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乘法公式同步测试试题（一）一．选择题1．计算（x﹣1）2的结果是（）A．x2﹣1B．x2﹣2x﹣1C．x2﹣2x+1D．x2+2x+12．计算（3x﹣1）（3x+1）的结果是（）A．3x2﹣1B．3x2+1C．9x2+1D．9x2﹣13．下列多项式，为完全平方式的是（）A．1+4a2B．4b2+4b﹣1C．a2﹣4a+4D．a2+ab+b24．计算：a2﹣（b﹣1）2结果正确的是（）A．a2﹣b2﹣2b+1B．a2﹣b2﹣2b﹣1C．a2﹣b2+2b﹣1D．a2﹣b2+2b+1 5．运用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2计算（x+）2，则公式中的2ab是（）A．x B．x C．2x D．4x6．如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用x，y（x＞y）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（）A．x+y＝7B．x﹣y＝2C．x2+y2＝25D．4xy+4＝497．如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪去一个边长为m的正方形之后，余下部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则此长方形的周长是（）A．2m+6B．4m+6C．4m+12D．2m+128．若m为大于0的整数，则（m+1）2﹣（m﹣1）2一定是（）A．8的倍数B．4的倍数C．6的倍数D．16的倍数9．计算：＝（）A．B．C．D．10．如图，一块直径为（a+b）的圆形卡纸，从中挖去直径分别为a、b的两个圆，则剩下的卡纸的面积为（）A．B．C．D．二．填空题11．计算：（2+3x）（﹣2+3x）＝．12．已知：x+＝3，则x2+＝．13．若x2﹣4x+1＝0，则＝．14．已知x+y＝4，x2+y2＝12，则＝．15．已知实数x、y满足x2+y＝，y2+x＝，且x≠y，则：+的值是．三．解答题16．已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值（1）a2+b2（2）6ab．17．已知x+y＝6，xy＝5，求下列各式的值：（1）（2）（x﹣y）2（3）x2+y2．18．若干张长方形和正方形卡片如图所示．（1）选取1张①号卡片、4张②号卡片、4张③号卡片，请你拼出一个正方形．给出理由并画出图形．（2）若已选取2张①号卡片、1张②号卡片，则还需要几张③号卡片才能拼出一个长方形？给出理由并画出图形．19．阅读并完成下列各题：通过学习，同学们已经体会到灵活运用整式乘法公式给计算和化简带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．【例】用简便方法计算995×1005．解：995×1005＝（1000﹣5）（1000+5）①＝10002﹣52②＝999975．（1）例题求解过程中，第②步变形是利用（填乘法公式的名称）；（2）用简便方法计算：①9×11×101×10001；②（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：原式＝x2﹣2x+1．故选：C．2．【解答】解：原式＝（3x）2﹣12＝9x2﹣1，故选：D．3．【解答】解：A、1+4a2没有乘积二倍项，故本选项错误；B、4b2+4b﹣1，平方项﹣1不符合，故本选项错误；C、a2﹣4a+4是完全平方式，故本选项正确；D、a2+ab+b2，乘积二倍项不符合，故本选项错误．故选：C．4．【解答】解：原式＝a2﹣（b2﹣2b+1）＝a2﹣b2+2b﹣1．故选：C．5．【解答】解：（x+）2＝x2+2x×+＝x2+x+，所以公式中的2ab是x．故选：B．6．【解答】解：A、因为正方形图案的边长7，同时还可用（x+y）来表示，故x+y＝7正确；B、因为正方形图案面积从整体看是49，从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+4），所以有（x+y）2＝49，4xy+4＝49即xy＝，所以（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝49﹣45＝4，即x﹣y＝2正确；C、x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝49﹣2×＝，故x2+y2＝25是错误的；D、由B可知4xy+4＝49，故正确．故选：C．7．【解答】解：由面积的和差，得长方形的面积为（m+3）2﹣m2＝（m+3+m）（m+3﹣m）＝3（2m+3）．由长方形的宽为3，可得长方形的长是（2m+3）．长方形的周长是2[（2m+3）+3]＝4m+12．故选：C．8．【解答】解：原式＝m2+2m+1﹣m2+2m﹣1＝4m，∵m＞0的整数，∴（m+1）2﹣（m﹣1）2一定是4的倍数，故选：B．9．【解答】解：原式＝y2﹣y+，故选：A．10．【解答】解：由题意得：剩下的卡纸的面积为：（）2π﹣（）2π﹣（）2π＝（a2+2ab+b2﹣a2﹣b2）＝，故选：C．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：原式＝9x2﹣4．故答案为：9x2﹣4．12．【解答】解：∵x+＝3，∴（x+）2＝x2+2+＝9，∴x2+＝7，故答案为：7．13．【解答】解：∵x2﹣4x+1＝0，∴x≠0，∴x﹣4+＝0，∴x+＝4，∴+2＝16，∴＝14．故答案为：14．14．【解答】解：∵x+y＝4，x2+y2＝12，∴2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝16﹣12＝4，∴xy＝2；∴＝＝＝4；故答案是：4．15．【解答】解：两式相减，得（x2﹣y2）+（y﹣x）＝0，（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）＝0，（x﹣y）（x+y﹣）＝0，∵x≠y，∴x﹣y≠0，∴x+y＝，x2+y＝①，y2+x＝②，①×x﹣②×y得x3﹣y3＝（x﹣y），∴x2+xy+y2＝，（x+y）2﹣xy＝，∴xy＝2﹣．+＝＝＝，＝﹣2＝2（2+）﹣2，＝2+2．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，∴2（a2+b2）＝8，解得：a2+b2＝4；（2）∵a2+b2＝4，∴4+2ab＝5，解得：ab＝，∴6ab＝3．17．【解答】解：∵x+y＝6，xy＝5，（1）；（2）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝62﹣4×5＝16．（3）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×5＝26．18．【解答】解：（1）∵a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，∴拼成一个边长为a+2b的正方形，如图1所示：（2）∵（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2；∴则还需要3张③号卡片才能拼出一个长方形，如图2所示：19．【解答】解：（1）例题求解过程中，第②步变形是利用平方差公式；故答案为：平方差公式；（2）①9×11×101×10 001＝（10﹣1）（10+1）×101×10 001＝99×101×10 001＝（100﹣1）（100+1）×10 001＝9999×10 001＝（10000﹣1）（10000+1）＝99999999；②（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1．＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝264﹣1+1＝264．。
乘法公式（★★★★）平方差公式及其变形公式直接使用：22))((b a b a b a -=-+ 位置变化：22))((b a a b a b -=+-+符号变化：2222)())((a b a b b a b a -=--=--- 系数变化：22)3()2()32)(32(b a b a b a -=-+曾因式变化：))(())()()((2222b a b a b a b a b a b a --=+---+- 曾项变化：2)())((c b a c b a c b a --=+--- 公式连用变化：222222)()())()((b a b a b a b a -=++-公式逆用变化：))(()()(22d c b a d c b a d c b a --++++=+-+完全平方公式及其变形：2222)(b ab a b a +±=± ab b a b a 2)(222-+=+ )(2)()(2222b a b a b a +=-++ ab b a b a 4)(-)(22=-+bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++【经典例题】题型一：平方差公式（★★★）1、(23)(23)x x +-2、()1(12)(12)a a -+--3、()2(41)(41)a a ---+4、()()n n n n a b a b +-5、()()()2422y y y ++- 6、2(21)(21)(41)a a a -++7、()()x y z x y z +-++ 8、(2)(2)a b a b ++-+9、(23)(32)(32)(32)y x x y x y x y ---++-+题型二：完全平方公式（★★★）首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。
简单递进训练：（1）=+2)(y x （2） =2)-(y x（3）=+2)2(y x （4）=2)-2(y x（5）=+2)32(y x （6）=2)3-2(y x（7）=+-2)21(y x （8）=2)32-21(y x计算题型：中等偏难：（1）（－21ab 2－32c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）；（3）（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）； （4）（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）；（5）若k x x ++22是完全平方式，则k =（6）若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是（8）如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N =（9）公式逆用：49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2（10）配方：0136422=+-++y x y x ，求y x =_____________.（11）已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
讲 义(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4 1、计算下列各式：(1)[(x ＋y)3]4 ； (2) (a 4n )n －1 ；(3) (－a 3)2＋(－a 2)3－(－a 2)·(－a)4 ；(4) x 3·x 2·x 4＋(－x 4)2＋4(－x 2)4例. 计算：()()53532222x y x y +-(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例. 计算：()()()()111124-+++a a a a例. 计算：()()57857822a b c a b c +---+例.（1）已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
(2) 已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
(3) 已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
(4) 已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
例：计算19992-2000×1998 例.已知13x x-=，求441x x +的值。
人教版八年级上册数学14.2乘法公式同步练习第1课时平方差公式1.若x²−y²=4,则x+y²x−y²的值是()A.4B.8C.16D.642.下列多项式相乘不能用平方差公式计算的是()A.(4x-3y)(3y-4x)B.(-4x+3y)(-4x-3y)C.(3y+2x)(2x-3y)D.−14x+2y+2y3.已知(x+2)(x--2)--2x=1,则2x²−4x+3的值为()A.13B.8C.--3D.54.若a=2022º,b=2021×2023-2022²,c=−×,则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a5.计算:x+1x−1x²+1=.6.已知a--b=2,则a²−b²−4a的值为7.运用平方差公式计算：(1)9.9×10.1(2)(5ab-3xy)(-3xy-5ab)（3）31×29(4)(3m-2n)(-3m-2n)8.如图,大正方形ABCF与小正方形EBDH的面积之差是40，则涂色部分的面积是()A.20B.30C.40D.609.若(3a+3b+1)(3a+3b--1)=899,则a+b=.10.[3−1×3+1×32+1×34+1×⋯×3³²+1+1]÷3的个位上的数字为.11.如果a，b为有理数，那么2a²−a−b(a+b)-[(2-a)(a+2)+(-b-2)(2-b)]的结果与b的值有关吗?12.先化简,再求值:(a+2b)(a—2b)—(--2a+3b)(-2a-3b)+(--a-b)(b-a),其中a=2,b=3.13.阅读材料:乐乐遇到一个问题：计算(2+1)×2²+1×2⁴+1.经过观察，乐乐答案讲解发现如果将原式进行适当变形后，可以出现特殊的结构，进而可以运用平方差公式解决问题，具体解法如下：2+1×2²+1×2⁴+1=2−1×2+1×2²+1×2⁴+1=2²−1×2²+1×2⁴+1=2¹−1×2⁴+1=2⁸−1.根据乐乐解决问题的方法，请你试着计算下列各题：12+1×2²+1×2⁴+1×2⁸+1×2¹⁶+1.23+1×3²+1×3⁴+1×3⁸+1×3¹⁶+1.14.(1)将图①中的涂色部分裁剪下来，重新拼成一个如图②所示的长方形，通过比较图①②中涂色部分的面积，可以得到的整式乘法公式为(2)运用你所得到的乘法公式，完成题目：①若x²−9y²=12,x+3y=4,求x-3y的值.②计算:103×97.(3)计算:1−×1−×1−×⋯×1×1−.第2课时完全平方公式1.下列关于104²的计算方法中，正确的是()A.104²=100²+4²B.104²=100+4×100−4C.104²=100²+100×4+4²D.104²=100²+2×100×4+4²2.我们在学习许多公式时，可以用几何图形来推理和验证.观察下列图形，可以推出公式a−b²=a²−2ab+b²的是()3.若x=y+3,xy=4,则.x²−3xy+y²的值为4.已知x²−2x−2=0,则x−1²+2021=5.运用乘法公式计算：1.x+3x−3x²−92.−x−5²−2x+3²3.1+12x21−12x26.已知3a−b=5,9a²−7ab+b²=14,则ab的值为()A.1B.2C.9D.117.已知长方形的长和宽分别为a和b，长方形的周长和面积分别为20和24，则a²+b²的结果为()A.64B.52C.48D.448.已知a，b满足等式x=3a²−2a+4,y=2a²+4a--5,则x,y的大小关系是()A.x=yB.x>yC.x<yD.x≥y9.先化简，再求值：[4xy−1²−xy+2(2−xy)]÷xy,其中x=2,y=-0.3.10.已知2024−x²+x−2023²=9,则(2024-x)(x-2023)的值为.11.已知x+1x=3,求下列各式的值：1x4+1x4.2x.12.如图，将一块大长方形铁皮切割成九块(虚线代表切痕)，其中两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是(第10题)长、宽分别为m，n的小长方形，且m>n，切痕的总长为42，每块小长方形的面积为9，则(m-n)²的值为.13.如图①,有A型、B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张.(1)如图②,用1张A型卡片,2张答案讲解B型卡片，3张C型卡片拼成一个长方形，利用两种方法计算这个长方形的面积，可以得到一个等式：(2)选取1张A型卡片,8张C型卡片,张B型卡片，可以拼成一个正方形，这个正方形的边长用含a，b的式子表示为.(3)如图③，正方形的边长分别为m，n，m+2n=10,mn=12,求涂色部分的面积.完全平方公式经过适当的变形，可以用来解决很多数学问题.14.例如:若a+b=3,ab=1,求a²+b²的值.解:∵a+b=3,ab=1,∴a+b²=9,2ab=2.∴a²+b²+2ab=9.∴a²+b²=7.根据上面的解题思路与方法，还可以解决下面的几何问题：如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两侧作正方形ACDE与正方形BCFG.设AB=8，两个正方形的面积和为40,求△AFC的面积.。
整式乘除与因式分解一．知识点 （重点） 1．幂的运算性质：a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例：(－2a )2(－3a 2)3 2．()nm a ＝ a mn （m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘． 例： (－a 5)53．()n n nb a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． 例：(－a 2b )3 练习：（1）y x x 2325⋅ （2）)4(32b ab -⋅- （3）a ab 23⋅（4）222z y yz ⋅ （5）)4()2(232xy y x -⋅ （6）22253)(631ac c b a b a -⋅⋅4．nm a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）同底数幂相除，底数不变，指数相减． 例：（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（a b ）5÷（a b ）2（4）（-a ）7÷（-a ）5 （5） (-b ) 5÷(-b )25．零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？6．负指数幂的概念：a －p ＝pa 1 （a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数．也可表示为：ppn m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）7．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()21(n m n m -⋅-8．单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 21)232(2⋅-（3）)32()5(-22n m n n m -+⋅ （4）xyz z xy z y x ⋅++)(23229．多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．例：（1）)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（ 练习：1．计算2x 3·(－2xy)(－12xy) 3的结果是2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝3．若n 为正整数，且x 2n ＝3，则(3x 3n ) 2的值为 4．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是5．－[－a 2(2a 3－a)]＝6．(－4x 2＋6x －8)·(－12x 2)＝ 7．2n(－1＋3mn 2)＝8．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝ 9．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝10．在(ax 2＋bx －3)(x 2－12x ＋8)的结果中不含x 3和x 项，则a ＝ ，b ＝11．一个长方体的长为(a ＋4)cm ，宽为(a －3)cm ，高为(a ＋5)cm ，则它的表面积为，体积为。
人教版数学八上 14.2乘法公式 同步练习一、选择题1．用乘法公式进行简单的计算(a ＋2b)(a －2b)的结果是（ ）A ．a 2－4b 2B ．a 2－2b 2C ．a 2＋4b 2D ．－a 2＋4b 2 2．下列运算正确的是（ ） A ．()2239a a -=-B ．()()3252372a a a -⋅-=- C ．()()22333x y x y x y +-=- D ．()22122a a a -=- 3．如果()219x a x --+是一个完全平方式，则a 的值为（ ）A ．7B ．-4C ．7或-5D ．7或-44．已知53,x y xy +=-=，则22x y +=（ ）A ．25B ．25-C ．19D ．19-5．某小区有一正方形．．．草坪ABCD 如图所示，小区物业现对该草坪进行改造，将该正方形草坪AB 边方向的长度增加3米，AD 边方向的长度减少3米，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比( )A ．增加6平方米B ．增加9平方米C ．减少9平方米D ．保持不变 6．将一个长方形按如图①所示进行分割，得到两个完全相同的梯形，再将它们拼成如图①所示的图形，根据两个图形中面积间的关系，可以验证的乘法公式为（ ）A ．()2222a b a ab b -=-+B ．()()224a b a b ab +=-+C ．()2222a b a ab b +=++D ．()()22a b a b a b +-=-7．已知()()()()24816321212121M =++++，则M 的个位数字为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7二、填空题 8．化简：2(21)a -= ．9．若221(1)x mx x -+=+，则m = .10．若()24440a b a b +--+=，4a b ++=______．11．若x 、y 满足()2110x y x y -++++=，则22x y -= ． 12．如图，大正方形的边长为,m 小正方形的边长为,n 若用,x y 表示四个小长方形两边长(x>y)， 观察图案以下关系式正确的是 . (填序号)①224m n xy -=；①;x y m +=①22x y m n -=⋅；①22222m n x y ++= 三、解答题13．计算：（1）2(1)(1)(2)x x x +--+ （2）(34)(34)x y x y -++-14．先化简，再求值：()()()()()2132222m n m n m n m n m n n ⎡⎤+---+-+÷⎣⎦，其中1m =，2n =-．15．小红家有一块L 形的菜地，要把L 形的菜地按如图所示分成两块面积相等的梯形，种上不同的蔬菜.这两个梯形的上底都是a m ，下底都是b m ，高都是(b －a) m ．(1)求小红家这块L 形菜地的面积.（用含a 、b 的代数式表示）(2)若a 2+b 2=15,ab=5,求小红家这块L 形菜地的面积.16．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． 例如图1可以得到()2222a b a ab b +=++，请解答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式_______?(2)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若15,35a b c ab ac bc ++=++=，求222a b c ++的值？(3)小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张边长分别为a 、b 的长方形纸片拼出一个面积为()()22a b a b ++长方形图形，求则x y z ++的值？。
2022-2023学年人教版八年级数学上册《14.2乘法公式》解答题专题提升训练（附答案）1．化简：（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣1）．2．计算：（2a+b）（a﹣2b）﹣（2a﹣b）2．3．计算：（1）（2x﹣y）（3x﹣2y）+（x﹣3y）（x+3y）；（2）（3x﹣5y）2﹣（3x+5y）2．4．已知多项式A＝（x+2）2+（x+2）（1﹣x）﹣3．（1）化简多项式A；（2）若（x+1）2＝5，求A的值．5．A＝（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y2．（1）化简A；（2）若点（x，y）在第四象限，请选择合适的整数代入，求此时A的值．6．已知正实数x、y，满足（x+y）2＝25，xy＝4．（1）求x2+y2的值；（2）若m＝（x﹣y）2时，4a2+na+m是完全平方式，求n的值．7．用乘法公式简便计算：（1）（2）20222﹣2022×4042+202128．利用公式简算．（1）20222﹣2021×2023．（2）1012．9．已知2m2+5m﹣1＝0，求代数式（m+3）2+m（m﹣1）的值．10．计算：（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）．11．用乘法公式计算：（1）20212﹣2023×2019；（2）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）．12．计算题．（x+1）（x2+1）（x﹣1）（x4+1）．13．用简便方法计算．（1）186.72﹣2×186.7×86.7+86.72；（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）．14．从乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2中，我们可以算出a+b、a2+b2与ab的数量关系，应用此关系解决下列数学问题．（1）若a+b＝8，ab＝15，求a2+b2的值；（2）若m满足（11﹣m）2+（m+9）2＝10，求（11﹣m）（m+9）的值．15．请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算．例1：1012＝（100+1）2＝1002+2×100×1+1＝10201；例2：17×23＝（20﹣3）（20+3）＝202﹣32＝391．（1）9992；（2）20222﹣2021×2023．16．图1、图2分别由两个长方形拼成．（1）图1中图形的面积为a2﹣b2，图2中图形的面积为（a﹣b）×．（用含有a、b的代数式表示）（2）由（1）可以得到等式：．（3）根据你得到的等式解决下列问题：①计算：68.52﹣31.52．②若m+4n＝2，求（m+1）2﹣m2+（2n+1）2﹣（2n﹣1）2的值．17．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是：（请选择正确的选项）；A．a2﹣ab＝a（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知9a2﹣b2＝36，3a+b＝9，则3a﹣b＝；②计算：．18．如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．方法1：；方法2：；请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：．（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab 的值．（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．19．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）请根据拼图的原理，写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；（2）根据（2）中等式，已知a+b＝9，ab＝8，求﹣b2+2ab﹣a2和b2﹣a2的值．20．用等号或不等号填空，探究规律并解决问题：（1）比较a2+b2与2ab的大小：①当a＝3，b＝3时，a2+b22ab；②当a＝2，b＝时，a2+b22ab；③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b22ab．（2）通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想；（3）如图，点C在线段AB上，以AC，BC为边，在线段AB的两侧分别作正方形ACDE，BCFG，连接AF，设两个正方形的面积分别为S1，S2，若△ACF的面积为1，求S1+S2的最小值．参考答案1．解：（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣1）＝x2﹣9﹣x2+x＝x﹣9．2．解：原式＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣（4a2﹣4ab+b2）＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣4a2+4ab﹣b2＝﹣2a2+ab﹣3b2．3．解：（1）（2x﹣y）（3x﹣2y）+（x﹣3y）（x+3y）＝6x2﹣4xy﹣3xy+2y2+x2﹣9y2＝7x2﹣7xy﹣7y2；（2）（3x﹣5y）2﹣（3x+5y）2＝（9x2﹣30xy+25y2）﹣（9x2+30xy+25y2）＝9x2﹣30xy+25y2﹣9x2﹣30xy﹣25y2＝﹣60xy．4．解：（1）A＝x2+4x+4+x+2﹣x2﹣2x﹣3＝3x+3；（2）∵（x+1）2＝5，∴x+1＝±，则A＝3x+3＝3（x+1）＝±3 ．5．解：（1）原式＝4x2+4xy+y2﹣4x2+y2﹣2y2＝4xy；（2）∵点（x，y）在第四象限，∴x＝1，y＝﹣2（答案不唯一），∴A＝4×1×（﹣2）＝﹣8．6．解：（1）∵xy＝4，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+y2+2×4＝25，∴x2+y2＝17．（2）∵（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝17﹣2×4＝9，∴m＝9，∵4a2+na+m＝4a2+na+9是完全平方式，∴na＝±2×2a×3＝±12a，∴n＝±12．7．解：（1）原式＝（50+）（50﹣）＝2500﹣＝2499；（2）原式＝20222﹣2×2022×2021+20212＝（2022﹣2021）2＝1．8．解：（1）20222﹣2021×2023＝20222﹣（2022﹣1）×（2022+1）＝20222﹣（20222﹣1）＝20222﹣20222+1＝1；（2）1012＝（100+1）2＝10000+200+1＝10201．9．解：∵2m2+5m﹣1＝0，∴2m2+5m＝1，∴（m+3）2+m（m﹣1）＝m2+6m+9+m2﹣m＝2m2﹣5m+9＝1+9＝10．10．解：（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）＝[a﹣（2b﹣3）][a+（2b﹣3）]＝a2﹣（2b﹣3）2＝a2﹣4b2+12b﹣9．11．解：（1）20212﹣2023×2019＝20212﹣（2021+2）×（2021﹣2）＝20212﹣20212+4＝4；（2）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）＝[2x+（y+z）][2x﹣（y+z）]＝4x2﹣（y+z）2＝4x2﹣y2﹣2yz+z2．12．解：（x+1）（x2+1）（x﹣1）（x4+1）＝（x2﹣1）（x2+1）（x4+1）＝（x4﹣1）（x4+1）＝x8﹣1．13．解：（1）原式＝（186.7﹣86.7）2＝1002＝10000；（2）原式＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）＝（34﹣1）（34+1）（38+1）＝（38﹣1）（38+1）＝（316﹣1）＝．14．解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．∵a+b＝5，ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×3＝19．（2）∵（11﹣m）2+（m+9）2＝10，∴[（11﹣m）+（m+9）]2﹣2（11﹣m）（m+9）＝10，即：400﹣2（11﹣m）（m+9）＝10．∴（11﹣m）（m+9）＝195．15．解：（1）原式＝（1000﹣1）2＝10002﹣2×1000×1+1＝1000000﹣2000+1＝998001；（2）20222﹣（2022﹣1）×（2022+1）＝20222﹣20222﹣+1＝1．16．解：（1）图1中图形的面积为a2﹣b2，图2中图形的面积为（a﹣b）×（a+b），故答案为：a+b；（2）根据两个图形的面积相等，可得a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b），故答案为：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）；（3）①68.52﹣31.52＝（68.5﹣31.5）（68.5+31.5）＝37×100＝3700；②（m+1）2+（2n+1）2﹣m2﹣（2n﹣1）2＝[（m+1）2﹣m2]+[（2n+1）2﹣（2n﹣1）2]＝[（m+1﹣m）（m+1+m）]+[（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）]＝2m+1+8n＝2（m+4n）+1＝4+1＝5．17．解：（1）图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图2阴影部分是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），由图1、图2的面积相等得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：D；（2）①∵9a2﹣b2＝36，∴（3a+b）（3a﹣b）＝36，又∵3a+b＝9，∴3a﹣b＝36÷9＝4，故答案为：4；②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+） (1)）（1+）＝××××××××…××＝×＝．18．解：（1）用两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，关于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由题意得，（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，a2+b2＝25，∴ab＝＝＝＝12；（3）由题意得图3中阴影部分的面积为：+a2﹣＝＝，∴当a+b＝8，ab＝15时，图3中阴影部分的面积为：＝＝．19．解：（1）大正方形的边长为m+n，因此面积为（m+n）2，阴影小正方形的边长为m﹣n，因此面积为（m﹣n）2，而每个长方形的面积为mn，由S大正方形＝S小正方形+4S长方形可得，（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，故答案为：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（2）由（1）得，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，即81＝（a﹣b）2+32，∴a﹣b＝±7．∴﹣b2+2ab﹣a2＝﹣（b2﹣2ab+a2）＝﹣（a﹣b）2＝﹣49，∴b2﹣a2＝（a+b）（b﹣a）＝9×（±7）＝±63．20．解：（1）①把a＝3，b＝3代入，a2+b2＝9+9＝18，2ab＝2×3×3＝18，所以a2+b2＝2ab，故答案为：＝；②把a＝2，b＝代入，a2+b2＝4+＝，2ab＝2×2×＝2，所以a2+b2＞2ab，故答案为：＞；③把a＝﹣2，b＝3代入，a2+b2＝4+9＝13，2ab＝2×（﹣2）×3＝﹣12，所以a2+b2＞2ab，故答案为：＞；（2）由（1）可得，a2+b2≥2ab，理由如下：∵（a﹣b）2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab；（3）由题意可知S1＝a2，S2＝b2，∵△ACF的面积为1，即ab＝1，∴ab＝2，∵S1+S2＝a2+b2≥2ab，∴S1+S2＝a2+b2≥4，因此S1+S2的最小值为4．。
