2017年1月上海市五校联考高三理科数学试卷及答案

2017年高考数学真题试卷（上海卷）一、填空题1.已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=________．2.若排列数 P 6m=6×5×4，则m=________．3.不等式x−1x＞1的解集为________．4.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于________．5.已知复数z 满足z+ 3z =0，则|z|=________． 6.设双曲线x 29﹣y 2b 2=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2 ， P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|=________．7.如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），则 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是________．8.定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）= {3x −1，x ≤0f(x)，x >0为奇函数，则f﹣1（x ）=2的解为________．9.已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣ 1x ，③y=x 3 ， ④y=x 12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为________．10.已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2 ， n ∈N * ， {b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N * ， {b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)=________．11.设a 1、a 2∈R ，且 12+sinα1+ 12+sin(2α2) =2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于________．12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1 ， P 2 ， P 3 ， P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ， 使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为________．二、选择题13.关于x 、y 的二元一次方程组 {x +5y =02x +3y =4 的系数行列式D 为（ ）A. |0543| B. |1024| C. |1523| D. |6054|14.在数列{a n }中，a n =（﹣ 12 ）n ， n ∈N * ， 则 lim n→∞a n （ ） A. 等于 −12 B. 等于0 C. 等于 12 D. 不存在15.已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn+c ，n ∈N * ， 则“存在k ∈N * ， 使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A. a≥0 B. b≤0 C. c=0 D. a ﹣2b+c=0 16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =w}，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个三、解答题17.如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5．（1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小． 18.已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x+ 12 ，x ∈（0，π）． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a= √19 ，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，求△ABC 的面积．19.根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n = {5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4 ，b n =n+5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ： x 24+y 2 =1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP|= √2 ，求P 的坐标；（2）设P （ 85，35 ），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AQ 的方程．21.设定义在R 上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1、x 2∈R ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2）． （1）若f （x ）=ax 3+1，求a 的取值范围；（2）若f （x ）是周期函数，证明：f （x ）是常值函数；（3）设f （x ）恒大于零，g （x ）是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g （x ）的最大值．函数h （x ）=f （x ）g （x ）．证明：“h （x ）是周期函数”的充要条件是“f （x ）是常值函数”．答案解析部分一、<b >填空题1.【答案】{3，4}【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．【分析】利用交集定义直接求解．2.【答案】3【考点】排列及排列数公式【解析】【解答】解：∵排列数P6m=6×5×4，∴由排列数公式得P63=6×5×4，∴m=3．故答案为：m=3．【分析】利用排列数公式直接求解．3.【答案】（﹣∞，0）【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】解：由x−1x＞1得：1−1x >1⇒1x<0⇒x<0，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．4.【答案】9π【考点】简单空间图形的三视图【解析】【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得43πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积． 5.【答案】 √3【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解：由z+ 3z =0， 得z 2=﹣3，设z=a+bi （a ，b ∈R ），由z 2=﹣3，得（a+bi ）2=a 2﹣b 2+2abi=﹣3，即 {a 2−b 2=−32ab =0，解得： {a =0b =±√3 ． ∴ z =±√3i ． 则|z|= √3 ． 故答案为： √3 ．【分析】设z=a+bi （a ，b ∈R ），代入z 2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案． 6.【答案】 11【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：根据题意，双曲线的方程为： x 29﹣y 2b 2=1，其中a= √9 =3， 则有||PF 1|﹣|PF 2||=6， 又由|PF 1|=5，解可得|PF 2|=11或﹣1（舍） 故|PF 2|=11， 故答案为：11．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得||PF 1|﹣|PF 2||=6，解可得|PF 2|的值，即可得答案．7.【答案】 （﹣4，3，2） 【考点】空间中的点的坐标【解析】【解答】解：如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点， 过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵ DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2）， ∴ AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，3，2) ． 故答案为：（﹣4，3，2）．【分析】由 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），分别求出A 和C 1的坐标，由此能求出结果． 8.【答案】 89 【考点】反函数【解析】【解答】解：若g （x ）= {3x −1，x ≤0f(x)，x >0为奇函数， 可得当x ＞0时，﹣x ＜0，即有g （﹣x ）=3﹣x ﹣1，由g （x ）为奇函数，可得g （﹣x ）=﹣g （x ），则g （x ）=f （x ）=1﹣3﹣x ， x ＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），且f ﹣1（x ）=2，可由f （2）=1﹣3﹣2= 89 ，可得f ﹣1（x ）=2的解为x= 89 ． 故答案为： 89 ．【分析】由奇函数的定义，当x ＞0时，﹣x ＜0，代入已知解析式，即可得到所求x ＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值． 9.【答案】 13【考点】函数的图象，列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣ 1x ，③y=x 3 ， ④y=x12，从四个函数中任选2个，基本事件总数n= C 42=6 ，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有： ①③，①④共2个，∴事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P （A ）= 26 = 13 ． 故答案为： 13 ．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n= C42=6，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．10.【答案】2【考点】数列递推式【解析】【解答】解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴b an = a bn= (b n)2．∴b1=a1=1，(b2)2=b4，(b3)2=b9，(b4)2=b16．∴b1b4b9b16= (b1b2b3b4)2．∴lg(b1b4b9b16)lg(b1b2b3b4)=2．故答案为：2．【分析】a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，可得b an=a bn= (b n)2．于是b1=a1=1，(b2)2=b4，(b3)2=b9，(b4)2=b16．即可得出．11.【答案】π4【考点】三角函数的化简求值【解析】【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使12+sinα1+ 12+sin2α2=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：α1=−π2+2k1π，k1∈Z．2α2=−π2+2k2π，即α2=−π4+k2π，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π −3π4，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π +3π4﹣（2k1+k2）π|的最小值为π4．故答案为：π4．【分析】由题意，要使12+sinα1+ 12+sin2α2=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值12.【答案】P1、P3、P4【考点】进行简单的合情推理【解析】【解答】解：设记为“▲”的四个点为A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形；如图所示，四边形ABCD两组对边中点的连线交于点P2，即符合条件的直线l P一定经过点P2，因此：经过点P2的直线有无数条；同时经过点P1和P2的直线仅有1条，同时经过点P3和P2的直线仅有1条，同时经过点P4和P2的直线仅有1条，所以符合条件的点为P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，让四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，那么该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和是相等的；由此得出结论．二、<b >选择题13.【答案】C【考点】二阶矩阵【解析】【解答】解：关于x、y的二元一次方程组{x+5y=02x+3y=4的系数行列式：D= |1523|．故选：C．【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．14.【答案】B【考点】极限及其运算【解析】【解答】解：数列{a n}中，a n=（﹣12）n，n∈N*，则limn→∞a n= limn→∞(−12)n=0．故选：B．【分析】根据极限的定义，求出limn→∞a n= limn→∞(−12)n的值．15.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0．∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选：A ．【分析】由x 100+k ， x 200+k ， x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ， 代入化简即可得出． 16.【答案】 D【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π， 则 OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos （α﹣β）， 当α﹣β=2kπ，k ∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =w}中的元素有无穷多对． 另解：令P （m ，n ），Q （u ，v ），则m 2+9n 2=36，9u 2+v 2=9， 由柯西不等式（m 2+9n 2）（9u 2+v 2）=324≥（3mu+3nv ）2 ， 当且仅当mv=nu ，即O 、P 、Q 共线时，取得最大值6， 显然，满足条件的P 、Q 有无穷多对，D 项正确． 故选：D ．【分析】设出P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数． 三、<b >解答题17.【答案】 （1）解：∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积： V=S △ABC ×AA 1= 12×AB ×AC ×AA 1 = 12×4×2×5 =20（2）解：连结AM ，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5，M 是BC 中点， ∴AA 1⊥底面ABC ，AM= 12BC =12√16+4 = √5 ， ∴∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角， tan ∠A 1MA=AA 1AM= √5= √5 ，∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan √5 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角【解析】【分析】（1）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ×AA 1= 12×AB ×AC ×AA 1 ，由此能求出结果．（2）连结AM ，∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，由此能求出直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小． 18.【答案】 （1）解：函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x+ 12 =cos2x+ 12 ，x ∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣ 12 π≤x≤kπ，k ∈Z ， k=1时， 12 π≤x≤π，可得f （x ）的增区间为[ π2 ，π）（2）解：设△ABC 为锐角三角形， 角A 所对边a= √19 ，角B 所对边b=5， 若f （A ）=0，即有cos2A+ 12 =0， 解得2A= 23 π，即A= 13 π， 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 化为c 2﹣5c+6=0， 解得c=2或3，若c=2，则cosB= 2×√19×2 ＜0， 即有B 为钝角，c=2不成立， 则c=3，△ABC 的面积为S= 12 bcsinA= 12 ×5×3× √32=15√34【考点】三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f （A ）=0，解得A ，再由余弦定理解方程可得c ，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 19.【答案】 （1）解：∵a n = {5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4 ，b n =n+5∴a 1=5×14+15=20 a 2=5×24+15=95 a 3=5×34+15=420 a 4=﹣10×4+470=430 b 1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935（2）解：令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤ 46511，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等比数列，∴到第42个月底，单车保有量为a4+a422×39+535﹣b1+b422×42= 430+502×39+535﹣6+472×42=8782．S42=﹣4×16+8800=8736．∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量【考点】函数模型的选择与应用【解析】【分析】（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．20.【答案】（1）解：设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：x24+y2=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|= √2，∴联立{x24+y2=1x2+y2=2，解得P（2√33，√63）（2）解：设M（x0，0），A（0，1），P （ 85，35 ），若∠P=90°，则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ • PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即（x 0﹣ 85 ，﹣ 35 ）•（﹣ 85 ， 25）=0， ∴（﹣ 85 ）x 0+ 6425 ﹣ 625 =0，解得x 0= 2920 ．如图，若∠M=90°，则 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即（﹣x 0 ， 1）•（ 85 ﹣x 0 ， 35）=0， ∴ x 02−85x 0+35 =0，解得x 0=1或x 0= 35 ， 若∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．∴点M 的横坐标为 2920 ，或1，或 35（3）解：设C （2cosα，sinα），∵ AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A （0，1）， ∴Q （4cosα，2sinα﹣1），又设P （2cosβ，sinβ），M （x 0 ， 0），∵|MA|=|MP|，∴x 02+1=（2cosβ﹣x 0）2+（sinβ）2 ，整理得：x 0= 34 cosβ，∵ PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1）， PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣ 54 cosβ，﹣sinβ）， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣ 43 cosα，且sinα= 13 （1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα= 23 ，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC 的斜率k AC =﹣ 1−sinα2cosα = √510（负值已舍去），如图．∴直线AQ 为y= √510x+1．【考点】椭圆的应用，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立{x24+y2=1x2+y2=2，能求出P点坐标．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（85，35），由∠P=90°，求出x0= 2920；由∠M=90°，求出x0=1或x0= 35；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0= 34cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣43cosα，且sinα= 13（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．21.【答案】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证【考点】函数的周期性【解析】【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．。

2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={ x|x<1} ，B={ x| 3x 1 }，则（）A ．AB { x | x 0} B ．A B R C．A B { x | x 1}D．A B2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．1B ．πC．1D．π84 423．设有下面四个命题p1：若复数 z 满足1R ，则z R ；p2：若复数 z 满足z2R ，则z R ；zp3：若复数 z1, z2满足 z1z2R，则z z；p4：若复数z R，则z R．12其中的真命题为（）A．p1, p3 B ．p1, p4C．p2, p3D．p2, p44．记S n为等差数列{ a n} 的前 n 项和．若 a4a524 ， S648 ，则 { a n } 的公差为（）A ． 1B ． 2C．4D． 85．函数f ( x)在(,) 递减，且为奇函数．若 f (1) 1 ，则满足 1 f ( x2)1的 x 的取值范围是（）A．[2,2] B ．[ 1,1]C．[0,4]D．[1,3]6．(116展开式中2的系数为（）x2 )(1x)xA ． 15B ． 20C．30D． 35 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A ． 10B．12C．14 D ．168．右面程序框是了求出足3n- 2n>1000 的最小偶数 n，那么在和两个空白框中，可以分填入（A ． A>1000 和 n=n+1B ．A>1000 和 n=n+2C．A 1000 和 n=n+1 D ．A 1000 和 n=n+2： y=cos x， C： y=sin (2 x+2π）9．已知曲 C2)，下面正确的是（3A．把 C1上各点的横坐伸到原来的 2 倍，坐不，再把得到的曲向右平移π个位度，得到曲6C2B．把 C1上各点的横坐伸到原来的 2 倍，坐不，再把得到的曲向左平移π个位度，得到曲12C2C．把 C1上各点的横坐短到原来的1倍，坐不，再把得到的曲向右平移π个位度，得到曲26C2D．把 C1上各点的横坐短到原来的1倍，坐不，再把得到的曲向左平移π个位度，得到212曲 C210．已知 F 抛物2的焦点， F 作两条互相垂直的直l 1，l 2，直 l 1与 C 交于 A、B 两点，直C：y =4x与 C 交于 D、 E 两点， |AB |+|DE|的最小（）A ． 16B ． 14C．12D． 10、、z 正数，且2x3y5z）11． x y，（A ． 2x<3 y<5zB ． 5z<2x<3y C．3y<5 z<2x D． 3y<2x<5z 12．几位大学生响国家的号召，开了一款用件．激大家学数学的趣，他推出了“解数学）l2取件激活”的活．款件的激活下面数学的答案：已知数列1， 1， 2， 1， 2， 4， 1，2， 4， 8， 1， 2，4， 8，16，⋯，其中第一是 20，接下来的两是 20， 21，再接下来的三是 20，21， 22，依此推．求足如下条件的最小整数 N：N>100 且数列的前 N 和 2 的整数．那么款件的激活是（）A ． 440B ． 330C．220D． 110二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．已知向量 a ， b 的夹角为 60°， |a |=2， |b |=1，则 | a +2 b |=．x 2 y 114．设 x ，y 满足约束条件2x y 1，则 z 3x 2 y 的最小值为．x y2215．已知双曲线 C ：x2y 2 1（ a>0，b>0）的右顶点为 A ，以 A 为圆心， b 为半径作圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的 ab一条渐近线交于 M 、 N 两点．若∠ MAN =60°，则 C 的离心率为 ____ ____．16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为 5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为 O ．D 、E 、F 为圆 O 上的点，△ DBC ，△ ECA ，△ FAB 分别是以 BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△ DBC ，△ ECA ，△ FAB ，使得 D 、 E 、 F 重合，得到三棱锥．当△ ABC 的边长变化时，所得 三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 _______．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分．a 2 17．（12 分）△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知△ ABC 的面积为3sin A（ 1）求 sinBsinC;（ 2）若 6cosBcosC=1， a=3，求△ ABC 的周长．18．（ 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中， AB//CD ，且BAP CDP 90 ．（ 1）证明：平面 PAB ⊥平面 PAD ；（ 2）若 PA=PD=AB=DC ，APD 90 ，求二面角 A-PB-C 的余弦值．19．（ 12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N ( , 2 )．（ 1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 ( 3 ,3 ) 之外的零件数，求P( X 1) 及X的数学期望；（ 2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95116116( xi x )2116经计算得 x x i9.97 ，s(x i216x 2 ) 20.212，其中x i为抽取的第 i16 i 116 i 116i1个零件的尺寸，i1,2,,16 ．用样本平均数x 作为的估计值 ?，用样本标准差s 作为的估计值? ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除( ? 3 ?, ? 3 ?) 之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布 N (,2 ) ，则 P(3Z3)0.9974 ，0.9974160.9592，0.0080.09．20．（ 12 分）已知椭圆x2y23）， P4（ 1，3 C：22 =1 （a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，）a b22中恰有三点在椭圆 C 上．（ 1）求 C 的方程；（ 2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A， B 两点．若直线P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1，证明： l 过定点．21．（ 12 分）已知函数 f ( x) ae2x(a 2)e x x ．（ 1）讨论 f ( x) 的单调性；（ 2）若f ( x)有两个零点，求 a 的取值范围．（二）选考题：共10 分．请考生在第22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22． [ 选修 4―4：坐标系与参数方程]（ 10 分）x3cos x a4t 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（θ为参数），直线 l 的参数方程为（为参数）．y sin y1t（ 1）若 a=-1 ，求 C 与 l 的交点坐标；（ 2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为17 ，求 a．23． [ 选修 4—5：不等式选讲]（ 10 分）已知函数f(x) = –x2+ax+4 ， g(x)= │x+1│ +│x– 1│．（1）当 a=1 时，求不等式 f(x) ≥g(x)的解集；（2）若不等式 f(x) ≥g(x)的解集包含 [–1， 1]，求 a 的取值范围．参考答案（理科数学）一、选择题123456789101112A B B C D C B D D A D A二、填空题13．2 314．52315．16．4 15 3三、解答题。

上海市五校联考2015届高三上学期质检数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．（4分）已知P（﹣3，4）为角α终边上的一点，则cos（π+α）=．2．（4分）已知向量，若，则=．3．（4分）已知集合M={x|y=lg（2x﹣x2），x∈R}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是．4．（4分）已知幂函数f（x）过点，则f（x）的反函数为f﹣1（x）=．5．（4分）若无穷等比数列{a n}满足：，则首项a1的取值范围为．6．（4分）若直线l：ax+y+1=0平分圆x2+y2﹣2x+6y+5=0的面积，则直线l的倾斜角为．（用反三角函数值表示）7．（4分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上满足：当x1，x2∈（﹣∞，0]且x1≠x2时，总有，则不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为．8．（4分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=．9．（4分）已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m2﹣m 恒成立，则实数m的取值范围为．10．（4分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M 到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．11．（4分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．12．（4分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0．则x2014=．13．（4分）过点且方向向量为（2，1）的直线交双曲线x2﹣y2=4于A n，B n两点，记原点为O，△OA n B n的面积为S n，则=．14．（4分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．（5分）已知命题α：|x﹣1|≤2，命题β：≤0，则命题α是命题β成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）已知直线l1：y=xsinα和直线l2：y=2x+c，则直线l1与l2（）A．通过平移可以重合B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直角三角形D．通过绕l1上某点旋转可以重合17．（5分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=（表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y= B．y= C．y= D．y=18．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．20．（14分）已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y2=12x的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若A、B是椭圆E的左右端点，O为原点，P是椭圆E上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，问是否为定值，说明理由．21．（14分）等差数列{αn}的前n项和S n=n2，数列{βn}满足βn=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①sin2α1+cos2β1﹣sinα1cosβ1=m；②sin2α2+cos2β2﹣sinα2cosβ2=m；③sin2α3+cos2β3﹣sinα3cosβ3=m；④sin2α4+cos2β4﹣sinα4cosβ4=m；⑤sin2α5+cos2β5﹣sinα5cosβ5=m；⑥sin2α6+cos2β6﹣sinα6cosβ6=m．（Ⅰ）求数列{αn}的通项公式；（Ⅱ）试从上述六个等式中选择一个，求实数m的值；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，将同学甲的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．22．（16分）若函数f（x）在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知函数，试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．23．（18分）由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r）．（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；（2）试推导P（n，r）关于n、r的解析式；（3）是否存在这样的“n边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．上海市五校联考2015届高三上学期质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．（4分）已知P（﹣3，4）为角α终边上的一点，则cos（π+α）=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，诱导公式求得要求式子的值．解答：解：∵P（﹣3，4）为角α终边上的一点，∴x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，∴cos（π+α）=﹣cosα=﹣=﹣=，故答案为：．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．2．（4分）已知向量，若，则=．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：利用斜率的垂直求出x，得到向量，然后求模即可．解答：解：向量，若，∴，∴x=4，==．故答案为：．点评：本题考查斜率的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．3．（4分）已知集合M={x|y=lg（2x﹣x2），x∈R}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是分析：设幂函数f（x）=xα，（α为常数）．由于幂函数f（x）过点，代入解得，可得f（x）=，由y=解得x=y2，把x与y互换即可得出反函数．解答：解：设幂函数f（x）=xα，（α为常数）．∵幂函数f（x）过点，∴，解得．∴f（x）=，由y=解得x=y2，把x与y互换可得y=x2．∴f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x≥0）．故答案为：x2（x≥0）．点评：本题考查了反函数的求法、幂函数的定义，属于基础题．5．（4分）若无穷等比数列{a n}满足：，则首项a1的取值范围为（0，4）∪（4，8）．考点：数列的极限．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：依题意知|q|＜1且q≠0，由=4⇒q=1﹣∈（﹣1，1），从而可求得a1的取值范围．解答：解：依题意知|q|＜1且q≠0，∴S n=，∴=，∴，∴q=1﹣∈（﹣1，1），q≠0，即﹣1＜﹣1＜1且﹣1≠0，解得0＜a1＜4或4＜a1＜8．故答案为：（0，4）∪（4，8）点评：本题考查数列的求和与数列的极限，求得q=1﹣是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．6．（4分）若直线l：ax+y+1=0平分圆x2+y2﹣2x+6y+5=0的面积，则直线l的倾斜角为π﹣arctan2．（用反三角函数值表示）考点：直线与圆的位置关系；直线的倾斜角．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可得，直线l：ax+y+1=0过圆心（1，﹣3），求出a，即可求出直线l的倾斜角．解答：解：由题意可得，直线l：ax+y+1=0过圆心（1，﹣3）．故有a﹣3+1=0，解得a=2，∴k=﹣2，∴直线l的倾斜角为π﹣arctan2．故答案为：π﹣arctan2．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，体现了转化的数学思想，得到直线l：ax+y+1=0过圆心（1，﹣3）是解题的关键，属于中档题．7．（4分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上满足：当x1，x2∈（﹣∞，0]且x1≠x2时，总有，则不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为{x|x＞}．考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，所以f（x）在上单调递减，所以f（x）在上单调递减，所以f（x）在8．（4分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=2．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由函数图象经过点（0，1），代入解析式得sinφ=，解出φ=．根据A、B两点之间的距离为5，由勾股定理解出横坐标的差为3，得函数的周期T=6，由此算出ω=，得出函数的解析式，从而求出f（﹣1）的值．解答：解：∵函数图象经过点（0，1），∴f（0）=2sinφ=1，可得sinφ=，又∵≤φ≤π，∴φ=．∵其中A、B两点的纵坐标分别为2、﹣2，∴设A、B的横坐标之差为d，则|AB|==5，解之得d=3，由此可得函数的周期T=6，得=6，解之得ω=．∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+），可得f（﹣1）=2sin（﹣+）=2sin=2．故答案为：2点评：本题给出正弦型三角函数的图象，确定其解析式并求f（﹣1）的值．着重考查了勾股定理、由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识，属于中档题．9．（4分）已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m2﹣m 恒成立，则实数m的取值范围为或m≥1．考点：函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：求出分段函数的最大值，把不等式f（x）≤m2﹣m恒成立转化为m2﹣m大于等于f（x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m的取值范围．解答：解：对于函数f（x）=，当x≤1时，f（x）=；当x＞1时，f（x）=＜0．∴要使不等式f（x）≤m2﹣m恒成立，则恒成立，即或m≥1．故答案为：或m≥1．点评：本题考查了恒成立问题，训练了分段函数的最值的求法，考查了数学转化思想方法，是中档题．10．（4分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M 到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．考点：抛物线的简单性质；两点间的距离公式．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），利用抛物线的定义可得|MF|=2+=3，解得p=2，从而得到抛物线的方程．由此算出点M的坐标为（2，），再利用两点间的距离公式即可算出|OM|的值．解答：解：∵抛物线经过点M（2，y），∴抛物线的开口向右．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），∵点M（2，y）到抛物线焦点F的距离为3，∴根据抛物线的定义，得|MF|=2+=3，解得p=2，由此可得抛物线的方程为y2=4x．将点M坐标代入抛物线方程，得y2=4×2=8，解得y=，M坐标为（2，）．∴|OM|==2．故答案为：点评：本题已知抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为3，求该点到抛物线顶点的距离．着重考查了抛物线的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，属于中档题．11．（4分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；数形结合；转化思想．分析：根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．解答：解：∵AB=3，BD=1，∴D是BC上的三等分点，∴，∴===9﹣=，故答案为．点评：此题是个中档题．考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想．12．（4分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0．则x2014=4009．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据条件关系求出数列的首项以及通项公式即可得到结论．解答：解：设x8=a，则x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6，∴f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，且f（a）＜f（a+2）＜f（a+4）＜f（a+6），∴f（a）＜0且f（a+6）＞0．∵奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0．∴f（a+3）=0=f（0），即a+3=0．∴x8=﹣3．设数列{x n}通项x n=x1+2（n﹣1）．∴x8=x1+14=﹣3．∴x1=﹣17．∴通项x n=2n﹣19．∴x2014=2×2014﹣19=4009．故答案为：4009．点评：本题考查数列的性质和应用，利用函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．13．（4分）过点且方向向量为（2，1）的直线交双曲线x2﹣y2=4于A n，B n两点，记原点为O，△OA n B n的面积为S n，则=．考点：数列的极限．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：依题意，可知过点（2﹣，0）的直线的斜率为，n→+∞时，点（2﹣，0）→（2，0），原问题转化为直线x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积，利用直线与圆锥曲线的位置关系，利用弦长公式、三角形的面积公式即可求得答案．解答：解：∵过点且方向向量为（2，1），即其斜率k=，（2﹣）=2，∴当n→+∞时，点（2﹣，0）→（2，0），∴n→+∞时，△OA n B n的面积就是直线y﹣0=（x﹣2），即x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积，设为S，由消去x得：3y2+8y=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2，=﹣，y1•y2，=0，x1+x2，=2y1+2y2，+4=﹣，∴|AB|==•=•=．又O点到直线x﹣2y﹣2=0的距离d==，∴S==|AB|•d=××=．为S n，故答案为：．点评：本题考查数列的极限，理解题意，求得（2﹣）=2，原问题转化为直线x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积是关键，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查弦长公式，考查转化思想与综合运算能力．14．（4分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．解答：解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7； a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，此时a1=1且a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，必有q＞0，∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，方法2：由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，得，所以，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥，故q的最小值是：．故答案为：．点评：解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，解方程组求解．即基本量法．二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．（5分）已知命题α：|x﹣1|≤2，命题β：≤0，则命题α是命题β成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求解得出不等式命题α：﹣1≤x≤3，命题β：﹣1＜x≤3，再根据充分必要条件的定义可判断．解答：解：∵|x﹣1|≤2，∴﹣1≤x≤3，∵≤0，∴﹣1＜x≤3，∴命题α：﹣1≤x≤3，命题β：﹣1＜x≤3，∴根据充分必要条件的定义可判断：命题α是命题β成立的必要不充分条件．故选：B点评：本题考查了不等式的求解，注意分式不等式的求解，利用充分必要条件的定义可判断，属于容易题．16．（5分）已知直线l1：y=xsinα和直线l2：y=2x+c，则直线l1与l2（）A．通过平移可以重合B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直角三角形D．通过绕l1上某点旋转可以重合考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：分别找出两直线的斜率，根据正弦函数的值域得到直线l1斜率的范围，发现两直线的斜率不可能相等，所以两直线不可能平行，必然相交，故直线l1绕交点旋转可以与l2重合．解答：解：直线l1：y=xsinα的斜率为sinα，而sinα∈，即直线l1的斜率k1∈，直线l2：y=2x+c的斜率k2=2，∵k1≠k2，∴直线l1与l2不可能平行，即两直线必然相交，则直线l1与l2可以通过绕l1上某点旋转可以重合．故选D点评：此题考查了两直线的交点坐标，正弦函数的值域，以及直线斜率的求法，根据直线方程得出两直线的斜率不相等是解本题的关键．17．（5分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=（表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y= B．y= C．y= D．y=考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：压轴题．分析：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．进而得到解析式．代入特殊值56、57验证即可得到答案．解答：解：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=也可以用特殊取值法若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A；故选：B．点评：本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．18．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．解答：解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选C．点评：本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a， b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．专题：平面向量及应用．分析：（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cosA=，由同角三角函数的基本关系可得sinA；（2）由正弦定理可得sinB=，结合大边对大角可得B值，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．解答：解：（1）由题意可得=cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sinB=cos=cosA=，∴sinA==；（2）由正弦定理可得，∴sinB===，∵a＞b，∴A＞B，∴B=，由余弦定理可得=，解得c=1，或c=﹣7（舍去），故向量在方向上的投影为cosB=ccosB=1×=．点评：本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．20．（14分）已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y2=12x的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若A、B是椭圆E的左右端点，O为原点，P是椭圆E上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，问是否为定值，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：向量与圆锥曲线．分析：（1）求出抛物线的焦点坐标，得到椭圆的长半轴长，再由a﹣c=1求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设出P点坐标，代入椭圆方程，求出直线PA和PB的方程，取x=0求得M，N的坐标，得到向量的坐标，代入数量积公式可得为定值．解答：解：（1）由抛物线y2=12x，得焦点为（3，0），已知可知椭圆的焦点在x轴，且a=3，又a﹣c=1，则c=2，∴b2=a2﹣c2=5，故椭圆的方程为：；（2）设P（x0，y0），则，且A（﹣3，0），B（3，0），又直线PA：，直线PB：，令x=0，得：，故为定值．点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了平面向量的数量积运算，是中档题．21．（14分）等差数列{αn}的前n项和S n=n2，数列{βn}满足βn=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①sin2α1+cos2β1﹣sinα1cosβ1=m；②sin2α2+cos2β2﹣sinα2cosβ2=m；③sin2α3+cos2β3﹣sinα3cosβ3=m；④sin2α4+cos2β4﹣sinα4cosβ4=m；⑤sin2α5+cos2β5﹣sinα5cosβ5=m；⑥sin2α6+cos2β6﹣sinα6cosβ6=m．（Ⅰ）求数列{αn}的通项公式；（Ⅱ）试从上述六个等式中选择一个，求实数m的值；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，将同学甲的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．考点：三角函数的化简求值；归纳推理．专题：三角函数的求值；推理和证明．分析：（Ⅰ）利用等差数列{αn}的前n项和S n=n2，分n=1与n≥2讨论，即可求得数列{αn}的通项公式；（Ⅱ）选择②，计算即可；（Ⅲ）利用两角差的余弦将所求关系式中的cos2（）及cos（）展开，利用平方关系计算即可证得结论成立．解答：（Ⅰ）解：当n=1时，α1=…（1分）当n≥2时，αn=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=n﹣…（3分）∵当n=1时，a1适合此式∴数列{αn}的通项公式为a n=n﹣…（5分）（Ⅱ）解：选择②，计算如下：β2=…（6分）m=sin2α2+cos2β2﹣sinα2cosβ2=sin2+cos2﹣sin cos=1﹣sin=…（8分）（Ⅲ）证明：sin2θ+cos2（）﹣sinθcos（）…（9分）=sin2θ+（cos cosθ+sin sinθ）2﹣sinθ（cos cosθ+sin sinθ）…（10分）=sin2θ+cos2θ+sin2θ+sinθcosθ﹣sinθcosθ﹣sin2θ…（11分）=cos2θ+sin2θ=…（12分）点评：本题考查归纳推理，着重考查三角函数的化简求值，考查运算与推理证明能力，属于难题．22．（16分）若函数f（x）在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知函数，试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；新定义；函数的性质及应用．分析：（1）运用两角和与差的正弦公式，化简f（﹣x）+f（x），再由由局部奇函数的定义，即可判断；（2）根据局部奇函数的定义，可得方程2x+2﹣x+2m=0在上有解，运用换元法，令t=2x∈，则﹣2m=t+，求出右边的最值即可；（3）根据“局部奇函数”的定义可知，（2x+2﹣x）2﹣2m⋅（2x+2﹣x）+2m2﹣8=0有解即可．设t=2x+2﹣x，则t=2x+2﹣x≥2，即有方程等价为t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，设g（t）=t2﹣2m⋅t+2m2﹣8，由对称轴和区间的关系，列出不等式，解出即可．解答：解：（1）由于f（x）=sin（x+φ）（0＜φ＜），f（﹣x）=sin（﹣x+φ）=﹣sin （x﹣φ），则f（﹣x）+f（x）=sin（x+φ）﹣sin（x﹣φ）=2cosxsinφ，由于0＜φ＜，则0＜sinφ＜1，当x=时，f（﹣x）+f（x）=0成立，由局部奇函数的定义，可知该函数f（x）为“局部奇函数”；（2）根据局部奇函数的定义，f（x）=2x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m=0，因为f（x）的定义域为，所以方程2x+2﹣x+2m=0在上有解，令t=2x∈，则﹣2m=t+，设g（t）=t+，则g'（t）=1﹣=，当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数，所以t∈时，g（t）∈．所以﹣2m∈，即m∈．（3）根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（﹣x）=﹣f（x）有解即可，即f（﹣x）=4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m2x+1+m2﹣3），∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0，即（2x+2﹣x）2﹣2m⋅（2x+2﹣x）+2m2﹣8=0有解即可．设t=2x+2﹣x，则t=2x+2﹣x≥2，∴方程等价为t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，设g（t）=t2﹣2m⋅t+2m2﹣8，对称轴x=﹣=m，①若m≥2，则△=4m2﹣4（2m2﹣8）≥0，即m2≤8，∴﹣2，此时2，②若m＜2，要使t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，则，即，解得1﹣≤m＜2，综上得，1﹣≤m..点评：本题考查新定义的理解和运用，考查方程有解的条件及二次函数的图象和性质的运用，以及指数函数的图象和性质的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．23．（18分）由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r）．（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；（2）试推导P（n，r）关于n、r的解析式；（3）是否存在这样的“n边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．考点：归纳推理．专题：综合题；推理和证明．分析：（1）由已知可得P（3，r）=，解不等式可得最小r的取值；（2）设n边形数列所对应的图形中第r层的点数为a1，则P（n，r）=a1+a2+…+a r，进而由等差数列的前n项和公式，可得答案．（3）P（n，r+1）+P（n，r）=（n﹣2）r2+2r+1，n=3时，满足题意；而结论要对于任意的正整数r都成立，则（n﹣2）r2+2r+1的判别式必须为0，即可得出结论．解答：解：（1）由题意得：P（3，r）=1+2+…+r=令＞36即r2+r﹣72＞0，解得r＞8∴最小的r=9．（2）设n边形数列所对应的图形中第r层的点数为a1，则P（n，r）=a1+a2+…+a r，从图中可以得出：后一层的点在n﹣2条边上增加了一点，两条边上的点数不变，所以a r+1﹣a r=n﹣2，a1=1所以{a r}是首项为1公差为n﹣2的等差数列，所以P（n，r）=r+；（3）P（n，r+1）+P（n，r）=（n﹣2）r2+2r+1，n=3时，满足题意；而结论要对于任意的正整数r都成立，则（n﹣2）r2+2r+1的判别式必须为0，∴4﹣4（n﹣2）=0，∴n=3，故满足题意的数列为“三角形数列”．点评：本题考查等差数列的基本知识，递推数列的通项公式的求解等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力．。

2017年上海市高考数学试卷1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =I2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m =3. 不等式11x x->的解集为 4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z =6. 设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuu u r 的坐标为(4,3,2)，则1AC u u u u r的坐标为8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于 任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =11. 设1a 、2a ∈R 且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“”的 点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中所有这样的P 为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（ ）A.0543 B. 1024 C. 1523 D. 605414. 在数列{}n a 中，1()2n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（ ）A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在 15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ， 使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+=16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动 点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅u u u r u u u r的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=u u u r u u u r，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =u u u r u u u r ，4PQ PM =u u u r u u u u r，求直线AQ 的方程.21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.。

绝密★启用前2017年一般高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则A. {|0}A B x x =<B. A B =RC. {|1}A B x x =>D. A B =∅2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部份和白色部份关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，那么此点取自黑色部份的概率是 A. 14 B. π8 C. 12 D. π43.设有下面四个命题1:p 假设复数z 知足1z∈R ，那么z ∈R ； 2:p 假设复数z 知足2z ∈R ，那么z ∈R ；3:p 假设复数12,z z 知足12z z ∈R ，那么12z z =；4:p 假设复数z ∈R ，那么z ∈R .其中的真命题为A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．假设4524a a +=，648S =，那么{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．假设(11)f =-，那么知足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3] 6.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.357.某多面体的三视图如下图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有假设干个是梯形，这些梯形的面积之和为A.10B.12C.14D.168.右面程序框图是为了求出知足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，能够别离填入A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1D.A≤1000和n=n+29.已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，那么下面结正确的选项是A.把C1上各点的横坐标伸长到原先的2倍，纵坐标不变，再把取得的曲线向右平移π6个单位长度，取得曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原先的2倍，纵坐标不变，再把取得的曲线向左平移π12个单位长度，取得曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原先的12倍，纵坐标不变，再把取得的曲线向右平移π6个单位长度，取得曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原先的12倍，纵坐标不变，再把取得的曲线向右平移π12个单位长度，取得曲线C210.已知F为抛物线C：y2=4x的核心，过F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，那么|AB|+|DE|的最小值为A．16 B．14 C．12 D．1011.设xyz为正数，且235x y z==，那么A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大伙儿学习数学的爱好，他们退出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项为哪一项20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求知足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是A.440B.330C.220D.110二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

2017 年普通高等学校招生全国统一考试上海--数学试卷考生注意1. 本场考试时间120 分钟，试卷共 4 页，满分150 分，答题纸共 2 页.2. 作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位4. 用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第1-6 题每题 4 分，第7-12 题每题5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 .1.已知集合 A={1 ，2，3，4} ，集合 B={3 ， 4， 5} ，则 A∩B=________1，答案：{3,4}【解析】∵集合 A={1 ，2，3，4} ，集合 B={3 ，4，5} ，∴A∩B={3,4} 【知识点难易度】本题考查集合的运算，交集，属于基础题2．若排列数则 m=___________【答案】 3【解析】∵排列数 A 6=6×5× ×(6-m+1) ，∴6-m+1=4，即 m=3. 【知识点难易度】本题考查排列的计算，属于基础题3．不等式的解集为___________【答案】【解析】【知识点难易度】本题考查分式不等式的解法，属于基础题4．已知球的体积为 36π，则该球主视图的面积等于________【答案】9 π【解析】设球的半径为R，则由球的体积为 36π，可得，解得 R=3.该球的主视图是半径为3 的圆，其面积为【知识点难易度】本题考查球的体积公式和三视图的概念5.已知复数 z 满足，则 |z|=________．【答案】【解析】由【知识点难易度】本题考查复数的四则运算和复数的模, 属于基础题6. 设双曲线（b＞0）的焦点为 F1，F2， P 为该双曲线上的一点，若，则=______【答案】11【解析】双曲线中，由双曲线的定义，可得 ||PF |-|PF ||=6，又|PF1|=5，解得 |PF2 |=11或﹣ 1（舍去），故 |PF2|=11.【知识点难易度】本题考查双曲线的定义和性质，7. 如图，以长方体的顶点 D 为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量的坐标为（ 4，3，2），则向量的坐标是___________【答案】(-4,3,2)【解析】由的坐标为（ 4，3， 2），可得A （ 4， 0， 0），C(0,3,2)，D1 (0,0,2)，则 C1（ 0， 3， 2），∴=（﹣ 4，3，2）．【知识点难易度】本题考查空间向量，属于基础题8. 定义在（0，+ ∞）上的函数y=f （x）的反函数为, 若为奇函数，则的解为_____【答案】【解析】为奇函数，可得当x>0时，﹣ x＜ 0，即有，则由可得，即【知识点难易度】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函数之间的关系，属于中档题9.已知四个函数：①y=-x ，② y=，③ y=④ y=，从中任选2 个，则事件“所选 2 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为_______【答案】【解析】从四个函数中任选2 个，基本事件总数 n==6，“所选2 个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有①③，①④，共2 个，∴事件“所选2 个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为p=【知识点难易度】本题考查事件的概率，幂函数的图像画法和特征，属于基础题10.已知数列其中的项是互不相等的正整数，若对于任意 n∈N*，的第项等于则=_____【答案】 2【解析】【知识点难易度】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题11.设α1，α2∈R , 且则 |10π-α1-α2|的最小值等于_________【答案】【解析】由可得 1≤2+sin α1≤3，则同理可得【知识点难易度】考查三角函数的性质和值域，12. 如图，用35 个单位正方形拼成一个矩形，点以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合 Ω={ P1，P2，P3，P4 }，点P ∈Ω，过 P 作直线 l P ，使得不在 l P 上的 “▲” 的点分布在 l P 的两侧．用 D 1（l P ） 和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和． 若过 P的直线中有且只有一条满足，则 Ω 中所有这样的 P 为___________ 【答案】P 1, P 3 , P 4【解析】设记为 “▲”的四个点为 A ，B ，C ，D ，线段 AB ，BC ，CD ， DA 的中点分别为 E ， F ，G ，H ，易知 EFGH 为平行四边形，如图所示，四边形 ABCD 两组对边中点的连线交于点 P2 ，则经过点 P2的所有直线都是符合条件的直线 .因此经过点 P2 的符合条件的直线 l P 有无数条；经过点 P1,P3,P4 的符合条件的直线 各有 1 条，即直线 P2 P1 ,P2P3,P2P4.故 Ω中所有这样的 P 为 P1,P3.P4.二、选择题（本大题共4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 关于x， y的二元一次方程组的系数行列式 D 为( )A. B. C. D.【答案】 C【解析】关于的二元一次方程组的系数行列式故选C14. 在数列中，n∈N，则=（）A. 等于B.等于 0C.等于D.不存在【答案】 B【解析】数列中，n∈N，则故选B15. 已知 a,b,c 为实常数，数列的通项=an2+bn+c，n∈N*，则“存在 k∈N*，使得成等差数列”的一个必要条件是（）A. 0a b cc= D、20-+=b≤ C. 0a≥ B. 0【答案】 A【解析】存在 k∈N*，使得成等差数列，可得2[a（ 200+k）2+b（200+k） +c]=a（ 100+k）2+b（100+k） +c+a （300+k）2+b（300+k） +c，化简得 a=0，∴使得成等差数列的必要条件是 a≥0．故选A ．16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=P 为上的动点，Q 为 C2 上的动点，w 是OP OQ ⋅u u u r u u u r的最大值．记Ω={（P ，Q ）| P 在 C1 上， Q 在 C2 上且OP OQ ω⋅=u u u r u u u r}，则 Ω中的元素有（ ）A.2 个B.4 个C.8 个D.无穷个【答案】 D【解析】 P 为椭圆 221:1364x y C +=上的动点， Q 为 222:19y C x +=上的动点，可 设 P （ 6cos α， 2sin α）， Q （ cos β， 3sin β）， α， β∈ [0,2π], 则OP OQ ⋅u u u r u u u r=6cos α cos β +6sin α sin β（=6cos α-β），当 α-β =2k π，k ∈Z 时， OP OQ ⋅u u u r u u u r取得最大值w=6，即使得 OP OQ ⋅u u u r u u u r=w 的点对 (P,Q)有无穷多对， Ω 中的元素有无穷个 .三、解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17.如图，直三棱柱111ABC A B C - 的底面为直角三角形，两直角边AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 1AA 的长为 5． （1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设 M 是 BC 中点，求直线1B M 与平面ABC所成角的大小 .17.【解析】（1）∵直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 AA 1 的长为 5． ∴三棱柱111ABC A B C -的体积2）连接 AM.∵直三棱柱111ABC A B C -，与平面 ABC 所成角 .∵△ ABC 是直角三角形， 两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，点 M 是 BC 的中点，18.已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x π=-+∈.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ ABC 为锐角三角形，角 A 所对边19a = ，角 B 所对边 b=5，若f （A ）=0，求△ ABC 的面积．18.【解析】（1）函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x π=-+∈19． 根据预测，某地第n （n ∈N * ）个月共享单车的投放量和损失量分别为 an 和 bn （单位：辆），其中 2515,1,2,310470,4n n n a n n ⎧+==⎨-+≥⎩， 5n b n =+，第 n 个月底的共享单车的保有量是前 n 个月的累计投放量与累计损失量的差。

2017年上海市高考数学试卷及参考答案与试题解析一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分) 1.(4分)已知集合A ＝{1,2,3,4},集合B ＝{3,4,5},则A ∩B ＝ . 2.(4分)若排列数＝6×5×4,则m ＝ .3.(4分)不等式＞1的解集为 .4.(4分)已知球的体积为36π,则该球主视图的面积等于 .5.(4分)已知复数z 满足z ＋＝0,则|z|＝ .6.(4分)设双曲线－＝1(b ＞0)的焦点为F 1、F 2,P 为该双曲线上的一点,若|PF 1|＝5,则|PF 2|＝ .7.(5分)如图,以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点,过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为(4,3,2),则的坐标是 .8.(5分)定义在(0,＋∞)上的函数y ＝f(x)的反函数为y ＝f －1(x),若g(x)＝为奇函数,则f －1(x)＝2的解为 .9.(5分)已知四个函数：①y ＝－x,②y ＝－,③y ＝x 3,④y ＝x,从中任选2个,则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 .10.(5分)已知数列{a n }和{b n },其中a n ＝n 2,n ∈N *,{b n }的项是互不相等的正整数,若对于任意n∈N *,{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项,则＝ .11.(5分)设a 1、a 2∈R,且,则|10π－a 1－a 2|的最小值等于 .12.(5分)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处,设集合Ω＝{P 1,P 2,P 3,P 4},点P ∈Ω,过P 作直线l P ,使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧.用D 1(l P )和D 2(l P )分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和.若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1(l P )＝D 2(l P ),则Ω中所有这样的P 为 .二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为( )A. B. C. D.14.(5分)在数列{an }中,an＝(－)n,n∈N*,则an( )A.等于B.等于0C.等于D.不存在15.(5分)已知a、b、c为实常数,数列{xn }的通项xn＝an2＋bn＋c,n∈N*,则“存在k∈N*,使得x100＋k 、x200＋k、x300＋k成等差数列”的一个必要条件是( )A.a≥0B.b≤0C.c＝0D.a－2b＋c＝016.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1：＝1和C2：x2＋＝1.P为C1上的动点,Q为C2上的动点,w是的最大值.记Ω＝{(P,Q)|P在C1上,Q在C2上,且＝w},则Ω中元素个数为( )A.2个B.4个C.8个D.无穷个三、解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.(1)求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；(2)设M是BC中点,求直线A1M与平面ABC所成角的大小.18.(14分)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x＋,x∈(0,π).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a＝,角B所对边b＝5,若f(A)＝0,求△ABC的面积.19.(14分)根据预测,某地第n(n∈N*)个月共享单车的投放量和损失量分别为an 和bn(单位：辆),其中an ＝,bn＝n＋5,第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差.(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量；(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn＝－4(n－46)2＋8800(单位：辆).设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20.(16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Γ：＝1,A为Γ的上顶点,P为Γ上异于上、下顶点的动点,M为x正半轴上的动点.(1)若P在第一象限,且|OP|＝,求P的坐标；(2)设P(),若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形,求M的横坐标；(3)若|MA|＝|MP|,直线AQ与Γ交于另一点C,且,,求直线AQ的方程.21.(18分)设定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的x1、x2∈R,当x1＜x2时,都有f(x1)≤f(x2).(1)若f(x)＝ax3＋1,求a的取值范围；(2)若f(x)是周期函数,证明：f(x)是常值函数；(3)设f(x)恒大于零,g(x)是定义在R上的、恒大于零的周期函数,M是g(x)的最大值.函数h(x)＝f(x)g(x).证明：“h(x)是周期函数”的充要条件是“f(x)是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分)1.(4分)已知集合A＝{1,2,3,4},集合B＝{3,4,5},则A∩B＝{3,4} .【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解：∵集合A＝{1,2,3,4},集合B＝{3,4,5},∴A∩B＝{3,4}.故答案为：{3,4}.【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用.2.(4分)若排列数＝6×5×4,则m＝ 3 .【分析】利用排列数公式直接求解.【解答】解：∵排列数＝6×5×4,∴由排列数公式得,∴m＝3.故答案为：m＝3.【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意排列数公式的合理运用.3.(4分)不等式＞1的解集为(－∞,0) .【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可.【解答】解：由＞1得：,故不等式的解集为：(－∞,0),故答案为：(－∞,0).【点评】本题考查了解分式不等式,考查转化思想,是一道基础题.4.(4分)已知球的体积为36π,则该球主视图的面积等于9π.【分析】由球的体积公式,可得半径R＝3,再由主视图为圆,可得面积.【解答】解：球的体积为36π,设球的半径为R,可得πR3＝36π,可得R＝3,该球主视图为半径为3的圆,可得面积为πR2＝9π.故答案为：9π.【点评】本题考查球的体积公式,以及主视图的形状和面积求法,考查运算能力,属于基础题.5.(4分)已知复数z满足z＋＝0,则|z|＝.【分析】设z＝a＋bi(a,b∈R),代入z2＝－3,由复数相等的条件列式求得a,b的值得答案.【解答】解：由z＋＝0,得z2＝－3,设z＝a＋bi(a,b∈R),由z2＝－3,得(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝－3,即,解得：.∴.则|z|＝.故答案为：.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件以及复数模的求法,是基础题.6.(4分)设双曲线－＝1(b＞0)的焦点为F1、F2,P为该双曲线上的一点,若|PF1|＝5,则|PF2|＝11 .【分析】根据题意,由双曲线的方程可得a的值,结合双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝6,解可得|PF2|的值,即可得答案.【解答】解：根据题意,双曲线的方程为：－＝1, 其中a＝＝3,则有||PF1|－|PF2||＝6,又由|PF1|＝5,解可得|PF2|＝11或－1(舍)故|PF2|＝11,故答案为：11.【点评】本题考查双曲线的几何性质,关键是掌握双曲线的定义.7.(5分)如图,以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为(4,3,2),则的坐标是(－4,3,2) .【分析】由的坐标为(4,3,2),分别求出A和C1的坐标,由此能求出结果.【解答】解：如图,以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,∵的坐标为(4,3,2),∴A(4,0,0),C1(0,3,2),∴.故答案为：(－4,3,2).【点评】本题考查空间向量的坐标的求法,考查空间直角坐标系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.8.(5分)定义在(0,＋∞)上的函数y＝f(x)的反函数为y＝f－1(x),若g(x)＝为奇函数,则f－1(x)＝2的解为.【分析】由奇函数的定义,当x＞0时,－x＜0,代入已知解析式,即可得到所求x＞0的解析式,再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反,即可得到所求值.【解答】解：若g(x)＝为奇函数,可得当x＞0时,－x＜0,即有g(－x)＝3－x－1,由g(x)为奇函数,可得g(－x)＝－g(x),则g(x)＝f(x)＝1－3－x,x＞0,由定义在(0,＋∞)上的函数y＝f(x)的反函数为y＝f－1(x),且f－1(x)＝2,可由f(2)＝1－3－2＝,可得f－1(x)＝2的解为x＝.故答案为：.【点评】本题考查函数的奇偶性和运用,考查互为反函数的自变量和函数值的关系,考查运算能力,属于基础题.9.(5分)已知四个函数：①y＝－x,②y＝－,③y＝x3,④y＝x,从中任选2个,则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为.【分析】从四个函数中任选2个,基本事件总数n＝,再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数,由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率.【解答】解：给出四个函数：①y＝－x,②y＝－,③y＝x3,④y＝x,从四个函数中任选2个,基本事件总数n＝,③④有两个公共点(0,0),(1,1).事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③,①④共2个,∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P(A)＝＝.故答案为：.【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.10.(5分)已知数列{an }和{bn},其中an＝n2,n∈N*,{bn}的项是互不相等的正整数,若对于任意n∈N*,{bn }的第an项等于{an}的第bn项,则＝ 2 .【分析】an ＝n2,n∈N*,若对于一切n∈N*,{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项,可得＝＝.于是b1＝a1＝1,＝b4,＝b9,＝b16.即可得出.【解答】解：∵an ＝n2,n∈N*,若对于一切n∈N*,{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项,∴＝＝.∴b1＝a1＝1,＝b4,＝b9,＝b16.∴b1b4b9b16＝.∴＝2.故答案为：2.【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.11.(5分)设a 1、a 2∈R,且,则|10π－a 1－a 2|的最小值等于.【分析】由题意,要使＋＝2,可得sinα1＝－1,sin2α2＝－1.求出α1和α2,即可求出|10π－α1－α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质,可知sinα1,sin2α2的范围在[－1,1],要使＋＝2,∴sinα1＝－1,sin2α2＝－1.则：,k 1∈Z.,即,k 2∈Z. 那么：α1＋α2＝(2k 1＋k 2)π,k 1、k 2∈Z.∴|10π－α1－α2|＝|10π－(2k 1＋k 2)π|的最小值为.故答案为：.【点评】本题主要考察三角函数性质,有界限的范围的灵活应用,属于基本知识的考查.12.(5分)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处,设集合Ω＝{P 1,P 2,P 3,P 4},点P ∈Ω,过P 作直线l P ,使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧.用D 1(l P )和D 2(l P )分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和.若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1(l P )＝D 2(l P ),则Ω中所有这样的P 为 P 1、P 3、P 4 .【分析】根据任意四边形ABCD 两组对边中点的连线交于一点, 过此点作直线,使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧,则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论.【解答】解：设记为“▲”的四个点是A,B,C,D, 线段AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G,H,易知EFGH为平行四边形,如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2,则符合条件的直线lP 一定经过点P2,且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条,过点P3和P2的直线有且仅有1条,过点P4和P2的直线有且仅有1条,所以符合条件的点是P1、P3、P4.故答案为：P1、P3、P4.【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题,也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力.二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为( )A. B. C. D.【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解.【解答】解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D＝.故选：C.【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用.14.(5分)在数列{an }中,an＝(－)n,n∈N*,则an( )A.等于B.等于0C.等于D.不存在【分析】根据极限的定义,求出an＝的值.【解答】解：数列{an }中,an＝(－)n,n∈N*,则an＝＝0.故选：B.【点评】本题考查了极限的定义与应用问题,是基础题.15.(5分)已知a、b、c为实常数,数列{xn }的通项xn＝an2＋bn＋c,n∈N*,则“存在k∈N*,使得x100＋k 、x200＋k、x300＋k成等差数列”的一个必要条件是( )A.a≥0B.b≤0C.c＝0D.a－2b＋c＝0【分析】由x100＋k ,x200＋k,x300＋k成等差数列,可得：2x200＋k＝x100＋kx300＋k,代入化简即可得出.【解答】解：存在k∈N*,使得x100＋k 、x200＋k、x300＋k成等差数列,可得：2[a(200＋k)2＋b(200＋k)＋c]＝a(100＋k)2＋b(100＋k)＋c＋a(300＋k)2＋b(300＋k)＋c,化为：a＝0.∴使得x100＋k ,x200＋k,x300＋k成等差数列的必要条件是a≥0.故选：A.【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.16.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1：＝1和C2：x2＋＝1.P为C1上的动点,Q为C2上的动点,w是的最大值.记Ω＝{(P,Q)|P在C1上,Q在C2上,且＝w},则Ω中元素个数为( )A.2个B.4个C.8个D.无穷个【分析】设出P(6cosα,2sinα),Q(cosβ,3sinβ),0≤α\β＜2π,由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域,可得最大值及取得的条件,即可判断所求元素的个数.【解答】解：椭圆C1：＝1和C2：x2＋＝1.P为C1上的动点,Q为C2上的动点,可设P(6cosα,2sinα),Q(cosβ,3sinβ),0≤α\β＜2π,则＝6cosαcosβ＋6sinαsinβ＝6cos(α－β),当α－β＝2kπ,k∈Z时,w取得最大值6,则Ω＝{(P,Q)|P在C1上,Q在C2上,且＝w}中的元素有无穷多对.另解：令P(m,n),Q(u,v),则m2＋9n2＝36,9u2＋v2＝9,由柯西不等式(m2＋9n2)(9u2＋v2)＝324≥(3mu＋3nv)2,当且仅当mv＝nu,即O、P、Q共线时,取得最大值6,显然,满足条件的P、Q有无穷多对,D项正确.故选：D.【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用,以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域,考查集合的几何意义,属于中档题.三、解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.(1)求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；(2)设M是BC中点,求直线A1M与平面ABC所成角的大小.【分析】(1)三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×AA1＝,由此能求出结果.(2)连结AM,∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角,由此能求出直线A1M与平面ABC所成角的大小.【解答】解：(1)∵直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.∴三棱柱ABC－A1B1C1的体积：V＝S△ABC ×AA1＝＝＝20.(2)连结AM,∵直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5,M是BC中点,∴AA1⊥底面ABC,AM＝＝,∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角,tan∠A1MA＝＝＝,∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan.【点评】本题考查三棱柱的体积的求法,考查线面角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题.18.(14分)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x＋,x∈(0,π).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a＝,角B所对边b＝5,若f(A)＝0,求△ABC的面积.【分析】(1)由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间,解不等式可得所求增区间；(2)由f(A)＝0,解得A,再由余弦定理解方程可得c,再由三角形的面积公式,计算即可得到所求值.【解答】解：(1)函数f(x)＝cos2x－sin2x＋＝cos2x＋,x∈(0,π),由2kπ－π≤2x≤2kπ,解得kπ－π≤x≤kπ,k∈Z,k＝1时,π≤x≤π,可得f(x)的增区间为[,π)；(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a＝,角B所对边b＝5,若f(A)＝0,即有cos2A＋＝0,解得2A＝π,即A＝π,由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA,化为c2－5c＋6＝0,解得c＝2或3,若c＝2,则cosB＝＜0,即有B为钝角,c＝2不成立,则c＝3,△ABC的面积为S＝bcsinA＝×5×3×＝.【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质,考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用,考查运算能力,属于中档题.19.(14分)根据预测,某地第n(n∈N*)个月共享单车的投放量和损失量分别为an 和bn(单位：辆),其中an ＝,bn＝n＋5,第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差.(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量；(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn＝－4(n－46)2＋8800(单位：辆).设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】(1)计算出{an }和{bn}的前4项和的差即可得出答案；(2)令an ≥bn得出n≤42,再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论.【解答】解：(1)∵an ＝,bn＝n＋5∴a1＝5×14＋15＝20a2＝5×24＋15＝95a3＝5×34＋15＝420a4＝－10×4＋470＝430b1＝1＋5＝6b2＝2＋5＝7b3＝3＋5＝8b4＝4＋5＝9∴前4个月共投放单车为a1＋a2＋a3＋a4＝20＋95＋420＋430＝965,前4个月共损失单车为b1＋b2＋b3＋b4＝6＋7＋8＋9＝30,∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965－30＝935.(2)令an ≥bn,显然n≤3时恒成立,当n≥4时,有－10n＋470≥n＋5,解得n≤, ∴第42个月底,保有量达到最大.当n≥4,{an }为公差为－10等差数列,而{bn}为等差为1的等差数列,∴到第42个月底,单车保有量为×39＋535－×42＝×39＋535－×42＝8782.S42＝－4×16＋8800＝8736.∵8782＞8736,∴第42个月底单车保有量超过了容纳量.【点评】本题考查了数列模型的应用,等差数列的求和公式,属于中档题.20.(16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Γ：＝1,A为Γ的上顶点,P为Γ上异于上、下顶点的动点,M为x正半轴上的动点.(1)若P在第一象限,且|OP|＝,求P的坐标；(2)设P(),若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形,求M的横坐标；(3)若|MA|＝|MP|,直线AQ与Γ交于另一点C,且,,求直线AQ的方程.【分析】(1)设P(x,y)(x＞0,y＞0),联立,能求出P点坐标.(2)设M(x0,0),A(0,1),P(),由∠P＝90°,求出x＝；由∠M＝90°,求出x＝1或x＝；由∠A＝90°,则M点在x轴负半轴,不合题意.由此能求出点M的横坐标.(3)设C(2cosα,sinα),推导出Q(4cosα,2sinα－1),设P(2cosβ,sinβ),M(x,0)推导出x＝cosβ,从而4cosα－2cosβ＝－5cosβ,且2sinα－sinβ－1＝－4sinβ,cosβ＝－cosα,且sinα＝(1－2sinα),由此能求出直线AQ.【解答】解：(1)设P(x,y)(x＞0,y＞0),∵椭圆Γ：＝1,A为Γ的上顶点,P为Γ上异于上、下顶点的动点,P在第一象限,且|OP|＝,∴联立,解得P(,).(2)设M(x,0),A(0,1),P(),若∠P＝90°,则•,即(x－,－)•(－,)＝0,∴(－)x0＋－＝0,解得x＝.如图,若∠M＝90°,则•＝0,即(－x0,1)•(－x,)＝0,∴＝0,解得x0＝1或x＝,若∠A＝90°,则M点在x轴负半轴,不合题意.∴点M的横坐标为,或1,或.(3)设C(2cosα,sinα),∵,A(0,1),∴Q(4cosα,2sinα－1),又设P(2cosβ,sinβ),M(x,0),∵|MA|＝|MP|,∴x02＋1＝(2cosβ－x)2＋(sinβ)2,整理得：x＝cosβ,∵＝(4cosα－2cosβ,2sinα－sinβ－1),＝(－cosβ,－sinβ),,∴4cosα－2cosβ＝－5cosβ,且2sinα－sinβ－1＝－4sinβ,∴cosβ＝－cosα,且sinα＝(1－2sinα),以上两式平方相加,整理得3(sinα)2＋sinα－2＝0,∴sinα＝,或sinα＝－1(舍去),此时,直线AC的斜率kAC＝－＝ (负值已舍去),如图.∴直线AQ为y＝x＋1.【点评】本题考查点的坐标的求法,考查直线方程的求法,考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方思想,是中档题.21.(18分)设定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的x1、x2∈R,当x1＜x2时,都有f(x1)≤f(x2).(1)若f(x)＝ax3＋1,求a的取值范围；(2)若f(x)是周期函数,证明：f(x)是常值函数；(3)设f(x)恒大于零,g(x)是定义在R上的、恒大于零的周期函数,M是g(x)的最大值.函数h(x)＝f(x)g(x).证明：“h (x)是周期函数”的充要条件是“f (x)是常值函数”. 【分析】(1)直接由f(x 1)－f(x 2)≤0求得a 的取值范围；(2)若f(x)是周期函数,记其周期为T k ,任取x 0∈R,则有f(x 0)＝f(x 0＋T k ),证明对任意x ∈[x 0,x 0＋T k ],f(x 0)≤f(x)≤f(x 0＋T k ),可得f(x 0)＝f(x 0＋nT k ),n ∈Z,再由…∪[x 0－3T k ,x 0－2T k ]∪[x 0－2T k ,x 0－T k ]∪[x 0－T k ,x 0]∪[x 0,x 0＋T k ]∪[x 0＋T k ,x 0＋2T k ]∪…＝R,可得对任意x ∈R,f(x)＝f(x 0)＝C,为常数；(3)分充分性及必要性证明.类似(2)证明充分性；再证必要性,然后分类证明. 【解答】(1)解：由f(x 1)≤f(x 2),得f(x 1)－f(x 2)＝a(x 13－x 23)≤0, ∵x 1＜x 2,∴x 13－x 23＜0,得a ≥0. 故a 的范围是[0,＋∞)；(2)证明：若f(x)是周期函数,记其周期为T k ,任取x 0∈R,则有 f(x 0)＝f(x 0＋T k ),由题意,对任意x ∈[x 0,x 0＋T k ],f(x 0)≤f(x)≤f(x 0＋T k ), ∴f(x 0)＝f(x)＝f(x 0＋T k ).又∵f(x 0)＝f(x 0＋nT k ),n ∈Z,并且…∪[x 0－3T k ,x 0－2T k ]∪[x 0－2T k ,x 0－T k ]∪[x 0－T k ,x 0]∪[x 0,x 0＋T k ]∪[x 0＋T k ,x 0＋2T k ]∪…＝R,∴对任意x ∈R,f(x)＝f(x 0)＝C,为常数；(3)证明：充分性：若f(x)是常值函数,记f(x)＝c 1,设g(x)的一个周期为T g ,则 h(x)＝c 1•g(x),则对任意x 0∈R,h(x 0＋T g )＝c 1•g(x 0＋T g )＝c 1•g(x 0)＝h(x 0),故h(x)是周期函数；必要性：若h(x)是周期函数,记其一个周期为T h .若存在x 1,x 2,使得f(x 1)＞0,且f(x 2)＜0,则由题意可知, x 1＞x 2,那么必然存在正整数N 1,使得x 2＋N 1T k ＞x 1, ∴f(x 2＋N 1T k )＞f(x 1)＞0,且h(x 2＋N 1T k )＝h(x 2). 又h(x 2)＝g(x 2)f(x 2)＜0,而h(x 2＋N 1T k )＝g(x 2＋N 1T k )f(x 2＋N 1T k )＞0≠h(x 2),矛盾. 综上,f(x)＞0恒成立. 由f(x)＞0恒成立,任取x 0∈A,则必存在N 2∈N,使得x 0－N 2T h ≤x 0－T g , 即[x 0－T g ,x 0]⊆[x 0－N 2T h ,x 0],∵…∪[x 0－3T k ,x 0－2T k ]∪[x 0－2T k ,x 0－T k ]∪[x 0－T k ,x 0]∪[x 0,x 0＋T k ]∪[x 0＋T k ,x 0＋2T k ]∪…＝R,∴…∪[x 0－2N 2T h ,x 0－N 2T h ]∪[x 0－N 2T h ,x 0]∪[x 0,x 0＋N 2T h ]∪[x 0＋N 2T h ,x 0＋2N 2T h ]∪…＝R. h(x 0)＝g(x 0)•f(x 0)＝h(x 0－N 2T h )＝g(x 0－N 2T h )•f(x 0－N 2T h ),∵g(x 0)＝M ≥g(x 0－N 2T h )＞0,f(x 0)≥f(x 0－N 2T h )＞0.因此若h(x 0)＝h(x 0－N 2T h ),必有g(x 0)＝M ＝g(x 0－N 2T h ),且f(x 0)＝f(x 0－N 2T h )＝c. 而由(2)证明可知,对任意x ∈R,f(x)＝f(x 0)＝C,为常数. 综上,必要性得证. 【点评】本题考查抽象函数及其应用,考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法,题目设置难度过大.。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 关于x 、y 的二元一次方程组{x +5y =02x +3y =4的系数行列式D 为( )A. ∣∣∣0543∣∣∣B. ∣∣∣1024∣∣∣C. ∣∣∣1523∣∣∣D. ∣∣∣6054∣∣∣2. 在数列{a n }中，a n =(−12)n ，n ∈N ∗，则lim n→∞a n ( ) A. 等于−12B. 等于0C. 等于12D. 不存在3. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N ∗，则“存在k ∈N ∗，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是( )A. a ≥0B. b ≤0C. c =0D. a −2b +c =04. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1，P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值．记Ω={(P,Q)|P 在C 1上，Q 在C 2上，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =w}，则Ω中元素个数为( ) A. 2个 B. 4个 C. 8个D. 无穷个第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5. 已知集合A ={1,2,3,4}，集合B ={3,4,5}，则A ∩B = ．6. 若排列数P 6m=6×5×4，则m = ______ ． 7. 不等式x−1x>1的解集为 ．8. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于______ ． 9. 已知复数z 满足z +3z =0，则|z|= ． 10. 设双曲线x 29−y 2b2=1(b >0)的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|= ．11. 如图，以长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为(4,3,2)，则AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是12. 定义在(0,+∞)上的函数y =f(x)的反函数为y =f −1(x)，若g(x)={3x −1,x ≤0f(x),x >0为奇函数，则f −1(x)=2的解为 ． 13. 已知四个函数：①y =−x ，②y =−1x ，③y =x 3，④y =x 12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 ．14. 已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2，n ∈N ∗，{b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N ∗，{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)= ．15. 设α1，α2∈R ，且12+sinα1+12+sin2α2=2，则|10π−α1−α2|的最小值等于 ． 16. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1,P 2,P 3,P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1(l P )和D 2(l P )分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1(l P )=……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………D 2(l P )，则Ω中所有这样的P 为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。