u(π, y, t) = 0，u(x, 0, t) = 0，u(x, π, t) = 0。

MATLAB函数用法一、基本命令判断所有非0：all 两组元素对应处都非0：and 对数组元素取反：not判断存在非0：any 两组元素对应处都为0：or 两组对应处唯一非0：xor合并同类项：collect 分解因式：factor 展开expand 化简：simple交集：intersect 并集：union 差集：setdiff二、基本运算1.矩阵建立：x=初量：步长：末量，linspace（初量，末量，个数）2.部分扩充：平铺矩阵repmat（A，m，n），右端扩充[A B],下端扩充[A;C]3.部分删除：删除第n列A（：，n），删除第m行A（m，：）4.部分修改：A（m,n）=a,A(m,:)=[a b…]，A(:,n)=[a b…]5.结构改变：左右fliplr，上下flipud，逆时针旋转k*90度rot90（A,k）6.矩阵变维：B(:)=A(:)，B与A对应相乘得与B结构相同，reshape（A，m，n）7.特殊矩阵：单位矩阵eye，零矩阵zeros，全1矩阵ones，服从[0,1]分布rand标准正态分布randn，对角阵diag，空矩阵 []，魔方矩阵magic，帕斯卡pascal，上三角阵triu，下三角阵tril，同维size（A）8.内积外积:内积dot（a，b），外积cross（a，b），张量积kron（A,B）9.矩阵卷积：w=conv(u,v),将w表示成s的多项式P=poly2str(w,’s’)10.反褶积：[q,r]=deconv(u,v)多项式u除以v得到商q余式r11.矩阵运算：转置’（复矩阵.’）,行列式det，迹trace，逆inv，伪逆pinv，秩rank，范数norm(X,p),条件数cond（A，p），元素个数numel 12.矩阵分解：Cholesky:R=chol(X)，R’*R=X,X对称正定矩阵R非奇异上三角 LU分解:[L,U]=lu(X),LU=X,U上三角阵L下三角阵或其他形式QR分解:[Q,R]=qr(A),QR=A,Q正交矩阵R上三角矩阵Schur：[U,T]=schur(A),A=U*T*U’,U正交T对角线特征值三角特征值分解：[v,d]=eig(A),特征向量v特征值对角阵d奇异值分解：[u,s,d]=svd(X),X=u*s*v’,s对角阵u、v酉矩阵海森伯格：[p,h]=hess(A),A=p*h*p’,h为A海氏形式p酉矩阵三、解方程1.方程求解：solve（’方程’,’未知数’）2.方程组求解：solve（’方程1’,’方程2’…，’变量1’,’变量2’…）3.线性方程组：AX=b ，X=A\b,A系数矩阵,b值矩阵，用rref化简下增广矩阵4.线性方程通解：null（A）的列向量为系数矩阵的正交规范基5.微分方程（组）：dsolve（’方程’,’初值（可缺）’,’变量’）6.一元非线性方程数值解：fzero（方程），roots（多项式方程系数降幂矩阵）四、复变函数1.构造复矩阵：complex（a,b）生成与原矩阵同类型且元素为a+bi的矩阵2.实部：real，虚部：imag，共轭：conj，模：abs，辐角：angle五、微积分1.复合函数：h=compose（f，g），反函数：g=finverse（f，变量）2.函数零点：x0=fzero（函数，初值）3.极限：limit（f，变量，趋值，’方向’）4.泰勒展开：g=taylor（函数，变量，处值，项数）5.级数求和：g=symsum（表达式，变量，初值，末值）6.一元函数极值：[x1,极值]=fminbnd（函数，区间左端点，右端点）7.多元函数极值：[X,极值]=fminsearch（函数，初值点）8.导数：diff（函数，变量，阶数），积分：int（函数，变量，下限，上限）9.数值积分：定积分I=quad(‘函数’,积分下限，上限)或者quadl二重积分I=dblquad（’函数’,x小，x大，y小，y大）10.定积分梯形近似计算：I=trapz（变量范围，函数）11.雅克比矩阵：h=jacobian（[f,g],[x,y]）可扩充到多维六、概率统计1.概率密度：二项分布binopdf（x，n，p），几何分布geopdf（x，p）泊松分布poisspdf（x，λ），均匀分布unidpdf（x，N（长度））指数分布exppdf（x，λ），正态分布normpdf（x，μ，σ）2.分布函数：二项分布binocdf（x，n，p），几何分布geocdf（x，p）泊松分布poisscdf（x，λ），指数分布expcdf（x，λ）正态分布normcdf（x，μ，σ）3.样本描述：几何平均值geomean，调和平均数harmmean，算术平均数mean中值median，截尾均值trimmean，均值绝对差mad，极差range方差var，标准差std4.参数估计：矩估计法moment，最大似然估计法mle5.一维插值：interpft(x,n)或者interp1（x，y，插值点，’插值方法’）插值方法：邻近nearest，线性linear，样条spline，三次pchip6.二维插值：interp2（x,y,x1,y1,’插值法’）最近邻、双线性、双三次cubic7.多维插值：interpn（x,y,…，x1,y1,…,’插值法’）插值法同上8.曲线拟合：多项式拟合polyfit（x，y，n）七、作图1.二维作图：x范围；函数表达式；plot（x，y）2.多重子图：subplot（m,n,p）,m子图行数n子图列数p子图序号3.获取图形数据：[x,y]=ginput，ginput为获取鼠标处的坐标命令4.对数坐标系：loglog，极坐标系：polar，双轴图：plotyy5.函数作图：fplot（函数，范围），隐函数多元函数：ezplot（’函数’,范围）6.二元函数作图：x范围；y范围；函数式；plot3（x,y,z）7.三维图形：网格mesh，曲面surf，加等值线meshc、surf，加零平面meshz8.声音实现：sound（向量x，频率f）9.动画实现：制作M=getframe，播放movie（M，次数k）。

MATLAB教程第8章MATLAB数值积分与微分1.数值积分数值积分是计算函数的定积分值的近似方法。

在MATLAB中，有几个函数可以帮助我们进行数值积分。

(1) quad函数quad函数是MATLAB中用于计算一维定积分的常用函数。

它的语法如下：I = quad(fun, a, b)其中，fun是被积函数的句柄，a和b分别是积分区间的下界和上界，I是近似的积分值。

例如，我们可以计算函数y=x^2在区间[0,1]内的积分值：a=0;b=1;I = quad(fun, a, b);disp(I);(2) integral函数integral函数是在MATLAB R2024a版本引入的新函数，它提供了比quad函数更稳定和准确的积分计算。

integral函数的语法如下：I = integral(fun, a, b)其中fun、a和b的含义与quad函数相同。

例如，我们可以使用integral函数计算函数y = x^2在区间[0, 1]内的积分值：a=0;b=1;I = integral(fun, a, b);disp(I);2.数值微分数值微分是计算函数导数的近似方法。

在MATLAB中，可以使用diff 函数计算函数的导数。

(1) diff函数diff函数用于计算函数的导数。

它的语法如下：derivative = diff(fun, x)其中，fun是需要计算导数的函数，x是自变量。

例如，我们可以计算函数y=x^2的导数：syms x;fun = x^2;derivative = diff(fun, x);disp(derivative);(2) gradient函数gradient函数可以计算多变量函数的梯度。

它的语法如下：[g1, g2, ..., gn] = gradient(fun, x1, x2, ..., xn)其中fun是需要计算梯度的函数，x1, x2, ..., xn是自变量。

例如，我们可以计算函数f=x^2+y^2的梯度：syms x y;fun = x^2 + y^2;[gx, gy] = gradient(fun, x, y);disp(gx);disp(gy);以上是MATLAB中进行数值积分和微分的基本方法和函数。

八、微积分中的应用1、求极限（1）单变量函数极限： 极限：limit(fun,x,x0)左右极限：limit(fun, x, x0, ‘left ’或‘right ’) 例：lim (1)sinxx a b x xx→∞+ 程序：syms x a b;f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x); L=limit(f,x,inf) 练习： 1) 32lim(1)xx t x→∞+2) 30tan sin limx x xx →-3) lim )x x →-∞4) limx x 5) 111lim()ln 1x x x→--6) limx π→（2）多变量函数极限：limit(limit(fun,x,x0),y,y0)或limit(limit(f,y,y0),x,x0)例：1222()sin 1(1)x y x a yx x y x y -+++程序：syms x y a;f=exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2); limit(limit(f,x,1/sqrt(y)),y,inf) 练习：1) 00cos lim 1x x y e yx y →→++2) 22011limx y x xyx y →→-++2、求导数 求导数：dfdx, diff(f,x)求高阶导数：n nd fdx ,diff(f,x,n)例：syms x y;y=x^4;diff(y,x,2);diff(y,x,4);求偏导数：diff(diff(f,x,m),y,n) 或 diff(diff(f,y,n),x,m)例：222z x y xy =++,2zx y∂∂∂程序：syms x y;z=x^2+y^2+2*x*y;diff(diff(z,x,1),y,1); 练习：1) y =，求y ''2) 2sin y x x =，求(10)y3) x y z x y -=+,求22222,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂4) sin sin 2x t y t =⎧⎨=⎩,求22,dy d ydx dx3、求积分不定积分：int(f,x)例：syms x f;f=x^2;int(f,x)定积分和无穷积分：int(f,x,a,b)(注：a,b 可以是inf 或-inf) 例：syms x; syms x;int(exp(x),x,0,1)重积分：int(int(int(f,x,a,b),y,c,d),z,e,g)其中f 为x,y,z 的函数，x,y,z 为变量，a,b,c,d,e,g 是x,y,z 的上下限； 例：22204x y xzedzdydx ππ--⎰⎰⎰程序：syms x y z;int(int(int(4*x*z*exp(-x^2-y^2),x,0,2),y,0,pi),z,0,pi) 练习：1) sin 4cos2x x dx ⎰ 2) arctan x x dx ⎰ 3) cos ax e bx dx ⎰4)5) 21(1)x dx e +⎰6) 4dx ⎰7) 10⎰ 8) 1200sin()ydy y dx ⎰⎰9) 10dy ⎰10) 111220x x ydx dy xdz ---⎰⎰⎰4、 代数方程的求解（1） 多项式求根：roots(p)其中：p 为多项式的系数，按降幂方式形成的行向量 例如：求765422 5.2 4.8729.810x x x x x x -+-++++=的根 程序：p=[-2 5.2 -4.8 7 0 2 9.8 1] ;roots(p) 练习:求4322610x x x +++=的根 （2） 求一元函数零点：fzero(f,x0)表示求函数f 在x0附近零点；若x0为一个二维向量[a,b],则变成求函数f 在区间(a,b)内的零点；例如 :求方程30x e x --=在区间(1,2)内的一个实根 程序 :x0=[1,2] ;syms x ;f= 'exp(x)-x-3 ';fzero(f,x0) 练习 :1) 求方程3250x x --=在区间(0,3)内的实根 2) 求方程323220x x x +--=在区间(-1,0)内的实根 (3) 求代数方程组的解 solve(f1,f2,f3,……)例如：求方程组2222225x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解程序：syms x y z ;f1= 'x+y+z=2 ';f2= '2*x+y+2*z=2 ' ;f3= '2*x+2*y+z=5 '; [x,y,z]=solve(f1,f2,f3); 5、 Taylor 展开按x=0进行Taylor 幂级数展开：taylor(f,x,k)(注：k 表示显示前k 项，常数项，x 的一次项，x 的二次项，……x 的k-1次项) 按x=a 进行Taylor 幂级数展开：taylor(f,x,k,a) 例：syms x ;taylor(sin(x),x,5) 练习 :1) 求函数x f e =在0x =处前8项Taylor 展开式 2) 2) 求函数ln f x =在1x =处前6项Taylor 展开式6、 微分方程（组）的求解（1） 常微分方程的求解dsolve(‘e ’,’c ’,’v ’)其中：e 为微分方程，c 为初值条件，v 为微分方程中的自变量，省略时按缺省原则处理，以小写的t 为自变量。

matlab符号微积分微分⽅程符号极限、微积分和符号⽅程的求解1.语法：sym(‘表达式’)%创建符号表达式f1=sym('a*x^2+b*x+c')f1 =a*x^2+b*x+c2.使⽤syms命令创建符号变量和符号表达式语法：syms arg1 arg2 …,参数%把字符变量定义为符号变量的简洁形式syms a b c x %创建多个符号变量f2=a*x^2+b*x+c %创建符号表达式3.4.1符号极限假定符号表达式的极限存在，Symbolic Math Toolbox提供了直接求表达式极限的函数limit，函数limit的基本⽤法如表3.2所⽰。

【例3.14】分别求1/x在0处从两边趋近、从左边趋近和从右边趋近的三个极限值。

f=sym('1/x')limit(f,'x',0) %对x求趋近于0的极限ans =NaNlimit(f,'x',0,'left') %左趋近于0ans =-inflimit(f,'x',0,'right') %右趋近于0ans =inf程序分析：当左右极限不相等，表达式的极限不存在为NaN。

3.4.2符号微分函数diff是⽤来求符号表达式的微分。

语法：diff(f) %求f对⾃由变量的⼀阶微分diff(f,t) %求f对符号变量t的⼀阶微分diff(f,n) %求f对⾃由变量的n阶微分diff(f,t,n) %求f对符号变量t的n阶微分【例3.15】已知f(x)＝ax2+bx+c，求f(x)的微分。

f=sym('a*x^2+b*x+c')f =a*x^2+b*x+cdiff(f) %对默认⾃由变量x求⼀阶微分ans =2*a*x+bdiff(f,'a') %对符号变量a求⼀阶微分ans =x^2diff(f,'x',2) %对符号变量x求⼆阶微分ans =2*adiff(f,3) %对默认⾃由变量x求三阶微分ans = 0微分函数diff 也可以⽤于符号矩阵，其结果是对矩阵的每⼀个元素进⾏微分运算。

matlab 微积分基本运算§1 解方程和方程组解1. 线性方程组求解对于方程 AX = B ,其中 A 是( m ×n )的矩阵有三种情形：1)当n=m 且A 非奇异时,此方程为“恰定”方程组。

2)当 n > m 时,此方程为“超定”方程组。

3)当n<m 时,此方程为“欠定”方程组。

下面就三种情形的求解分别作一说明：(1) MATLAB 解恰定方程 A* X = B 的方法1)采用求逆运算解方程x=inv(A)*B2)采用左除运算解方程x=A\B例1 “求逆”法和“左除”法求下列方程组的解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x xx x x x x x x在Matlab 编辑器中建立M 文件fanex1.m ：A=[5 6 0 0 01 5 6 0 00 1 5 6 00 0 1 5 60 0 0 1 5];B=[1 0 0 0 1]';R_A=rank(A) %求秩X1=A\B %用"左除"法解恰定方程所得的解X2=inv(A)*B %用"求逆"法解恰定方程所得的解运行后结果如下R_A =5X1 =2.2662-1.72181.0571-0.59400.3188X2 =2.2662-1.72181.0571-0.59400.3188两种方法所求方程组的解相同。

(2)MATLAB 解超定方程AX=B 的方法对于方程 AX = B ,其中 A 是( m ×n )的矩阵， n > m ，如果A 列满秩，则此方程是没有精确解的。

然而在实际工程应用中，求得其最小二乘解也是有意义的。

基本解法有：1)采用求伪逆运算解方程x=pinv(A)*B说明：此解为最小二乘解x=inv(A ’*A)*A*B,这里pinv(A) =inv(A ’*A)*A.2)采用左除运算解方程x=A\B例2 “求伪逆”法和“左除”法求下列方程组的解⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+12214212212121x x x x x x命令如下：>> a=[1 2;2 4;2 2];>> b=[1,1,1]';>> xc=a\b %用左除运算解方程运行得结果:xc =0.40000.1000>> xd=pinv(a)*b %用求伪逆运算解方程运行得结果:xd =0.40000.1000>> a*xc-b %xc 是否满足方程ax=b运行得结果:ans =-0.40000.20000.0000可见xc 并不是方程的精确解。