下载文档原格式
第21章统计与统计数据第一节统计学【本节考点】1、统计学的两大分支2、描述统计的含义、内容、举例3、推断统计的含义、内容、举例【本节内容】一、统计学的含义：统计学是关于收集、整理、分析数据和从数据中得岀结论的科学【例题1:单选】描述统计的研究内容不包括()A如何取得所需要的数据；B如何用图表或数学方法对数据进行整理和展示；C如何描述数据的一般特征。
D如何利用样本信息判断对总体假设是否成立【答案】D【例题2：单选】收集统计局发布的CPI数据，利用统计图展示CPI,利用增长率计算CPI的走势，这种统计方法是()OA描述统计B推断统计C客观统计D心理统计【答案】A统让变S与数据定性变量顺序变量【本节考点】A. 变量的含义及分类B.数据的含义及分类【本节内容】项目 含义分类变量变量是研究对象的 疋量变量变量的取值是数量。
属性或特征，匕是 （数量变量） 如企业销售额、注册员工数 相对于常数而言的。
定性 分类 变量的取值是类别。
常数只有一个固定取 变量变量 如企业所属行业、员工性别 值，变量可以有两个顺序 变量的取值是类别且有顺序。
或更多个可能的取变量如员工受教育水平值。
数据数据是对变量进行 定量数据是对定量变量的观测结果，其取值表现测量、观测的结果。
（数值 数据） 为具体的数值。
数据可以是数值、文 型如企业销售额1000万元。
字或者图像等形式定性 分类 分类变量的观测结果，表现为类别，一数据数据般用文字来表述，也可用数字描述。
女口，用1表示男性，2表示女性。
顺序 顺序变量的观测结果，表现为类别，一第二节变量和数据分类变量分类数据顺序数据对于不同类型的数据，可以采用不同的统计方法处理和分析。
对分类数据可以计算出各类别的频率, 值型数据则可以计算均值和方差等统计量。
【例题3:多选】定性变量的观测结果是()。
A. 顺序变量E.分类数据 C. 顺序数据 D. 数值型数据E ・分类变量【答案】BC【例题4: 09年多选题改编】下列变量中，通常用数值型数据表示的有() oA ・商品销售额B •上班岀行方式C •家庭收入D •居住地区 E.年龄【答案】ACE第三节常用的数据特征测度【本节考点】1、 均值和中位数2、 方差和标准差【本节内容】定量变量数值型数据而数对统计数据特征的测度，主要从三个方面进行：一是分布的集中趋势，反映数据向其中心值靠拢或聚集的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势；三是分布的偏态和峰度，反映数据分布的形状。
资料分析2012青云协议班培训讲义一、行测资料分析的特点１.资料分析的考查内容资料分析主要考查应试者准确理解、综合分析文字资料、图形资料和表格资料的能力，要求应试者在解读给定资料的基础上通过直接查找、指标换算、计算比较、分析判断等过程，针对资料中的问题得出正确的结论。
文字资料:主要考查考生对大段蕴含数字的文字的阅读、分类和提炼能力；表格资料:主要考查考生的数学计算能力，特别是快速计算能力；图形资料:具有直观形象的特点，侧重考查考生的直觉判断和估算能力。
`2.资料分析的考查形式针对每一个资料，都有几个问题，根据资料提供的信息进行分析、比较、计算处理。
然后选择最问题最佳的答案。
1、文字资料（单语段或多语段）；2、表格资料（二维统计表）；3、柱状图、饼图、趋势图等；4、混合资料；3. 资料分析的试题难度简单题型：主要包括直接查找排序以及一步计算题。
此类试题只需通过查找和比较、简单计算，就可以得到答案，相对简单。
中等难度：主要包括间接查找排序以及数据关系相对简单的计算题。
此类试题需要根据材料提供的数据求出相关数据，考查考生对数据关系的把握能力和计算能力，在资料分析中所占的比重较大．达到百分之六十以上。
难度较高：主要包括数据关系相对复杂的多步计算以及综合判断题。
此类试题需要考生根据题干或选项查找到材料中的相关数据之后，再进行分析、计算及比较，从而得到答案，主要考查考生对材料的综合分析理解能力。
在考试中的比重不是很大.4.1) ．综合考查比重上升近几年资料分析靠考试数据中可以看出，资料分析必考文字、图形和表格三种形式，同时逐步转向对三者综合的考查。
2)．难度加大，技巧性强资料分析部分试题的计算量加大，题目的难度变大，对考生估算能力的要求越来越高；其次，对计算技巧的考查力度加大，例如一些题目如果单纯的计算会浪费很多时间，而如果熟练掌握解题技巧，这些题目甚至可以变成考生“秒杀”的对象。
3). “陷阱”题目增多近年的行测考试中，尤其一些综合判断性题目，出现了更多类型的“陷阱”。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第六章§6.1 数列的概念1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.数列的有关概念概念含义数列按照 排列的一列数数列的项数列中的__________通项公式如果数列{a n}的第n项a n与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式确定的顺序每一个数序号n概念含义递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式数列{a n}的前n项和把数列{a n}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{a n}的前n项和，记作S n，即S n＝_______________a1＋a2＋…＋a n2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数_____无穷数列项数_____有限无限分类标准类型满足条件项与项间的大小关系递增数列a n＋1 a n其中n∈N*递减数列a n＋1 a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列><3.数列与函数的关系数列{a n}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函序号n数列的第n项a n数，其自变量是 ，对应的函数值是 ，记为a n＝f(n).常用结论1.已知数列{a n}的前n项和为S n，则a n＝S1，n＝1，S n－S n－1，n≥2.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列.( )(2)数列1,0,1,0,1,0，…的通项公式只能是a n ＝ .( )(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( )(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.( )√√××2.已知数列{a n}的通项公式为a n＝9＋12n，则在下列各数中，不是{a n}的项的是√A.21B.33C.152D.153由数列的通项公式得，a1＝21，a2＝33，a12＝153.3.(选择性必修第二册P8T4改编)已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n，那么它的通项公式a n等于√A.nB.2nC.2n＋1D.n＋1∵a1＝S1＝1＋1＝2，a n＝S n－S n－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n(n≥2)，当n＝1时，2n＝2＝a1，∴a n＝2n.4.(选择性必修第二册P9T5改编)如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.如图中的数1,5,12,22，…称为五边形数，则第8个五92边形数是________.∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，∴第5个五边形数是22＋13＝35，第6个五边形数是35＋16＝51，第7个五边形数是51＋19＝70，第8个五边形数是70＋22＝92.返回第二部分探究核心题型题型一 由a n与S n的关系求通项公式例1 (1)设S n为数列{a n}的前n项和，若2S n＝3a n－3，则a4等于√A.27B.81C.93D.243根据2S n＝3a n－3，可得2S n＋1＝3a n＋1－3，两式相减得2a n＋1＝3a n＋1－3a n，即a n＋1＝3a n，当n＝1时，2S1＝2a1＝3a1－3，解得a1＝3，所以数列{a n}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a4＝a1q3＝34＝81.(2)已知数列{a n}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝2n，则a n＝____________.由已知，可得当n＝1时，a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝2n，①故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝2n－1(n≥2)，②由①－②，得na n＝2n－2n－1＝2n－1，思维升华a n与S n的关系问题的求解思路(1)利用a n＝S n－S n－1(n≥2)转化为只含S n，S n－1的关系式，再求解.(2)利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为只含a n，a n－1的关系式，再求解.跟踪训练1 (1)(2023·潍坊统考)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S m ＋S n＝S m＋n，若a1＝2，则a20等于√A.2B.4C.20D.40方法一 a20＝S20－S19＝S18＋S2－(S18＋S1)＝S2－S1＝S1＝a1＝2.方法二 令m＝1，∴S n＋S1＝S n＋1，∴S n＋1－S n＝S1＝2，∴a n＋1＝2，∴a20＝2.(2)(2023·深圳模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝3且当n≥2时，2a n ＝S n·S n－1，则{a n}的通项公式a n＝______________________.当n≥2时，由2a n＝S n·S n－1可得又因为a1＝3，不符合上式，题型二 由数列的递推关系求通项公式命题点1 累加法√所以a100－a99＝lg 100－lg 99，…a3－a2＝lg 3－lg 2，a2－a1＝lg 2－lg 1，以上99个式子累加得a100－a1＝lg 100，所以a100＝lg 100＋1＝3.命题点2 累乘法当n ＝1时，a 1＝2满足上式.思维升华(1)形如a n＋1－a n＝f(n)的数列，利用累加法，即可求数列{a n}的通项公式.跟踪训练2 (1)设数列{a n}满足a1＝1，且a n＋1－a n＝n＋1(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式为__________.由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，a n－a n－1＝n(n≥2)，以上各式相加，得∵a1＝1，∵当n＝1时，a1＝1也满足此式，(2)已知数列{a n}满足a1＝2，(n＋1)a n＋1＝2(n＋2)a n，则数列{a n}的通项公a n＝(n＋1)·2n－1(n∈N*)式为______________________.∵(n＋1)a n＋1＝2(n＋2)a n，当n＝1时，a1＝2满足上式，∴a n＝(n＋1)·2n－1(n∈N*).题型三 数列的性质命题点1 数列的单调性例4 已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－3λn，则“λ<1”是“数列{a n}为递增数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件√C.充要条件D.既不充分也不必要条件若数列{a n}为递增数列，则a n＋1－a n＝[(n＋1)2－3λ(n＋1)]－(n2－3λn)＝(n2＋2n＋1－3λn－3λ)－(n2－3λn)＝2n＋1－3λ>0，即3λ<2n＋1，由于n∈N*，所以3λ<2×1＋1＝3，解得λ<1，反之，当λ<1时，a n＋1－a n>0，则数列{a n}为递增数列，所以“λ<1”是“数列{a n}为递增数列”的充要条件.命题点2 数列的周期性√命题点3 数列的最值4∴当n≤4时，b n>b n－1，∴{b n}单调递增，当n≥5时，b n<b n－1，∴{b n}单调递减，又n∈N*，故n＝4，思维升华(1)解决数列的周期性问题，先求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.(2)解决数列的单调性问题，常用作差比较法，根据差的符号判断数列{a n}的单调性.跟踪训练3 (1)(2024·安康模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝a2＝1，a3＝a4＝2，a n＋a n＋4＝0，则√A.S23>S21>S22B.S21>S22>S23C.S21>S23>S22D.S23>S22>S21因为a n＋a n＋4＝0，所以a n＋4＝－a n，所以a n＋8＝－a n＋4＝a n，所以{a n}是以8为周期的周期数列，又a1＝a2＝1，a3＝a4＝2，所以a6＝－a2＝－1，a7＝－a3＝－2，所以S22－S21＝a22＝a6＝－1<0，S23－S22＝a23＝a7＝－2<0，所以S22<S21，S23<S22，故S21>S22>S23.3，－1因此数列{a n}前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项，则a11＝3，a10＝－1.知识过关一、单项选择题√。
2015年天策公务员考试辅导数量关系与资料分析讲义初春2015年2月数量关系和资料分析讲义第一部分：数字推理基本知识与基本思维1. 35 ，29 ，（），17 ， 11， 5A. 25B. 24C. 23D. 202. 160， 80， 40， 20，（）A.1/5B.1C. 10D. 53. 2， 8， 32，（）,512A.64B.128C. 216D.2564. 1， 5， 9，13,17, （）A.64B.28C. 26D.215. 2， 2， 4，8, 32, 256, （）A.2048B.4096C.6942D.81926. 5， 6， 11， 17, （）A.28B.29C. 26D.25第一节基础数列【例】3，3，3，3，3，3，…6.5，6.5，6.5，6.5，…【例】3，5，7，9，11 相邻两项之差为2，这个差值2叫做等差数列的公差。
【例】1.5，1，0.5，0， -0.5 公差为-0.5的等差数列【习题】（江苏2007年C类—9）12， 34， 56， 78，（）A. 910B. 100C. 91D. 109【例】3，12，48，192，768，3072 相邻两项之比为4，这个比值4叫做等比数列的公比。
【例】4，-1，14，116-，164公比为14-的等比数列。
(注意符号及趋势)【习题】（江苏2007年C类—8）3， 15， 75， 375，（）A. 1865B. 1875C. 1885D. 1895【例】2，3，5，7，11，13……质数数列【例】4，6，8，9，10，12……合数数列【习题】（江苏2005年A类—2）（），11，13，17，19，23。
A.6B.8C.7D.9【习题】（江苏2005年B类—65）5，（）， 11， 13， 17， 19A. 6B. 8C. 7D. 9【习题】（安徽2008年—1）2， 3， 5， 7，（）。
A. 8B. 9C. 11D. 12【习题】（江西2010年—39）4，5，7，9，13，15，( )A.17B.19C.18D.20【例】2，8，9，2，8，9…【例】6，11，6，11，6，11…【例】1，2，6，-1，-2，-6…注：一般说来，周期数列（包括未知项）至少应出现两个“3循环节”，或三个“2循环节”，所以要判断有无周期规律，加上未知项至少要有六项。
2 6.3(1)11 x 2y 0 12 2x 4y 3 0 (2)1i 2x y 0123x y 70.1(1)⑵2C ifi (x y) 0 ⑴P o (X O y o )C i C 2⑵［归纳・升华・领悟］ax 2 bx c 0a 0 >0 2a 0 0 1a 0<0 0a 01a 0>0 2抬象问題情境化，新知无弗自通[ P43]C 2f2(x y) 0.? fi(x o yo ) 0fg(xg yo )_0. ji(x y ) 0f 2X y _0a丰0, △= 01相切a z 0,&00相离直线与a= 01直线与抛物线的对称轴平行，两者相交抛物线a z 0,A>02相交a z 0,△= 01相切a z 0,&00相离E■量 U |直线与圆锥曲线的位置关系［例1］已知直线I: kx-y + 2= 0，双曲线C: x2—4y2= 4,当k为何值时：(1) 1与C无公共点；(2) 1与C有惟一公共点；(3) 1与C有两个不同的公共点.［思路点拨］直线与圆锥曲线公共点的个数就是直线与圆锥曲线方程所组成的方程组解的个数，从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数k的取值.［精解详析］将直线与双曲线方程联立消去y,得(1 —4k2)x2—16kx—20= 0•①当1 —4k2工0时，有△= (—16k)2—4(1 —4k2) (—20) = 16(5 —4k2).(1) 当1 —4k2工0且△< 0,即卩k v —宁或心于时，I与C无公共点.(2) 当1 —4k2= 0,即k=号时，显然方程①只有一解.当1 —4k2工0, △= 0,即k = 时，方程①只有一解.故当k= ±1或k= 时，I与C有惟一公共点.(3) 当1 —4k2M 0,且△> 0时，即一_25v k v宁，且k z g时，方程有两解，I与C有两个公共点.鬲频考点题组化.名师一点就通［对应学生用书P44］［一点通］直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式△,则有：40?直线与圆锥曲线相交于两个点；△= 0?直线与圆锥曲线相交于一个点；&0?直线与圆锥曲线无交点.x221•对不同的实数值m,讨论直线y= x + m与椭圆4 + 卜1的位置关系.解:y= x+ m, 由2 2田X 2 .14+y =1,消去y得4 +(x+m)2= 1，整理得5x2+ 8mx+ 4m2—4= 0.△= (8m)2—4 X 5(4m2—4)= 16(5 —m2).当一_5<m< ,5时，少0,直线与椭圆相交；当m=—5或m= 5时，A= 0,直线与椭圆相切；当m< —V5或m> ,5时，&0 ,直线与椭圆相离.2•已知抛物线的方程为y2= 4x,直线I过定点P(—2,1)，斜率为k, k为何值时，直线I与抛物线y2= 4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解：(1)当k= 0时，直线I与x轴平行，易知与抛物线只有一个交点.y= k(x + 2 什1, ⑵当k z 0时，联立2 ,l y = 4x,消去x,得ky2—4y + 4(2k+ 1) = 0,△= 16 —4k X 4(2k+ 1).①当△= 0,即k =—1或2时，直线I与抛物线相切，只有一个公共点;②当A>0,即一1<k<2且k z 0时，直线I与抛物线相交，有两个公共点;<0 k<1 k>l 2kl 11 -1 1<k< 丄2 kk< 1lAB 亦 1 X 2 2 (y !y^2 7(X 1 X 2$(1 kAT ) Vo k Ab [(X 1 x 2 ( 4X1X 2]/22谪 2 4 0]普[2]2x y1 5 4F 1AB[]A B2 2[]1x - y- 1 5 4F1(1,0)ly 2(x1)2x y 2 0.”2x y 2 0* 2 2x_ y 15 4A(02)BP 4) 迟3丿2.AB ，^y (X A ~X B $ (y A ~y B J5 2 c 4 2125 5.53)( 2 4)Vr 3A(X 1 y 1) B(X 2 y 2)A By3x 2 5x 0.5X 1 X 23x1X 20.2x y 22 2 X-工1 15 42 22x — y — 2 = 0, 法三：设 Ag y i ), Bg y 2),联立 j x 1 2 3 4 y 2*+.= 1, 、5 4消去 y ,得 3X 2— 5x = 0,则X i , X 2是方程3x 2— 5x = 0的两根. 二 X i + X 2= |.由圆锥曲线的统一定义，得AF i = 15 X (5 -x i ),1F 1B = — X (5 — X 2),［一点通］ 弦长的求法:(1) 求出端点坐标，禾U 用两点间的距离公式求解. (2) 结合根与系数的关系，利用变形公式 1=7 (1 + k 2 ［(X 1 + X 2 2 — 4X 1X 2］或24 20…X i + X 2= ~ , X i X 2= ~,|AB| =Q 1 + 22|x i — X 2|= V 5 • (x i + X 2 — 4x i x 21= , i + k 2［y i + y 22—4y i y 2］求解. (3) 利用圆锥曲线的统一定义求解.3 过抛物线y 2= 8x 的焦点作倾斜角为 45°的直线，则被抛物线截得的弦长为 _____________ 解析：由抛物线y 2 = 8x 的焦点为(2,0), 得直线的方程为 y = x — 2，代入 /= 8x 得(x — 2)2= 8x ,即卩x 2— 12x + 4= 0. X i + X 2 = 12,弦长=X i + X 2 + p = 12 + 4= 16. 答案：16x 224 直线y = 2x — 3与双曲线——y = 1相交于两点A 、B ，贝V AB = _________________ .2解析：设直线y = 2x — 3与双曲线X2 — y 2= 1两交点坐标分别为 A(x i , y i ), B(x 2, y 2).贝U AB = AF i + F i B =X [10 — (X i + X 2)]==.5-=节.得 7x 2— 24x + 20= 0,2 2X6+ 9 = 1的左、右焦点分别为 F i , F 2, 一条直线 A , B 两点，若直线I 的倾斜角为45°求厶ABF 2 2 2 解：由椭圆的方程1-+ y9 = 1知，a = 4, b = 3,I O vJ c =寸 a 2— b 2=-』7.由 c = 7知 F i (— 7, 0), F 2( .7, 0), 又直线I 的斜率k = tan 45 = 1, ■直线I 的方程为x — y + 7= 0.x —y + W = o ,设 A(x 1, y 1), B (X 2, 丫2)，则由 £消去 x ,整理得 25y 2— 18 7 y — 81 = 0,+ = 116 9■- |y 1 — y 2|= 寸y + y 2$ — 4y 1y 2= ■ S A ABF 2 = 2|F 1F 2| |y 1 — y 2|=舟 X 2 , 7 X 'g 2 =笃：4"I1两曲线相交的综合问题2 2［例3］已知椭圆补+ y = 1，过点p (2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线16 4 方程.［思路点拨］设出直线的斜率，联立直线与椭圆方程，消去 y ,得关于x 的方程，用根 与系数的关系和弦中点坐标，得斜率的方程，求解即可，也可用“点差法”求解.［精解详析］法一：设所求直线的方程为 y — 1 = k (x — 2),代入椭圆方程并整理，得 (4 k 2 + 1)x 2— 8(2k 2— k)x + 4(2k — 1)2— 16= 0. 又设直线与椭圆的交点为 A(X 1, y 1)、B(x 2, y 2), 则X 1, X 2是上面的方程的两个根，2所以 X 1 + X 2= 84k k + ：,4k + 1 因为P 为弦AB 的中点，答案：4755•如图，椭圆 经过F i 与椭圆交于 面积.y 1 + y 2=188125 ，y1y2=—25.4 24 (1)X 1X 2 y 2 2px(p 0)FA(X 1B(X 2 y 2)(2)FA1 FB(1) y 22pxAB x ABpy k(x 处 0) ” k (x p ) ly 2 2px k 2x 2 P(k 22)xk 2^0.X 1X 2AB x X 1 x 2X1X 2FA X 1FB X 2 卫 2.2 .X 1 X 24 (2k k 2 4k 2 1 J 1k -x 2y 4 0.2A(x i y i ) B (X 2 y 2)P AB x 1 x 2 4 y 1 y 2 2A Bx 2 4y 2 16 x 2 4y ； 16(x 2 x 2) 4(y 2 y 2)0 (X 1 X 2)(x 1 X 2) 4(y 1 y 2)(y 1 y 2) 0y 1 y 2 (X 1 x 2) 1 X 1 X 2 4 y 1 y 2 2x 2y 40.[ ]FP1 1 1 1 +一= + - FA FB丄p 丄p X 1+ 2 X 2 + 2X i + X 2 + p 2p X 1 + X 2 + X 1X 2+ 4 X i + X 2 + p2px1+x2+ 2x i + X 2+ p p X i + x 2 + p2— y 2= 1(a > 0)与直线I : x + y = 1相交于两个不同点 A , B.(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；⑵设直线I 与y 轴的交点为P ,若PA = 12 PB ，求a 的值.2X 2 — y 2 = 1(a > 0)中得(1 — a 2), x 2 + 2a 2x — 2a 2= 0. a1 — a 2z 0, 所以’ 4 o 224a + 8a (1 — a > 0, 解得 0v a v •.2，且 a z 1. 又双曲线的离心率 e =1+ aa 所以e >¥且e z 2.⑵设 A (X 1, y”, B(x 2, y 2), P(0,1)，因为 PA = 5P B ,5所以(X 1, y 1— 1) = 12(x 2, y 2 — 1) • 由此得x 1 =亂2由于 X 1, X 2 是方程(1 — a 2)x ?+ 2a ?x — 2a ?= 0 的两根，且 1 — 0,所以不X 2 = — 2,12 1 — a5 2_ 2a 212X2=—1 — a 2.2a 2 289 .17消去x 2,得—匚了= 289•由a >0，解得a =不& (陕西高考)已知动圆过定点 A(4,0)，且在y 轴上截得弦 MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程;⑵已知点B( — 1,0)，设不垂直于x 轴的直线I 与轨迹C 交于不同的两点 P ，Q ,若x 轴7•设双曲线C : 解：(1)将y = — x + 1代入双曲线PBQ l(1)O1(x y)O1A O1M.01y O1O1H MN MN H H MNO1M01A4)y27 (x 4)2 y2旷422y8x(x0)O1 y010O1(0,0)y2 8xC y2 8x.⑵l y kx b(k0)P a P(x1 yj Q(X2y2)/y kx b y2 8x 2 2k2x2 (2bk28) x b2032kb64>0.X1 X28 2bk2k2 b X1X2X y1y2PBQ X1 1X2 1y i(x2 1) y2(x i 1) 0(kx i b)(X2 1) (kx2 b)(X! 1) 02kx i X2 (b k)(X1 X2) 2b 02 22kb2 (k b)(8 2bk) 2k2b 0 k b >0l y k(x 1)l (1,0)[方法-规律•小结]-课下训练经典化"贵在鮭类旁通[ ()]1.曲线X2—xy—y2—3x+ 4y—4= 0与x轴的交点坐标是解当y= 0 时，得X2—3x—4= 0,析：解得X i= 4 或X2=— 1.所以交点坐标为(4,0)和(一1,0).答案：(4,0), (—1,0)22. 曲线X2+ y2= 4与曲线X2+七=1的交点个数为解析：由数形结合可知两曲线有4个交点.答案：43. _________________________ 设抛物线y2= 8X的准线与X轴交于点Q,若过点Q的直线I 与抛物线有公共点，则直线I的斜率的取值范围是.解析：由y2= 8x,得准线方程为x=— 2. 则Q点坐标为(一2,0).设直线y= k(x+ 2).由 /= k(X+ 2) 得k2x2+ (4k2—8)x+ 4k2= 0.y = 8x，若直线I与y2= 8x有公共点，则△=(4k2—8)2—16k4> 0.解得—1 w k w 1.答案：[—1,1]m的范围是4. 曲线y= x2—x+ 2和y= x+ m有两个不同的公共点，则实数解析:消去y,得x2—2x+ 2—m = 0.若有两个不同的公共点，则△= 4 —4(2 —m)>0,/• m>1.答案：(1 ,+^ )2 25•如果椭圆乞+ y = 1的一条弦被点(4,2)平分，那么这条弦所在直线的方程是36 9解析：设直线与椭圆的交点为A(X1, y) B(x2,讨2).T P(4,2)为AB 中点，二X1 + X2= 8, y1 + y2= 4.又••• A, B 在椭圆上，••• x?+ 4y?= 36, x2+ 4y2= 36. 两式相减得(X —x2) + 4(y2—y2)= 0,高中数学即(X i + X 2)(x i — X 2)+ 4(y i + y 2)(y i — y 2)= 0, .y i — y 2 — (X i + X 2= 1X i — X 2 4y + y 2 J 2.1 即直线i 的斜率为一才• ••所求直线方程为 x + 2y — 8= 0. 答案：x + 2y — 8 = 06.已知椭圆的中心在原点，焦点在 X 轴上，长轴长为4.2，离心率为q 6.(1)求椭圆的标准方程;⑵直线l 与该椭圆交于 M 、N 两点，MN 的中点为A(2，— 1)，求直线I 的方程.解：(1)由题意2a = 4 2, • a = 2 2,又 e = £ •- c = v ：3.•- b 2= a 2 — c 2 = 8— 3= 5.2 2故所求椭圆的标准方程为令+y =1.8 5 (2) •••点A 在椭圆内部，•••过A 点的直线必与椭圆有两交点.当直线斜率不存在时， A 点不可能为弦的中点，故可设直线方程为 y + 1 = k(X — 2)，它与椭圆的交点分别为 M(X 1, y 1), N(X 2, y 2),y +1 = kX —2 , 则J X 2 y 2消去y 得匸+七=1.(8k 2+ 5)x 2— 16k(2k + 1)x + 8[(2k + 1)2— 5]= 0,又••• A(2,— 1)为弦MN 的中点, ...x 1 + x 2= 4,5• k = 4,从而直线方程为 5x — 4y — 14= 0.7•已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点 0,从 每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：• I X 1 + X 2 = 16k 2k + 1^2 '8k 2+ 5 '2x_ 4y2心42(1) C 1 C 2(2)O M O NllC 2FC 1(1)C 2 y 2 2px(p 0)2 yX2p(x 0)4(4 4)C 2 y 2 4x./.、 佗 1b 2 1.F(1,0)k(x 1)C 1M(x 1y 1) N(X 2 y 2)(1x 2y 2 k x2 24k )x X 1 X 28k 2x 4(k 2 1) 8k 2厂47 x1x2o 4y 『2 k(X 1 1) k(X 2 1) k 2[X 1X 2 4 k 21k 2OM(X 1 X 2) 1]8kL 1、4k 2OM ON4k 2 1ON23k21 4k 'X 1X2y 1y 2 0.1.(1)l y kx13k 2 4k 2 1 4k 472 0 y 2x(Ak 2. y 2x 2.AB2 2C i b 1(a>b>0)(2，0)幅豹 < 2 1l 孑 2b 1C 11.高中数学径的圆过椭圆C 的右顶点•求证：直线I 过定点，并求出该定点的坐标.2 2解：⑴由题意设椭圆C 的标准方程为X 2+ y 2= 1(a>b>0) •a b 由题意得a + c = 3, a — c = 1, a = 2, c = 1, b 2 = 3.2 2•••椭圆的标准方程为X +y = i.4 3y = kx + m , I o o ⑵证明：设 A (X 1, y i ), B(X 2, y 2)，由S x 2 y 2—+ 匚=1 討 3 (3 + 4k 2) x 2 + 8mkx + 4(m 2— 3) = 0,△= 64m 2k 2 — 16(3 + 4k 2)(m 2— 3)>0 , 即 3 + 4k ? — m 2>0.y 1y 2= (kx 1 + m) (kx 2 + m)2 2=k X 1X 2 + mk(X 1 + X 2) + m =•••以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD =— 1 ,y 1y 2 + X 1X 2 — 2(X 1 + X 2) + 4= 0, 即3亦—4f +皿书+哼+ 4= 0 3+ 4k 3+ 4k 3 + 4k化简得 7m 2+ 16mk + 4k 2 = 0,解得 m 1=— 2k , m 2=—牙，且满足 3 + 4k 2— m 2>0.当m =— 2k 时，I ： y = k(x — 2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾; 当m =—学时，I : y = k x —舟，直线过定点 7, ° • 综上可知，直线I 过定点，定点坐标为7, 0 •得, --X1 + X2 = 一3 m 2 — 4k 2 * 2 *3 + 4k -y 1 . y 2X 1 — 2 X 2— 2 化简得8mk3+ 4k 2'。
