高考数学一轮复习 第二章 函数的概念及其基本性质 2.1.2 分段函数及其应用对点训练 理

"高考数学一轮复习资料 第2讲 函数篇之函数知识点概述 "1.函数的定义（1）映射的定义：(2) 一一映射的定义：(3)函数的定义： 2.函数的性质（1）定义域： （2）值域：（3）奇偶性（在整个定义域内考虑） ①定义：②判断方法：Ⅰ.定义法 步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。

Ⅱ图象法 ③已知：)()()(x g x f x H =若非零函数)(),(x g x f 的奇偶性相同，则在公共定义域内)(x H 为偶函数若非零函数)(),(x g x f 的奇偶性相反，则在公共定义域内)(x H 为奇函数 ④常用的结论：若)(x f 是奇函数，且定义域∈0，则)1()1(0)0(f f f -=-=或； 若)(x f 是偶函数，则)1()1(f f =-；反之不然。

（4）单调性（在定义域的某一个子集内考虑） ①定义：②证明函数单调性的方法： Ⅰ.定义法 步骤：a.设2121,x x A x x <∈且；b.作差)()(21x f x f -； （一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）c.判断正负号。

Ⅱ用导数证明： 若)(x f 在某个区间A 内有导数，则⇔∈≥)0)(A x x f ，（’)(x f 在A 内为增函数；⇔∈≤)0)(A x x f ，（’)(x f 在A 内为减函数。

③求单调区间的方法： a.定义法： b.导数法： c.图象法：d.复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性：若f 与g 的单调性相同，则[])(x g f 为增函数；若f 与g 的单调性相反，则[])(x g f 为减函数。

注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。

④一些有用的结论：a.奇函数在其对称区间上的单调性相同；b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；c.在公共定义域内增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

第一讲函数的概念及其表示知识梳理学问点一函数的概念及其表示1．函数的概念函数两个集合A，B 设A，B是两个非空数集对应关系f：A→B 假如依据某种确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法函数y＝f(x)，x∈A2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)假如两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一样，则这两个函数为相等函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．学问点二分段函数1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.学问点三函数的定义域函数y＝f(x)的定义域1．求定义域的步骤(1)写出访函数式有意义的不等式(组)；(2)解不等式(组)；(3)写出函数定义域．(留意用区间或集合的形式写出)2．求函数定义域的主要依据(1)整式函数的定义域为R.(2)分式函数中分母 不等于0 .(3)偶次根式函数被开方式 大于或等于0 . (4)一次函数、二次函数的定义域均为 R . (5)函数f (x )＝x 0的定义域为 {x |x ≠0} . (6)指数函数的定义域为 R . (7)对数函数的定义域为 (0，＋∞) . 学问点四 函数的值域 基本初等函数的值域：1．y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是 R .2．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为 ⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≥4ac －b 24a ；当a <0时，值域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≤4ac －b24a . 3．y ＝kx (k ≠0)的值域是 {y |y ≠0} .4．y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是 (0，＋∞) . 5．y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是 R . [延长]6．y ＝x ＋ax (a >0)的值域为(－∞，－2a )∪(2a ，＋∞)． 7．y ＝x －ax (a >0)的值域为(－∞，＋∞)．8．y ＝cx ＋d ax ＋b (a ≠0，ad －bc ≠0)的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，c a ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，＋∞. 归 纳 拓 展1．推断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一样． 2．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 3．与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应当用并集符号“∪”连接．5．函数f (x )与f (x ＋a )(a 为常数a ≠0)的值域相同．双 基 自 测题组一 走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( × )(2)A ＝N ，B ＝N ，f ：x →y ＝|x －1|，表示从集合A 到集合B 的函数．( √ ) (3)已知f (x )＝m (x ∈R )，则f (m 3)＝m 3.( × ) (4)y ＝ln x 2与y ＝2ln x 表示同一函数．( × )(5)函数y ＝xx －1定义域为x >1.( × )题组二 走进教材2．(必修1P 67T1改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( B )[解析] A 中函数的定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数的值域不是[0,2]．3．(必修1P 67T2改编)已知奇函数f (x )的图象经过点(1,3)，则f (x )的解析式可能为( D ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝－3x C ．f (x )＝3x 2D ．f (x )＝3x 3[解析] 依据f (1)＝3以及函数的奇偶性确定正确答案．f (1)＝2≠3，A 选项错误；f (1)＝－3≠3，B 选项错误；f (x )＝3x 2是偶函数，C 选项错误；f (1)＝3，f (x )＝3x 3为奇函数，符合题意．故选D.4．(必修1P 73T11改编)(多选题)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则以下描述正确的是( BD )A ．函数f (x )的定义域为[－4,4)B ．函数f (x )的值域为[0，＋∞)C ．此函数在定义域内是增函数D ．对于随意的y ∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x 与之对应[解析] 由图象得此函数定义域为[－4,0]∪[1,4)，值域为[0，＋∞)，在定义域内不具备单调性，当y ∈(5，＋∞)时都有唯一的x 与之对应．因此，A 、C 不正确．故选BD.5．(必修1P 67T2改编)由f (u )＝u 2，u ＝2＋x 复合而成的复合函数是y ＝_(2＋x )2__.[解析] 利用复合函数的性质干脆求解．由f (u )＝u 2，u ＝2＋x 复合而成的复合函数是y ＝(2＋x )2.题组三 走向高考6．(2024·北京卷)函数f (x )＝1x ＋1－x 的定义域是 (－∞，0)∪(0,1] . [解析] 因为f (x )＝1x ＋1－x ，所以x ≠0,1－x ≥0，解得x ∈(－∞，0)∪(0,1]．7．(2024·浙江，12,4分)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x >2，|x －3|＋a ，x ≤2.若f [f (6)]＝3，则a ＝ 2 .[解析] 因为6>4＝2，所以f (6)＝(6)2－4＝2，所以f [f (6)]＝f (2)＝|2－3|＋a ＝1＋a ＝3，解得a ＝2.。

§2.1 函数的概念命题探究答案:解析:易知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.∵f(x)=x 3-2x+e x -,∴f(-x)=(-x )3-2(-x)+e -x-=-x 3+2x+-e x=-f(x), ∴f(x)为奇函数,又f '(x)=3x 2-2+e x +≥3x 2-2+2=3x 2≥0(当且仅当x=0时,取“=”),所以f(x)在R 上单调递增, 所以f(a-1)+f(2a 2)≤0⇔f(a-1)≤f(-2a 2)⇔-2a 2≥a -1,解得-1≤a≤.考纲解读常考题型函数的表求参数分析解读 函数的概念是学习函数的基础,重点考查函数定义域和值域的求法,一般和常见的初等函数综合命题.五年高考考点一函数的基本概念1.(2017山东理改编,1,5分)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=. 答案[-2,1)2.(2016江苏,5,5分)函数y=的定义域是.答案[-3,1]3.(2016课标全国Ⅱ改编,10,5分)函数y=10lg x的定义域和值域分别是, .答案(0,+∞);(0,+∞)4.(2014江西改编,2,5分)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为.答案(-∞,0)∪(1,+∞)5.(2014山东改编,3,5分)函数f(x)=的定义域为.答案∪(2,+∞)6.(2013陕西理改编,1,5分)设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则∁R M为.答案(-∞,-1)∪(1,+∞)考点二函数的表示方法1.(2016江苏,11,5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)=其中a∈R.若f=f,则f(5a)的值是.答案-2.(2015浙江,10,6分)已知函数f(x)=则f(f(-3))= ,f(x)的最小值是. 答案0;2-33.(2015山东改编,10,5分)设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是.答案4.(2014江西改编,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f [g(1)]=1,则a= .答案 1考点三分段函数1.(2017课标全国Ⅲ文,16,5分)设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是.答案2.(2017山东文改编,9,5分)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f= .答案 63.(2015课标Ⅱ改编,5,5分)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)= .答案94.(2014四川,12,5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时, f(x)=则f= .答案 1教师用书专用(5)5.(2014浙江,15,5分)设函数f(x)=若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是.答案(-∞,]三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一函数的基本概念1.(2017江苏徐州沛县中学第一次质检,4)函数y=lg(3x+1)+的定义域是.答案2.(2017江苏泰州二中期初,6)函数y=的值域为.答案{y∈R|y≠3}3.(苏教必1,二,3,8,变式)函数f(x)=+的定义域为.答案(-3,0]4.(2017江苏扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市联考,8)函数f(x)=的定义域是.答案[-2,2]5.(2017江苏前黄高级中学上学期第二次学情调研,1)函数y=的定义域为A,值域为B,则A∪B=.答案[-4,3]考点二函数的表示方法6.(2018江苏淮安、宿迁高三期中)已知函数f(x)与g(x)的图象关于原点对称,且它们的图象拼成如图所示的“Z”形折线段ABOCD,不含A(0,1),B(1,1),O(0,0),C(-1,-1),D(0,-1)五个点.则满足题意的f(x)的一个解析式为.答案f(x)=7.(苏教必1,二,11,变式)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f·-1,则f(x)= .答案+8.(苏教必1,二,11,变式)已知函数f(x)满足f=log2,则f(x)的解析式是.答案f(x)=-log2x考点三分段函数9.(2018江苏天一中学调研)f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=则f的值为.答案-10.(2018江苏无锡高三期中)若函数f(x)=则f(5)= .答案 211.(2018江苏常熟期中)若函数f(x)=(a>0,且a≠1)的值域为[6,+∞),则实数a的取值范围是.答案(1,2]12.(2016江苏扬州中学期初质检,6)设函数f(x)=则f= .答案 1B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:20分时间:10分钟)填空题(每小题5分,共20分)1.(2018江苏金陵中学月考)已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是.答案0<k<1或1<k<22.(苏教必1,二,1,13,变式)已知函数f(x)=-1的定义域是[a,B](a,B∈Z),值域是[0,1],则满足条件的整数数对(a,B)共有个.答案 53.(2016江苏南通海安期末,14)在平面直角坐标系xOy中,将函数y=(x∈[0,2])的图象绕坐标原点O 按逆时针方向旋转角θ,若∀θ∈[0,α],旋转后所得曲线都是某个函数的图象,则α的最大值是.答案4.函数f(x)=的值域为.答案C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求函数的定义域1.若函数y=的定义域为R,则实数a的取值范围是.答案[0,3)方法2 求函数解析式的常用方法2.设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的表达式. 解析解法一:令x=y,则由f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),得f(0)=f(x)-x(2x-x+1).∵f(0)=1,∴f(x)-x(2x-x+1)=1,即f(x)=x2+x+1.解法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),即f(-y)=1-y(-y+1).再令-y=x,代入上式,得f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1).则f(x)=x2+x+1.方法3 分段函数的相关问题3.已知f(x)=其中i是虚数单位,则f(f(1-i))= .答案 3。

第一节函数及其表示1．函数的概念及其表示(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2．分段函数及其应用了解简单的分段函数，并能简单应用．知识点一函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A、B是两个非空的数集设A、B是两个非空的集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射易误提醒易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．[自测练习]1．下列图形可以表示函数y＝f(x)图象的是()解析：本题考查函数的概念，根据函数的概念，定义域中一个x只能对应一个y，所以排除A，B，C，故选D.答案：D知识点二函数的有关概念1．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫作函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．2．函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．易误提醒(1)解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．(2)误把分段函数理解为几个函数组成．必备方法求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；函数的实际应用问题多用此法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[自测练习]2．(2016·贵阳期末)函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：由x ＋1>0知x >－1，故选C. 答案：C3．f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2－1与g (x )＝x －1·x ＋1 B ．f (x )＝x 与g (x )＝x 3＋x x 2＋1C ．y ＝x 与y ＝(x )2D ．f (x )＝x 2与g (x )＝3x 3解析：选项A ，C 中的函数定义域不同，选项D 的函数解析式不同，只有选项B 正确． 答案：B4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，log 12x ，x >0，则f (f (2))＝( )A ．－1B ．2C ．1D ．0解析：本题考查分段函数、复合函数的求值．由已知条件可知，f (2)＝log 122＝－1，所以f (f (2))＝f (－1)＝(－1)2＋1＝2，故选B.答案：B考点一 函数的定义域问题|函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，归纳起来常见的命题探究角度有：1．求给定函数解析式的定义域；2．已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域； 3．已知定义域确定参数问题．探究一 求给定解析式的定义域 1．(2015·江西重点中学一联)函数f (x )＝3xx －2＋lg(3－x )的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B ．(2,3) C ．[2,3)D ．(2，＋∞)解析：本题考查函数的定义域．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，3－x >0，解得2<x <3，故选B.答案：B探究二 已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域2．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,3]，则函数g (x )＝f (3x )x －1的定义域是( )A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,9]D ．(0,1)解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤3x ≤3，x －1≠0，即0≤x <1，因此函数g (x )的定义域是[0,1)，故选A.答案：A探究三 已知定义域求参数范围问题3．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析：函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0]函数定义域的三种类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．考点二 函数解析式的求法|(1)已知f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ， 令t ＝1－cos x ，则cos x ＝1－t ，t ∈[0,2]， ∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]， 即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x. 解方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x，得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．函数解析式求法中的一个注意点利用换元法求解析式后易忽视函数的定义域，即换元字母的范围．求下列函数的解析式： (1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )； (2)2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求f (x )． 解：(1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)∵2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)， ∴2f (－x )－f (x )＝lg(1－x )．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝lg (x ＋1)，2f (－x )－f (x )＝lg (1－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1)．考点三 分段函数|1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，f (a )＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－log 2(a ＋1)＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，2a －1－2＝－3， 解得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74，选A.答案：A2．(2015·高考全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析：由于f (0)＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1＋5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝22<f ⎝⎛⎭⎫π4，故排除选项C 、D ；当点P 在BC 上时，f (x )＝BP ＋AP ＝tan x ＋4＋tan 2x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π4，不难发现f (x )的图象是非线性的，排除选项A.故选B.答案：B分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．3.分段函数的定义理解不清致误【典例】 已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[解析] 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.[答案] －34[易误点评] 本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1－a <1,1＋a >1，没有对a 进行讨论直接代入求解． (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误．[防范措施] (1)对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解． (2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．[跟踪练习] 设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：因为f (－1)＝－(－1)＝1，所以f (a )＝1，当a ≥0时，a ＝1，所以a ＝1；当a <0时，－a ＝1，所以a ＝－1.故a ＝±1.答案：DA 组 考点能力演练1．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f [f (－2)]＝( )A ．－1B.14C.12D.32解析：由f (－2)＝2－2＝14，∴f [f (－2)]＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝12. 答案：C2．(2015·北京朝阳模拟)函数f (x )＝1x －1＋x 的定义域为( )A ．[0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0,1)∪(1，＋∞)D ．[0,1)解析：本题考查函数的定义域．根据函数有意义的条件建立不等式组．要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，x ≥0，解得x ≥0且x ≠1，即函数定义域是[0,1)∪(1，＋∞)，故选C.答案：C3．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 014)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0lg (－x )，x <0，那么f ⎝⎛⎭⎫2 014＋π4·f (－7 986)＝( ) A ．2 014 B ．4 C.14D.12 014解析：f ⎝⎛⎭⎫2 014＋π4＝2sin π4＝1，f (－7 986) ＝f (2 014－10 000)＝lg 10 000＝4， 则f ⎝⎛⎭⎫2 014＋π4·f (－7 986)＝4. 答案：B4．(2016·岳阳质检)设函数f (x )＝lg 3＋x 3－x ，则f ⎝⎛⎭⎫x 3＋f ⎝⎛⎭⎫3x 的定义域为( ) A ．(－9,0)∪(0,9) B ．(－9，－1)∪(1,9) C ．(－3，－1)∪(1,3)D ．(－9，－3)∪(3,9)解析：利用函数f (x )的定义域建立不等式组求解．要使函数f (x )有意义，则3＋x3－x>0，解得－3<x <3.所以要使f ⎝⎛⎭⎫x 3＋f ⎝⎛⎭⎫3x 有意义，则⎩⎨⎧－3<x3<3，－3<3x<3，解得⎩⎪⎨⎪⎧－9<x <9，x <－1或x >1，所以定义域为(－9，－1)∪(1,9)，故选B.答案：B5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]解析：函数的定义域为R 等价于对∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0，令f (x )＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数的图象(图略)，只需Δ＝a 2－4≤0即可，解得实数a 的取值范围为[－2,2]，故选D.答案：D6．(2015·陕西二模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >01－x ，x ≤0，则f (f (－99))＝________.解析：f (－99)＝1＋99＝100，所以f (f (－99))＝f (100)＝lg 100＝2. 答案：27．函数y ＝f (x )的定义域为[－2,4]，则函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，－2≤－x ≤4，解得－2≤x ≤2.答案：[－2,2]8．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒 负”变换的函数．下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．解析：对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋11x ＝f (x )≠－f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1.故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．答案：①③ 9．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))的解析式．解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x >0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x >0，x 2－4x ＋3， x <0.10．动点P 从单位正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B ，C ，D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示P A 的长时，求y 关于x 的解析式，并求f ⎝⎛⎭⎫52的值．解：当P 点在AB 上运动时，y ＝x (0≤x ≤1)； 当P 点在BC 上运动时，y ＝12＋(x －1)2＝x 2－2x ＋2(1<x ≤2)；当P 点在CD 上运动时，y ＝12＋(3－x )2＝x 2－6x ＋10(2<x ≤3)； 当P 点在DA 上运动时，y ＝4－x (3<x ≤4)； 综上可知，y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，x 2－2x ＋2，1<x ≤2，x 2－6x ＋10，2<x ≤3，4－x ，3<x ≤4.∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52.B 组 高考题型专练1．(2014·高考山东卷)函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵f (x )有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x －1>0，x >0.∴x >2，∴f (x )的定义域为(2，＋∞)．答案：C2．(2015·高考湖北卷)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ 4－|x |≥0x 2－5x ＋6x －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －4≤x ≤4x >2且x ≠3，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．答案：C3．(2015·高考山东卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝() A ．1 B.78 C.34 D.12解析：f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝f ⎝⎛⎭⎫3×56－b ＝f ⎝⎛⎭⎫52－b .当52－b <1，即b >32时，3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍)．当52－b ≥1，即b ≤32时，252－b ＝4，解得b ＝12.故选D.答案：D4．(2015·高考浙江卷)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( )A ．f (sin 2x )＝sin xB ．f (sin 2x )＝x 2＋xC ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|解析：本题主要考查函数的概念，即对于任一变量x 有唯一的y 与之相对应．对于A ，当x ＝π4或5π4时，sin 2x 均为1，而sin x 与x 2＋x 此时均有两个值，故A 、B 错误；对于C ，当x ＝1或－1时，x 2＋1＝2，而|x ＋1|有两个值，故C 错误，故选D.答案：D5．(2014·高考四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解析：∵f (x )的周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又∵当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－4x 2＋2，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：1。