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第四章 因式分解1.因式分解一、基本知识点1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫因式分解。
（1）.因式分解是恒等变形；（2）因式分解的对象是多项式；（3）结果是乘积形式；（4）分解后的每一个因式必须是整式；（5）分解到不能再分为止。
2、因式分解与整式乘法的关系：互逆过程。
（整式乘法可以验证因式分解的正确与否） 二、知识拓展与应用1、下列由左到右的变形属于因式分解的是（ ）22221(a+3)(3)9;1(1)();2x 3)(32)A a aB x x xC a b a bD y -=-+=++=++-、、、、6xy-4x+9y-6=（ 2、已知多项式x 4+2x 3－x+m 能因式分解，且有因式x+1. (1)当x=－1时，求多项式x 4+2x 3－x+m 的值。
(2)求m 的值。
3、如图4.1.1是由一个正方形和两个长方形组成的一个大矩形，根据图形，写出一个因式分解的等式。
4、证明：一个三位数的百位上的数字与个位上的数字交换位置，则原数与新数之差能被99整除。
5、多项式x 2－3x －10因式分解的结果是（ ） A 、（ｘ＋２）（ｘ－5） B 、（ｘ＋２）（ｘ+5）C 、（ｘ－２）（ｘ－5）D 、（ｘ－２）（ｘ+5）6、已知关于x 的二次三项式3x 2+mx －n=(x+3)(3x －5),求：m 、n 的值。
7、关于x 的多项式6x 2－11x+m 因式分解后有一个因式2x －3，试求m 的值。
8、试说明817－279－９１３能被４５整除。
２．提起公因式法一、基本知识点１、公因式：多项式各项中都含有的相同的因式（包括数）。
２、公因式的确定：（１）系数（第一项是负数时，提出负号）；确定数字因数；（２）找各项都有的字母；（３）各项都有的字母的最小指数。
３、提公因式法分解因式：（１）确定公因式；（２）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；（３）把多项式写成这两个因式的积的形式。
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第四章因式分解（复习课）教学设计
【教学目标】
1.进一步理解因式分解的概念和意义，了解因式分解和整式乘法的关系——方向相反的恒等变形；
2.复习提公因式法、公式法因式分解的过程，会综合运用提公因式法、公式法分解因式；
【教学重点】综合运用提公因式法、公式法分解因式.
【教学难点】根据题目的结构特点，选择合理的方法进行因式分解.
【教学思路】情境导入→知识回顾→例题讲解→练习巩固→中考链接→小结→作业布置
【教学过程】
环节一：情境导入
环节三：例题讲解
1.本单元复习题。
第四章因式分解4.1 因式分解教学目标：知识与技能：使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。
过程与方法：认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识。
情感与态度：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
重点：因式分解的概念难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法教学过程：第一环节复习回顾：下题简便运算怎样进行问题1：736×95+736×5问题2：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67第二环节比较探究：问题3：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
993-99 = 99×992-99 = 99(992-1)∴993-99能被99整除(2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99-1）= 99×98×100所以993-99能被100整除想一想：（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？（2）请你说明小明每一步的依据。
（3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？（老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？）小结：以上三个问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。
因式分解的四种方法（讲义）➢ 课前预习1. 平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________；_________________________．2. 探索新知：（1）39999-能被100整除吗？小明是这样做的：3229999999999199(991)99(991)(991)9998009998100-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯所以39999-能被100整除．（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？（3）3m m -能被哪些整式整除？➢ 知识点睛1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解．2. 因式分解的四种方法（1）提公因式法需要注意三点：①_____________；②_______________；③_________________．（2）公式法两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．（3）分组分解法如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找 ，然后再考虑 或者_______．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 因式分解是有顺序的，记住口诀：“ 竖分常数交叉验，横写因式不能乱 ”；➢ 精讲精练1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-；③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-；⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-．2. 因式分解（提公因式法）：（1）2212246a b ab ab -+； （2）32a a a --+； （3）()(1)()(1)a b m b a n -+---；解：原式=解：原式= 解：原式=（4）22()()x x y y y x ---； （5）1m m x x -+． 解：原式=解：原式=3. 因式分解（公式法）：（1）249x -；（2）216249x x ++； 解：原式=解：原式=（3）2244x xy y -+-；（4）229()()m n m n +--； 解：原式=解：原式=（5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-；解：原式=（6）2(25)4(52)x x x -+-；解：原式=（7）228168ax axy ay -+-；（8）44x y -； 解：原式=解：原式=（9）4221a a -+； （10）22222()4a b a b +-． 解：原式=解：原式=4. 因式分解（分组分解法）：（1）2105ax ay by bx -+-；（2）255m m mn n --+； 解：原式=解：原式=（3）22144a ab b ---； （4）22699a a b ++-； 解：原式=解：原式=（5）2299ax bx a b +--；（6）22244a a b b -+-． 解：原式=解：原式=5. 因式分解（十字相乘法）：（1）243x x ++；（2）26x x +-； 解：原式=解：原式=（3）223x x -++；（4）221x x +-； 解：原式=解：原式=（5）22512x x +-；（6）2232x xy y +-； 解：原式=解：原式=（7）2221315x xy y ++；（8）3228x x x --． 解：原式=解：原式=6. 用适当的方法因式分解：（1）222816a ab b c -+-；（2）22344xy x y y --； 解：原式= 解：原式=（3）22(1)12(1)16a a ---+；（4）(1)(2)12x x ++-； 解：原式=解：原式=（5）2(2)8a b ab -+；（6）222221x xy y x y -+-++． 解：原式=解：原式=【参考答案】➢ 课前预习1. 22()()a b a b a b +-=-222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×23. （2）328989898989-=⨯-289(891)89(891)(891)899088=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯∴38989-能被90整除3223(1)(1)(1)m m m m mm m m m m -=⋅-=-=+-（）∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除 ➢ 知识点睛1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式2. （1）①公因式要提尽②首项是负时，要提出负号③提公因式后项数不变（2）平方差公式，完全平方公式①能提公因式的先提公因式②找准公式里的a 和b（3）公因式，完全平方公式，平方差公式3. 一提二套三分四查，有理数➢ 精讲精练1. ④⑥⑦2. （1）6(241)ab a b -+（2）2(1)a a a -+-（3）()()a b m n -+（4）3()x y -（5）1(1)m x x -+3. （1）(23)(23)x x +-（2）2(43)x +（3）2(2)x y --（4）4(2)(2)m n m n ++（5）29(2)x y -（6）(25)(2)(2)x x x -+-（7）28()a x y --（8）22()()()x y x y x y ++-（9）22(1)(1)a a +-（10）22()()a b a b +-4. （1）(5)(2)x y a b --（2）(5)()m m n --（3）(12)(12)a b a b ++--（4）(33)(33)a b a b +++-（5）()(31)(31)a b x x ++-（6）(2)(22)a b a b -+-5. （1）(1)(3)x x ++（2）(3)(2)x x +-（3）(3)(1)x x --+（4）(21)(1)x x -+（5）(4)(23)x x +-（6）()(32)x y x y +-（7）(5)(23)x y x y ++（8）(2)(4)x x x +-6. （1）(4)(4)a b c a b c -+--（2）2(2)y x y --（3）2(5)(3)a a --（4）(2)(5)x x -+（5）2(2)a b +（6）2(1)x y --。
因式分解重点学习1.因式分解的定义2.提公因式法及公式法分解因式3.因式分解法综合运用（因式分解判断三角形、换元法常规、换元法平均数法）知识精讲1.因式分解的概念定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-32x +x=-x(3x-1)）2.提取公因式法公因式的定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式的确定：（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号）（2）系数：取系数的最大公约数；（3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式；提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
3.公式法平方差公式：完全平方公式： 一个多项式化成几个整式的积的形式8x 2y 3=2x 2·4y 3一个多项式化成几个整式积的形式x-1=x(1―1x )一个多项式化成整式积的形式X 2-x-2=x(x-1)-2 (x+1)(x-1)=x 2-1考点1：因式分解的概念例题1：下列各式从左到右的变式中，属于因式分解的是（） A. a (x +y )=ax +ay B. x 2−2x +1=x (x −2)+1C . 6ab=2a ·3b D. x 2−1=(x +1)(x −1) 定义易错点提取经典例题考点2：提公因式法例题2：因式分解（1）a2x2―ax (2)-6abc-14a2b3+12a3b(3)8ab(x-y)2―4a(y-x)4(4)m(m-n)3+n(n-m)5考点3 整体思想例题3：（x-y）2-（y-x）因式分解的结果是（）A.（y-x）（x-y）B.(x-y)(x-y-1)C.(y-x)(y-x-1)D.(x-y)（y-x-1）超长材料阅读题阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(1+x)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3（1）上述分解因式的方法是（），共应用了（）次。
第四章因式分解一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分解因式进行计算及讨论.学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．二、教学任务分析在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是：1．知识与技能：（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；（2）提高学生因式分解的基本运算技能；（3）能熟练地综合运用几种因式分解方法．2．过程与方法：（1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力；（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识．三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：知识回顾——总结归纳——小试牛刀——总结归纳——能力提升――活学活用——永攀高峰．第一环节知识回顾活动内容：1、举例说明什么是分解因式。
2、分解因式与整式乘法有什么关系？3、分解因式常用的方法有哪些？4、试着画出本章的知识结构图。
第四章因式分解
4.1 因式分解
专题利用因式分解解决整除问题
1．随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大的两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？
为什么？
2．利用因式分解说明257-512能被60整除．
3．817-279-913必能被45整除吗？试说明理由．
参考答案
1．解：设该两位数个位是b，十位是a，且a≠b，则这个两位数是10a+b，将十位与个位对调后的数是10b+a.
则这两个两位数的差是|10a+b-（10b+a）|=9|a-b| ，
所以这两个两位数的差一定能被9整除．
2．解：∵原式=514-512=512（52-1）=24×512=120×511，
∴257-512能被60整除．
3．解：能. 理由：817-279-913
=328-327-326
=324（34-33-32）
=324×45，
∴817-279-913必能被45整除．
4.2 提公因式法
专题提公因式法的探究题
1．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3.
(1)上述因式分解的方法是法，共应用了次；
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2014，则需要应用上述方法次，因式分
解后的结果是；
(3)请用以上的方法因式分解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数)，必须有简要
的过程.
2．阅读下面的因式分解并回答问题：
提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？
分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法，怎么办呢？
由于am+an=a(m+n)，bm+bn=b(m+n)，而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).
这样就有：
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)
利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.
请利用上面提供的方法因式分解：2a+6b-3am-9bm.
参考答案1．解：（1）提公因式 2
（2）2014 (1+x)2015
（3）1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n
=（1+x）[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n-1]
=（1+x）2[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n-2]
…
=（1+x）n+1.
2．解：2a+6b-3am-9bm
=（2a+6b）-（3am+9bm）
=2（a+3b）-3m（a+3b）
=（a+3b）（2-3m）.
4.3 公式法
专题创新探究题
1．设a1=32-12，a2=52-32，…，a n=（2n+1）2-（2n-1）2（n为大于0的自然数）.
（1）探究a n是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，a n，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数（不必说明理由）．
2．观察下列等式：12+（1×2）2+22=9=（12+1+1）2，22+（2×3）2+32=49=（22+2+1）2，32+（3×4）2+42=169=（32+3+1）2，42+（4×5）2+52=441=（42+4+1）2，52+（5×6）2+62=961=（52+5+1）2，…
（1）根据以上运算，你发现了什么规律，用含有n（n为正整数）的等式表示该规律；
（2）请用因式分解的知识说明你发现的规律的正确性．
3．观察：22－12=)1
2
)(
1
2(-
+=
22
)2
1(⨯
+=3，
42－32＋22－12=)3
4
)(
3
4(-
+＋)1
2
)(
1
2(-
+=（4+3+2+1）=
24
)4
1(⨯
+=10，62－52＋42－32＋22－12=)5
6
)(
5
6(-
+＋)3
4
)(
3
4(-
+＋)1
2
)(
1
2(-
+
=（6+5+4+3+2+1）=
26
)6
1(⨯
+=21.
探究：(1) 82－72＋62－52＋42－32＋22－12=_______________（直接写答案）；
(2)（2n）2－(2n-1)2＋(2n-2)2－(2n-3)2＋…＋22－12=______________（直接写答案）；应用：（3）如图，2013个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最里面一层画阴影，最外面的圆的半径为2013 cm，向里依次为2012 cm，2011 cm，…，1 cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少（结果保留π）？
参考答案
1．解：（1）∵a n=（2n+1）2-（2n-1）2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n，n为非零的自然数，
∴a n是8的倍数．
这个结论用文字语言表述为两个连续奇数的平方差是8的倍数.
（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n为一个完全平方数的2倍时，a n为完全平方数.
2．解：（1）规律：n2+[n（n+1）]2+（n+1）2=（n2+n+1）2.
（2）说明：n2+[n（n+1）]2+（n+1）2
=n2+n2（n+1）2+（n+1）2
=n2（1+n2+2n+1）+（n+1）2
=n2[n2+2（n+1）]+（n+1）2
=n4+2n2（n+1）+（n+1）2
=（n2+n+1）2．
3．解：（1）36
（2）n(2n+1)
（3）π×20132－π×20122＋…＋π×32－π×22＋π
=π（20132－20122＋…＋32－22＋1）
=π（2013＋2012＋…＋3＋2＋1）
=2027091π.。
