2013年北京市海淀区高三一模数学文科含答案

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（文科） 2012. 11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{|10}A x x =-≤，则U A =ð A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞2．下列函数中，在定义域内是减函数的是A ．()f x x =B ．()f x =C ．1()2xf x =D ．()ln f x x =3．在平面直角坐标系中，已知(0,0)O ，(0,1)A ，(1B ，则OA OB ⋅uu r uu u r的值为A ．1B 1C D 14．函数211()(2)2x f x x x +=≤≤的值域为 A ．[2,)+∞ B ．5[,)2+∞C ．5[2,]2D ．(0,2]5．设0.5a =π，3log 2b =，cos 2c =，则 A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<6．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，则下列结论一定成立的是 A ．x ∀∈R ，()()f x f x >- B ．0x ∃∈R ，00()()f x f x >- C ．x ∀∈R ，()()0f x f x -≥ D ．0x ∃∈R ，00()()0f x f x -<7．已知函数1,0,()1,0,x f x x -<⎧=⎨≥⎩则不等式(1)1xf x -≤的解集为A ．[1,1]-B ．[1,2]-C ．(,1]-∞D ．[1,)-+∞8．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈， 使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列3个集合：①1{(,)|}M x y y x== ②{(,)|cos }M x y y x == ③{(,)|e 2}xM x y y ==-其中所有“好集合”的序号是 A ．①②B ．②③C ．③D ．①②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9． 已知数列{}n a 中，11a =，12n n a a +=，则5a = ． 10．2(sin15cos15)︒+︒= ．11．已知函数1()f x x=，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处得切线方程为 ． 12．在ABC ∆中，点M 为边AB 的中点，若OP uu u r ∥OM uuu r ，且(0)OP xOA yOB x =+≠u u u r u u r u u u r ，则yx= ．13．已知函数()y g x =的图象由()sin 2f x x =的图象向右平移(0)ϕϕ<<π个单位得到，这两个函数的部分图象 如图所示，则ϕ= ．14．数列{}n a 中，如果存在k a ，使得“1k k a a ->且1k k a a +>”成立（其中2k ≥，k *∈N ），则称k a 为{}n a 的一个峰值． （Ⅰ）若|7|n a n =--，则{}n a 的峰值为 ；（Ⅱ）若2,24,2n n tn n a tn n ⎧-≤=⎨-+>⎩且{}n a 存在峰值，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在Rt ABC ∆中，3AC =，4BC =，点D 是斜边AB 上的一点，且AC AD =． （Ⅰ）求CD 的长； （Ⅱ）求sin BDC ∠的值．16．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =-，520S =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求使不等式n n S a >成立的n 的最小值．17．（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos(2)2f x x x π=-+． （Ⅰ）求()8f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．18．（本小题满分13分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中4AE =米，6CD =米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上．（Ⅰ）设MP x =米，PN y =米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；（Ⅱ）求矩形BNPM 面积的最大值． 19．（本小题满分14分）已知函数31()13f x x ax =-+． （Ⅰ）若1x =时，()f x 取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最小值；（Ⅲ）若对任意m ∈R ，直线y x m =-+都不是曲线()y f x =的切线，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知数集12{,,A a a =…,}n a 12(1a a =<<…,4)n a n <≥具有性质P ：对任意的(2)k k n ≤≤，,(1)i j i j n ∃≤≤≤，使得k i j a a a =+成立．（Ⅰ）分别判断数集{1,2,4,6}与{1,3,4,7}是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）求证：41232a a a a ≤++； （Ⅲ）若72n a =，求n 的最小值．NBMDF CA海淀区高三年级第一学期期中练习数 学 （文）参考答案及评分标准 2012．11说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为在直角ABC ∆中，3,4AC BC ==，所以5,AB = ………………1分所以3cos 5A = ………………3分 在ACD ∆中，根据余弦定理2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅ ………………6分所以2223332335CD =+-⋅⋅⋅ 所以CD = …………8分 （II ）在BCD ∆中，3sin 5B =………………9分 根据正弦定理sin sin BC CDBDC B=∠∠ ………………12分把4BC =，CD =代入，得到sin BDC ∠=………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）设{}n a 的公差为d ，依题意，有 21515,51020a a d S a d =+=-=+=- ………2分联立得11551020a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得161a d =-⎧⎨=⎩………5分所以6(1)17n a n n =-+-⋅=- ………………7分 （II ）因为7n a n =-，所以1(13)22n n a a n n S n +-==………………9分 令(13)72n n n ->-，即215140n n -+> ………………11分 解得1n <或14n > 又*N n ∈，所以14n > 所以n 的最小值为15 ………13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)2f x x x =-+22sin sin 2x x =+………2分 1cos2sin 2x x =-+ ……4分πs i n (2)14x -+ …………6分 所以πππ()sin()11844f =-+= ………………7分（Ⅱ）因为π())14f x x =-+ 所以2ππ2T == …………9分 又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π+22k k -（）() Z k ∈，……………10分 所以令πππ2π22π242k x k -<-<+， ………………11分解得π3πππ88k x k -<<+………………12分 所以函数()f x 的单调增区间为π3π(π,π)88k k -+() Z k ∈，…………13分 18.（本小题满分13分）解：（I ）作PQ AF ⊥于Q ，所以8,4PQ y EQ x =-=- ………2分 在EDF ∆中，EQ EF PQ FD= 所以4482x y -=- …………4分 所以1102y x =-+，定义域为{|48}x x ≤≤ …………6分 (II) 设矩形BNPM 的面积为S ，则21()(10)(10)5022x S x xy x x ==-=--+ ………9分 所以()S x 是关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为10x =所以当[4,8]x ∈，()S x 单调递增 ……………11分 所以当8x =米时，矩形BNPM 面积取得最大值48平方米 ………………13分 19. （本小题满分14分）解：（I ）因为2()f x x a =-' ………………2分当1x =时，()f x 取得极值，所以(1)10f a =-=', 1a = ………………3分 又当(1,1)x ∈-时, ()0,f x <'(1,)x ∈+∞时,()0,f x >' 所以()f x 在1x =处取得极小值，即1a =符合题意 ………………4分(II) 当0a ≤时，()0f x >'对(0,1)x ∈成立， 所以()f x 在(0,1)上单调递增，()f x 在0x =处取最小值(0)1f = ………………6分当0a >时，令2()0f x x a =-='，12x x == ………………7分当01a <<1<x ∈时, ()0,f x <'()f x 单调递减 x ∈时，()0,f x >' ()f x 单调递增所以()f x 在x =1f =- ………………9分当1a ≥1(0,1)x ∈时, ()0,f x <'()f x 单调递减 所以()f x 在1x =处取得最小值4(1)3f a =- ……11分 综上所述，当0a ≤时，()f x 在0x =处取最小值(0)1f =当01a <<时，()f x 在x =1f = 当1a ≥时，()f x 在1x =处取得最小值4(1)3f a =-. (III)因为R m ∀∈，直线y x m =-+都不是曲线()y f x =的切线，所以2()1f x x a =-≠-'对R x ∈成立，…12分 只要2()f x x a =-'的最小值大于1-即可，而2()f x x a =-'的最小值为(0)f a =- 所以1a ->-，即1a < ………………14分 20.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)因为2=1+1,4=2+2,6=2+4,所以{1,2,4,6}具有性质P ………………2分因为不存在,{1,3,4,7}i j a a ∈，使得3i j a a =+ 所以{1,3,4,7}不具有性质P ………4分 (Ⅱ)因为集合12={,,,}n A a a a ⋅⋅⋅具有性质P ，所以对4a 而言，存在12,{,,,}i j n a a a a a ∈⋅⋅⋅，使得 4i j a a a =+ 又因为12341<<<<, 4n a a a a a n =⋅⋅⋅≥所以3,i j a a a ≤，所以432i j a a a a =+≤ ………6分同理可得322a a ≤，212a a ≤将上述不等式相加得234123++2(++)a a a a a a ≤ 所以41232++a a a a ≤…9分。

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （文） 参考答案及评分标准2013．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（I）2π1()2)1322f =--=………………2分 因为2()2cos )f x x x =--222(3sin cos cos )x x x x =-+- 22(12sin 2)x x =-+-………………4分212sin 2x x =-+cos22x x =+………………6分π= 2sin(2)6x +………………8分所以 ()f x 的周期为9． 0 10． 21-11.16 12．4 13． 4a >14．2,22π2ππ||2T ω===………………9分 （II ）当ππ[,]63x ∈-时， π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当6x π=-时，函数取得最小值()16f π-=-………………11分当6x π=时，函数取得最大值()26f π=………………13分16.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人………………2分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………4分（II ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………8分（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ，所以还有2人只有一个科目得分为A ………………9分设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为{Ω={甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}},一共有6个基本事件 ………………11分设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A ”为事件B ，所以事件B 中包含的基本事件有1个，则1()6P B =. ………………13分 17.解：（I ）证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点， 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥………………1分又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥………………2分 又PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ………………4分 又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥………………5分（Ⅱ）在正三角形ABC 中，BM =6分 在ACD ∆，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =30CAD ∠=o ，所以，DM =:3:1BM MD =………………8分 所以::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………9分又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所 以//MN 平面PDC ………………11分 （Ⅲ）假设直线//l CD ，因为l ⊂平面PAB ，CD ⊄平面PAB ， 所以//CD 平面PAB ………………12分又CD ⊂平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD AB =，所以//CD AB ……………13分 这与CD 与AB 不平行，矛盾所以直线l 与直线CD 不平行………………14分18.解：（I ）因为2'()f x x k =-………………2分当4k =时，2'()4f x x =-，令2'()40f x x =-=，所以122,2x x ==-'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：………………4分所以()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-，(2,)+∞ 单调递减区间是(2,2)-………………6分（II ）令()()g x f x k =-，所以()g x 只有一个零点………………7分因为2'()'()g x f x x k ==-当0k =时，3()g x x =，所以()g x 只有一个零点0 ………………8分 当0k <时，2'()0g x x k =->对R x ∈成立，所以()g x 单调递增，所以()g x 只有一个零点………………9分当0k >时，令2'()'()0g x f x x k ==-=，解得1x =或2x =……………10分所以'(),()g x g x随x的变化情况如下表：()g x有且仅有一个零点等价于(0g<………………11分即2(03g k=<，解得94k<<………………12分综上所述，k的取值范围是94k< (13)分19.解：(I)设椭圆的焦距为2c，因为a=，2ca=，所以1c=………………2分所以1b=所以椭圆C：2212xy+=………………4分（II）设A（1x，1y），B(2x，2y)由直线l与椭圆C交于两点A，B，则22220y kxx y=⎧⎨+-=⎩所以22(12)20k x+-=, 则12x x+=，122212x xk=-+………………6分所以AB==8分点M）到直线l的距离d=10分则GH=………………11分显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y kx=就是y轴，矛盾，因为AG BH=，所以AB GH=HGB所以22228(1)724()1231k k k k +=-++解得21k =,即1k =±………………14分20.解: (I)因为x ∆+=3(,y x y ∆∆∆为非零整数）故1,2x y ∆=∆=或2,1x x ∆=∆=，所以点(0,0)的“相关点”有8个………………1分又因为22()()5x y ∆+∆=，即2211(0)(0)5x y -+-=所以这些可能值对应的点在以(0,0)3分 (II)设(,)M M M x y ，因为(),()M H L M ττ==所以有|9||3|3M M x y -+-=，|5||3|3M M x y -+-=………………5分 所以|9||5|M M x x -=-，所以7,M x =2M y =或4M y = 所以(7,2)M 或(7,4)M ………………7分(III)当*2,N n k k =∈时，0||n P P 的最小值为0………………8分当=1n 时，可知0||n P P ………………9分当=3n 时，对于点P ，按照下面的方法选择“相关点”，可得300(,+1)P x y ：000(,)P x y →100200300(+2,+1)(+1,+3)(,+1)P x y P x y P x y →→故0||n P P 的最小值为1………………11分当231,,*, N n k k k =+>∈时，对于点P ，经过2k 次变换回到初始点000(,)P x y ，然后经过3次变换回到00(,+1)n P x y ，故0||n P P 的最小值为1综上，当=1n 时，0||n P P 当*2,N n k k =∈时，0||n P P 的最小值为0当21*, N n k k =+∈时，0||n P P 的最小值为1 ………………13分。

北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试数学（文）试题2013.1本试卷共4页，150分。

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一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数21i-化简的结果为A.1i +B.1i -+C. 1i -D.1i -- 【答案】A 【解析】22(1)2(1)11(1)(1)2i i i ii i ++===+--+，选A.2. 向量(1,1),(2,)t ==a b , 若⊥a b , 则实数t 的值为A. 2-B. 1-C. 1D. 2 【答案】A【解析】由⊥a b 得0= a b 即120t ⨯+=，解得2t =-，选A. 3. 在等边ABC ∆的边B C 上任取一点P ，则23ABP ABC S S ∆∆≤的概率是A. 13 B.12C.23D.56【答案】C【解析】当23A B P A B CS S ∆∆=时，有121232A B P D A B C O =⨯，即23P D C O =，则有23B P BC =，要使23A B P A B CS S ∆∆≤，则点P 在线段B P 上，所以根据几何概型可知23A B P A B CS S ∆∆≤的概率是23B P B C=，选C.4.点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为A ．2 B. 3 C. 4 D.5 【答案】B【解析】抛物线的准线为1x =-，根据抛物线的对应可知，P 到该抛物线焦点的距离等于P 到该准线的距离，即(1)4x --=，所以3x =，即点P 的横坐标为3，选B.5.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24的,n S 的值分别为A. 4,30n S ==B. 4,45n S ==C. 5,30n S ==D. 5,45n S == 【答案】C【解析】第一次循环，24,3,2S S n <==；第二次循环，24,3329,3S S n <=+⨯==；第三次循环，24,93318,4S S n <=+⨯==；第四次循环，24,183430,5S S n <=+⨯==；第五次循环，3024,S =<不满足条件，输出30,5S n ==，选C. 6.已知点(1,0),(cos ,sin )A B αα-, 且||AB =则直线AB 的方程为A.y =+y =-33y =+或33y =--C. 1y x =+或1y x=--D. y =+或y =-【答案】B【解析】||AB ===，所以1co s 2α=，所以t a n 3α=±(1)3y x =±+，所以直线的方程为33y x =+或者33y x =--，选B.7. 已知函数sin , sin cos ,()cos , sin cos ,x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩ 则下面结论中正确的是A. ()f x 是奇函数B. ()f x 的值域是[1,1]-C. ()f x 是偶函数D. ()f x的值域是[2-【答案】D【解析】在坐标系中，做出函数()fx 的图象如图，由图象可知选D.8. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点, E F 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面,A E F则线段1A P 长度的取值范围是A ．2B. 42C. 2D.【答案】B【解析】取11B C 的中点M,1B B 的中点N,连结11,,A M A N M N ，可以证明平面1//A M N 平面AEF ，所以点P 位于线段M N 上，把三角形1A M N 拿到平面上，则有112A M A N ===2M N ==P 位于,M N 时，1A P 最大，当P 位于中点O 时，1A P 最小，此时14A O ==，所以B 1C 1D1A 1FE BC DA111A O A P A M ≤≤，142A P ≤≤所以线段1A P长度的取值范围是42，选B.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. tan 225 的值为________. 【答案】1【解析】tan 225tan(18045)tan 451=+== 。

海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （文科） 2013.1本试卷共4页，150分。

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考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

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一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数21i-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i -- 2. 向量(1,1),(2,)t ==a b , 若⊥a b , 则实数t 的值为A. 2-B. 1-C. 1D. 23. 在等边ABC ∆的边BC 上任取一点P ，则23ABP ABC S S ∆∆≤的概率是 A. 13B. 12C. 23D. 564.点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为 A ．2 B. 3 C. 4 D.55.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为A. 4,30n S ==B. 4,45n S ==C.5,30n S ==D. 5,45n S ==6.已知点(1,0),(cos ,sin)A B αα-, 且||AB , 则直线AB的方程为A. y=y = B. y x =或y =- C. 1yx =+或1y x =-- D. y =或y =7. 已知函数sin , sin cos ,()cos , sin cos ,x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩ 则下面结论中正确的是A. ()f x 是奇函数B. ()f x 的值域是[1,1]-C. ()f x 是偶函数D. ()f x 的值域是[8. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点, E F 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面,AEF则线段1A P 长度的取值范围是 A ． B. C. D. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. tan 225 的值为________.10. 双曲线22133x y -=的渐近线方程为_____；离心率为______.11. 数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且268a a a +=，则55_____.S a = 12. 不等式组0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域为Ω，直线1y kx =-与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为_________.13. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为______.14. 任給实数,,a b 定义, 0,, 0.a b a b a b a a b b⨯⨯≥⎧⎪⊕=⎨⨯<⎪⎩ 设函数()ln f x x x =⊕，则1(2)()2f f +=______；若{}n a 是公比大于0的等比数列，且51a =，123781()()()()(=,f a f a f a f a f a a +++++ ）则1___.a =三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数21()sin cos cos 2f x x x x =-+，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且()1f A =.（I ） 求角A 的大小；（Ⅱ）若7a =，5b =，求c 的值.DABCB 1C 1D 1A 1F E BC DA16. （本小题满分13分）某汽车租赁公司为了调查A ，B 两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:（I ） 试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）现从出租天数为3天的汽车（仅限A ，B 两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽 车是A 型车的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，且E 是BC 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ； （Ⅱ）求证：1B C ⊥平面1AEC .18.（本小题满分13分）已知函数211()22f x x =-与函数()ln g x a x =在点(1,0)处有公共的切线，设 ()()()F x f x mg x =-(0)m ≠.（I ） 求a 的值；（Ⅱ）求()F x 在区间[1,e]上的最小值. .EC 1B 1A 1CBA19. （本小题满分14分）已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B . 经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45 时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.20. （本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为 “一阶比增函数”.(Ⅰ) 若2()f x ax ax =+是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围；(Ⅱ) 若()f x 是“一阶比增函数”，求证：12,(0,)x x ∀∈+∞，1212()()()f x f x f x x +<+； （Ⅲ）若()f x 是“一阶比增函数”，且()f x 有零点，求证：()2013f x >有解.海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （文）参考答案及评分标准 2013．1说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为 21()cos cos 2f x x x x =-+12cos22x x =- πsin(2)6x =- ………………6分又π()sin(2)16f A A =-=，(0,)A π∈， ………………7分所以ππ7π2(,)666A -∈-， πππ2,623A A -== ………………9分（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得到2π492525cos3c c =+-⨯，所以25240c c --= ………………11分 解得3c =-（舍）或 8c = ………………13分 所以8c =16. （本小题满分13分） 解：（I ）由数据的离散程度可以看出，B 型车在本星期内出租天数的方差较大………………3分（Ⅱ）这辆汽车是A 类型车的概率约为3A 333A,B 10313==+出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和这辆汽车是A 类型车的概率为313………………7分 （Ⅲ）50辆A 类型车出租的天数的平均数为3343051567754.6250A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== ………………9分50辆B 类型车出租的天数的平均数为310410515610754.850B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== ………………11分答案一：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B 类型的出租车的利润较大,应该购买B 型车………………13分答案二：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为 4.8，而B 型车出租天数的方差较大，所以选择A 型车 ………………13分 17. （本小题满分14分）解：(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO 因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点 又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线，所以1//EO A B ………………3分 又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC所以1//A B 平面1AEC ………………6分 (Ⅱ)因为AB AC =，又E 为CB 中点，所以AE BC ⊥ ………………8分 又因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ， 又AE ⊂底面ABC , 所以1AE BB ⊥,又因为1BB BC B = ，所以AE ⊥平面11BCC B ，又1B C ⊂平面11BCC B ，所以AE ⊥1B C ………………10分在矩形11BCC B 中, 111tan tan CB C EC C ∠=∠=,所以111CB C EC C ∠=∠， 所以11190CB C EC B ∠+∠=，即11B C EC ⊥ ………………12分又1AE EC E = ，所以1B C ⊥平面11BCC B ………………14分 18. （本小题满分13分） 解：（I ）因为(1)(1)0,f g ==所以(1,0)在函数(),()f x g x 的图象上又'(),'()af x xg x x==，所以'(1)1,'(1)f g a == 所以1a = ………………3分 （Ⅱ）因为211()ln 22F x x m x =--，其定义域为{|0}x x > 2'()m x mF x x x x-=-= ………………5分当0m <时，2'()0m x mF x x x x-=-=>， 所以()F x 在(0,)+∞上单调递增，所以()F x 在[1,e]上最小值为(1)0F = ………………7分当0m >时，令2'()0m x mF x x x x-=-==，得到120,0x x =>=< (舍)1≤时，即01m <≤时，'()0F x >对(1,e)恒成立，所以()F x 在[1,e]上单调递增,其最小值为(1)0F = ………………9分e 时，即2e m ≥时, '()0F x <对(1,e)成立，所以()F x 在[1,e]上单调递减， 其最小值为211(e)e 22F m =-- ………………11分当1e <<,即21e m <<时, '()0F x <对成立, '()0F x >对成立所以()F x 在单调递减,在上单调递增其最小值为1111ln 22222mF m m m m =--=--………13分 综上，当1m ≤时， ()F x 在[1,e]上的最小值为(1)0F =当21e m <<时，()F x 在[1,e]上的最小值为11ln 222mF m m =-- 当2e m ≥时, ()F x 在[1,e]上的最小值为211(e)e 22F m =--.19. （本小题满分14分）解：（I ）因为(1,0)F -为椭圆的焦点,所以1,c =又23,b =所以24,a =所以椭圆方程为22143x y += ………………3分（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45 ,所以直线的斜率为1,所以直线方程为1y x =+,和椭圆方程联立得到221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y ,得到27880x x +-= ………………5分 所以121288288,,77x x x x ∆=+=-=所以1224||||7CD x x =-=………………7分 （Ⅲ）当直线l 无斜率时,直线方程为1x =-,此时33(1,),(1,)22D C ---, ,ABD ABC ∆∆面积相等，12||0S S -= ………………8分 当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠,设1122(,),(,)C x y D x y和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-= 显然0∆>，方程有根，且221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++ ………………10分 此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++21212||2|()2|34k k x x k k=++=+ ………………12分 因为0k ≠,上式1234||||k k =≤==+（k =所以12||S S -………………14分20. （本小题满分13分）解：（I ）由题2()f x ax axy ax a x x+===+在(0,)+∞是增函数，由一次函数性质知当0a >时，y ax a =+在(0,)+∞上是增函数，所以0a > ………………3分 （Ⅱ）因为()f x 是“一阶比增函数”，即()f x x在(0,)+∞上是增函数， 又12,(0,)x x ∀∈+∞，有112x x x <+，212x x x <+所以112112()()f x f x x x x x +<+， 212212()()f x f x x x x x +<+ ………………5分 所以112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+所以11221212121212()()()()()x f x x x f x x f x f x f x x x x x x +++<+=+++所以1212()()()f x f x f x x +<+ ………………8分 （Ⅲ）设0()0f x =，其中00x >.因为()f x 是“一阶比增函数”，所以当0x x >时，00()()0f x f x x x >= 法一：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t m =由（Ⅱ）知(2)2f t m >，同理(4)2(2)4f t f t m >>，(8)2(4)8f t f t m >> 所以一定存在*n ∈N ，使得(2)22013n n f t m >⋅>，所以()2013f x > 一定有解 ………………13分法二：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t k t= 因为当x t >时，()()f x f t k x t>=，所以()f x kx >对x t >成立 只要 2013x k>，则有()2013f x kx >>， 所以()2013f x > 一定有解 ………………13分。

北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试数学〔文〕试题本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数21i-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i -- 2. 向量(1,1),(2,)t ==a b , 假设⊥a b , 则实数t 的值为A. 2-B. 1-C. 1D. 23. 在等边ABC ∆的边BC 上任取一点P ，则23ABP ABC S S ∆∆≤的概率是A.13 B. 12 C. 23 D. 564.点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为 A ．2 B. 3 C. 4 D.55.某程序的框图如下列图, 执行该程序，假设输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为A. 4,30n S ==B. 4,45n S ==C.5,30n S ==D. 5,45n S ==6.已知点(1,0),(cos ,sin)A B αα-, 且||AB =, 则直线AB的方程为A. y=y = B. y =+或y =C. 1yx =+或1y x =-- D. y 或y =7. 已知函数sin , sin cos ,()cos , sin cos ,x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩ 则下面结论中正确的选项是A. ()f x 是奇函数B. ()f x 的值域是[1,1]-C. ()f x 是偶函数D. ()f x 的值域是[8. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点, E F 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，假设1//A P 平面,AEF 则线段1A P 长度的取值范围是 A ．5 B. 325[ C. 5[2] D. [2,3] 二、填空题:本大题共6小题,每题5分,共30分.9. tan 225的值为________.10. 双曲线22133x y -=的渐近线方程为_____；离心率为______.11. 数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且268a a a +=，则55_____.S a = 12. 不等式组0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域为Ω，直线1y kx =-与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为_________.13. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为______.14. 任給实数,,a b 定义, 0,, 0.a b a b a b a a b b⨯⨯≥⎧⎪⊕=⎨⨯<⎪⎩ 设函数()ln f x x x =⊕，则1(2)()2f f +=______；假设{}n a 是公比大于0的等比数列，且51a =，123781()()()()(=,f a f a f a f a f a a +++++）则1___.a =三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. 〔本小题总分值13分〕已知函数21()3sin cos cos 2f x x x x =-+，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且()1f A =.〔I 〕 求角A 的大小；〔Ⅱ〕假设7a =，5b =，求c 的值.DABC22234B 1C 1D 1A 1F E BC DA16. 〔本小题总分值13分〕某汽车租赁公司为了调查A ，B 两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:〔I 〕 试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系〔只需写出结果〕；〔Ⅱ〕现从出租天数为3天的汽车〔仅限A ，B 两种车型〕中随机抽取一辆，试估计这辆汽 车是A 型车的概率；〔Ⅲ〕如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. 〔本小题总分值14分〕如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，且E 是BC 中点.〔I 〕求证：1//A B 平面1AEC ； 〔Ⅱ〕求证：1B C ⊥平面1AEC .18.〔本小题总分值13分〕已知函数211()22f x x =-与函数()ln g x a x =在点(1,0)处有公共的切线，设 ()()()F x f x mg x =-(0)m ≠.〔I 〕 求a 的值；〔Ⅱ〕求()F x 在区间[1,e]上的最小值. .EC 1B 1A 1CBA19. 〔本小题总分值14分〕已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B . 经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点. 〔Ⅰ〕求椭圆方程；〔Ⅱ〕当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；〔Ⅲ〕记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.20. 〔本小题总分值13分〕已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，假设()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为 “一阶比增函数”.(Ⅰ) 假设2()f x ax ax =+是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围；(Ⅱ) 假设()f x 是“一阶比增函数”，求证：12,(0,)x x ∀∈+∞，1212()()()f x f x f x x +<+； 〔Ⅲ〕假设()f x 是“一阶比增函数”，且()f x 有零点，求证：()2013f x >有解.海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 〔文〕参考答案及评分标准 2013．1说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题〔本大题共8小题,每题5分,共40分〕二、填空题〔本大题共6小题,每题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分〕三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．〔本小题总分值13分〕解：〔I 〕因为 21()cos cos 2f x x x x =-+12cos22x x =- πsin(2)6x =- ………………6分又π()sin(2)16f A A =-=，(0,)A π∈， ………………7分所以ππ7π2(,)666A -∈-， πππ2,623A A -== ………………9分〔Ⅱ〕由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得到2π492525cos3c c =+-⨯，所以25240c c --= ………………11分 解得3c =-〔舍〕或 8c = ………………13分 所以8c =16. 〔本小题总分值13分〕 解：〔I 〕由数据的离散程度可以看出，B 型车在本星期内出租天数的方差较大………………3分〔Ⅱ〕这辆汽车是A 类型车的概率约为3A 333A,B 10313==+出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和这辆汽车是A 类型车的概率为313………………7分 〔Ⅲ〕50辆A 类型车出租的天数的平均数为3343051567754.6250A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== ………………9分50辆B 类型车出租的天数的平均数为310410515610754.850B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== ………………11分答案一：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B 类型的出租车的利润较大,应该购买B 型车………………13分答案二：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为 4.8，而B 型车出租天数的方差较大，所以选择A 型车 ………………13分 17. 〔本小题总分值14分〕解：(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO 因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点 又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线，所以1//EO A B ………………3分 又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC所以1//A B 平面1AEC ………………6分 (Ⅱ)因为AB AC =，又E 为CB 中点，所以AE BC ⊥ ………………8分 又因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ， 又AE ⊂底面ABC , 所以1AE BB ⊥, 又因为1BB BC B =，所以AE ⊥平面11BCC B ，又1B C ⊂平面11BCC B ，所以AE ⊥1B C ………………10分 在矩形11BCC B 中, 1112tan tan CB C EC C ∠=∠=,所以111CB C EC C ∠=∠， 所以11190CB C EC B ∠+∠=，即11B C EC ⊥ ………………12分又1AEEC E =，所以1B C ⊥平面11BCC B ………………14分18. 〔本小题总分值13分〕 解：〔I 〕因为(1)(1)0,f g ==所以(1,0)在函数(),()f x g x 的图象上又'(),'()af x xg x x==，所以'(1)1,'(1)f g a == 所以1a = ………………3分 〔Ⅱ〕因为211()ln 22F x x m x =--，其定义域为{|0}x x > 2'()m x mF x x x x-=-= ………………5分当0m <时，2'()0m x mF x x x x-=-=>， 所以()F x 在(0,)+∞上单调递增，所以()F x 在[1,e]上最小值为(1)0F = ………………7分当0m >时，令2'()0m x mF x x x x-=-==，得到120,0x x = (舍)1≤时，即01m <≤时，'()0F x >对(1,e)恒成立，所以()F x 在[1,e]上单调递增,其最小值为(1)0F = ………………9分e ≥时，即2e m ≥时, '()0F x <对(1,e)成立，所以()F x 在[1,e]上单调递减， 其最小值为211(e)e 22F m =-- ………………11分当1e <,即21e m <<时, '()0F x <对成立, '()0F x >对成立所以()F x 在单调递减,在上单调递增其最小值为1111ln 22222mF m m m m =--=--………13分 综上，当1m ≤时， ()F x 在[1,e]上的最小值为(1)0F =当21e m <<时，()F x 在[1,e]上的最小值为11ln 222mF m m =-- 当2e m ≥时, ()F x 在[1,e]上的最小值为211(e)e 22F m =--.19. 〔本小题总分值14分〕解：〔I 〕因为(1,0)F -为椭圆的焦点,所以1,c =又23,b =所以24,a =所以椭圆方程为22143x y += ………………3分〔Ⅱ〕因为直线的倾斜角为45,所以直线的斜率为1,所以直线方程为1y x =+,和椭圆方程联立得到221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y ,得到27880x x +-= ………………5分 所以121288288,,77x x x x ∆=+=-= 所以21224||1|7CD k x x =+-=………………7分 〔Ⅲ〕当直线l 无斜率时,直线方程为1x =-,此时33(1,),(1,)22D C ---, ,ABD ABC ∆∆面积相等，12||0S S -= ………………8分 当直线l 斜率存在〔显然0k ≠〕时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠,设1122(,),(,)C x y D x y和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-= 显然0∆>，方程有根，且221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++ ………………10分 此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++21212||2|()2|34k k x x k k=++=+ ………………12分 因为0k ≠,上式123332124||24||||||k k k k =≤==+〔3k =所以12||S S -3 ………………14分20. 〔本小题总分值13分〕解：〔I 〕由题2()f x ax axy ax a x x+===+在(0,)+∞是增函数，由一次函数性质知当0a >时，y ax a =+在(0,)+∞上是增函数，所以0a > ………………3分 〔Ⅱ〕因为()f x 是“一阶比增函数”，即()f x x在(0,)+∞上是增函数， 又12,(0,)x x ∀∈+∞，有112x x x <+，212x x x <+所以112112()()f x f x x x x x +<+， 212212()()f x f x x x x x +<+ ………………5分 所以112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+所以11221212121212()()()()()x f x x x f x x f x f x f x x x x x x +++<+=+++所以1212()()()f x f x f x x +<+ ………………8分 〔Ⅲ〕设0()0f x =，其中00x >.因为()f x 是“一阶比增函数”，所以当0x x >时，00()()0f x f x x x >= 法一：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t m =由〔Ⅱ〕知(2)2f t m >，同理(4)2(2)4f t f t m >>，(8)2(4)8f t f t m >> 所以一定存在*n ∈N ，使得(2)22013n n f t m >⋅>，所以()2013f x > 一定有解 ………………13分法二：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t k t= 因为当x t >时，()()f x f t k x t>=，所以()f x kx >对x t >成立 只要 2013x k>，则有()2013f x kx >>， 所以()2013f x > 一定有解 ………………13分。

2013年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）（2013•海淀区一模）集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈N|x2﹣3x＞0}，则A∩B=（）A．{1，2} B．{3，4，5} C．{4，5，6} D．{3，4，5，6}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：求出集合A，B中不等式的解集中的自然数解，根据交集的定义，求出得到两个集合的交集．解答：解：A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈N|x2﹣3x＞0}={x|x＞3，x∈N}，∴A∩B={4，5，6}，故选C．点评：此题是个基础题．本题属于以不等式的解集为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．做题时应注意理解集合B的元素．2．（5分）（2013•海淀区一模）等差数列{a n}中，a2=3，a3+a4=9 则a1a6的值为（）A．14 B．18 C．21 D．27考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a2+5d=9，a1+d=3，解方程可求a1，d，即可求解a1a6解答：解：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a2+5d=9，a1+d=3解方程可得，a1=2，d=1∴a1a6=2×7=14故选A点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题3．（5分）（2013•海淀区一模）某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x值为5，则输出的y值为（）A．B．1C．2D．﹣1考点：程序框图．专题：图表型．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足，执行输出y，可得答案．解答：解：经过第一次循环得到x=3，不满足判断框中的条件；经过第二次循环得到x=1，不满足判断框中的条件；经过第三次循环得到x=﹣1，满足判断框中的条件；执行“是”，y=2﹣1=，输出y值为．故选A．点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时常采用写出前几次循环的结果，找规律．属于基础题．4．（5分）（2013•海淀区一模）已知a＞0，下列函数中，在区间（0，a）上一定是减函数的是（）A．f（x）=ax+b B．f（x）=x2﹣2ax+1 C．f（x）=a x D．f（x）=log a x考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：题目给出的函数分别是一次函数、二次函数，指数函数及对数函数，在a＞0时，逐一分析各函数在（0，a）上的单调性即可得到正确答案．解答：解：∵a＞0，则函数f（x）=ax+b的斜率大于0，直线f（x）=ax+b的倾斜为锐角，函数f（x）=ax+b在定义域R上为增函数，不满足在区间（0，a）上一定是减函数；对于函数f（x）=x2﹣2ax+1，图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=a，所以该函数在区间（0，a）上一定是减函数；对于函数f（x）=a x，当0＜a＜1时，该函数在R上为减函数，当a＞1时，函数在R上为增函数；对于函数f（x）=log a x，当0＜a＜1时，函数在R上为减函数，当a＞1时，函数在R上为增函数；故满足a＞0，在区间（0，a）上一定是减函数的是f（x）=x2﹣2ax+1．故选B．点评：本题考查了函数的单调性及证明，考查了基本初等函数性质，属基础题型．5．（5分）（2013•海淀区一模）不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为（）A．0B．1C．2D．3考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：先作出不等式组表示的平面区域，根据已知条件可表示出平面区域的面积，然后结合已知可求k．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意可得A（1，3），B（，），C（1，k）∴S△ABC=AC•d（d为B到AC的距离）=×（3﹣k）×（﹣1）=1，∴k=1．故选B．点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示平面区域，属于基础试题．6．（5分）（2013•海淀区一模）命题P：∃α∈R，sin（π﹣α）=cosα；命题q：∀m＞0，双曲线﹣=1的离心率为．则下面结论正确的是（）A．P是假命题B．￢q是真命题C．p∧q是假命题D．p∨q是真命题考点：特称命题；全称命题．专题：计算题．分析：由于可判断命题p为真命题，而命题q为真命题，再根据复合命题的真假判定，一一验证选项即可得正确结果．解答：解：当时，Rsin（π﹣α）=cosα，故命题p为真命题，∵双曲线﹣=1中a=b=|m|=m，∴c==m∴e==，故命题q为真命题．∴￢p为假命题，￢q是假命题，p∨q是真命题；故选D．点评：本题主要考查了命题真假判断的应用，简单复合命题的真假判断，属于基础试题．7．（5分）（2013•海淀区一模）已知曲线f（x）=lnx在点（x0，f（x0））处的切线经过点（0，1），则x0的值为（）A．B．e2C．e D．10考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：求出曲线方程的导函数，根据曲线方程设出切点坐标，把设出的切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把点（0，1）的坐标代入切线方程中即可求出切点的横坐标即可．解答：解：对y=lnx求导得：y′=，切点坐标为（x0，lnx0），所以切线的斜率k=，则切线方程为：y﹣lnx0=（x﹣x0），把点（0，1）代入切线方程得：1﹣lnx0=（﹣x0），解得x0=e2，故选B．点评：本题的解题思想是设出切点的坐标，把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程，然后把原点坐标代入切线方程求出切点的横坐标，从而确定出切线的方程．8．（5分）（2013•海淀区一模）抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为（）A．2B．4C．6D．4考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义得出PM垂直于抛物线的准线，设P（，m），求出△PMF的边长，写出有关点的坐标，利用两点距离的公式得到FM，列出方程求出m的值，得到等边三角形的边长，从而求出其面积．解答：解：据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM，∴PM⊥抛物线的准线，设P（，m），则M（﹣1，m），等边三角形边长为1+，F（1，0）所以由PM=FM，得1+=，解得m=2，∴等边三角形边长为4，其面积为4故选D．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•海淀区一模）在复平面上，若复数a+bi（a，b∈R）对应的点恰好在实轴上，则b= 0．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用复数的几何意义和点在实轴上的特点即可得出．解答：解：由复数的几何意义可知：复数a+bi（a，b∈R）对应的点为（a，b），∵此点恰好在实轴上，∴b=0．故答案为0．点评：正确理解复数的几何意义是解题的关键．10．（5分）（2013•海淀区一模）若向量，满足||=||=|+|=1，则•的值为﹣．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的数量积运算即可得出．解答：解：∵向量，满足||=||=|+|=1，∴，化为，即1，解得．故答案为．点评：熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．11．（5分）（2013•海淀区一模）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为16．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：判断三视图复原的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．解答：解：几何体是底面为下底为4，上底为2，高为4的直角梯形，几何体的高为4的四棱锥，顶点在底面的射影是底面直角梯形高的中点，几何体的体积为：V=S底×h==16．故答案为：16．点评：本题考查三视图与几何体直观图的关系，判断几何体的形状以及数据对应值是解题关键．12．（5分）（2013•海淀区一模）在△ABC中，若a=4，b=2，cosA=，则c=4．考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：由余弦定理可得16=4+c2﹣4c•，解方程求得c的值．解答：解：在△ABC中，∵a=4，b=2，cosA=，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即16=4+c2﹣4c•，化简可得（c﹣4）（c+3）=0，解得c=4，或c=﹣3（舍去），故答案为4．点评：本题主要考查余弦定理的应用，一元二次方程的解法，属于中档题．13．（5分）（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是a＞4．考点：根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数f（x）的图象与x轴有三个不同的交点，结合图象求出实数a的取值范围．解答：解：由题意可得函数f（x）的图象与x轴有三个不同的交点，如图所示：等价于当x≥0时，方程2x﹣a=0有一个根，且x＜0时，方程x2+ax+a=0有两个根，即⇒a＞4．故实数a的取值范围是a＞4．故答案为：a＞4．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．14．（5分）（2013•海淀区一模）已知函数y=f（x），任取t∈R，定义集合：A t={y|y=f（x）}，点P （t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|}．设M t，m t分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记h（t）=M t﹣m t．则（1）若函数f（x）=x，则h（1）=2；（2）若函数f（x）=sin x，则h（t）的最小正周期为2．考点：函数的周期性．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：（1）若函数f（x）=x，则点P（t，t），Q（x，x），根据|PQ|，求得1﹣t≤x≤t+1，即M t =1+t，m t =1﹣t，由此可得h（1）的值．（2）若函数f（x）=sin x，画出函数的图象，分析点P在曲线上从A接近B，从B接近C，从C接近D时，从D接近E时，h（t）值的变化情况，从而得到h（t）的最小正周期．解答：解：（1）若函数f（x）=x，则点P（t，t），Q（x，x），∵|PQ|，∴≤，化简可得|x﹣t|≤1，﹣1≤x﹣t≤1，即1﹣t≤x≤t+1，即M t =1+t，m t =1﹣t，∵h（t）=M t﹣m t ，h（1）=（1+1）﹣（1﹣1）=2．（2）若函数f（x）=sin x，此时，函数的最小正周期为=4，点P（t，sin），Q（x，sin），如图所示：当点P在A点时，点O在曲线OAB上，M t=1，m t=0，h（t）=M t﹣m t=1．当点P在曲线上从A接近B时，h（t）逐渐增大，当点P在B点时，M t=1，m t=﹣1，h（t）=M t﹣m t=2．当点P在曲线上从B接近C时，h（t）逐渐见减小，当点P在C点时，M t=1，m t=0，h（t）=M t﹣m t=1．当点P在曲线上从C接近D时，h（t）逐渐增大，当点P在D点时，M t=1，m t=﹣1，h（t）=M t﹣m t=2．当点P在曲线上从D接近E时，h（t）逐渐见减小，当点P在E点时，M t=1，m t=0，h（t）=M t﹣m t=1．…依此类推，发现h（t）的最小正周期为2，故答案为2．点评：本题主要考查函数的周期性，体现了数形结合以及分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=2﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（）的值和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间[﹣，]上的最大值和最小值．考点：二倍角的余弦；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用特殊角的三角函数值即可得到，利用倍角公式和两角和差的正弦公式和周期公式即可得出；（II）由时，得到，再利用正弦函数的单调性即可得到最值．解答：解：（I）=2﹣1=1．∵函数f（x）=2﹣（sinx﹣cosx）2=2﹣=2﹣（1+=1﹣=cos2x+==∴函数f（x）的周期为．（II）当时，，所以当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值．点评：熟练掌握特殊角的三角函数值、倍角公式和两角和差的正弦公式和周期公式、正弦函数的单调性是解题的关键．16．（13分）（2013•甘肃三模）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．考点：众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（I）根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生人数，结合样本容量=频数÷频率得出该考场考生人数，再利用频率和为1求出等级为A的频率，从而得到该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数．（II）利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分．（III）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为A的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的概率．解答：解：（I）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人…（2分）所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3…（4分）（II）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：[1×（40×0.2）+2×（40×0.1）+3×（40×0.375）+4×（40×0.25）+5×（40×0.075）]=2.9…（8分）（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A…（9分）设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件…（11分）设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P（B）=．…（13分）点评：本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．17．（14分）（2013•海淀区一模）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又∠CAD=30°，PA=AB=4，点N在线段PB上，且．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；（Ⅲ）设平面PAB∩平面PCD=l，试问直线l是否与直线CD平行，请说明理由．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；反证法与放缩法．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）通过证明BD⊥平面PAC，然后证明BD⊥PC；（Ⅱ）通过证明线段成比例证明MN∥PD，利用直线平面平行的判定定理证明MN∥平面PDC；（Ⅲ）利用反证法证明直线l∥CD，推出CD∥AB与CD与AB不平行矛盾从而说明直线l 与直线CD不平行．解答：解：（I）证明：（I）因为△ABC是正三角形，M是AC中点，所以BM⊥AC，即BD⊥AC…（1分）又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，PA⊥BD…（2分）又PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC…（4分）又PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC…（5分）（Ⅱ）在正三角形ABC中，BM=…（6分）在△ACD，因为M为AC中点，DM⊥AC，所以AD=CD∠CAD=30°，所以，DM=，所以BM：MD=3：1…（8分）所以BN：NP=BM：MD，所以MN∥PD…（9分）又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所以MN∥平面PDC…（11分）（Ⅲ）假设直线l∥CD，因为l⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，所以CD∥平面PAB…（12分）又CD⊂平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以CD∥AB…（13分）这与CD与AB不平行，矛盾所以直线l与直线CD不平行…（14分）点评：本题考查在与平面垂直与平行的判定定理的应用，反证法的应用，考查空间想象能力与逻辑推理能力．18．（13分）（2013•海淀区一模）函数f（x）=x3﹣kx，其中实数k为常数．（I）当k=4时，求函数的单调区间；（II）若曲线y=f（x）与直线y=k只有一个交点，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（I）先求原函数的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；（II）将题中条件：“函数f（x）的图象与直线y=k只有一个公共点，”等价于“g（x）=f（x）﹣k，所以g（x）只有一个零点”，利用导数求得原函数的极值，最后要使g（x）的其图象和x轴只有一个交点，得到关于k的不等关系，从而求实数k的取值范围．解答：解：（I）因为f′（x）=x2﹣k…（2分）当k=4时，f′（x）=x2﹣4，令f′（x）=x2﹣4=0，所以x=﹣2或x=2f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣2）﹣2 （﹣2，2） 2 （2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）增极大值减极小值增…（4分）所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2），（2，+∞）单调递减区间是（﹣2，2）…（6分）（II）令g（x）=f（x）﹣k，所以g（x）只有一个零点…（7分）因为g′（x）=f′（x）=x2﹣k当k=0时，g（x）=x3，所以g（x）只有一个零点0 …（8分）当k＜0时，g′（x）=x2﹣k＞0对x∈R成立，所以g（x）单调递增，所以g（x）只有一个零点…（9分）当k＞0时，令g′（x）=f′（x）=x2﹣k=0，解得x=或x=﹣…（10分）所以情况如下表：x （﹣∞，﹣﹣（﹣，）（，+∞））g′（x）+ 0 ﹣0 +g（x）增极大值减极小值增g（x）有且仅有一个零点等价于g（﹣）＜0…（11分）即g（﹣）=k＜0，解得0＜k＜…（12分）综上所述，k的取值范围是k＜…（13分）点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在极值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想．19．（14分）（2013•海淀区一模）已知圆M：（x﹣）2+y2=，若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为．（I）求椭圆C的方程；（II）已知直线l：y=kx，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB上），且|AG|=|BH|，求k的值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由圆心M得到．利用椭圆的离心率及b2=a2﹣c2即可得出椭圆的标准方程；（II）把直线l的方程与椭圆的方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|AB|，利用垂径定理及半径、弦长的一半、弦心距三者之间的关系即可得到|GH|，进而得出k．解答：解：（I）设椭圆的焦距为2c，由圆心M得到．∵，∴c=1．∴b2=a2﹣c2=1．所以椭圆C：．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由直线l与椭圆C交于两点A，B，则消去y得到（1+2k2）x2﹣2=0，则x1+x2=0，．∴|AB|==．点M到直线l的距离．则|GH|=．显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y=kx就是y轴，矛盾．∵|AG|=|BH|，∴|AB|=|GH|．∴，解得k2=1，即k=±1．点评：熟练掌握椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与曲线相交问题转化为把直线l的方程与曲线的方程联立得到一元二次方程、利用根与系数的关系及弦长公式、垂径定理及半径、弦长的一半、弦心距三者之间的关系是解题的关键．20．（13分）（2013•海淀区一模）设A（x A，y A），B（x B，y B）为平面直角坐标系上的两点，其中x A，y A，Bx B，y B∈Z．令△x=x B﹣x A，△y=y B﹣y A，若|△x|+|△y=3，且|△x|﹣|△y|≠0，则称点B为点A的“相关点”，记作：B=i（A）．（Ⅰ）请问：点（0，0）的“相关点”有几个？判断这些点是否在同一个圆上，若在，写出圆的方程；若不在，说明理由；（Ⅱ）已知点H（9，3），L（5，3），若点M满足M=i（H），L=i（M），求点M的坐标；（Ⅲ）已知P0（x0，y0）（x0∈Z，Y0∈Z）为一个定点，点列{P i}满足：P i=i（P i﹣1），其中i=1，2，3，…，n，求|P0P n|的最小值．考点：圆的标准方程；两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：（I）由题意可得|△x|=1，|△y|=2；或|△x|=2，|△y|=1，由此可得点（0，0）的“相关点”有8个．再根据+=5，可得这些可能值对应的点在以（0，0）为圆心，以为半径的圆上．（II）设M（x M，y M），由条件推出|x M﹣9|+|y M﹣3|=3，|x M﹣5|+|y M﹣3|=3，由此求得点M的坐标．（III）分当n=1、当n=2k，当n=2k+1，且k∈N*时，三种情况，分别求得|P0P n|的最小值，综合可得结论．解答：解：（I）因为|△x|+|△y=3，且|△x|﹣|△y|≠0，|△x|与|△y|为非零整数，故|△x|=1，|△y|=2；或|△x|=2，|△y|=1，所以点（0，0）的“相关点”有8个，分别为：（1，2）、（1，﹣2）、（﹣1，2）、（﹣1，﹣2）、（2，1）、（2，﹣1）、（﹣2，1）、（﹣2，﹣1）．…（1分）又因为（△x）2+（△y）2=5，即+=5，所以，这些可能值对应的点在以（0，0）为圆心，以为半径的圆上．…（3分）（II）设M（x M，y M），因为M=i（H），L=i（M），所以有|x M﹣9|+|y M﹣3|=3，|x M﹣5|+|y M﹣3|=3，…（5分）所以|x M﹣9|=|x M﹣5|，所以x M=7，故y M=2 或y M=4，所以M（7，2），或M（7，4）．…（7分）（III）当n=2k，且k∈N*时，|P0P n|的最小值为0．例如：P0（x0，y0），P1（x0+1，y0），P2（（x0，y0），显然，P0=i（P1），P1=i（P2），此时，|P0P2|=0．…（8分）当n=1时，可知，|P0P n|的最小值为．…（9分）当n=3 时，对于点P，按照下面的方法选择“相关点”，可得P3（x0，y0+1）：由P0（x0，y0），依次找出“相关点”分别为P1（x0+2，y0+1），P2（x0+1，y0+3），P3（x0，y0+1）．此时，|P0P3|=1，故|P0P n|的最小值为1．…（11分）然后经过3次变换回到P3（x0，y0+1），故|P0P n|的最小值为1．当n=2k+1，k＞1，k∈N*时，经过2k次变换回到初始点P0（x0，y0），故经过2k+1次变换回到P3（x0，y0+1），故|P0P n|的最小值为1．综上，当n=1 时，|P0P n|的最小值为．当当n=2k，k∈N*时，|P0P n|的最小值为0，当n=2k+1，k∈N*时，|P0P n|的最小值为1．…（13分）点评：本题主要考查圆的方程，两点间的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试数学（文）试题2013。

1本试卷共4页,150分。

考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数21i-化简的结果为A.1i +B.1i -+C. 1i -D.1i -- 【答案】A【KS5U 解析】22(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i i ++===+--+，选A.2. 向量(1,1),(2,)t ==a b ， 若⊥a b , 则实数t 的值为A 。

2-B 。

1- C. 1 D 。

2【答案】A【KS5U 解析】由⊥a b 得0=a b 即120t ⨯+=，解得2t =-,选A. 3. 在等边ABC∆的边BC上任取一点P ，则23ABP ABC S S ∆∆≤的概率是A 。

13B 。

12C 。

23D 。

56【答案】C【KS5U 解析】当23ABPABC SS ∆∆=时,有121232AB PD AB CO =⨯，即23PD CO =，则有23BP BC =，要使23ABP ABC S S ∆∆≤，则点P 在线段BP 上，所以根据几何概型可知23ABP ABCS S ∆∆≤的概率是23BP BC=，选C 。

4。

点P 是抛物线24yx=上一点,P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为A ．2 B. 3 C. 4 D 。

5【答案】B【KS5U 解析】抛物线的准线为1x =-，根据抛物线的对应可知，P 到该抛物线焦点的距离等于P 到该准线的距离，即(1)4x --=,所以3x =，即点P 的横坐标为3,选B 。

5.某程序的框图如图所示， 执行该程序，若输入的p 为24，则输出开始 10n S ==， S p <是输入p结束输出n ，SnS S 3+=否1n n =+的,n S 的值分别为 A. 4,30n S == B 。

2012-2013北京市海淀区高三数学一模试题和答案海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2013．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为2()2cos )f x x x =--22= 2(3sin cos cos )x x x x -+-22(12sin 2)x x =-+- (2)分2= 12sin 2x x -+cos22x x = ………………4分π= 2sin(2)6x + ………………6分所以πππ2π()2sin(2)2sin 4463f =⋅+==………………7分 9． 0 10． 14 11.24512．3, 13．491a <≤ 14． 2,(21,2), Z k k k -∈所以 ()f x 的周期为2π2π= π||2T ω== ………………9分 （II ）当ππ[,]63x ∈-时，π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当π6x =-时，函数取得最小值π()16f -=- ………………11分 当π6x =时，函数取得最大值π()26f = ………………13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人 ………………1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯= ………………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………7分 （Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20 ………………8分2621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为………………11分 所以1512134186161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为865………………13分17.证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点，所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥ ………………1分 又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥ ………………2分 又PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ………………3分又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥ ………………4分（Ⅱ）在正三角形ABC 中，BM =………………5分 在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =120CDA ∠=，所以DM =:3:1BM MD = ………………6分 在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，PB =所以:3:1BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC，所以//MN 平面PDC ………………9分 （Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=，所以AB AD ⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系，y所以(4,0,0),(0,0,4)B C D P由（Ⅱ）可知，(4,DB=为平面PAC的法向量………………10分4)PC=-，(4,0,4)PB=-设平面PBC的一个法向量为(,,)n x y z=,则n PCn PB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240440x zx z⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令3,z=则平面PBC 的一个法向量为(3,3,3)n=………………12分设二面角A PC B--的大小为θ，则7cosn DBn DBθ⋅==⋅所以二面角A PC B--………………14分18. 解：（I）因为2()ln,f x x ax bx=++所以1()2f x ax bx'=++………………2分因为函数2()lnf x x ax bx=++在1x=处取得极值(1)120f a b'=++=………………3分当1a=时，3b=-，2231()x xf xx-+'=，'(),()f x f x随x的变化情况如下表：………………5分所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2,1+∞（，）单调递减区间为1(,1)2………………6分(II)因为222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==令()0f x '=,1211,2x x a==………………7分 因为()f x 在 1x =处取得极值，所以21112x x a=≠= 当102a<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-………………9分 当0a >，2102x a=> 当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e)上单调递增 所以最大值1可能在12x a=或e x =处取得 而2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =- ………………11分当11e 2a ≤<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a上单调递增 所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =-，与211e 2x a<=<矛盾 ………………12分 当21e 2x a=≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾综上所述，12a e =-或 2a =-.………………13分 1９.（本小题满分14分） 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，因为a =，2c a =，所以1c =， 所以1b =. 所以椭圆C ：2212x y += ………………4分（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩ 所以22(12)20k x +-= ，则120x x +=，122212x x k =-+ ………………6分ABGH所以AB==………………7分点M0）到直线l的距离d=则GH=………………9分显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y kx=就是y轴，矛盾，所以要使AG BH=，只要AB GH=所以222228(1)24()121k krk k+=-++22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k krk k k k k k+++=+==+++++++………………11分当0k=时，r=………………12分当0k≠时，242112(1)2(1)31322rk k=+<+=++又显然24212(1)2132rk k=+>++,<综上，r≤<………………14分20.解：（Ⅰ）因为x∆+=3(,y x y∆∆∆为非零整数）故1,2x y∆=∆=或2,1x x∆=∆=，所以点P的相关点有8个………………2分又因为22()()5x y ∆+∆=，即221010()()5x x y y -+-= 所以这些可能值对应的点在以0P上 ………………4分（Ⅱ）依题意(,)n n n P x y 与000(,)P x y 重合则 1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=，1-1221100()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y--=-+-++-+-+= 即1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------，1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------ 两式相加得 1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------（*） 因为11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==，故11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----为奇数，于是（*）的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以n 一定为偶数 ………………8分（Ⅲ）令11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =，依题意11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=，因为0n i i T x===∑012n x x x x ++++112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆ 121(1)n n n x n x x =++∆+-∆++∆………………10分因为有3i i x y ∆∆=+，且 i i x y ∆∆，为非零整数，所以当2i x ∆=的个数越多，则 T 的值越大，而且在123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆ 这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T 的值越大 而当i y ∆取值为1或1-的次数最多时，i x ∆取2的次数才能最多，T 的值才能最大. 当 100n =时，令所有的i y ∆都为1，i x ∆都取2，则1012(12100)10201T =++++=. 当100n >时，若*2(50,)n k k k =>∈N ，此时，i y ∆可取50k +个1，50k -个1-，此时i x ∆可都取2，()S n 达到最大 此时T =212((1)1)21n n n n n +++-++=++.若*21(50,)n k k k =+≥∈N ,令2n y ∆=,其余的i y ∆中有49k -个1-，49k +个1.相应的，对于i x ∆，有1n x ∆=,其余的都为2，则212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+当50100n ≤<时，令 1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤ 则相应的取2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤则T =1n ++2((1)(101))n n n +-+-((100)(99)1)n n +-+-+2205100982n n +-= 综上，22220510098, 50100,2(1), 100+2, 100n n n T n n n n n ⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩且为偶数，且为奇数. ………………13分。

2013北京市海淀区高三第一学期期末数学文科试题纯word版含答案开始 10n S ==，S p <是输入p否海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （文科） 2013.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数21i-化简的结果为A.1i +B.1i -+C. 1i- D.1i -- 2. 向量(1,1),(2,)t ==a b , 若⊥a b , 则实数t 的值为A.2- B.1- C.1D. 23. 在等边ABC∆的边BC上任取一点P，则23ABP ABC S S ∆∆≤的概率是A. 13B. 12C. 23D. 564.点P 是抛物线24yx=上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为8. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点, E F分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面,AEF则线段1A P 长度的取值范围是A ．5 B.325[C.52] D.[2,3]二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.tan225的值为________.10. 双曲线22133x y -=的渐近线方程为_____；离心率为______.11. 数列{}na 是公差不为0的等差数列，且268aa a +=，则55_____.S a =12. 不等式组0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域为Ω，直线1y kx =-与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为_________.DABC22234B 1C 1D 1A 1FE BCD A13. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为______. 14. 任給实数,,a b 定义, 0,, 0.a b a b a b aa b b⨯⨯≥⎧⎪⊕=⎨⨯<⎪⎩ 设函数()ln f x x x=⊕，则1(2)()2f f +=______；若{}na 是公比大于0的等比数列，且51a=，123781()()()()(=,f a f a f a f a f a a +++++）则1___.a =三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数21()3sin cos cos2f x x x x =-+，ABC ∆三个内角,,A B C的对边分别为,,,a b c 且()1f A =.（I ） 求角A 的大小；（Ⅱ）若7a =，5b =，求c 的值.16. （本小题满分13分）某汽车租赁公司为了调查A ，B 两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:A型车出租天数3 4 5 6 7车辆数3 35 7 5 B型车出租天数3 4 5 6 7车辆数10 10 15 10 5（I）试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）现从出租天数为3天的汽车（仅限A，B 两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是A型车的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. （本小题满分14分）C11如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，且E 是BC 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ； （Ⅱ）求证：1B C ⊥平面1AEC .18.（本小题满分13分）已知函数211()22f x x=-与函数()ln g x a x =在点(1,0)处有公共的切线，设()()()F x f x mg x =-(0)m ≠.（I ） 求a 的值；（Ⅱ）求()F x 在区间[1,e]上的最小值. .19. （本小题满分14分）已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长； （Ⅲ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.20. （本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为 “一阶比增函数”. (Ⅰ) 若2()f x axax=+是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围；(Ⅱ) 若()f x 是“一阶比增函数”，求证：12,(0,)x x ∀∈+∞，1212()()()f x f x f x x +<+；（Ⅲ）若()f x 是“一阶比增函数”，且()f x 有零点，求证：()2013f x >有解.海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）参考答案及评分标准 2013．1 说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C B C B D B二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．110．;2y x =± 11． 312．[3,)+∞ 13． 4214．0； e三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分） 解：（I ）因为21()3sin cos cos 2f x x x x =-+312cos22x x=- πsin(2)6x =- ………………6分 又π()sin(2)16f A A =-=，(0,)A π∈， ………………7分所以ππ7π2(,)666A -∈-，πππ2,623A A -== ………………9分（Ⅱ）由余弦定理2222cos ab c bc A=+- 得到2π492525cos3c c =+-⨯，所以25240c c --= ………………11分解得3c =-（舍）或8c = ………………13分 所以8c =16. （本小题满分13分）解：（I ）由数据的离散程度可以看出，B 型车在本星期内出租天数的方差较大 ……………3分（Ⅱ）这辆汽车是A 类型车的概率约为3A 333A,B 10313==+出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和这辆汽车是A 类型车的概率为313………………7分（Ⅲ）50辆A 类型车出租的天数的平均数为3343051567754.6250A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==………………9分50辆B 类型车出租的天数的平均数为310410515610754.850B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==………………11分答案一：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B 类型的出租车的利润较大,应该购买B 型车………………13分答案二：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B 型车出租天数的方差较大，所以选择A 型车 ………………13分17. （本小题满分14分）解：(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线，所以1//EO A B………………3分又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC所以1//A B 平面1AEC………………6分 (Ⅱ)因为AB AC=，又E为CB中点，所以AE BC⊥ ………………8分又因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ， 又AE ⊂底面ABC , 所以1AE BB ⊥,又因为1BB BC B=，所以AE ⊥平面11BCC B ，又1B C ⊂平面11BCC B ，所以AE ⊥1B C………………10分在矩形11BCC B 中,1112tan tan CB C EC C ∠=∠=,所以111CB C EC C∠=∠，所以11190CB C EC B ∠+∠=，即11B C EC ⊥ ………………12分 又1AEEC E=，所以1B C⊥平面11BCC B ………………14分18. （本小题满分13分）解：（I ）因为(1)(1)0,f g ==所以(1,0)在函数(),()f x g x 的图象上又'(),'()af x xg x x==，所以'(1)1,'(1)f g a ==所以1a =………………3分（Ⅱ）因为211()ln 22F x x m x =--，其定义域为{|0}x x > 2'()m x mF x x x x-=-=………………5分当0m <时，2'()0m x mF x x x x -=-=>， 所以()F x 在(0,)+∞上单调递增， 所以()F x 在[1,e]上最小值为(1)0F = ………………7分当0m >时，令2'()0m x mF x x x x-=-==，得到120,0x m x m ==- (舍)1m ≤时，即01m <≤时，'()0F x >对(1,e)恒成立，所以()F x 在[1,e]上单调递增,其最小值为(1)0F = ………………9分 em 时，即2e m ≥时, '()0F x <对(1,e)成立，所以()F x 在[1,e]上单调递减，其最小值为211(e)e 22F m =-- ………………11分当1em <<,即21e m <<时, '()0F x <对)m 成立,'()0F x >对(,e)m 成立所以()F x 在)m 单调递减,在,e)m 上单调递增其最小值为1111()ln 22222mF m m m m m m =--=--………13分 综上，当1m ≤时， ()F x 在[1,e]上的最小值为(1)0F =当21e m <<时，()F x 在[1,e]上的最小值为11(ln 222mF m m m =-- 当2e m ≥时, ()F x 在[1,e]上的最小值为211(e)e 22F m =--. 19. （本小题满分14分）解：（I ）因为(1,0)F -为椭圆的焦点,所以1,c =又23,b=所以24,a =所以椭圆方程为22143x y += ………………3分 （Ⅱ）因为直线的倾斜角为45,所以直线的斜率为1,所以直线方程为1y x =+,和椭圆方程联立得到221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y,得到27880x x +-= ………………5分所以121288288,,77x xx x ∆=+=-=所以21224||1|7CD k x x =+-=………………7分（Ⅲ）当直线l 无斜率时,直线方程为1x =-,此时33(1,),(1,)22D C ---, ,ABD ABC ∆∆面积相等，12||0S S -= ………………8分当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠,设1122(,),(,)C x y D x y和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-=显然∆>，方程有根，且221212228412,3434k k x x x x k k -+=-=++ ………………10分此时122121|||2||||||2||S Sy y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++21212||2|()2|34k k x x k k =++=+ ………………12分因为k ≠,上式123332124||24||||||k k k k =≤==+，（3k =所以12||S S -的最大值为3………………14分20. （本小题满分13分） 解：（I ）由题2()f x ax axy ax ax x+===+在(0,)+∞是增函数，由一次函数性质知当0a >时，y ax a =+在(0,)+∞上是增函数，所以a >………………3分（Ⅱ）因为()f x 是“一阶比增函数”，即()f x x 在(0,)+∞上是增函数，又12,(0,)x x ∀∈+∞，有112x x x <+，212xx x <+所以112112()()f x f x x x x x +<+，212212()()f x f x x x x x +<+ (5)分所以112112()()x f x x f x x x+<+，212212()()x f x x f x x x +<+所以11221212121212()()()()()x f x x xf x x f x f x f x x x xx x +++<+=+++所以1212()()()f x f x f x x +<+………………8分 （Ⅲ）设0()0f x =，其中0x>.因为()f x 是“一阶比增函数”，所以当0x x >时，00()()0f x f x x x >=法一：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t m = 由（Ⅱ）知(2)2f t m>，同理(4)2(2)4f t f t m>>，(8)2(4)8f t f t m >>所以一定存在*n ∈N ，使得(2)22013nnf t m >⋅>，所以()2013f x > 一定有解 ………………13分法二：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t k t = 因为当x t >时，()()f x f t k x t>=，所以()f x kx >对x t >成立只要 2013x k >，则有()2013f x kx >>， 所以()2013f x > 一定有解 ………………13分。

海淀区高三年级第一学期期中练习(答案)数学（文科） 2013.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

BDCA B A AB二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. (,1][0,)-∞-+∞ 10.111. 312.2π3,π613. 314.3；6(31)n - （说明：第12和14题的两空，第一空3分，第二空2分）三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分14分）解：（I ）π()cos(2)2f x x x =+- ---------------------------------------2分sin 2x x + -------------------------------------------------4分π2sin(2)3x =+ -------------------------------------------------6分 ()f x 最小正周期为T π=， -------------------------------------------------8分（II ）因为ππ32x -≤≤，所以ππ4π2333x -≤+≤ --------------------------------------10分所以πsin(2)13x ≤+≤ ---------------------------------------12分所以π2sin(2)23x ≤+≤，所以()f x 取值范围为[.---------------14分 16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由60A = 和ABC S ∆=1sin602bc = 分 所以6bc =，--------------------------------------3分又32,b c =所以2,3b c ==. ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A = ,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分2222367a =+-=，即a =. ------------------------------------9分由正弦定理sin sin a b A B =2sin B=，---------------------------------12分所以sin 7B =.------------------------------------13分 17.（本小题满分13分）解：（I ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由313a a -=得21(1)3a q -=① ----------------------------------2分由123a a +=得1(1)3a q +=②----------------------------------4分两式作比可得11q -=，所以2q =， ----------------------------------5分把2q =代入②解得11a =，----------------------------------6分所以12n n a -=. ----------------------------------7分（II ）由（I ）可得21141n n n b a -=+=+ ----------------------------------8分易得数列1{4}n -是公比为4的等比数列，由等比数列求和公式可得141(41)143n n n S n n -=+=-+-.------------------------------13分 （说明：未舍1q =-扣1分，若以下正确，给一半分；两个求和公式各2分，化简结果1分）18.（本小题满分13分）解：（I t ，所以点P 的横坐标为21t -,----------------------------2分因为点H 在点A 的左侧，所以2111t -<，即t -<由已知0t >，所以0t << -------------------------------------4分所以2211(1)12,AH t t =--=-所以APH ∆的面积为21()(12),02f t t t t =-<<.---------------------------6分 （II ）233'()6(2)(2)22f t t t t =-=-+- --------------------------7分 由'()0f t =，得2t =-（舍）,或2t =. --------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况如下：------------------------------------12分 所以当2t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分19.（本小题满分14分）解：（I ）当1a =时，()ln f x x x =+，1'()1(0)f x x x=+>------------------------------1分 (1)1f =，'(1)2f = -------------------------------3分 所以切线方程为210x y --= --------------------------------5分 （II ）'()(0)x a f x x x+=> -----------------------------6分 当0a ≥时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x >，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞；-8分 当0a <时，函数()f x 与'()f x 在定义域上的情况如下：------------------------------------10分 （III ）由（II ）可知①当0a ≥时，(0,)+∞是函数()f x 的单调增区间，且有11()1110a a f e e --=-<-=，(1)10f =>， ---------------11分所以，此时函数有零点，不符合题意；---------------12分②当0a <时，()f a -是函数()f x 的极小值，也是函数()f x 的最小值，所以，当()(ln()1)0f a a a -=-->，即e a >-时，函数()f x 没有零点，-------13分 综上所述，当e 0a -<<时，()f x 没有零点.-----------------14分20.（本小题满分13分）解：（I ）集合A 的所有元素为：4,5,6,2,3,1. ----------------------3分（说明：学生若写成{4,5,6,2,3,1}A =，不扣分，写不全的两个元素给1分） （II ）不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为k a ，如果k a 是3的倍数，则113k k a a +=；如果k a 是被3除余1，则由递推关系可得22k k a a +=+，所以2k a +是3的倍数，所以3213k k a a ++=；如果k a 被3除余2，则由递推关系可得11k k a a +=+，所以1k a +是3的倍数，所以2113k k a a ++=. 所以，该7项的等比数列的公比为13.又因为*n a ∈N ，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），设第7项为p ，则p 是被3除余1或余2的正整数，则可推得63k a p =⨯ 因为67320143<<，所以63k a =或623k a =⨯.由递推关系式可知，在该数列的前1k -项中，满足小于2014的各项只有： 1k a -=631,-或6231⨯-,2k a -=632,-或6232⨯-,所以首项a 的所有可能取值的集合为{663,23⨯,6631,231,-⨯-6632,232-⨯-}. -----------------------8分（III ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+； 若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++； 若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+； 所以3123k k a a +≤+， 所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=- 所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”.因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若1m a =,结论得证.若3m a =,则11m a +=；若2m a =,则123,1m m a a ++==,所以1A ∈. -----------------------------------------13分说明：对于以上解答题的其它解法，可对照答案评分标准相应给分。