新人教版必修4高中数学2.3.3《平面向量的坐标运算》导学案

高中数学《2.4.3平面向量坐标表示》导学案新人教版必修2、4、3 平面向量坐标表示一、课前自主导学【学习目标】会根据向量的坐标，判断向量是否共线、【重点、难点】向量平行的坐标表示【温故而知新】1、∥ ()则2、+=x2, y1-y2)、(λx, λy)【教材助读】阅读P88并回答问题设=(x1， y1)，=(x2， y2)其中、∥ ()的充要条件是 x1y2－x2y1＝0 若则∥【预习自测】1、若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（）A、6B、5C、7D、82、若=i+2j， =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量)、与共线，则x、y的值可能分别为（）A、1，2B、2，2C、3，2D、2，4二、课堂互动探究【例1】课本P89例4变式：若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）A、-3B、-1C、1D、3【例2】已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)、∵(ka＋b)∥(a－3b)，∴(k－3)(－4)－10(2k＋2)＝0、解得k＝－、此时ka＋b＝＝＝－(10，－4)＝－(a－3b)，【例3】如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标、解：设＝λ＝(4λ，4λ)、＝(4λ－4,4λ)，＝(－2,6)、因为A，P，C三点共线，所以6(4λ－4)－(－2)4λ＝0，解得λ＝、所以＝(3,3)，即P点坐标为(3,3)、【我的收获】三、课后知能检测课本P89练习5、6习题A组6(1)(2)(3)7、B组1、2、1、已知向量a＝(4,2)，向量b＝(x,3)，且a∥b，则x等于()、A、9B、6C、5D、32、已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2)，若点C的横坐标为6，则点C的纵坐标为()、A、－13B、9C、－9D、133、已知向量a＝(4,2)，则下列选项中与a共线的一个向量为()、A、(1,2)B、(1,4)C、D、4、已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若λa＋μb与a＋b共线，则λ与μ的关系为__________、5、已知a＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当实数k取何值时，ka＋2b与2a－4b平行？6、已知a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B 在坐标轴上，求点B的坐标、1、B2、C3、D4、λ＝μ5、解：ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6，2k＋4)，2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，要使ka＋2b与2a－4b平行，则(k－6)(－4)－(2k＋4)14＝0，得k＝－1、6、解：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)，设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b、则得又点B在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，解得λ＝或－，所以B点坐标为或、7、 p，q，r是互异实数，三个点P(p，p3)，Q(q，q3)，R(r，r3)，求证：若P，Q，R三点共线，则p＋q＋r＝0证明：∵P，Q，R三点共线，∴与共线、∴存在实数λ使得＝λ、即②①得q2＋qp＋p2＝r2＋rp＋p2、∴(q－r)(p＋q＋r)＝0、∵p，q，r是互异实数，8、在△AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC交于点M，求点M的坐标解：∵点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，∴＝(0,5)，＝(4,3)、∵＝(xc，yc)＝＝，∴点C的坐标为、同理可得点D的坐标为、设点M的坐标为(x，y)，则＝(x，y－5)，而＝、∵A，M，D三点共线，∴与共线、∴－x－2(y －5)＝0，即7x＋4y＝20、①而＝，＝＝、∵C，M，B三点共线，∴与共线、∴x－4＝0，即7x－16y＝－20、②由①和②得x＝，y＝2、∴点M的坐标为、。

2．3.3 平面向量的坐标运算1．理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，能熟练进行向量的坐标运算． 2．会根据表示向量的有向线段的起点坐标和终点坐标求这个向量的坐标． 3．能借助于向量坐标，用已知向量表示其他向量．平面向量的坐标运算【做一做1－1】 已知a ＝(1,3)，b ＝(－2,1)，则b －a 等于( ) A ．(－3,2) B ．(3，－2) C ．(－3，－2)D ．(－2，－3) 【做一做1－2】 已知MN →＝(－1,2)，则－3MN →等于( ) A ．(－3，－3) B ．(－6,3) C ．(3，－6) D ．(－4，－1) 【做一做1－3】 已知a ＝(3,1)，b ＝(－2,5)，则a ＋b 等于( ) A ．(－6,5) B ．(1,6) C ．(5，－4)D ．(7,7)答案：和 (x 1＋x 2，y 1＋y 2) 差 (x 1－x 2，y 1－y 2) 相应坐标 (λx 1，λy 1) (x 2－x 1，y 2－y 1)【做一做1－1】 C 【做一做1－2】 C 【做一做1－3】 B平面向量坐标运算规律剖析：(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用．(2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解．(3)利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出待定系数．(4)向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．题型一 向量的坐标运算【例1】 已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)．求：(1)a ＋3b ；(2)12a －14b .反思：向量的坐标表示实质上就是用实数表示向量，因此，向量的坐标运算就可以转化为实数的运算．题型二 用已知向量表示其他向量【例2】 若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，试用a ，b 表示c .分析：由于条件中只给出a ，b ，c 的坐标，故可考虑从“数”的角度出发用a ，b 表示c .又a ，b 不共线，则一定存在实数x ，y 使c ＝x a ＋y b ，然后用向量坐标建立x ，y 的方程组求解．反思：用两个已知向量a ，b 表示第三个向量c ，一般用待定系数法，设c ＝x a ＋y b ，利用相等向量的坐标分别相等，建立两个方程来解两个未知数x ，y .题型三 求点或向量的坐标【例3】 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求点M ，N 及向量MN →的坐标．分析：由A ，B ，C 三点的坐标易求得CA →，CB →的坐标，再根据向量坐标的定义就可以求出点M ，N 的坐标．反思：在关于向量坐标运算中，求某点或向量坐标时，常用待定系数法，先设出坐标，再列方程(组)解得．本题中也可直接求出点M 的坐标，如OM →＝CM →－CO →＝3CA →－CO →＝(3,24)－(3,4)＝(0,20)．题型四 易错辨析易错点 忽略平行四边形顶点的不同排列顺序【例4】 设平行四边形三个顶点坐标为A (0,0)，B (0，b )，C (a ，c )．求第四个顶点D 的坐标．错解：设第四个顶点的坐标为D (x ，y )，如图所示，则AC →＝(a ，c )，BD →＝(x ，y －b )，由AC →＝BD →，得(a ，c )＝(x ，y －b )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝x ，c ＝y －b .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b ＋c ，即点D 坐标为(a ，b ＋c )．错因分析：平行四边形四个顶点按逆时针顺序排列有三种可能，即ACDB ，ACBD ，ADCB .而错解中只考虑了ACDB 一种情形，而疏漏了另两种情况．答案：【例1】 解：(1)a ＋3b ＝(2,1)＋3(－3,4) ＝(2,1)＋(－9,12)＝(－7,13)． (2)12a －14b ＝12(2,1)－14(－3,4) ＝⎝⎛⎭⎫1，12－⎝⎛⎭⎫－34，1＝⎝⎛⎭⎫74，－12. 【例2】 解：设c ＝x a ＋y b ，则(－1,2)＝(x ，x )＋(y ，－y )＝(x ＋y ，x －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝2.解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－32.∴c ＝12a －32b .【例3】 解：∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)，∴CM →＝3CA →＝(3,24)，CN →＝2CB →＝(12,6)． 设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝3，y ＋4＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20.∴点M 的坐标为(0,20)． 同理可求点N 的坐标为(9,2)． ∴MN →＝(9，－18)．【例4】 正解：设第四个顶点坐标为D (x ，y )． (1)当四个顶点按逆时针ACDB 排列时，解法同错解． (2)当四个顶点按逆时针ACBD 排列时，由AC →＝(a ，c )，DB →＝(－x ，b －y )，及AC →＝DB →， 得(a ，c )＝(－x ，b －y )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－x ，c ＝b －y .∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a ，y ＝b －c .则此时点D 坐标为(－a ，b －c )．(3)当四个顶点按逆时针ADCB 排列时，由AD →＝(x ，y )，BC →＝(a ，c －b )，及AD →＝BC →，得(x ，y )＝(a ，c －b )．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝c －b .则此时点D 坐标为(a ，c －b )． 综上所述，第四个顶点D 的坐标为(a ，b ＋c )或(－a ，b －c )或(a ，c －b )．1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则用a ，b 表示c 等于( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b 2．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则BD ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4)3．作用在原点的三个力F 1＝(1,2)，F 2＝(－2,3)，F 3＝(－1，－4)，则它们的合力F 的坐标为__________．4．已知A (3，－5)，B (－1,3)，点C 在线段AB 上，且AC ＝3CB ，则点C 的坐标是__________．5．已知点A (－1,2)，B (2,8)，及AC ＝13AB ，DA ＝13BA -，求点C ，D 和CD 的坐标．答案：1．B 设c ＝x a ＋y b ，则(4,2)＝x (1,1)＋y (－1,1)，∴4,2.x y x y -=⎧⎨+=⎩解得3,1.x y =⎧⎨=-⎩∴c ＝3a －b .2．B BD ＝AD －AB ＝BC －AB ＝(AC －AB )－AB ＝AC －2AB ＝(1,3)－(4,8)＝(－3，－5)．3．(－2,1) F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(1,2)＋(－2,3)＋(－1，－4)＝(－2,1)．4．(0,1) 设C (x ，y )，则AC ＝(x －3，y ＋5)，3CB ＝3(－1－x,3－y )＝(－3－3x,9－3y )．∵AC＝3CB，∴333,593, x x y y-=--⎧⎨+=-⎩解得x＝0，y＝1.即点C的坐标是(0,1)．5．解：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则AC＝(x1＋1，y1－2)，AB＝(3,6)，DA＝(－1－x2,2－y2)，BA＝(－3，－6)．∵AC＝13AB，DA＝13BA-，∴(x1＋1，y1－2)＝13(3,6)，(－1－x2,2－y2)＝13-(－3，－6)，即(x1＋1，y1－2)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝(1,2)．∴1111, 22,x y +=⎧⎨-=⎩22 11, 2 2.xy--=⎧⎨-=⎩∴110, 4,x y =⎧⎨=⎩222,0. xy=-⎧⎨=⎩∴点C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．因此CD＝(－2，－4)．。

平面向量的坐标运算【教学目标】1．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；2．学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题。

【教学重点】向量的坐标运算。

【教学过程】一、主要知识：1．平面向量坐标的概念；2．用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行等等；3．会利用向量坐标的定义求向量的坐标或点的坐标及动点的轨迹问题。

二、主要方法：1．建立坐标系解决问题（数形结合）；2．向量位置关系与平面几何量位置关系的区别；3．认清向量的方向求坐标值得注意的问题。

三、基础训练：1．若向量)2,1(),1,1(),1,1(-=-==，则=c （ ）()A b a 2321+- ()B b a 2321- ()C b a 2123- ()D b a 2123+-2．设,,,A B C D 四点坐标依次是(1,0),(0,2),(4,3),(3,1)-，则四边形ABCD 为 （） ()A 正方形 ()B 矩形 ()C 菱形 ()D 平行四边形3．下列各组向量，共线的是（ ）()A (2,3),(4,6)a b =-= ()B (2,3),(3,2)a b == ()C (1,2),(7,14)a b =-= ()D (3,2),(6,4)a b =-=-4．已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ，且有⋅=⋅=2,3，则=_____。

5．已知点(1,5)A -和向量a =(2,3)，若AB =3a ，则点B 的坐标为________。

6．设)31,(cos ),sin ,23(αα==，且有//，则锐角=α__________。

四、例题分析：例1．已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+，2v a b =-，且//u v ，求实数x 的值。

解：因为(1,2),(,1),2a b x u a b ===+，2v a b =-所以(1,2)2(,1)(21,4)u x x =+=+，2(1,2)(,1)(2,3)v x x =-=-又因为//u v所以3(21)4(2)0x x +--=，即105x = 解得12x =例2．已知).1,2(),0,1(==b a（1）求|3|b a +； （2）当k 为何实数时，k -a b 与b a 3+平行， 平行时它们是同向还是反向？。

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式[学习目标] 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的长度，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．[知识链接]1．已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．a ∥b 与a ⊥b 坐标表示有何区别？ 答 若a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0. 若a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反． 2．你能用向量法推导两点间距离公式|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2吗？ 答 AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴AB →·AB →＝AB →2＝|AB →|2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2， 即|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. [预习导引]1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和． 2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的长度(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.要点一 向量数量积的坐标运算例1 已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求： (1)向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(a ·c )·b . 解 (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)， ∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)． 又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0， ∴(a ·c )·b ＝0·b ＝0.规律方法 (1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充． 跟踪演练1 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，c ＝(2,1)．求： (1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(2a －b )； (3)(a ·b )·c ，a ·(b ·c )．解 (1)a ·b ＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17. (2)∵a ＋b ＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，2a －b ＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)， ∴(a ＋b )·(2a －b )＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8. (3)(a ·b )·c ＝17c ＝17(2,1)＝(34,17)，a ·(b ·c )＝a [(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)． 要点二 两向量的夹角例2 已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐标原点)． (1)求使CA →·CB →取得最小值时的OC →； (2)对(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB . 解 (1)∵点C 是直线OP 上的一点，∴向量OC →与OP →共线， 设OC →＝tOP →(t ∈R )， 则OC →＝t (2,1)＝(2t ，t )， ∴CA →＝OA →－OC →＝(1－2t,7－t )， CB →＝OB →－OC →＝(5－2t,1－t )， ∴CA →·CB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t ) ＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8.∴当t ＝2时，CA →·CB →取得最小值，此时OC →＝(4,2)． (2)由(1)知OC →＝(4,2)，∴CA →＝(－3,5)，CB →＝(1，－1)，∴|CA →|＝34，|CB →|＝2，CA →·CB →＝－3－5＝－8. ∴cos ∠ACB ＝CA →·CB →|CA →||CB →|＝－41717.规律方法 应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角．跟踪演练2 已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)． (1)试计算a ·b 及|a ＋b |的值； (2)求向量a 与b 夹角的余弦值．解 (1)a ＝e 1－e 2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)， b ＝4e 1＋3e 2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)， ∴a ·b ＝4×1＋3×(－1)＝1， |a ＋b |＝(4＋1)2＋(3－1)2＝25＋4＝29.(2)由a ·b ＝|a ||b |cos θ， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12×5＝210.要点三 向量垂直的坐标表示例3 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)， BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0. 即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|AD →|＝(1－2)2＋(1＋1)2＝5，即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1,1)．规律方法 将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法．跟踪演练3 已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b . 解 设向量b ＝(x ，y )．根据题意，得OA →·OB →＝0，|OA →|＝|OB →|. ∴(a －b )·(a ＋b )＝0，|a －b |＝|a ＋b |， ∴|a |＝|b |，a ·b ＝0.又∵a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，即⎝ ⎛x 2＋y 2＝1，－12x ＋32y ＝0.解得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12或⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－12.∴b＝⎝⎛⎭⎫32，12或b ＝⎝⎛⎭⎫－32，－12.1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 3 答案 B解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ， 又a ·b ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴3＋3m ＝12＋(3)2×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8 D ．8 2 答案 D解析 易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋(－8)2＝8 2.3．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值为________． 答案 5解析 ∵BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)， AC →＝(2,3)，∴BC →·AC →＝2(2－k )＋6＝0，∴k ＝5. 4．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0， 解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2. 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5.1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算，为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．一、基础达标1．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 答案 D解析 由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a·b ＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.2．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－17 B.17C ．－16 D.16答案 A解析 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， 知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)． 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0， ∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.3．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的正射影的坐标为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152答案 A解析 因为AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，所以AB →·CD →＝(2,1)·(5,5)＝15，|CD →|＝52＋52＝5 2.所以向量AB →在CD →方向上的正射影的坐标为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|C D →|＝1552＝322，选A.4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 由①②解得x ＝－79，y ＝－73.5．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6C.π4D.3π4 答案 C解析 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a ＋b )·(a －b )＝9， |2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设所求两向量夹角为α，则cos α＝932×3＝22，∴α＝π4.6．设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是________． 答案 {x |x <85且x ≠－52}解析 ∵θ为钝角，∴cos θ＝a ·b|a ||b |<0，即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <85.∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ，∴a 与b 反向，即θ＝π.故a 与b 的夹角为钝角时，x <85且x ≠－52.7．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)． (1)求a 与b 的夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值． 解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2， |a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525.(2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)， 又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529.二、能力提升8．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 答案 B解析 因为m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)． 所以m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)． 因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0， 所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.故选B.9．与向量a ＝⎝⎛⎭⎫72，12，b ＝⎝⎛⎭⎫12，－72的夹角相等，且模为1的向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫45，－35 B.⎝⎛⎭⎫45，－35或⎝⎛⎭⎫－45，35 C.⎝⎛⎭⎫223，－13D.⎝⎛⎭⎫223，－13或⎝⎛⎭⎫－223，13答案 B10．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________. 答案 2解析 因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c|b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.11．已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 和c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m 与向量n 的夹角的大小． 解 (1)∵a ∥b ，∴3x －36＝0.∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0.∴y ＝－3. ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)， 设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n|m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2×72＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.12．设a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)，又c ＝2a ＋b ，d ＝a ＋m b ，若c 与d 夹角为45°，求实数m 的值．解 ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－3)， ∴c ＝2a ＋b ＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)， d ＝a ＋m b ＝(1,2)＋m (－2，－3)＝(1－2m,2－3m )， ∴c ·d ＝0×(1－2m )＋1×(2－3m )＝2－3m . 又∵|c |＝1，|d |＝(1－2m )2＋(2－3m )2，∴cos 45°＝c ·d |c ||d |＝2－3m(1－2m )2＋(2－3m )2＝22. 化简得5m 2－8m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝35.三、探究与创新13．在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝a ·c ，试判断△ABC 的形状． 解 在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0， 即a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )2＝(－c )2，(a ＋c )2＝(－b )2，两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2， 则2b 2＋2(a ·b －a ·c )＝2c 2.∵a ·b ＝b ·c ＝a ·c ，∴2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b |，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|，即△ABC 是等边三角形.2.4 向量的应用。

《平面向量的坐标运算》的教学设计一、 复习：1.平面向量基本定理:2.不共线的两向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底.3.平面内所有向量的基底有多少组?二、引入:1.平面内建立了直角坐标系,点A 可以用什么来表示?2.平面向量是否也有类似的表示呢?思考1:以坐标原点O 为起点，P 为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？思考2:在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点0的向量如何用坐标来表示?三、 新课讲解：（一）平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，对于平面上的向量a ，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数x ，y 使得a xi y j =+ ，则有序实数对(,x y )称为向量a 的坐标，记作(,)a x y =r .注：每个向量都有唯一的坐标.例1．已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA uu r |＝060xOA ∠=，求向量OA uu r 的坐标.（二）平面向量的坐标运算1.若11(,)a x y =r , 22(,)b x y =r ,则a b +=r r , a b -=r r即两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差.2.若(,)a x y =r ，R λ∈,则 a λr =即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.3.1122(,),(,),A x y B x y AB =已知点则向量uu u r即一个向量的坐标等于表示该向量的终点的坐标减去起点的坐标.练习：已知a =(2 ,1)，b =(-3 ,4)，求a +b ，a -b ，3a +4b .例题讲解：例2.如图：已知A(-1，3),B(1，-3),C(4，1),D(3，4)，求向量OA uu r ,OB uu u r ,AO uuu r ,CD uu u r 的坐标.例3 .已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，-4），且3CM CA =u u u r u u r ,2CN CB =uu u r uu r ，求MNuuu r 的坐标.练习:已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求: (1)AB AC -u u u r u u u r(2) 2AB BC +uu u r uu u r (3)12BC AC -uu u r uuu r 四、 课堂练习1.已知A (x,2)，B (5，y －2)，若AB uu u r ＝(4,6)，则x ，y 值分别为____ ___2.已知M (3，－2)，N (－5，－2)，且MP uuu r ＝12MN uuu r ，则P 点坐标为____ ____ 3.已知a =(2 ,4)，b =(-1 ,2)，求a +b ，a -b ，2a -3b .4．已知平面上的三点：A (－2,1)，B (3，－4)，C (5，－2)，求：(1)2AB AC +uu u r uu u r ； (2)12BC CA -uu u r uu r . 五、课堂总结：1.向量的坐标的概念.2.对向量坐标表示的理解.(1)任一平面向量都有唯一的坐标；(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)相等的向量有相等的坐标.3.平面向量的坐标运算.六、作业。

2.3.3平面向量的坐标运算课前预习学案一、预习目标：通过预习会初步的进行向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算二、预习内容：1、知识回顾：平面向量坐标表示2.平面向量的坐标运算法则：若a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2)则a ＋b ＝____________________,a －b ＝________________________,λa ＝_____________________.三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标：1．能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相联系，培养学生辨证思维能力.二、学习内容1. 平面向量的坐标运算法则： 思考1：设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2)，则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa （λ∈R ）如何分别用基底i 、j 表示？思考2：根据向量的坐标表示，向量a ＋b ，a －b ，λa 的坐标分别如何？思考3：已知点A(x 1, y 1),B(x 2, y 2)，那么向量AB 的坐标如何？平面向量的坐标运算法则：（1）两向量和的坐标等于_______________________；（2）两向量差的坐标等于_______________________；（3）实数与向量积的坐标等于__________________________；思考4：一个向量平移后坐标不变，但起点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？2．典型例题例1 ：已知a =(2,1), b =(－3,4),求 a ＋b ，a －b ，3a ＋4b 的坐标.例2：已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D 的坐标。

2. 3.3 平面向量的坐标运算学习目标、细解考纲1. 掌握平面向量的坐标运算2. 能运用向量的加法，减法，数乘的坐标运算法则进行运算3. 培养学生数学运算能力的数学核心素养。

一、自主学习—————（素养催化剂）（阅读教材第96—98页内容，完成以下问题：）1. 对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？2. 我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?3. 在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？二、探究应用,“三会培养”-------(素养生长剂)例1．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =则BD =（）.(2,4)A --.(3,5)B --.(3,5)C .(2,4)D 变式1.已知ABCD 的顶点(0,9)A -，(2,6)B ，(4,5)C ，求第四个顶点D 的坐标．例2.(教材改编）已知OA ），（31-=,OB ），（12-=,OC ）（2,1-+=k k ,(o 为坐标原点）。

若A,B,C 三点不能构成三角形,则实数k 应满足的条件是( )A ．2-=k B.21=k c.1k = D.1-=kA变式2.设向量(1,3),(2,4),(1,2)a b c =-=-=--，若表示向量4a,42,2(),b c a c d -- 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d =（ ）A. ），（62B.)6,2(-C.），（62- D.)6,2(--三、拓展延伸、智慧发展--------（素养强壮剂）例3. 已知向量a (2,1),b (1,2).==-,若(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈ 则____=-n m备选例题例1.设向量a (3,3),(1,1).a ()b b a b λλ==-+⊥-若（），则实数___λ=四、本课总结、感悟思考--------（素养升华剂）。

1高中数学 2.3.3平面向量的坐标运算导学案新人教A 版必修4【学习过程】 一、自主学习（一）知识链接：复习：⑴向量()122,0e e e ≠是共线的两个向量，则12,e e 之间的关系可表示为 .⑵向量12,e e 是同一平面内两个不共线的向量，a 为这个平面内任一向量，则向量a 可用12,e e 表示为 。

（二）自主探究：（预习教材P96—P97） 探究：平面向量的坐标运算问题1：已知()11,a x y =，()22,b x y =，能得出a b +，a b -，a λ的坐标吗？1、已知：==1122(,),(,)a x y b x x ，λ为一实数+a b =__________________________ _。

-a b =___________。

这就是说，两个高量和（差）的坐标分别等于__________________ ____。

λa =_______________这就是说，实数与向量的积的坐标等于：________________________。

问题2：如图，已知()11,A x y ，()22,B x y ，则怎样用坐标表示向2量AB 呢？2、若已知(,)A x y 11,(,)B x y 22，则AB =_____________=___________________ 即一个向量的坐标等于此向量的有向线段 的________________________。

问题3：你能在上图中标出坐标为()2121,x x y y --的P 点吗？标出P 点后，你能发现向量的坐标与点的坐标之间的联系吗？二、合作探究1、已知()2,8a b +=-，()8,16a b -=-，求a 和b .2、已知平行四边形ABCD 的顶点()1,2A --，()3,1B -，()5,6C ，试求：（1）顶点D 的坐标.（2）若AC 与BD 的交点为O ，试求点O 的坐标.3、已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.3三、目标检测（A 组必做，B 组选做）A 组1. 若向量()2,3a x =-与向量()1,2b y =+相等，则（ ）A .1,3x y == B.3,1x y == C.1,5x y ==- D.5,1x y ==-2. 已知(),AB x y =，点B 的坐标为()2,1-，则OA 的坐标为（ ） A.()2,1x y -+ B.()2,1x y +- C.()2 1x y ---， D.()2,1x y ++3. 已知()3,1a =-，()1,2b =-，则32a b --等于（ ）A.()7,1B.()7,1--C.()7 1-，D.()7,1-4. 设点()1,2A -，()2,3B ，()3,1C -且AD =2AB 3BC -，求D 点的坐标。

2。

3。

3 向量数量积的坐标运算与度量公式1.掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算。

(重点）2.能运用数量积表示两个向量的夹角.计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系.（难点)［基础·初探]教材整理1 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示阅读教材P112“思考与讨论"以上内容，完成下列问题.1。

向量内积的坐标运算:已知a＝（a1，a2），b＝（b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.2。

用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设a＝(a1，a2），b＝(b1,b2)，则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0。

已知a＝(1,－1），b＝（2，3）,则a·b＝( ）A。

5 B.4C。

－2 D.－1【解析】a·b＝(1,－1)·（2,3）＝1×2＋（－1）×3＝－1.【答案】D教材整理2 向量的长度、距离和夹角公式阅读教材P112～P113内容，完成下列问题。

1。

向量的长度：已知a＝(a1，a2），则|a｜＝错误!。

2。

两点间的距离:如果A（x1,y1）,B（x2,y2)，则｜错误!｜＝错误!。

3.两向量的夹角：设a＝（a1，a2)，b＝(b1，b2)，则cos<a，b>＝错误!。

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)（1)两个非零向量a＝（x1，y1),b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0度.（）(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

（)（3）若两个向量的数量积的坐标和小于零,则两个向量的夹角一定为钝角.（）【解析】(1）×.因为当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b的夹角也可能为180°。

(2)√。

由向量数量积定义可知正确。

（3）×。

因为两向量的夹角有可能为180°。

【答案】（1)×（2）√（3)×[质疑·手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1:_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问2:_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________疑问3：_________________________________________________________解惑:_________________________________________________________［小组合作型］平面向量数量积的坐标运算(1）(2016·安溪高一检测）已知向量a＝(1,2），b＝(2，x），且a·b＝－1，则x的值等于（)A.12B.－错误!C。

2.3.4平面向量共线的坐标表示【学习目标】1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件； 2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。

3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.【教学重点】 向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解． 【教学难点】 定比分点的理解和应用 自主学习案 【复习引入】前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。

这就为解决问题提供了方便。

我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。

【自主探究】思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得a=λb ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？设a=(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)（ b ≠0） 其中b ≠a结论：a ∥b (b≠0)⇔x 1y 2-x 2y 1=0注意：1︒消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b≠0，∴x 2, y 2中至少有一个不为0. 2︒充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1, x 2有可能为0. 3︒从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b≠0)01221=-=⇔y x y x ba λ合作探究案【课内探究】例1. 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ． 解：变式训练1：已知平面向量)2,1(=a ，),2(m b -= ，且b a //，则b a 32+等于_________.例2: 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证:A 、B 、C 三点共线． 证明：点评:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线. 变式训练2：若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为_________.例3:设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标. 解：点评:此题实际上给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式.变式训练3：当21PP P P λ=时,点P 的坐标是什么？【当堂检测】：1、已知AB =a +5b ，BC =－2a +8b ，CD =3（a －b），则（ ）A. A 、B 、D 三点共线 B .A 、B 、C 三点共线 C. B 、C 、D 三点共线D. A 、C 、D 三点共线2、若向量a=(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，则x 为________.3、设3(,sin )2a α=，1(cos ,)3b α=，(0,2)απ∈，且//a b ，求角α． 4、已知a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a-2b 等于（ ）A.(7,1)B.(-7,-1)C.(-7,1)D.(7,-1) 5、已知A(1,1),B(-1,0),C(0,1),D(x,y),若AB 和CD 是相反向量,则D 点的坐标是（ ） A.(-2,0) B.(2,2) C.(2,0) D.(-2,-2) 6、若点A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使AB =λBC 的实数λ的值为（ ） A.1 B.-2 C.0 D.27、设a=(23,sinα),b=(cosα,31),且a ∥b,则α的值是（ ） A.α=2kπ+4π(k ∈Z) B.α=2kπ-4π(k ∈Z)C.α=kπ+4π(k ∈Z)D.α=kπ-4π(k ∈Z)7、已知A 、B 、C 三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C 点的横坐标为6,则C 点的纵坐标为（ ） A.-2 B.9 C.-9 D.13 8、若A(2,3),B(x,4),C(3,y),且AB =2AC ,则x=_______,y=________. 9、已知ABCD 中,AD =(3,7), AB =(-2,1),则CO 的坐标(O 为对角线的交点)为_________.10、向量OA =(k,12),OB =(4,5),OC =(10,k),当k 为何值时,A 、B 、C 三点共线?11.A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP =AB +λAC (λ∈R),试问:当λ为何值时,点P 在第一与第三象限的角平分线上?当λ在什么范围内取值时,点P 在第三象限内?12.边形ABCD 是正方形,BE ∥AC,AC=CE,EC 的延长线交BA 的延长线于点F,求证:AF=AE.【我的小结】【我的疑问】课后练习案1. 教材P100练习1-7.2. 同步作业P61练习题.3.。