人教版九年级10月月考数学试题

2024学年秋季学期第一次作业检查九年级（数学）命题人：赤岸初中审核人：赤岸初中日期：2024.10．8一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．下列函数中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．1y x =+B ．1y x=C ．22y x =-D ．31y x =+2．二次函数2(1)3y x =-+图象的顶点坐标是（ ）A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)-D ．(1,3)--3．如图，直线m ，n 被一组平行线a ，b ，c 所截，若12AB BC =，则DEEF =（ ）A ．13B ．12C ．23D ．14．已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，若2AB =，则AP 为（ ）A 1+B 1-C D ．35．如图，ABC V 与DEF V 是位似图形，点O 是位似中心，若位似比23∶，4=V ABC C ，则DEF C V 等于（ ）A ．6B ．8C ．9D ．126．若二次函数26y x x c =-++的图象经过点()11,A y -，()22,B y ，()35,C y ，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的为（ ）A ．132y y y >>B ．231y y y >>C ．123y y y >>D ．312y y y >>7．图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距2m BF =，像距1m CE =．若像的高度CD 是0.9m ，则物体的高度AB 为（ ）A ．1.2mB ．1.5mC ．1.8mD ．2.4m8．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分，其对称轴是直线2x =，与x 轴的一个交点是()50，，则不等式20ax bx c ++<的解集是( )A ．1x <-或5x >B ．5x >C ．1x <-D ．15x -<<9．如图，在ABC V 中，AB AC =，在AC 上取点D ，使CBD BAC =∠∠，延长BC 至点E ，使得DE DB =．若=BE k BC，则ADAB 等于（ ）A ．1k -B ．11k -C ．k D ．1k10．二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，则下列说法正确的有( )①0abc >；②0a b c -+=；③20a b +=；④若20ax bx c k ++-=有两个实数根，则4k ≤；⑤2am bm a b +≤+．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）11．已知23a b =，那么b a b +的值为．12．已知线段a =2，8b =，如果线段c 是a 、b 的比例中项，那么c = ．13．若两个相似多边形的相似比为12∶，则它们面积的比为 ．14．某次踢球，足球的飞行高度h （米）与水平距离x （米）之间满足2560h x x =-+，则足球从离地到落地的水平距离为 米．15．已知二次函数 22482y x ax a a =---+，当11x -≤≤时， y 的最大值为5，那么a 的值为 ．16．如图，在ABC V 中，点D 是AC 边上一点，将ABD △沿BD 翻折得到EBD △，BE 与AC 交于点F ，设AF x =，EF y =．（1）当BE AC ^，9x =，3y =时，AD 的长是 ；（2）当BD BF =，27x y =时，DEF V 与ABD △的面积之比是．三、解答题（本题共8题，17、18每题6分；19，20每题8分；21、22每题10分；23、24每题12分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．计算：()()121133p -æö----ç÷èø18．如图，ABC V 的顶点均为网格中的格点．(1)选择合适的格点（包括边界）为点D 和点E ，请画出一个ADE V ，使ADE ABC △△∽且相似比为2．(2)在图2线段BC 上找一点P ，使得2BP PC =．19．如图，AD 与BC 交于点O ，∠A ＝∠C ，AO ＝4，CO ＝2，AB ＝6，求CD 的长．20．已知 ()242k k y k x +-=+是二次函数，且该二次函数的图象的顶点是最低点．(1)求k 的值．(2)请直接写出原图象向左平移2个单位，向下平移4个单位后的表达式及顶点坐标．21．小明和小红两人在课余时间打羽毛球，羽毛球的飞行路线可近似看成抛物线形状．某一时刻小明发出一球，在如图所示的体系中，设小明的击球出手点为P ， 3m 2OP =，当球运行到距OP 的水平距离为4m 时，球达到最高点17m 6．已知球网AB 距原点5m ．(1)求抛物线的解析式；(2)若小红站在距球网1m 远的C 处，求小红的球拍距地面（即CD ）多高时，球拍的上边缘正好与球接触？22．如图，已知90ACB DCE Ð=Ð=°，30ABC CED CAE Ð=Ð=Ð=°．(1)求证：ACD BCE V V ∽；(2)若3AC =，8AE =，求AD ．23．【基础巩固】（1）如图1，在ABC V 中，E 是AB 上一点，过点E 作BC 的平行线交AC 于点F ，点D 是BC 上任意一点，连结AD 交EF 于点G ，求证：EG BDGF DC=；【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结BF ，DF ，若30C Ð=°，FE 、FB 恰好将AFD Ð三等分，求EGFG的值；【拓展延伸】（3）如图3，在等边ABC V 中，4BD DC =，连结AD ，点E 在AD 上，若120Ð=°BEC ，求BEBC的值．24．如图①，在平面直角坐标系xOy 中．抛物线()20y ax bx c a =++¹与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 右侧），4AB =，与y 轴交于点C ．直线223y x =-+经过点B ，C ．(1)求抛物线的解析式；(2)若存在点P 为BC 上方抛物线上一点，问点P 的坐标为何值时，PCB V 的面积最大，并求出面积最大值；(3)如图②，在（2）的条件下，过点P 作PE x P 轴交直线BC 于点E ，作PF y ∥轴交直线BC 于点F ，若点S 是x 轴上的动点，点Q 为平面内一点，是否存在点S ，Q ，使得以S ，Q ，E ，F 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．1．C【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数的定义即可求出答案，熟练掌握二次函数的定义是解决此题的关键．【详解】A 、1y x =+是一次函数，故A 不是二次函数，不符合题意；B 、1y x=是反比例函数，故B 不是二次函数，不符合题意；C 、22y x =-是二次函数，故C 是二次函数，符合题意；D 、31y x =+，不是二次函数，故D 不是二次函数，不符合题意．故选：C ．2．A【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.【详解】∵2(1)3y x =-+，∴二次函数图象顶点坐标为：(1,3).故答案为A.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．3．B【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题关键是熟练掌握定理．根据a b c ∥∥，AB DEBC EF=，即可得出答案．【详解】∵a b c ∥∥，∴AB DEBC EF=，∵12AB BC =，∴12DE EF =．故选：B ．4．B【分析】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金分割点是解题的关键．根据题意可得::BP AP AP AB =，从而得到2(2)2AP AP =-´，即可求解．【详解】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，∴::BP AP AP AB =，2AP BP AB \=×，2AB =Q ，2(2)2AP AP \=-´，解得：1AP =-或1（舍去），故选：B ．5．A【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，由ABC V 与DEF V 是位似图形可得ABC DEF ∽△△，进而得到相似比为23∶，再根据相似三角形的性质即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．【详解】解：ABC V 与DEF V 是位似图形，点O 是位似中心，∴ABC DEF ∽△△，∵位似比为23∶，∴相似比为23∶，∴23ABCDEF C C =V V ∶∶，即423DEF C =V ∶∶，∴6DEF C =V ，故选：A ．6．B【分析】把()11,A y -，()22,B y ，()35,C y 代入二次函数26y x x c =-++中，比较1y ，2y ，3y 即可．【详解】∵点()11,A y -，()22,B y ，()35,C y 经过26y x x c =-++∴当1x =-时，1167c y c =--+=-+；当2x =时，24128c y c =-++=+；当5x =时，325305c y c =-++=+；∴231y y y >>故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握点在函数图象上的点．7．C【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出,COE BOF AOB COD V V V V ∽∽是解题关键．【详解】解：由题意得：,CE BF AB CD∥∥∴,COE BOF AOB COD V V V V ∽∽∴:::CE BF CO BO CD AB ==∵2m BF =，1m CE =．0.9m CD =∴1:20.9:AB =∴物体的高度AB 为1.8m 故选：C 8．A【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质．先根据对称性求出二次函数与x 轴的另一个交点，再根据图象法求解即可．【详解】解：∵二次函数2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，其与x 轴一交点为()50，，∴二次函数与x 轴的另一个交点为()10-，，∴由函数图象可知，当1x <-或5x >时，20y ax bx c =++<，∴不等式20ax bx c ++<的解集是1x <-或5x >，故选：A ．9．A【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．先通过证明A E Ð=Ð，再证明ADB ECD ÐV V ∽，最后得出11AD EC BE BC BEk AB BC BC BC-===-=-即可．【详解】解：AB AC =Q ，BCD ABC \Ð=Ð，CBD BAC Ð=ÐQ ，BDC ABD BAC ABD CBD ABC \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，BDC BCD \Ð=Ð，DB BC \=，DE DB =Q ，,DB BC DE CBD E \==Ð=Ð，A E \Ð=Ð，180,180ADB BDC ECD BCD Ð+Ð=°Ð+Ð=°Q ，ADB ECD Ð=ÐQ ，ADB ECD \ÐV V ∽，AD AB ABEC DE BC\==，11AD EC BE BC BEk AB BC BC BC-\===-=-．故选：A ．10．A【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据图象开口向下，可知0a <，根据左同右异可知0b >，再根据图象与y 轴交于正半轴可知0c >，从而可以判断①；再根据二次函数图象具有对称性，可以得到该函数经过点()1,0-，从而可以判断②；再根据对称轴可以判断③；然后根据二次函数的顶点坐标，可以判断④⑤．【详解】解：由图象可得，0a <，0b >，0c >，则0abc <，故①错误，不符合题意；对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为()3,0，则与x 轴的另一个交点为()1,0-，\当1x =-时，0y a b c =-+=，故②正确，符合题意；12b a-=，则20a b +=，故③正确，符合题意；若20ax bx c k ++-=有两个实数根，则4k ≤，故④正确，符合题意；由图象可知，当1x =时，该函数取得最大值4，2am bm c a b c \++≤++，即2am bm a b +≤+，故⑤正确，符合题意；由上可得，说法正确的有4个，故选：A ．11．35##0.6【分析】本题考查了比例的性质，分式化简求值，根据题意正确得出a 、b 的关系是解题关键．由已知可知32b a =，代入计算即可求值．【详解】解：∵23a b =， 32b a \=， 3322355223a a b a b a a a \===++，故答案为：35．12．4【分析】根据成比例线段列出比例式即可求解．【详解】解：∵线段c 是a 、b 的比例中项，∴a =2，8b =，∴216c ab ==，∴4c =（负值舍去）故答案为：4．【点睛】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题的关键．13．14∶【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可求解，熟记相似多边形的性质是解题的关键．【详解】解：∵相似多边形的相似比是12∶，面积比是相似比的平方，∴它们的面积比为14∶，故答案为：14∶．14．12【分析】本题考查了二次函数的应用，依题意令0h =，求出x 的值即可，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．【详解】解：由题意得，当0h =时，25600x x -+=，解得：10x =，212x =，∴足球从离地到落地的水平距离为12米，故答案为：12．15．1或3-或9【分析】本题考查二次函数的最值问题，先求出抛物线的对称轴为直线()824a x a -=-=-´-，分三种情况：当1a -≤-，即1a ³时，当11a -<-<，即11a -<<时，当1a -³，即1a ≤-时，结合二次函数的性质，进行求解即可．【详解】解：∵22482y x ax a a =---+，∴对称轴为直线()824a x a -=-=-´-，∵40-<，∴抛物线的开口向下，当1a -≤-，即1a ³时，∴当1x =-时，函数有最大值5，∴()2241825a a a -´-+-+=，整理得：21090a a -+=，解得：11a =或29a =；当11a -<-<，即11a -<<时，∴当x a =-时，函数有最大值5，∴()()224825a a a a a -´-+×--+=，整理得：213250a a -+=，()2241352560D =--´´=-<，∴此方程无解；当1a -³，即1a ≤-时，∴当1x =时，函数有最大值5，∴2241825a a a -´--+=，整理得：2690a a ++=，解得：343a a ==-；综上分析可知：a 的值为1或3-或9；故答案为：1或3-或9．16． 5 14##0.25【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形等知识，熟悉掌握相关的知识是解题的关键．（1）设AD a =，由勾股定理结合方程思想即可求出AD 的长；（2）证明DEF ABD △∽△，根据面积比等于相似比的平方即可求出面积之比．【详解】解：（1）当BE AC ^，9x =，3y =时；得90EFD Ð=°，9AF =，3EF =；设AD a =，则9DF a =-；由题意可得DE AD a ==；∴在Rt EFD V 中，由勾股定理可得；222DF EF DE +=；即()22293a a -+=；解得：5a =故答案为：5；（2）当BD BF =，27x y =时；∵BD BF =；∴BDF BFD Ð=Ð；又∵180ADB BDF =°-∠∠；180EFD BFD =°-∠∠；∴ADB EFD Ð=Ð；由题意可得A E Ð=Ð；∴EDF ABD V V ∽；∴AD AB BD EF ED DF==∵27x y =；∴72x y =；∴72AF EF =；∴设2EF n =，DF mn =，7AF n =；则()7AD ED m n==-∴()272m m n BF BD -==；∴()2472m m n AB BE +-==∴()()()2727472m nn m n m m n -=-+-；整理得：2221450m m -+=；解得：1152m =（不符合题意，舍去）；23m =；∴4ED n =，8AB n =；∴214DEF ABD S ED S AB æö==ç÷èøV V ；故DEF V 与ABD △的面积之比是：14故答案为：14．17．1-【分析】根据乘方，零指数幂，算术平方根的概念及负指数幂进行计算即可．【详解】原式111213=-++-23=-1=-．【点睛】本题考查了乘方，零指数幂，算术平方根的概念及负指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则．18．(1)见解析；(2)见解析．【分析】本题考查了网格作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）取格点D 、E ，连接AD ，DE ，EA ，根据网格和勾股定理可得AB ，BC ，AC ，AD ，DE ，AE 的长，则2AD DE AE AB BC AC===，即可得出结论；（2）取格点D E F G 、、、，连接BE ，AF ，DG ，DG 交BC 于点P ，由网格可知，DG AF BE ∥∥，13GC EC =，可证明CGP CEB V V ∽，得到13PC GC BC EC ==，即3BC PC =，所以2BP PC =．【详解】（1）解：取格点D 、E ，连接AD ，DE ，EA ，如图：由网格可知，1AB =，BC ==AC ==2AD =，D E ==，AE =，∴2AD DE AE AB BC AC===，∴ADE ABC △△∽，且相似比为2，则ADE V 即为所求；（2）解：取格点D E F G 、、、，连接BE ，AF ，DG ，DG 交BC 于点P ，如图：由网格可知，DG AF BE ∥∥，13GC EC =，∴CGP CEB V V ∽，∴13PC GC BC EC ==，∴3BC PC =，∴2BP PC =，则点P 即为所求．19．3【分析】由∠A =∠C ，∠AOB =∠COD 可得出△AOB ∽△COD ，利用相似三角形的性质可得出AB AO CD CO=，代入AO =4，CO =2，AB =6即可求出CD 的长．【详解】解：∵∠A =∠C ，∠AOB =∠COD ，∴△AOB ∽△COD ，∴AB AO CD CO=，即624CD =，∴CD =3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．20．(1)2(2)()2424y x =+-，顶点坐标为()2,4--．【分析】（1）根据二次函数的定义及性质即可求解；（2）由（1）所得k 的值可得二次函数解析式，再根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”可求出平移后的函数解析式，进而求出顶点坐标；本题考查了二次函数定义及性质，二次函数平移，掌握二次函数定义和性质是解题的关键．【详解】（1）解：()242kk y k x +-=+Q 是二次函数，且该二次函数的图象的顶点是最低点，242k k \+-=，且20k +>．解得2k =；（2）解：∵2k =，∴24y x =，∴原图象向左平移2个单位，向下平移4个单位后的表达式为()2424y x =+-，∴顶点坐标为()2,4--．21．(1)()21174126y x =--+(2)小红的球拍距地面（即CD ）5m 2时，球拍的上边缘正好与球接触【分析】本题考查二次函数的应用，解题关键是明确题意，再根据二次函数的图象与性质解题．（1）设顶点式，用待定系数法即可求解；（2）将6x =代入()21174126y x =--+即可求解．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：()21746y a x =-+，把点30,2P æöç÷èø代入，得：1731662a +=，解得：112a =-，()21174126y x \=--+；（2）解：当6x =时，得：()21171556412662y =-´-+==．答：小红的球拍距地面（即CD ）5m 2时，球拍的上边缘正好与球接触．22．(1)(2)AD =【分析】（1）根据30°的正切值得AC DC BC EC=，即可证明相似．（2）先证明90BAE Ð=°，进而求出10BE =，再根据ACD BCE △△∽得出=AD AC DC BE BC EC ==AD ==【详解】（1）∵90ACB DCE Ð=Ð=°∴ACD BCEÐ=Ð∵=30ABC CED Ð=Ð=°∴tan AC ABC BC Ð==tan =DC CED EC =∠∴AC DC BC EC=∴ACD BCE△△∽（2）∵由（1），ACD BCE△△∽∴=AD AC DC BE BC EC =∵=30ABC CED CAE Ð=Ð=а∴60BAC Ð=°∴90BAE Ð=°∵3AC =，=30ABC а∴26AB AC ==∵8AE =∴BE =∴AD ==【点睛】本题考查相似三角形的判定、特殊角三角函数值及勾股定理，根据特殊角得出对应线段成比例是解题关键．23．（1）见解析；（2）12；（3【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质．（1）根据EG BD ∥，可得AEG ABD △∽△，从而得到EG AG BD AD =，同理GF AG DC AD=，进而得到EG GF BD DC =，即可；（2）根据EF BC ∥，可得30C AFE Ð=Ð=°，EFB FBD Ð=Ð，再由EF 、BF 恰好将AFD Ð三等分，可得到DF BD =，再由直角三角形的性质可得12DF DC =，从而得到12BD DC =，即可；（3）过E 作BC 的平行线，分别交AB 、AC 于G 、H ．可得AGH V 也是等边三角形，从而得到BG CH =，再证得GEB HCE ∽V V ，可得2GE EH BG ×=，由（1）和4BD DC =，得4GE BD EH DC==，设EH a =，则4GE a =．可得2BG CH a ==，7AC BC a ==，然后根据GEB EBC ∽V V ，可得BE =，即可．【详解】（1）∵EG BD ∥，∴AEG ABD △∽△，∴EG AG BD AD=，同理GF AG DC AD =，∴EG GF BD DC =，∴EG BD GF DC=；（2）∵EF BC ∥，∴30C AFE Ð=Ð=°，EFB FBD Ð=Ð，∵EF 、BF 恰好将AFD Ð三等分，∴30EFB BFD AFE Ð=Ð=Ð=°，333090AFD AFE Ð=Ð=´°=°∴1801809090CFD AFD Ð=°-Ð=°-°=°，∵EFB FBD Ð=Ð，EFB BFD Ð=Ð，∴FBD BFD Ð=Ð，∴DF DB =，∵在Rt DFC △中，30C Ð=°，∴12DF CD =，∴12BD DF CD ==，∴12BD DC =，根据（1）得，12EG BD FG DC ==；（3）过E 作BC 的平行线，分别交AB 、AC 于G 、H ．∵ABC V 是等边三角形，∴60ABC ACB BAC Ð=Ð=Ð=°，AB AC =，∵GH BC ∥，∴60AGH ABC Ð=Ð=°，60AHG ACB Ð=Ð=°，180********BGH ABC Ð=°-Ð=°-°=°，180********CHG ACB Ð=°-Ð=°-°=°∴120BGH CHE Ð=Ð=°，∴180********GEB GBE EGB Ð+Ð=°-Ð=°-°=°，∵120CEB Ð=°，∴180********GEB HEC CEB Ð+Ð=°-Ð=°-°=°，∴GBE HEC Ð=Ð，∴GEB HCE ∽V V ，∴GE BG HC EH=，∵60AGH AHG GAH Ð=Ð=Ð=°，∴AGH V 是等边三角形，∴AG AH =，∴AB AG AC AH -=-，即BG CH =，∴GE BG BG EH=，∴2BG GE EH =×，∵由（1）有GE BD EH DC =，又4BD DC =，∴4GE BD EH DC==设EH a =，则4GE a =．∴2244BG GE EH a a a =×=×=，∴2CH BG a ==，在等边AGH V 中，45AG GH GE EH a a a ==+=+=，∴527AC BC AB AG GB a a a ===+=+=．∵GH BC ∥，∴GEB EBC Ð=Ð，∵120BGE CEB Ð=Ð=°，∴GEB EBC ∽V V ，∴EG BE BE BC=，即224728BE EG BC a a a =×=×=，∴BE =，∴BE BC =24．(1)224233y x x =-++；(2)当35,22P æöç÷èø时，PCB V 面积最大，最大值为94；(3)存在，点Q 的坐标为32ö-÷÷ø或32ö-÷÷ø或32ö÷÷ø或32ö÷÷ø或377,242æöç÷èø．【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，一次函数的性质，菱形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）求出点B 、C 的坐标，由4AB =可得点A 的坐标，利用待定系数法即可求解；（2）设点224,233P m m m æö-++ç÷èø，过点P 作x 轴的垂线交直线CB 于点H ，2,23H m m æö-+ç÷èø，可得2224222223333PH m m m m m æö=-++--+=-+ç÷èø，根据二次函数的最值即可求解；（3）分三种情况画出图形，根据菱形的性质即可求解．【详解】（1）解：直线223y x =-+，令0x =，得2y =，令0y =得2203x -+=，解得：3x =，()3,0B \，()0,2C ，()1,0A \-，将()1,0A -，()3,0B ，()0,2C 代入2y ax bx c =++得，09302a b c a b c c -+=ìï++=íï=î，解得：23432a b c ì=-ïïï=íï=ïïî，∴抛物线的解析式为：224233y x x =-++；（2）解：设点224,233P m m m æö-++ç÷èø，如图，过点P 作x 轴的垂线交直线CB 于点H ， 2,23H m m æö\-+ç÷èø，2224222223333PH m m m m m æö=-++--+=-+ç÷èø，∵点P 为BC 上方抛物线上一点，03m \<<，2213223223PCB B C S PH x x m m m m æö=-=-+=-+ç÷èøV Q ，∴当32m =时，PCB V 面积的最大值为94，∴35,22P æöç÷èø；（3）解：存在，由（2）知32m =时，353,,,1422E F æöæö-ç÷ç÷èøèø，EF \==①线段EF 为菱形的边，四边形EFQS 为菱形时，如图，ES EF \=，，s \=S ö\÷÷ø或ö÷÷ø，∵四边形EFQS 为菱形，点F 的坐标可由点E 向右平移94个单位长度，向下平移32个单位长度得到，∴点Q 可由点S 向右平移94个单位长度，向下平移32个单位长度得到，32Q ö\-÷÷ø或32ö-÷÷ø；②线段EF 为菱形的边，四边形EQSF 为菱形时，如图，FS EF \=，=S \=，S ö\÷÷ø或ö÷÷ø，∵四边形EQSF 为菱形，点E 的坐标可由点F 向左平移94个单位长度，向上平移32个单位长度得到，∴点Q 可由点S 向左平移94个单位长度，向上平移32个单位长度得到，32Q ö\÷÷ø或32ö÷÷ø；③线段EF 为菱形的对角线，四边形EQFS 为菱形时，如图，ES FS \=，1924s \=-设(,)Q p q ，19332442p \-=-+，解得：3724p =，5012q +=+，解得：72q =，377,242Q æö\ç÷èø，综上所述，存在，点Q 的坐标为32ö-÷÷ø或32ö-÷÷ø或32ö÷÷ø或32ö÷÷ø或377,242æöç÷èø．。

江苏省南京市南京一中2023~2024学年九年级上学期10月月考数学试卷一．选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．下列方程是一元二次方程的是 A ． B ．C ． D．2．用配方法解方程，下列配方正确的是 A ．B ．C ．D ．3．平面内，若的半径为2，在 A ．内B ．上C ．外D ．内或外4．用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形 A ．B ．C ．D ．5．若，是方程的两个实数根，则的值为 A ．2021B ．2023C ．D ．40466．如图，为直径，为圆上一点，为 内心，交于， 于，若，则为 ABC ．D ．5二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．一元二次方程的根是 ．8．如图，是的直径，、在上，若，则的度数为 ．()221(1)(1)x x x x -+=+-20ax bx c ++=20x =2111x x+=2420x x -+=()2(2)6x -=2(2)2x +=2(2)2x -=-2(2)2x -=O OP =P (O )()αβ2220230x x +-=23ααβ++()2025AB O C I ABC ∆AI O D OI AD ⊥I 4CD =AC ()230x x -=AB O C D O 70ABC ∠=︒D ∠︒9．如图，为的直径，弦于点，若，，则的长为 ．10．关于的一元二次方程的一个根为0，则 ．11．如图，、分别与相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若长为2，则的周长是 ．12．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种农作物的产量两年内从300千克增加到363千克，则平均每年增产的百分率为 ．13．如图，的两条弦和相交于点，若弧、弧的度数分别为、，则的度数为 ．14．如图，圆是四边形的内切圆，若，则 ．15．在半径为5的圆内有长为的弦，则此弦所对圆周角的度数为 ．AB O CD AB ⊥E 10AB =2EB =CD x 22(1)10a x ax a +-+-=a =PA PB O A B O EF PA PB E F C AB PA PEF ∆O AB CD P AC BD 60︒40︒APC ∠O ABCD 118BOC ∠=︒AOD ∠=16．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ．三．解答题（本大题共10小题，共88分）17．解下列一元二次方程：（1）； （2）；（3）； （4）．18．已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）若中，，，的长是方程的两根，求的长．19．如图，是的弦，点、在弦上，且．求证：．Rt ABC ∆90C ∠=︒3BC =4AC =D E AC BC 3DE =DE AB M N MN 2(1)4x -=2430x x -+=(2)5(2)x x x +=+(21)(3)4x x -+=x 2420kx x -+=k ABC ∆2AB AC ==AB BC 2420kx x -+=BC AB O C D AB OC OD =AC BD =20．如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的的面积为96平方米，求、边各为多少米．21．某药店在口罩销售中发现：一款进价为10元盒的口罩，销售单价为16元盒时，每天可售出60盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价1元，则每天可多售出30盒，设每盒降价元，为整数）．（1）为了尽快减少库存，当每盒降价多少元时，每天可盈利450元？（2）在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润．22．用一个直角边长分别为3和4的直角纸片剪半圆，要求剪出的半圆的直径在的边上，且半圆的弧与另两边都相切，请用尺规作出示意图，并求出相应半圆的半径．23．若关于的方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程的两个根是，，则方程是“隔根方程”．（1）方程是“隔根方程”吗？判断并说明理由；（2）若关于的方程是“隔根方程”，求的值．ABCD AB BC //x (06x <<x ABC ∆ABC ∆AB x 20x bx c ++=220x x +=10x =22x =-220x x +=2200x x --=x 210x mx m ++-=m24．如图，在中，，以为直径作交于点，交于点，连接．（1）求证：；（2）连接，，当 时，四边形为菱形；（3）若，，则 ．25．如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接．（1）求证：直线与相切．（2）若，，求的长．ABC ∆AB AC =AB O BC D AC E DE DE DC =OD OE BAC ∠=ODCE 10AB =4CE =DE =AB O D O CD BA C O //OE AD CD E BE BE O 4CA =6CD =BE26．【问题提出】我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？【初步思考】（1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则 ， ；（2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为 ；（用的代数式表示）【问题解决】（3）如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）；【实际应用】（4）如图4，在边长为12的等边三角形中，点、分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点从点运动到点时，的最小值是 ．AB O 100AOB ∠=︒1P 2P AB AB 1APB ∠=︒2AP B ∠=︒AB O (180)AOB m m ∠=︒<︒P O A B AB APB ∠m AB C AB 135ACB ∠=︒C (ABC E F AC BC AF BE P AE CF =E A C PC江苏省南京市南京一中2023~2024学年九年级上学期10月月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列方程是一元二次方程的是 A ． B ．C ． D ．【考点】：一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可 ．【解答】解：、原方程可化为，是一元一次方程， 故本选项错误；、若，则此方程是一元一次方程， 故本选项错误；、符合一元二次方程的定义， 故本选项正确；、是分式方程， 故本选项错误 ．故选：．【点评】本题考查的是一元二次方程的定义， 即只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程 ．2．用配方法解方程，下列配方正确的是 A ．B ．C ．D ．【考点】解一元二次方程配方法【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程左右两边同时加上4，然后把方程左边写成完全平方式的形式即可．【解答】解：，，，．故选：．【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．3．平面内，若的半径为2，在 ()221(1)(1)x x x x -+=+-20ax bx c ++=20x =2111x x+=1A A 220x -+=B 0a =C D C 2420x x -+=()2(2)6x -=2(2)2x +=2(2)2x -=-2(2)2x -=-2420x x -+=242x x -=-24424x x -+=-+2(2)2x -=D -O OP =P (O )A ．内B ．上C ．外D ．内或外【考点】：点与圆的位置关系【分析】根据半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内，可得答案．【解答】解：由题意得，．，点在内，故选：．【点评】本题考查了点与圆的位置关系．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．4．用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形 A ．B ．C ．D ．【考点】圆周角定理【分析】由半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．即可求得答案．【解答】解：的圆周角所对的弦是直径，选项是半圆环形．故选：．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记的圆周角所对的弦为直径是解题的关键．5．若，是方程的两个实数根，则的值为 A ．2021B ．2023C ．D ．4046【考点】根与系数的关系【分析】由是方程的根可得，由，是方程的两个实数根可得，进而求解．8M r d d r >d r =d r <d =2r =d r < ∴P O A r d d r >d r =d r <()90︒90︒ B ∴B 90︒αβ2220230x x +-=23ααβ++()2025α222023αα+=αβ2αβ+=-【解答】解：，是方程的两个实数根，，即，且，．故选：A ．【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握，通过整体思想求解．6．如图，为直径，为圆上一点，为 内心，交于， 于，若，则为 ABC ．D ．5【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理【分析】连接、、，由已知可得，进而可证，勾股定理计算，连接交于点，则，设，利用求，再利用勾股定理求即可．【解答】解：连接、、，为 内心，，，，，，，，，，连接交于点，则，设，则，α β2220230x x +-=2220230αα∴+-=222023αα+=2αβ+=-2232202322021ααβαααβ∴++=+++=-=12b x x a+=-AB O C IABC ∆AI OD OI AD ⊥I 4CD =AC ()BD CD BI 4BD CD ==4ID BD ==AB OD BC E OD BC ⊥DE x =2222OB OE BD DE -=-x AC BD CD BI I ABC ∆BAD CAD ∴∠=∠ABI CBI ∠=∠∴ BDCD =4BD CD ∴==DBI DBC CBI DAC CBI DAB ABI BID ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠ 4ID BD ∴==OI AD ⊥ 28AD ID ∴==AB ∴===OD BC E OD BC ⊥DE x =12OE AB x x =-=-，，解得：，，为直径，，故选：．【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，三垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等知识点的应用，正确作出辅助线后求出是解此题的关键，有一定的难度．二．填空题（共10小题）7．一元二次方程的根是 ．【考点】解一元二次方程因式分解法【分析】用配方法求解即可．【解答】解：，，，，故答案为：，，．【点评】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的方法和步骤．8．如图，是的直径，、在上，若，则的度数为 20　．2222OB OE BD DE -=- 2222)4x x ∴--=-x =BE ∴===2BC BE ∴==AB O 90ACB ∴∠=︒AC ∴===A 2AD BD =230x x -=-230x x -=(3)0x x -=10x =23x =10x =23x =AB O C D O 70ABC ∠=︒D ∠︒【考点】圆周角定理【分析】由为直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，根据题意即可求得的度数，然后由同弧所对的圆周角相等，即可求得的度数．【解答】解：为直径，，，，．故答案为：20．【点评】此题考查了圆周角的性质．注意直径所对的圆周角是直角与同弧所对的圆周角相等．9．如图，为的直径，弦于点，若，，则的长为 ．．【考点】：垂径定理【分析】连接，根据题意得出，再由垂径定理知，点是的中点，，在直角中，由勾股定理得出，从而得出的长．【解答】解：连接，为的直径，，，在中，，，，，，，，故答案为8．AB O 90ACB ∠=︒A ∠D ∠AB O 90ACB ∴∠=︒70ABC ∠=︒ 907020A ∴∠=︒-︒=︒20D A ∴∠=∠=︒AB O CD AB ⊥E 10AB =2EB =CD 2M OC 5OC =E CD 12CE CD =OCE ∆CE CD OC AB O AB CD ⊥12CE DE CD ∴==Rt OCE ∆222OC OE CE =+2BE = 10AB =5OC ∴=3OE =4CE ∴=8CD ∴=【点评】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理的内容是解题的关键．10．关于的一元二次方程的一个根为0，则　1　．【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义【分析】把代入方程中得：，从而可得：，然后再根据一元二次方程的定义可得，从而可得，即可解答．【解答】解：把代入方程中得：，解得：，，，，故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的解，以及的一元二次方程的定义是解题的关键．11．如图，、分别与相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若长为2，则的周长是　4　．【考点】：切线的性质【分析】由切线长定理知，，，，然后根据的周长公式即可求出其结果．【解答】解：、分别与相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，，，，的周长．x 22(1)10a x ax a +-+-=a =0x =22(1)10a x ax a +-+-=210a -=1a =±10a +≠1a ≠-0x =22(1)10a x ax a +-+-=210a -=1a =±10a +≠ 1a ∴≠-1a ∴=PA PB O A B O EF PA PB E F C AB PA PEF ∆MC AE CE =FB CF =2PA PB ==PEF ∆PA PB O A B O EF PA PB E F CAB AE CE ∴=FB CF =2PA PB ==PEF ∴∆4PE EF PF PA PB =++=+=故填空答案：4．【点评】本题主要利用了切线长定理求解，比较简单．12．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种农作物的产量两年内从300千克增加到363千克，则平均每年增产的百分率为 ．【考点】一元二次方程的应用【分析】可先表示出第一年的产量，那么第二年的产量增长率），把相应数值代入即可求解．【解答】解：第一年的产量为，第二年的产量在第一年产量的基础上增加，为，则列出的方程是．解得：，（舍去）故答案为：．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握题目中的等量关系是解答本题的关键．13．如图，的两条弦和相交于点，若弧、弧的度数分别为、，则的度数为 ．【考点】：圆心角、弧、弦的关系；：圆周角定理【分析】连接，根据三角形的外角的性质、圆周角定理计算即可【解答】解：连接，的度数，．故答案为．10%(1⨯+363=300(1)x ⨯+x 300(1)(1)x x ⨯+⨯+2300(1)363x +=10.1x =2 2.1x =-10%O AB CD P AC BD 60︒40︒APC ∠50︒4M 5M AD AD 1()2APC BAD ADC BD AC ∠=∠+∠=⨯+ 1(4060)502APC ∴∠=︒+︒=︒50︒【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角的性质，掌握圆周角定理和三角形的外角的性质定理是解题的关键．14．如图，圆是四边形的内切圆，若，则 ．【考点】三角形的内切圆与内心；多边形内角与外角【分析】先根据切线长定理得到，，，，再利用三角形内角和计算出，则，接着利用四边形内角和计算出，所以，然后根据三角形内角和计算的度数．【解答】解：圆是四边形的内切圆，平分，平分，平分，平分，，，，，，，，，．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点；三角形的内心到三角形三边的距离相等．也考查了切线的性质和切线长定理．15．在半径为5的圆内有长为的弦，则此弦所对圆周角的度数为　或　．【考点】圆心角、弧、弦的关系【分析】根据题意画出相应的图形，由，利用垂径定理得到为的中点，由的长求出与的长，且得出为角平分线，在中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出O ABCD 118BOC ∠=︒AOD ∠=62︒112ABC ∠=∠122BCD ∠=∠132ADC ∠=∠142BAD ∠=∠1262∠+∠=︒124ABC BCD ∠+∠=︒236BAD ADC ∠+∠=︒34118∠+∠=︒AOD ∠ O ABCD OA ∴ABC OC BCD ∠OD ADC ∠OA BAD ∠112ABC ∴∠=∠122BCD ∠=∠132ADC ∠=∠142BAD ∠=∠1218018011862BOC ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒ 2(12)262124ABC BCD ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒360()360124236BAD ADC ABC BCD ∠+∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒ 1134()23611822BAD ADC ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒180(34)18011862AOD ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒62︒60︒120︒OD AB ⊥D AB AB AD BD OD Rt AOD ∆的度数，进而确定出的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可求出弦所对圆周角的度数．【解答】解：如图所示，，为的中点，即，在中，，又为锐角，，，，又圆内接四边形对角互补，，则此弦所对的圆周角为或．故答案为或【点评】此题考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数定义，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．16．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为 ．【考点】直线与圆的位置关系AOD ∠AOB ∠AB OD AB ⊥ D ∴AB AD BD ==Rt AOD ∆5OA =AD =sin AOD ∴∠==AOD ∠ 60AOD ∴∠=︒120AOB ∴∠=︒1602ACB AOB ∴∠=∠=︒ AEBC 120AEB ∴∠=︒60︒120︒60︒120︒Rt ABC ∆90C ∠=︒3BC =4AC =D E AC BC 3DE =DE AB M N MN 125【分析】如图，连接，作于，于．由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可．【解答】解：如图，连接，作于，于．，，，，，，欲求的最大值，只要求出的最小值即可，，点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，在中，，，，，，当，，共线，且与重合时，的值最小，的最小值为，的最大值，故答案为．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．OM OH AB ⊥H CK AB ⊥K 2MN MH ==32OM =MN OH OM OH AB ⊥H CK AB ⊥K OH MN ⊥ MH HN ∴=2MN MH ∴==90DCE ∠=︒ OD OE =32OC OD OE OM ∴====∴MN OH 32OC = ∴O C 32Rt ACB ∆3BC = 4AC =5AB ∴= 1122AB CK AC BC ⋅⋅=⋅⋅125CK ∴=C O H CK OH OH ∴12395210-=MN ∴125==125三．解答题（共10小题）17．解下列一元二次方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【考点】解一元二次方程配方法；解一元二次方程直接开平方法；解一元二次方程因式分解法【解答】解：（1），，所以，；（2），，所以，；（3），，或，所以，；（4），，，所以，．【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解一元二次方程．18．已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）若中，，，的长是方程的两根，求的长．【考点】解一元二次方程因式分解法；根的判别式；三角形三边关系2(1)4x -=2430x x -+=(2)5(2)x x x +=+(21)(3)4x x -+=---2(1)4x -=12x -=±13x =21x =-2430x x -+=(3)(1)0x x --=13x =21x =(2)5(2)x x x +=+(2)(5)0x x +-=20x +=50x -=12x =-25x =(21)(3)4x x -+=22570x x +-=(1)(27)0x x -+=11x =272x =--x 2420kx x -+=k ABC ∆2AB AC ==AB BC 2420kx x -+=BC -【分析】（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△，建立关于的不等式，即可求出的取值范围．（2）由于是方程，所以可以确定的值，进而再解方程求出的值．【解答】解：（1）方程有实数根，△，解得：，又因为是二次项系数，所以，所以的取值范围是且．（2）由于是方程，所以把代入方程，可得，所以原方程是：，解得：，，所以的值是．【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，容易出现的错误是忽视根的判别式应用的前提条件：二次项系数．19．如图，是的弦，点、在弦上，且．求证：．【考点】：垂径定理【分析】过点作，垂足为，由垂径定理可知，再由可判断出是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知，进而可求出答案．【解答】证明：过点作，垂足为，（1分），（2分），且，，（4分），．（6分）240b ac =-…k k 2AB =2420kx x -+=k BC ∴224(4)421680b ac k k =-=--⨯⨯=-…2k …k 0k ≠k 2k …0k ≠2AB =2420kx x -+=2x =32k =23840x x -+=12x =223x =BC 230k ≠AB O C D AB OC OD =AC BD =2M O OH AB ⊥H AH BH =OC OD =OAD ∆CH DH =O OH AB ⊥H AH BH ∴=OC OD = OH CD ⊥CH DH ∴=AH CH BH DH ∴-=-AC BD ∴=【点评】本题考查的是垂径定理及等腰三角形的判定及性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．20．如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的的面积为96平方米，求、边各为多少米．【考点】一元二次方程的应用【分析】设为米，然后表示出的长为米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．【解答】解：设为米，则为米，解得：，当时（不合题意，舍去）当时．答：米，米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长．21．某药店在口罩销售中发现：一款进价为10元盒的口罩，销售单价为16元盒时，每天可售出60盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价1元，则每天可多售出30盒，设每盒降价元，为整数）．（1）为了尽快减少库存，当每盒降价多少元时，每天可盈利450元？（2）在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润．【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用【分析】设每盒降价元，为整数），则利润也将元，根据利润等于每盒的利润乘以数量，列出一元二次方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）设每盒降价元，为整数），根据题意得，，ABCD AB BC AB x BC (363)x -AB x BC (363)x -(363)96x x -=14x =28x =4x =3632420x -=>8x =36312x -=8AB =12BC =//x (06x <<x x (06x <<x x x (06x <<x (1610)(6030)450x x --+=解得：，，尽快减少库存，，答：为了尽快减少库存，当每盒降价3元时，每天可盈利450元；（2）设每盒降价元，为整数），利润为元，根据题意得，，当时，取得最大值，最大值为480，答：每盒降价2时，可取得最大利润，此时最大利润为480元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出一元二次方程，函数关系式是解题的关键．22．用一个直角边长分别为3和4的直角纸片剪半圆，要求剪出的半圆的直径在的边上，且半圆的弧与另两边都相切，请用尺规作出示意图，并求出相应半圆的半径．【考点】切线的性质【分析】根据切线的性质得到，，根据三角形的面积公式求出半圆的半径．【解答】解：如图，作的平分线交于，则点为所要剪出的半圆的圆心，设半圆与、切于、，连接、，则，，设半圆的半径为，则，解得：，答：半圆的半径为．11x =23x = 3x ∴=x (06x <<x y 22(1610)(6030)3012036030(2)480y x x x x x =--+=-++=--+300-< ∴2x =y ABC ∆ABC ∆AB OE AC ⊥OF BC ⊥ACB ∠AB O O AC AB E F OE OF OE AC ⊥OF BC ⊥r 1113434222r r ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯127r =127【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．23．若关于的方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程的两个根是，，则方程是“隔根方程”．（1）方程是“隔根方程”吗？判断并说明理由；（2）若关于的方程是“隔根方程”，求的值．【考点】解一元二次方程因式分解法【分析】（1）不是，利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为，，二者做差后可得出，进而可得出方程不是“隔根方程”；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为，，结合关于的方程是“隔根方程”，可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出的值．【解答】解：（1）不是，理由如下：，即，，．，方程不是“隔根方程”．（2），即，，．又关于的方程是“隔根方程”，，解得：或．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法求出一元二次方程的两个根是解题的关键．24．如图，在中，，以为直径作交于点，交于点，连接．（1）求证：；（2）连接，，当 时，四边形为菱形；（3）若，，则 ．x 20x bx c ++=220x x +=10x =22x =-220x x +=2200x x --=x 210x mx m ++-=m -15x =24x =-5(4)92--=≠2200x x --=11x =-21x m =-x 210x mx m ++-=m m 2200x x --= (5)(4)0x x -+=15x ∴=24x =-5(4)92--=≠ ∴2200x x --=210x mx m ++-= (1)[(1)]0x x m ++-=11x ∴=-21x m =- x 210x mx m ++-=|1(1)|2m ∴---=0m =4m =ABC ∆AB AC =AB O BC D AC E DE DE DC =OD OE BAC ∠=60︒ODCE 10AB =4CE =DE =【考点】圆的综合题【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得出底角相等，设，由题意求出即可证明；（2）若四边形为菱形，求证 为等边三角形即可．（3）连接，，根据勾股定理，即可求出．【解答】（1）证明：，，设，在圆内接四边形中，，，，，（2）解：若四边形为菱形，则．．同理，．．．为等边三角形．．故答案为：．（3）解：如图，连接，，B C α∠=∠=DEC a ∠=ODCE AOE ∆BE AD BE BC DE AB AC = B C ∴∠=∠B C α∠=∠=ABDE 180180AED B α∠=︒-∠=︒-180180(180)DEC AED αα∴∠=︒-∠=︒-︒-=DEC C ∴∠=∠DE DC ∴=ODCE //OE BC AOE B α∴∠=∠=AEO C α∠=∠=AOE AEO ∴∠=∠AO AE ∴=AO AE OE ∴==AOE ∴∆60BAC ∴∠=︒60︒BE 10AB AG ==．在 中，，在 中，连接，则．．在 中，故答案为：．【点评】本题考查与圆有关的性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题关键．25．如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接．（1）求证：直线与相切．（2）若，，求的长．【考点】直线与圆的位置关系；切线的判定与性质【分析】（1）根据平行线的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定方法可得，进而得到即可；（2）根据勾股定理和相似三角形的性质可得答案．【解答】（1）证明：如图，连接，是的切线，是切点，，即，，，，又，，，1046AE ∴=-=Rt ABE ∆8BE ==Rt BEC ∆BC ==AD AD BC ⊥BD CD ∴=Rt BEC ∆2BC DE ==AB O D O CD BA C O //OE AD CD E BE BE O 4CA =6CD =BE DOE BOE ∆≅∆OB BE ⊥OD CD O D OD CD ∴⊥90ODE ODC ∠=∠=︒//AD OE ODA DOE ∴∠=∠DAO EOB ∠=∠OA OD = ODA OAD ∴∠=∠DOE BOE ∴∠=∠又，，，，即，是半径，是的切线；（2）解：设半径为，则，在中由勾股定理得，，即，解得，，，，，即，解得．【点评】本题考查切线的判定，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．26．【问题提出】我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？【初步思考】OD OB = OE OE =()DOE BOE SAS ∴∆≅∆90OBE ODE ∴∠=∠=︒OB BE ⊥OB BE ∴O r 4OC r =+Rt COD ∆222OD CD OC +=2226(4)r r +=+52r =90ODC EBC ∠=∠=︒ C C ∠=∠ODC EBC ∴∆∆∽∴OD CD BE BC=56254BE =+154BE =（1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则　50　， ；（2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为 ；（用的代数式表示）【问题解决】（3）如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）；【实际应用】（4）如图4，在边长为12的等边三角形中，点、D 分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点从点运动到点时，的最小值是 ．【考点】圆的综合题【分析】（1）根据圆周角定理计算的度数，然后根据圆内接四边形的性质求的度数；（2）与（1）的求法一样（注意分类讨论）；（3）先作的垂直平分线得到的中点，再以为直径作圆交的垂直平分线于，然后以点为圆心，为半径作，则在内的弧为满足条件的点所组成的图形；（4）由等边三角形的性质证明可以得出，点的路径是一段弧，由题目不难看出当为的中点的时候，点经过弧的中点，此时为等腰三角形，且，由弧AB O 100AOB ∠=︒1P 2P AB AB 1APB ∠=︒2AP B ∠=︒AB O (180)AOB m m ∠=︒<︒P O A B AB APB ∠m AB C AB 135ACB ∠=︒C (ABC E AC BC AD BE P AE CD =E A C PC 1APB ∠2AP B ∠AB AB P AB AB O O OA O O P C AEB CFA ∆≅∆AE CF =P E AC P AB ABP ∆30ABP BAP ∠=∠=︒线长公式就可以得出结论．【解答】解：（1），．故答案为：50，130；（2）当在优弧上时，；当在劣弧上时，；（3）如图劣弧（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形；（4）【解答】解：∵CD ＝AE ，∴BD ＝CE ，在△ABD 和△BCE 中，，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），故∠BAD ＝∠CBE ，∵∠APE ＝∠ABE +∠BAD ，∠APE ＝∠BPD ，∠ABE +∠CBE ＝60°，∴∠BPD ＝∠APE ＝∠ABC ＝60°，∴∠APB ＝120°，∴点P 的运动轨迹是，∠AOB ＝120°，连接CO ，∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，OC ＝OC ，∴△AOC ≌△BOC （SSS ），∴∠OAC ＝∠OBC ，∠ACO ＝∠BCO ＝30°，∵∠AOB +∠ACB ＝180°，∴∠OAC +∠OBC ＝180°，∴∠OAC ＝∠OBC ＝90°，∴∴OC ＝2OB =OP ＝∵PC ≥OC ﹣OP ，∴PC ≥，∴PC 的最小值为．1111005022APB AOB ∠=∠=⨯︒=︒218018050130AP B APB ∠=︒-∠=︒-︒=︒P AB 1?()22m A PB AOB ∠=∠=︒P AB ?180(2m A PB ∠=︒-︒AB A B C OB ==【点评】本题主要考查圆周角定理、圆内角四边形性质、等边三角形的性质的运用、全等三角形的判定及性质的运用、弧线长公式的运用，解题关键是证明三角形全等，本题还考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．。

49中学校初四10月月考数学试卷 .10.9一、选择题（每小题 3分，共计 30分）1．下列实数中，无理数是（ ） A. 4.5 B. 22 C. D. 13 2. 下列运算中，正确的是( )A. 3a+5b=15abB.(a 2)3=a 9C.a 6-a 2=a 4D. 2a ×3a=6a 23.如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB 的值是( )． A.23 B.35 C.34 D.454.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠A =40 º，则∠B的度数为（ ）A ．80 ºB ．60 ºC ．50 ºD ．40 º 5.如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=55º，则∠BCD 的度数为（ ）A 、35ºB 、45ºC 、55ºD 、75º6.如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上，=，∠AOB=60°，则∠BDC 的度数是（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°7.如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC ＝160°，则∠ADC 的度数是（ ）A ．80°B ．160°C ．100°D ．80°或100°8.如图,AB 是⊙O的弦,BC 与⊙O相切于点B,连结OA 、OB.若∠ABC=70°,则∠A等于( )A.15°B.20°C.30°D.70°9. 如图.在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为( )A.αcos 5B.αcos 5C.αsin 5D.αsin 5 10．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ，则下列结论中错误的是（ ） A.DH CH FH BH = B.GE CG FD CB = C.AF HG CE CG = D. FH BF AG FA= 二.填空题（每题3分，共30分） 11. 将00000用科学计数法表示为_______________.12. 在函数y=x 23x +中，自变量x 的取值范围是 ． 第9题图 H G D A B C F E第10题图 第4题OB C 第3题图C A13. 889________________. 14. 如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ．若AB=23 ，0C=1，则半径OB 的长为_______． 15. 如图，点A 、B 、C 在圆O 上，∠A =60°，则∠BOC = 度．16. 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，若tanA=3，AB=10，则BC=17.如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB=6，点C 是优弧AB 上一点（不与A 、B 重合），则cos C 的值为 .18.若一个扇形的面积为6π平方米，弧长为2π米，则这个扇形的圆心角度数为___ °19.半径为1的⊙O 中，弦AB=2，弦AC=3，则∠BAC= ．20.如图，△ABC 中，∠ABC=60°，CD ⊥AB 于点D ，AF=FC ，E 是BC 边上一点， 且∠EDF=60°，若BE=4，CE=6，则AC= .三.解答题（21-22题每题7分，23-24题每题8分，25-27题每题10分，共60分）21. 先化简，再求代数式1112112+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---+a a a a 的值，其中︒+︒=45tan 60sin 2a . 22.如图，每个小正方形的边长都是1的方格纸中，有线段AB 和线段CD ，点A 、B 、C 、D 的端点都在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出一个以线段AB 为一边的菱形ABEF ，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上，并且其面积为20．（2）在方格纸中以CD 为腰画出等腰三角形CDK ，点K 在小正方形的顶点上，且∠KCD=45°． （3）在（1）、（2）的条件下，连接EK ，请直接写出线段EK 的长．23．如图，在一笔直的海岸线上有A 、B 两上观测站，A 在B 的正东方向，BP=62（单位：km ）.有一艘小船停在点P 处，从A 测得小船在北偏西60°的方向，从B 测得小船在北偏东45°的方向.（1）求A 、B 两观测站之间的距离；（2）小船从点P 处沿射线AP 的方向进行沿途考察，求观测站B 到射线AP 的最短距离。

河北省邯郸市临漳县2024-—2025学年上学期10月月考九年级数学试题一、单选题1．根据表格，判断关于x 的方程()230ax bx c a ++=≠的一个解的范围是（）x1.1 1.2 1.3 1.42ax bx c ++0.59-0.842.293.76A ．1.1 1.2x <<B ．1.2 1.3x <<C ．1.3 1.4x <<D ．0.590.84x <<2．利用公式法解一元二次方程22510x x +-=可得两根为1x 、2x ，且12x x <，则1x 的值为（）A B C D 3．若关于x 的一元二次方程x 2+6x +c ＝0配方后得到方程（x +3）2＝2c ，则c 的值为（）A ．﹣3B ．0C ．3D ．94．若实数k 、b 是一元二次方程(3)(1)0x x +-=的两个根，且k b >，则一次函数y kx b =+的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知a ，b ，c 为常数，点(,)P a c 在第四象限，则关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根的情况为（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判定6．如图，F 是正方形ABCD 对角线B 上一点，连接AF ，C ，并延长C 交B 于点E ，若150AFC ∠=︒，则DEC ∠的度数为（）A ．60︒B ．75︒C ．70︒D ．65︒7．如图，剪两张等宽且对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD ，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）A ．四边形ABCD 周长不变B ．AB BC =C ．四边形ABCD 面积不变D ．AC BD=8．某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在Rt ABC △中，6AB =，点M 是斜边BC 的中点，以AM 为边作正方形AMEF ，若36AMEF S =正方形，则ABC S = （）A ．B ．18C ．D ．1210．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，∠EFC =120°，若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上，则AEB '∠为（）A ．70°B ．65°C ．30°D ．60°11．如图，在MON ∠的边上分别截取OA 、OB ，使OA OB =；分别以点A ，B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ；连接AC 、BC 、B 、OC ．若6cm =AB ，四边形AOBC 的面积为215cm ，则OC 的长为（）A ．4cmB ．8cmC ．5cmD ．10cm12．如图，三个边长为6cm 的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O 是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（）A ．29cmB ．218cmC ．212cmD ．224cm 13．如图，四边形ABCD 是边长为5的菱形，对角线AC ，B 的长度分别是一元二次方程2120x mx ++=的两个实数根，DH 是B 边上的高，则DH 的长为（）A ．4.8B ．3.6C ．2.4D ．1.214．如图，在菱形ABCD 中，AC BD 、交于O 点，8,6AC BD ==，点P 为线段AC 上的一个动点．过点P 分别作PM AD ⊥于点M ，作PN DC ⊥于点N ，则PM PN +的值为（）A ．485B ．15C ．245D ．2315．“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x ，依题意可列方程（）A ．()22001728x +=B ．()()220012001728x x +++=C ．()22001728x x ++=D ．()()220020012001728x x ++++=16．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如24x =和()()230x x -+=有且仅有一个相同的实数根2x =．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 的参数同时满足0a b c ++=和0a b c -+=．且该方程与()()20x x n +-=互为“同伴方程”，则n 的值为（）A ．1或1-B ．1-C ．1D ．2二、填空题17．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点E 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发沿AC 方向运动，点F 同时以每秒1个单位长度的速度从点C 出发沿CA 方向运动，若AC ＝12，BD ＝8，则经过秒后，四边形BEDF 是矩形．18．20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯使用两种不同的菱形，完成了非周期性密铺，如下图，使用了A ，B 两种菱形进行了密铺，则菱形B 的锐角的度数为°．19．《代数学》中记载，形如21039x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x 的矩形，得到大正方形的面积为392564+=，则该方程的正数解为853-=．”小聪按此方法解关于x 的方程2140x x m ++=，构造图②，已知阴影部分的面积为72，则该方程的正数解为．三、解答题20．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，连接AE ，过B 点作BG AE ⊥，垂足为点G ，延长BG 交CD 于点F ，连接AF ．(1)求证：BE CF =．(2)若正方形边长是5，2BE =，求AF 的长．21．如图，老李想用长为70m 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD ，并在边BC 上留一个2m 宽的门（建在EF 处，另用其他材料）．(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为6402m 的羊圈？(2)羊圈的面积能达到6502m 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．22．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为2i 1=-①，这个数i 叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为i a b +（a ，b 为实数），a 叫做这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程21x =-，解得：1i x =，2i x =-．2i ===．读完这段文字，请你解答以下问题：（1）填空：3i =______，4i =______，2342021i i i i +++⋅⋅⋅+=______．（2）已知()()i i 13i a b ++=-，写出一个以a ，b 的值为解的一元二次方程．（3）在复数范围内解方程：2480x x -+=．23．【操作感知】如图1，在矩形纸片ABCD 的AD 边上取一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在矩形内部点M 处，把纸片展平，连接60PM BM DPM ∠=︒、．，则MBC ∠的大小为______度．【迁移探究】如图2，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片ABCD 按照【操作感知】进行折叠，并延长PM 交CD 于点Q ，连接BQ ．（1）判断MBQ V 与CBQ △的关系并证明；（2）若正方形ABCD 的边长为4，点P 为AD 中点，则CQ 的长为______．24．如图，在矩形ABCD 中，6cm =AB ，12cm BC =，点P 从点A 开始以1cm/s 的速度沿B 边向点B 移动，点Q 从点B 开始以2cm/s 的速度沿BC 向点C 移动．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，设移动的时间为s t ．求：(1)当t 为多少时，PBQ 的面积等于28cm ？(2)当t 为多少时，PQD △是以PD 为斜边的直角三角形？25．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．(1)若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；(2)要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件工艺品售价应为多少元？(3)公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？请说明理由．。

浙江省三门县城关中学2013-2014学年第一学期10月月考九年级数学试卷考生须知：1．全卷满分150分，考试时间120分钟．试题卷共4页，有三大题，共24小题。

2．全卷答案必须做在答题卷的相应位置上，做在试题卷上无效. 3. 考试时不能使用计算器。

温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。

一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1．下列计算正确的是 ( ▲ ) A ．16= ±4Ｂ．24÷ 6= 4Ｃ． 2 +3= 5 Ｄ．D ．32×6=22. 若2=x 是关于x 的一元二次方程082=+-mx x 的一个解,则m 的值是 ( ▲ )A. 6 B . 6- C. 5 D . 23．已知x ＜1，则122+-x x 的化简的结果是 ( ▲ ) A ．x －1 B ．x ＋1 C ．1－x D ．－x －14. 对右图的对称性表述，正确的是 （ ▲ ）A 、轴对称图形B 、中心对称图形C 、既是轴对称图形又是中心对称图形D 、既不是轴对称图形又不是中心对称图形5. 下列一元二次方程中，两个实数根的和是- 2的是 ( ▲ )A ．0232=-+x xB ．0322=+-x xC ．0322=++x xD ．0322=-+x x6. 已知点P （0,-3）与点Q(2a+b,a+2b)关于原点对称，则ab 的值为 ( ▲ )A.2B.-2C. 0.5D. -0.57.如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别为－1和3， 点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为 ( ▲ )8． 化简xx x 13--- 的结果是 ( ▲ ) A ．－2－3B ．－1－3C ．－2＋3D ．1＋3A. x x --)1(B. x x --)1(C. x x )1(+-D. x x )1(- 9．如图，在△ABC 中，∠CAB ＝70°.在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△A ′B ′C 的位置，使得CC ′∥AB ，则∠BAB ′＝ ( ▲ ) A ．30° B ．35° C ．40° D ．50° 10.定义新运算“※”如下：当a ≥b 时，a ※b=ba a +, 当a ＜b 时，a ※b=b aa -，若(2x-1)※(x+2)=0,则x 的值为 ( ▲ ) A ．,21,321=-=x x B ．21,121=-=x xC ． 1,21,3321-==-=x x x D ． 以上答案均不正确二、填空题（本大题有6小题，每题5分，共30分） 11．函数41-=x y 中自变量x 的取值范围是 ▲ ．12.一元二次方程x 2=2x 的解是 ▲ ．方程x ＋6＝x 的根是 ▲ ． 13. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为 ▲ ． 14．已知关于x的一元二次方程210x --=有实数根，则k 的取值范围是 ▲ ． 15．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝2，BC ＝4，以点D 为旋转中心将腰DC 逆时针旋转90°至DE ，连接AE ，则△ADE 的面积为 ▲ .16．如图，在标有刻度的直线l 上，从点A 开始，以AB ＝1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC ＝2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD ＝4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE ＝8为直径画半圆，记为第4个半圆，…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的 ▲ 倍，第n 个半圆的面积为▲ (结果保留π)．三、解答题（本大题有8小题，第17～19题每题8分，第20～22题每题10分，第23题12分，第24题14分，共80分） 17.（本题8分）（1）计算：()1214.3313--+π （2） 已知32,32-=+=b a ，试求22ab b a +的值.18.（本题8分）解方程①2210x x --= ②02323=+-x x x19. （本题8分） 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB 的顶点均在格点上，点O 为原点，点A 、B 的坐标分别是A （3，2）、B （1，3）。

辽宁省沈阳市2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．9B．125．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放个月投放单车数量比第一个月多均增长率为x，则所列方程正确的为（A ．一组对边平行而另一组对边不平行C ．对角线互相平分7．某射箭选手在同一条件下进行射箭训练，结果如下：射箭次数n 1020射中靶心的次数m 717射中靶心的频率m n0.700.85下列说法正确的是（）A ．该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为B ．该选手射箭80次，射中靶心的频率不超过C ．该选手射箭400次，射中靶心的次数不超过D ．该选手射箭1000次，射中靶心的次数一定为8．由下表估算一元二次方程2x +x 1.01.1 1.2212x x+1314.4115.84A ．1.0 1.1x <<B ．1.1x <9．已知2M x x =+，31N x =-，则A ．M N≥B ．M N>A ．AB DEAF EA=B ．AE AD二、填空题15．如图，老李想用长为个矩形羊圈ABCD，并在边羊圈的边AB为m16．如图，矩形ABCD中，沿AE翻折得到AFE△，当点三、解答题17．解方程：2=-x x241(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若6AB =，4BD =，求OE 21．如图，在ABC 中，BD ，求EDCB的值．22．某种服装，平均每天可销售的情况下，若每件降价1元，则每天可多售(1)每天的销量为_______件（用含(2)若每天获得1600元的利润，请你帮忙确定降价幅度；(3)该服装店能否通过降价销售的方式保证每天获得23．如图，在ABC 中，AB 动点P 以每秒10个单位长度的速度，沿从点C 出发，在边CB 上以每秒(1)AP =______，BQ =______(2)当PQ AB ∥时，求时间(3)当12PQ =时，请直接．．写出此时时间24．E 是菱形ABCD 边BC AEF ABC α∠=∠=(90︒≤(1)如图1，当90α=︒时，①求GCF ∠的度数；②若2CE =，2CF =，请直接．．写出GH 的长；(2)如图2，当120α=︒时，若5AB =，2BE =，求25．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为(与直线43y x =相交于点A ．动点P 从点O 开始以每秒B 匀速运动，过点P 作PQ OB ⊥交射线OA 于点Q OPRQ ，设动点P 运动的时间为t 秒()0t >．(1)求点A 的坐标；(2)当点R 落在直线BC 上时，求时间t 的值；(3)若PQR 与OAB 重叠部分图形的面积等于3，请直接．．写出时间t 的值；(4)射线BR 与射线OA 交于点M ，若MOB △是等腰三角形，请直接．．写出时间t 的值．。

宁夏回族自治区吴忠市第四中学2024-2025学年九年级上学期数学10月月考试题一、单选题1．下列函数中，是关于x 的二次函数的是（）A ．1y x =-B ．2y ax bx c =++C ．21y x =D ．(3)y x x =-+2．若关于x 的一元二次方程2230x x k -+=的一个根为1，则k 的值为（）A ．0B ．1C ．3-D ．2-3．下列关于抛物线223y x x =--+的判断中，正确的是（）A ．形状与抛物线22y x =-相同B ．对称轴是直线1x =-C ．当2x >-时，y 随x 的增大而增大D ．该抛物线与x 轴没有交点4．一元二次方程2270x x --=的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根5．如图，某小区计划在一块长为30m ，宽为21m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为2560m ．设道路的宽为m x ，则所列方程正确的是（）A ．()()30213021560x x --=⨯-B ．302213021560x x +⨯=⨯-C ．2302212560x x x +⨯-=D ．()()30221560x x --=6．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的两个交点分别为()1,0A -和()2,0B ，当0y <时，x 的取值范围是（）A ．1x <-或2x <B ．1x <-或2x >C ．12x -<<D ．1x >-或2x >7．在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =+与y bx a =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．8．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点坐标为(−1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①24ac b <；②方程20ax bx c ++=的两个根是11x =-，2=3x ；③20a b +=；④0abc >；⑤当0x <时，y 随x 增大而增大，其中结论正确的个数是（）．A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二、填空题9．若()2220mm x x ---=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为．10．把抛物线()2213y x =-+的图象先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单长度，则平移后抛物线的解析式是．11．已知a ，b 是一元二次方程2220250x x +-=的两个根，则23a a b ++=．12．九（2）班元旦晚会上，某活动小组每两位同学间互赠一张贺卡、共赠贺卡132张，如果设活动小组有x 名学生，则列出的方程化为一般式为．13．已知二次函数()()210y a x k a =-+>的图象上有三点()12,A y ，()23,B y ，()34,C y -，则1y ，2y ，3y 的大小关系为．14．已知点()1,4A x ，()2,4B x 是函数23y x x =-图象上两点，则当12x x x =+时，函数值y =．15．二次函数222y x x -=+，当03x ≤≤时，y 的取值范围是．16．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）一元二次方程2680x x -+=（选填“是”或“不是”）“倍根方程”；（2）若(3)()0x mx n --=是倍根方程，则2nm的值为．三、解答题17．解方程：(1)()22250x +-=；(2)2430x x --=．18．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．解方程：()()231231x x -=-．解：方程两边同除以()31x -，得312x -=．…第一步移项，合并同类项，得33x =．…第二步系数化为1，得1x =．…第三步任务：(1)小明的解法从第______步开始出现错误；(2)请写出此题的正确解题过程．19．已知关于x 的方程250x ax a +--=．(1)若方程有一个根为2，求a 的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a 取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．20．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边A 长为x 米．(1)平行于墙的边BC 为____米，围成的矩形面积为____平方米．（用含x 的代数式表示）(2)围成的矩形花圃面积能否为750平方米，若能，求出x 的值；若不能，请说明理由．21．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)求二次函数的解析式；(2)写出不等式20ax bx c ++>的解集；(3)写出y 随x 的增大而减小时自变量x 的取值范围；(4)若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______．22．图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度AB 为60m ，拱顶C 离地面高18m ，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线．(1)以AB 的中点O 为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式；(2)当水面宽度小于或等于30m 时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为4m ，是否需要采取紧急措施？并说明理由．23．某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y 个，销售单价为x 元．(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围．(2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润w （元）最大？最大利润是多少元？(3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价x 的值．24．如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()()1030A B -，、，两点．与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线上一点，若10,PAB S = 求出此时点P 的坐标．(3)在对称轴上是否存在点Q ，使AOC △周长最小，若存在，求出点Q 坐标和AQC 周长，若不存在，请说明理由．。

内蒙古包头市青山区第一中学（北方重工业集团有限公司第一中学）2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题一、单选题1．一元二次方程2640x x ++=配方后正确的是（ ）A ．()235x -=B ．()2313x -=C ．()235x +=D ．()2313x += 2．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，尺规作图操作步骤如下：①以点C 为圆心，OC 长为半径画弧；②以点D 为圆心，OD 长为半径画弧；③两弧交于点E ，连结DE CE ，．则下列说法一定正确的是（ ）A ．若AC BD ⊥，则四边形OCED 是矩形B ．若AC BD =，则四边形OCED 是菱形 C ．若AD CD ⊥，则四边形OCED 是矩形 D ．若AD CD =，则四边形OCED 是菱形 3．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x ，则方程可以列为（ ）A ．222218x x ++=B ．()22118x += C ．()2118x += D ．()()22212118x x ++++= 4．如图，直线123l l l ∥∥，直线AC 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C ，直线DF 分别交1l ，2l ，3l 于点D ，E ，F ，直线AC 与DF 相交于点G ，若2AG =，1BG =，5BC =，则下列结论错误的是（ ）．A ．12EG DG = B ．16EG FG = C ．35ED EF = D ．15EB FC = 5．如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m ，宽为3m 的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）A ．26mB ．25mC ．24mD ．23m6．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE 交BA 的延长线于点F ，若12AE ED =，3AB =，则AF 的长为（ ）A ．1B ．23C ．32D ．27．设m ，n 是方程220230x x +-=的两个实数根，则2m n -的值为（ ）A ．2024B ．2023C ．2022D ．20218．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE BC ⊥于点E ，PF CD ⊥于点F ，连接EF ，给出下列四个结论：①AP EF =；②AP EF ⊥；③PFE BAP ∠=∠；④2222PB PD PA +=．其中正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9．已知35a b =，则32a b a b+-的值为． 10．一个四边形ABCD 各边长为2345、、、，另一个和它相似的四边形1111D C B A 最长边为15，则四边形1111D C B A 最短边长为．11．若关于x 的一元二次方程()221310k x x k -++-=的一个根为0，则k 的值为．12．圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之，刘徽，韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，则其中至少有一幅是中国数学家的概率是．13．如图，在平行四边形ABCD 中，45B ∠=︒，AE 是BC 的垂直平分线，且AE 的长是一元二次方程()22452x x x -=-的一个根，则平行四边形ABCD 的周长为．14．如图，在钝角三角形ABC 中，36AB cm AC cm ==，，动点D 从点A 出发沿AB 以1/s cm 的速度向点B 运动，同时动点E 从点C 出发沿CA 以2/s cm 的速度向点A 运动，当以A D E、、为顶点的三角形与ABC V 相似时，运动时间是．三、解答题15．用适当的方法解下列方程：(1)2480x x --=(2)()2326x x -=-16．菜学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A ，B ，C ，D 表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图．(1)请根据统计图将下面的信息补充完整：①参加问卷调查的学生共有________人；②腐形统计图中“D ”对应扇形的圆心角的度数为________．(2)若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C 课程的学生有多少人？(3)现从喜欢编导表演课程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档表演双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率．17．社区利用一块矩形空地ABCD 修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知52m AD =，28m AB =，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为m x 的道路．已知铺花砖的面积为2640m ．(1)求道路的宽是多少？(2)该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元．18．如图，在ABCD Y 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 是DB 延长线上的一点，连接EA 、EC ，且EA EC =，分别延长AD 、EC 交于点F ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如果2AEC BAC ∠=∠，求证：FCD FAE V V ∽．19．如图，在ABCD Y 中，点M 为AC 的中点，过点D 作DF BC ⊥，延长CB 到点E 使BE CF =，连接AE ，EM ．(1)求证：四边形AEFD 是矩形；(2)若6AD =，3BF =，120ADC ∠=︒，求EM 的长．20．等腰4120ABC AB AC BAC ==∠=︒V ，，，P 为BC 的中点，小慧拿着含30︒角的透明三角板，使30︒角的顶点落在P ，三角板绕P 点旋转．(1)如图a ，当三角板的两边分别交AB AC 、于点E F 、时，求证：BPE CFP V V ∽；(2)操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E F 、，①探究1：BPE V 与CFP V 还相似吗？（只需写出结论）②探究2：连接EF ，BPE V 与PFE V 是否相似？请说明理由；③设EF m ，EPF V 的面积为S ，试用m 的代数式表示S （直接写出答案即可）。

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．清华附中九年级月考试卷数学一、选择题（每小题4分，共32分）1．下面四张扑克牌中，图案属于中心对称的是（ ）B2．若02)1(2=+-+mx x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A A.1-≠m B.1-=m C.1-≥m D.0≠m 3．下列计算中，正确的是（ ）BA.532=⨯ B.2221=C.2223=-D. 532=+4．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO =30º， 则∠ACB 的大小为（ ）DA ．50ºB ．45ºC ．30ºD ．60º 5．下列一元二次方程中没有．．实数根的是（ ）D A ．0322=-+x x B ．0962=++x x C ．0522=--x x D ．0432=++x x6．已知点A 的坐标为）（3,2，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90°得1OA ，则点1A 的坐标为（ ）AA ．）（2,3-B ．）（2,3-C ．）（3,2-D ．）（3,2-7．如图，每个正方形网格的边长为1个单位长度，将ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C （顶点均在格点上），若点P 为位似中心的位似图形，则点P 的坐标是（ ）C A ．)4,4(-- B ．)3,3(--C ．)3,4(--D ．)4,3(-- 8．如图，AC 、BD 为圆O 的两条垂直的直径，动点P 从圆心O 出发，沿线段OC -⋂CD -线段DO 的路线作匀速运动．设运动时间为t 秒，∠APB 的度数为y 度，则下列图象中表示y 与t 的函数关系最恰当的是（ ）C二、填空题（每小题4分，共16分） 9．函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ．10．关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则的值为 ．11．如图，在△ABC 中，DE //AB 分别交AC ，BC 于 点D ，E ，若AD =2，CD =3，则△CDE 与△CAB 的周长比为 ．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (-4,0)，B (0,3)，对△AOB 连续作旋转变换，依次得到三角形(1)、(2)、(3)、(4)、…，则第(7)个三角形的直角顶点．．．．的坐标是 ；第(2013)个三角形的直角顶点．．．．的坐标是 ．初11级初三月考数学答案一、选择题（每小题4分，共32分）（第12题）二、填空题（每小题4分，共16分）三、解答题（每小题5分，共30分）13．计算：|3|212013261-+⎪⎭⎫⎝⎛+-+-）（．解：原式=3213+++………………………4分=332+………………………………5分14．解方程：1242=+x x ． 解法一：因式分解，得()()620x x +-=………………..…2分于是得 60x +=或20x -=126,2x x =-=……………………...5分解法二：1,4,12a b c ===-2464b ac ∆=-=………………..…2分482x -±==………….4分126,2x x =-=……….…………..…5分15．如图，在ABC △中，AB 是O 的直径，O 与AC 交于点D ，，， 7560=∠=∠C B 求BOD ∠的度数．解：在ABC △中，60,75B C ∠=︒∠=︒,45A ∴∠=︒.………………..………………….2分AB 是⊙O 的直径，⊙O 与AC 交于点D,∴290DOB A ∠=∠=︒…………………………5分ADCBO16．已知321+=a ，321-=b ，求b a b ab a 22322--++的值.解：32-=a ，32+=b ………………..……….2分所以4=+b a ，1=ab ………………..………...3分 原式)(2)(2b a ab b a +-++=42142⨯-+=9=………………..……………………………...2分17．如图，等腰直角△ABC 绕直角顶点A 按逆时针方向旋转60°后得到△ADE ，且BC =2，求EC 的长．解： △ABC 是等腰直角三角形，且斜边BC =2，∴AC =2，………………..………………………...1分△ADE 是由△ABC 绕A 旋转60°得到，∴60=∠CAE ，AE AC =，………………..……...3分∴CAE Δ为等边三角形，………………..…………..4分 ∴CE =AC =2．………………..…………………....5分18．如图，有一块矩形纸板，长为20cm ，宽为14cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分沿虚线折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为160cm 2，那么纸板各角应切去边长为多大的正方形？解：设切去的小正方形边长为x .cm ，………………..…..…..1分则 160(202)(142)x x =--，…………..…………..…..…....2分 整理得 217300x x -+=，解得 122,15x x ==（不合题意，舍去），….............4分 答：纸板各角应切去边长为2cm 的正方形．………....5分EC BAD四、解答题（每小题5分，共20分）19．已知a ,b 为实数，且01)1(1=---+b b a ，求20132013b a -的值．解： 0-1)1-(1=-+b b a ，∴0-1)1(1=-++b b a ，………………..…..…..………...…1分 根据二次根式的性质可得：01)1(,01≥--≥+b b a ，……2分 ∴0-1)1(,01=-=+b b a∴1,1=-=b a ………………..….……….………..…………......4分 ∴20132013b a-=2111)1(20132013-=--=--………..…………....5分20．已知关于x 的一元二次方程0)2()1(22=++--m m x m x . （1）若此方程有实数根，求m 的取值范围；（2）若x =－1是这个方程的一个根，求1423+-+m m m 的值． 解：（1） 此方程有实数根，∴)2(4)1(4Δ2+--=m m m0)41(4≥-=m ………..……….…….……......1分∴41≤m …….………..…………….………..…......3分 （2）把x =－1代入原方程，得：0)2()1()1(2)1(2=++-⨯---m m m ，………..…………..4分化简得：0142=-+m m ，∴1101)14(14223=+=+-+=+-+m m m m m m ...……....5分21．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC = 5，BC = 8，D ，E 分别为BC ，AB 边上一点，∠ADE =∠C ． （1）求证：△BDE ∽△CAD ； （2）若CD =2，求BE 的长．（1）证明：∵ AB =AC ，∴ ∠B =∠C ．………………..…..…..…..…1分 ∵ ∠ADE +∠BDE =∠ADB =∠C +∠CAD ， 且∠ADE =∠C ，∴ ∠BDE =∠CAD ．………………..…..…2分∴ △BDE ∽△CAD ．………………..….…3分（2）解：由（1）得DB ACBE CD=．……………….….….…4分 ∵ AB =AC = 5，BC = 8，CD =2， ∴ 6DB BC CD =-=． ∴ 622.45DB CD BE AC ⨯⨯===．……………..…..5分 22．如图，已知点C 、D 在以O 为圆心，AB 为直径的半圆上，且OC BD ⊥于点M ，CF ⊥AB于点F 交BD 于点E ，8BD =,2CM =． （1）求⊙O 的半径；（2）求证：CE = BE ．解：（1）∵AB 为直径，∴90=∠ADB ，∵BD OC ⊥，∴M 为的中点，482121=⨯==BD BM ….…..1分 设半径为r ，则OM ＝OC －CM ＝r －2∴在OBM ΔRt 中，２BM OM OB +=22，∴２4)2(22+-=r r ，解得5=r ，∴半径为5；………..……..3分（2）（方法一）易证OBM OCF ΔΔ≅(AAS)，∴OF =OM ，又OB =OC∴OB -OF =OC -OM ，即BF =CM再证CEM BEF ΔΔ≅(AAS 或ASA)，∴CE = BE ．………..…………………………..…….….….…..5分 （方法二）连结BC ，易证OBM OCF ΔΔ≅(AAS)， ∴OBM OCF ∠=∠，又OB =OC ，∴OCB OBC ∠=∠， ∴ECB EBC ∠=∠，∴CE = BE ．………..…………………………..…….….….…..5分 五、解答题（第23、24小题各7分，第25小题8分，共22分） 23．已知关于x 的一元二次方程250xax a -++=.（1）若2x =是该方程的一个根，求a 的值； （2）无论a 取任何值，该方程的根不可能为0x x =，写出0x 的值，并证明；（3）若a 为正整数，且该方程存在正整数解，求所有正整数a 的值． 解：（1）4250a a -++=，…………………..…………1分M F E D CBA OPQCBA解得9a =. ..…………………………………..….2分 （2）01x = ………………………………3分把0x x =代入，20050x ax a -++=，200(1)50x a x -++=，当01x =时，无论a 取何值，此等式均不成立.无论a 取任何值，该方程的根不可能为1x =.…………4分（3）2420aa ∆=--,记2n ∆=，n 为正整数；22(2)24a n --=[(2)][(2)]24a n a n ---+=由于2a n -+为非负数，且22a n a n -+>--，且2a n -+与2a n --奇偶性相同，所以22212a n a n --=⎧⎨-+=⎩ 或24216a n a n --=⎧⎨-+=⎩解得：7a =或9a =……………………………………6分经验证，当7a =或9a =时正整数数，符合题………7分 （注：两个答案全部猜对且无其他答案可给结论分1分.）24．在△ABC 中，AC AB =， 60<∠BAC ，把线段BC 绕点B 逆时针旋转60至BP ；如图所示位置有 60=∠ABQ ，150=∠BCQ ．（1）若30=∠BAC ，则=∠ABP 度；若αBAC =∠，则=∠ABP（用α表示）；（2）求证：△ABQ 为等边三角形；（3）四边形CBPQ 的面积为1，求△ABC 的面积． 解：（1）15；α2130-………2分 证明：连结CP ，∵ BC BP =，60CBP ∠=︒ ∴ △BCP 为等边三角形. ∴ 60CBP ∠=︒ ∵ AB AC = ∴18019022CBA αα︒-∠==︒-, ∴ 1302ABP ABC PBC α∠=∠-∠=︒-(2) ∵ △BCP 为等边三角形，∴ BP CP =，60BPC ∠=︒， 在△BAP 与△CAP 中 AB AC AP AP BP CP =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ △BAP ≌△CAP ∴ 1(36060)1502APB APC∠=∠=︒-︒=︒ BPA BCQ ∠=∠，又∵ 60ABP QBC ABC ∠=∠=∠-︒ ∴ △BAP ≌△BQC ∴ BA BQ =,∴ △ABQ 为等边三角形.…………………………………5分 (3) ∵ △BAP ≌△BQC ∴ AP CQ =1506090PCQ ∠=︒-︒=︒易证：12CPQS CP CQ ∆=⨯ 而111()224ABPS BP AP BP AP ∆=⨯⨯=⨯ （注：作高与利用正弦型面积公式均可） ∴ 2CBPQ BCP CPQ BCP ABP ABC S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=∴ 1ABCS ∆=.……………………………………..7分25．点P 在图形M 上, 点Q 在图形N 上,记max (,)d M N 为线段PQ 长度的最大值，min (,)d M N 为线段PQ长度的最小值，图形,M N的平均距离(,)Ed M N =max min (,)(,)2d M N d M N +．（1）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 是以O 为圆心，2的半径的圆，且1(,22A ，B ，求(,Ed A ⊙)O 及(,Ed B ⊙)O ；(直接写出答案即可)（2）半径为1的⊙C 的圆心C 与坐标原点O 重合，直线33433+-=x y 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点F ，记线段DF 为图形G ，求(,Ed G ⊙)C ；（3）在（2）的条件下，如果⊙C 的圆心C 从原点沿x 轴向右移动，⊙C 的半径不变，且(,Ed G ⊙)C =52，求圆心C 的横坐标． 解：（1）(,Ed A ⊙)O =2，……………………………….…1分(,Ed B ⊙)O =4 ………………………………….…2分（2）max (,d G ⊙)C =5，min (,d G ⊙)C =1，……………………………..…4分（求对1个给一分，对于圆外一点到圆上的一点的距离的最大值与最小值要求有说理或画图解释，点到直线上一点的距离的最小值为该点到垂足的距离，要求有说理或画图解释。

大同市大成双语学校2024—2025学年第一学期阶段性测试（二）九年级数学（人教版）说明：本试卷为闭卷笔答，考试时间为90分钟，满分100分一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列是人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．用配方法将方程化成的形式，则的值是（ ）A ．1B ．C ．D ．3．二次函数的对称轴是（ ）A ．直线B ．直线C ．直线D ．直线4．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．5．嘉嘉在解方程时，只得到一个解是，则他漏掉的解是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，将△绕点按顺时针方向旋转50°后得到△，若°，则的度数为（ ）A ．65°B ．35°C ．35°或65°D ．80°7．如图，直线分别与轴，轴交于点，将△绕着点顺时针旋转90°得到△，则点的对应点的坐标是（）2430x x -+=2()x a b +=a b -1-3-7-22y x x =+1x =1x =-2x =-2x =xOy (1,4)P -(1,4)--(1,4)-(1,4)(1,4)-(3)3x x x -=-1x =3x =3x =-0x =1x =-AOB O COD 15AOB ∠=AOD ∠332y x =-+x y ,A B OAB A CAD B DA ．B ．C ．D ．8．如图，△中，°，，，将△绕点逆时针旋转得△，若点在上，则的长为（ ）AB ．4C． D ．59．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）老师甲乙丙丁顶点坐标A ．甲和丁B ．乙和丙C ．乙和丁D ．只有丁10．将△绕点旋转一定的角度后使点落在点处，点在落在点处，且、、在同一直线上，、交于点，、交于点，、交于点，连接、．则下列结论错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题3分，共15分）11．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为________．(2,5)(3,5)(5,2)2)Rt ABC 90ACB ∠=4BC =3AC =ABC B A BC ''C 'AB AA '2244y x x =+-2244y x x =+-→222y x x =--→2213y x x =-+-→2(1)3y x =--→(1,3)--ACE C A B E D B C E AC BD F CD AE G AE BD H AB DE DHE ACB ∠=∠AE BD =CF CG =CBF CAE∠=∠2y ax =y bx c =+(2,4)A -(1,1)B x 20ax bx c --=12．为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调，某种药品原价为250元/瓶，经两次下调后价格变为160元/瓶，该药品平均每次降价的百分率为________．13．把一个正六边形绕其中心旋转，至少旋转________°，可以与自身重合．14．如图，△，△都是等边三角形，将△绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，，则的长是________．15．如图，在等边△中，是上一点，连接，将△绕点逆时针旋转60°，得△，连接，若，，则下列说法：①//；②；③△是等边三角形；④△的周长是9，其中正确的有________（只填序号）三、简答题（七道小题，共55分）16．（6分）用适当的方法解下列方程：（1）；（2）；17．（5分）已知△在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标分别是．（1）按要求作图：①先将△绕原点逆时针旋转90°，得到△；②再作出△，使它与△关于原点成中心对称．（2）直接写出点，的坐标．ABC CDE CDE C ,,A D E BE 2BE =7AE =CD ABC D AC BD BCD B BAE ED 5BC =4BD =AE BC ADE BDC ∠=∠BDE ADE 23(1)12x -=2420x x +-=OAB ,A B (3,1),(2,2)A B OAB O 11OA B 22OA B 11OA B 1A 1B18．（7分）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接、．（1）求证：；（2）连接，若°，求的度数．19．（8分）已知：二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）若有一直线经过点、，直接写出不等式的解集；（3）若抛物线上有一动点，使三角形的面积为6，求点的坐标．20．（9分）据统计，国庆假期第一天前海欢乐港湾摩天轮的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；（2）据悉，景区附近商店推出了前海旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低1元，平均每天可多售出200个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？21．（10分）将两个全等的△和△按图1方式摆放，其中°，点落在上，所在直线交直线于点．D ABC AD A AE CD BE AEB ADC ∠=∠DE 130ADC ∠=BED ∠2y ax bx c =++x (3,0)A -(1,0)B y (0,3)C -:l y mx n =+A C 2ax bx c mx n ++≥+P ABP P Rt ABC Rt DBE 90ACB DEB ∠=∠=E AB DE AC F（1）求证：；（2）若将图1中△绕点按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变（如图2），请写出此时、与之间的数量关系，并加以证明．22．（10分）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；（2）当点在线段上运动时，求线段的最大值；九年级数学阶段测试二参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）题号12345678910答案DCBBAACAAC二、填空题（每小题3分，共15分）11．12．20%13． 60°14．516． ①③④三、简答题16．解：（1）即∴（2）移项，得，配方，得，即于是有CF EF =DBE B AF EF DE 2y x bx c =-++x A B A B A (1,0)-y (0,3)C BC P x P PM x ⊥M BC N P m BC P OB MN 122,1x x =-=23(1)12x -=2(1)4x -=12x -=±1212x x -=-=-或123,1x x ==-240x x +=242x x +=2446x x ++=2(2)6x +=2x +=所以17． （1）如图，△，△即为所求；（2）点的坐标；点的坐标．18．（1）证明：∵△是等边三角形，∴°，，∵线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，∴°，∴∴，在△和△中，，∴△≌△（SAS ），∴；（2）解：如图，连接∵°，，∴△为等边三角形，∴°，又∵°，∴°°°．19．解：（1）设抛物线的解析式为：，把代入得，解得，1222x x =-+=--11OA B 22OA B 1A (1,3)-2B (2,2)-ABC 60BAC ∠=AB AC =AD A AE 60DAE ∠=AE AD =BAD EAB BAD DAC ∠+∠=∠+∠EAB DAC ∠=∠EAB DAC ,,AB AC EAB DAC AE AD =∠=∠=EAB DAC AEB ADC ∠=∠DE60DAE ∠=AE AD =EAD 60AED ∠=130AEB ADC ∠=∠=130BED ∠=60-70=(3)(1)y a x x =+-(0,3)C -33a -=-1a =∴抛物线的解析式为：，即；（2）由函数图象可知，或，（3）设，∵三角形的面积为6，∴，解得或或或∴或或或．20．（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为，根据题意，得，解得，（舍去）．答：平均增长率为20%；（2）解：设售价应降低元，则每天的销量为个根据题意可得，解得（舍去）．答：售价应降低元21． 证明：（1）如图，连接，∵△≌△，∴，∵°∴°，在△和△中，(3)(1)y x x =+-223y x x =+-3x ≤-0x ≥2(,23)P m m m +-ABP 2142362m m ⨯⨯+-=0m =2-1-+1-(0,3)P -(2,3)--(13)-+(13)--x 25000(1)7200x +=120.220%, 2.2x x ===-m 200(500)1m +200(105)(500)28001m m --+=123,12m m ==32BF ABC DBE BC BE =90ACB DEB ∠=∠=90ACB BEF ∠=∠=Rt BCF Rt BEF ,BF BF BC BE=⎧⎨=⎩∴△≌△，∴．（2）线段、与之间的关系为：．理由如下：如图，连接，由旋转和全等可知：，∵°，∴°，在△和△中，,Rt △≌△，∴，∴．22．（1）解：∵抛物线过、两点，∴代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为，令可得，，解，∵点在点右侧，∴点坐标为，设直线解析式为，把、坐标代入可得，解得，∴直线解析式为；（2）解：∵轴，点的横坐标为，∴，Rt BCF Rt BEF CF EF =AF EF DE AF EF DF =+BF ,BC BE DE AC ==90ACB DEB ∠=∠=90BCF BED ∠=∠=Rt BCF Rt BEF ,BF BF BC BE=⎧⎨=⎩BCF Rt BEF CF EF =AF CF AC EF DE =+=+A C 103b c c --+=⎧⎨=⎩23b c =⎧⎨=⎩223y x x =-++0y =2230x x -++=121,3x x =-=B A B (3,0)BC y kx s =+B C 303k s s +=⎧⎨=⎩13k s =-⎧⎨=⎩BC 3y x =-+PM x ⊥P m 2(,23),(,3)M m m m N m m -++-+∵在线段上运动，∴点在点上方，∴，∴当时，有最大值，的最大值为．P OB M N 2223923(3)3()24MN m m m m m m =-++--+-+=--+32m =MN MN 94。