北师大版中考复习函数要点考点随堂练含答案 第三章 第五节 考点要点训练

要题随堂演练1．已知反比例函数y ＝－8x ，下列结论：①图象必经过(－2，4)；②图象在二、四象限内；③y 随x 的增大而增大；④当x>－1时，则y>8.其中错误的结论有 个．( )A ．3B ．2C ．1D ．02．在反比例函数y ＝－2x 图象上有三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，若x 1<0<x 2<x 3，则下列结论正确的是( )A ．y 3<y 2<y 1B ．y 1<y 3<y 2C ．y 2<y 3<y 1D ．y 3<y 1<y 23．在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m 的某种气体，当改变容积V 时，气体的密度ρ也随之改变．ρ与V 在一定范围内满足ρ＝mV ，它的图象如图所示，则该气体的质量m 为( )A ．1.4 kgB ．5 kgC ．7 kgD ．6.4 kg4．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB＝30°，若点A 在反比例函数y ＝6x(x ＞0)的图象上，则经过点B 的反比例函数表达式为( )A ．y ＝－6xB ．y ＝－4xC ．y ＝－2xD ．y ＝2x5．如图，反比例函数y ＝3x 与一次函数 y ＝x －2 在第三象限交于点A ，点B 的坐标为(－3，0)，点P 是y 轴左侧的一点，若以A ，O ，B ，P 为顶点的四边形为平行四边形，则点P 的坐标为 ．6．如图，反比例函数y ＝kx 的图象经过▱ABCD 对角线的交点P ，已知点A ，C ，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD 的面积为6，则k ＝ ．7．过双曲线y ＝kx (k ＞0)上的动点A 作AB⊥x 轴于点B ，P 是直线AB 上的点，且满足AP ＝2AB ，过点P 作x 轴的平行线交此双曲线于点C.如果△APC 的面积为8，则k 的值是 ．8．如图，一次函数y ＝kx ＋b(k ，b 为常数，k≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数y ＝nx (n 为常数，且n≠0)的图象在第二象限交于点C ，CD⊥x 轴，垂足为点D ，若OB ＝2OA ＝3OD ＝12. (1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)记两函数图象的另一个交点为E ，求△CDE 的面积； (3)直接写出不等式kx ＋b≤nx的解集．参考答案1．B 2.C 3.C 4.C5．(－4，－3)，(－2，3) 6.－3 7.12或48．解：(1)∵OB＝2OA ＝3OD ＝12，∴OB＝12，OA ＝6，OD ＝4. ∵CD⊥OA，∴DC∥OB，∴AO AD ＝BO CD ，即610＝12CD ，解得CD ＝20， ∴点C 坐标为(－4，20)．将B(0，12)，A(6，0)代入一次函数y ＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12，6k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝12，∴一次函数的表达式为y ＝－2x ＋12.∵反比例函数y ＝nx 的图象经过点C(－4，20)，∴n＝－80，∴反比例函数的表达式为y ＝－80x.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋12，y ＝－80x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝20或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－8， ∴另一个交点坐标为E(10，－8)．如图，过E 点作EF⊥CD，交CD 的延长线于点F ，则EF ＝x E －x C ＝10－(－4)＝14， ∴S △CDE ＝12CD·EF＝12×20×14＝140.(3)由图象可知kx ＋b≤nx的解集为－4≤x＜0或x≥10.。

2013年中考数学专题复习 二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、 二次函数的定义：一般地如果y= （a 、b 、c 是常数a ≠0）那么y 叫做x 的二次函数名师提醒： 二次函数y=kx 2+bx+c(a ≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式，x 的 最 高 次 数 是 ， 按 一次排列2、强调二次项系数a 0二、二次函数的同象和性质：1、二次函数y=kx 2+bx+c(a ≠0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式2、在抛物y=kx 2+bx+c(a ≠0)中：（1）当a>0时，y 口向 ，当x<-2ba 时，y 随x 的增大而 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，（2）当a<0时，开口向 当x<-2ba时，y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小.名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax 2 ,对称轴 定点坐标2、y= ax 2+k ，对称轴 定点坐标 3、y=a(x-h) 2对称轴 定点坐标4、y=a(x-h) 2 +k 对称轴 定点坐标三、二次函数同象的平移名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可四、二次函数y= ax 2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系：a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 ｜a ｜越大，开口越 b:对称轴位置，与a 联系一起，用 判断b=0时，对称轴是 c:与y 轴的交点：交点在y 轴正半轴上，则c 0负半轴上则c 0，当c=0时，抛物点过 点名师提醒：在抛物线y= ax 2+bx+c 中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c 和a-b+c 的符号【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 （2012•常州）已知二次函数y=a （x-2）2+c （a ＞0），当自变量x 分别取2、3、0时，对应的函数值分别：y 1，y 2，y 3，，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ） A ．y 3＜y 2＜y 1 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＜y 1＜y 3 D ．y 3＜y 1＜y 2 对应训练1．（2012•衢州）已知二次函数y=12-x 2-7x+152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＞y 3＞y 1 D ．y 2＜y 3＜y 1 考点二：二次函数的图象和性质例2 （2012•咸宁）对于二次函数y=x 2-2mx-3，有下列说法：①它的图象与x 轴有两个公共点；②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x 轴的交点． 对应训练2．（2012•河北）如图，抛物线y 1=a （x+2）2-3与y 2=12（x-3）2+1交于点A （1，3），过点A作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y 2-y 1=4；④2AB=3AC ；其中正确结论是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④考点三：抛物线的特征与a 、b 、c 的关系例3 （2012•玉林）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：①c ＜1；②2a+b=0；③b 2＜4ac ；④若方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=2，则正确的结论是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ 对应训练3．（2012•重庆）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示对称轴为x=12-．下列结论中，正确的是（ ）A ．abc ＞0B ．a+b=0C ．2b+c ＞0D ．4a+c ＜2b 考点四：抛物线的平移例4 （2012•桂林）如图，把抛物线y=x 2沿直线y=x 平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是（ ）A ．y=（x+1）2-1B ．y=（x+1）2+1C ．y=（x-1）2+1D ．y=（x-1）2-1 对应训练4．（2012•南京）已知下列函数①y=x 2；②y=-x 2；③y=（x-1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x 2+2x-3的图象的有 （填写所有正确选项的序号）． 【聚焦中考】1．（2012•泰安）二次函数y=a （x+m ）2+n 的图象如图，则一次函数y=mx+n 的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限2．（2012•济南）如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1C．当x=-1时，y的值大于1 D．当x=-3时，y的值小于03．（2012•菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数ayx在同一平面直角坐标系中的图象大致是A． B． C． D．4．（2012•泰安）设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y25．（2012•烟台）已知二次函数y=2（x-3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象顶点坐标为（3，-1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2012•日照）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2-4ac＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c=0；④a：b：c=-1：2：3．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④7．（2012•泰安）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x-2）2+3 C．y=3（x+2）2-3 D．y=3（x-2）2-38．（2012•潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据得到下表：旋钮角度（度）20 50 70 80 90所用燃气量（升）73 67 83 97 115（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y 升与旋钮角度x度的变化规律？说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．【备考真题过关】一、选择题1．（2012•白银）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（）A．x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1或x＞32．（2012•兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞33．（2012•德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤34．（2012•北海）已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为（）A．（-2，-1） B．（2，1）C．（2，-1） D．（-2，1）5．（2012•广元）若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a、b为常数）的图象如图，则a的值为（）A．1 B．2 C．-2 D．-26．（2012•西宁）如同，二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（）A.当x=0时，y的值大于1B.当x=3时，y的值小于0C.当x=1时，y的值大于1D.y的最大值小于06．（2012•巴中）对于二次函数y=2（x+1）（x-3），下列说法正确的是（）A．图象的开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x=-17．（2012•天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc ＜0；③a-2b+4c ＜0；④8a+c ＞0．其中正确的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个8．（2012•乐山）二次函数y=ax 2+bx+1（a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0）．设t=a+b+1，则t 值的变化范围是（ ）A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．-1＜t ＜19．（2012•扬州）将抛物线y=x 2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ）A ．y=（x+2）2+2B ．y=（x+2）2-2C ．y=（x-2）2+2D ．y=（x-2）2-210．（2012•宿迁）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x 2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（-2，3）B ．（-1，4）C ．（1，4）D ．（4，3）11．（2012•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2-x-6向上（下）或向左（右）平移m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．6二、填空题12．（2012•玉林）二次函数y=-（x-2）2+94的图象与x 轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有 个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．13．（2012•长春）在平面直角坐标系中，点A 是抛物线y=a （x-3）2+k 与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB ∥x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 ．14．（2012•孝感）二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc ＜0； ②a-b+c ＜0； ③3a+c ＜0； ④当-1＜x ＜3时，y ＞0．其中正确的是 （把正确的序号都填上）．15．（2012•苏州）已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，若x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）． 16．（2012•成都）有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，l ，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的一元二次方程x 2-2（a-1）x+a （a-3）=0有两个不相等的实数根，且以x 为自变量的二次函数y=x 2-（a 2+1）x-a+2的图象不经过点（1，0）的概率是 ．17．（2012•上海）将抛物线y=x 2+x 向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ．18．（2012•宁波）把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为．19．（2012•贵港）若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是．19．（2012•广安）如图，把抛物线y=12x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．三、解答题20．（2012•柳州）已知：抛物线y=34（x-1）2-3．（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．21．（2012•佛山）规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：（1）写出奇数a用整数n表示的式子；（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：xi0 1 2 3 4 5 …yi0 1 4 9 16 25 …y i+1﹣yi1 3 5 7 9 11 …由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5…请回答：①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1 解：∵二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），∴该抛物线的开口向上，且对称轴是x=2．∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，∵x取0时所对应的点离对称轴最远，x取2时所对应的点离对称轴最近，∴y3＞y2＞y1．故选B．1．（2012•衢州）解：∵二次函数y=12-x2-7x+152，∴此函数的对称轴为：x=2ba-=7712()2--=-⨯-，∵0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0，∴对称轴右侧y随x的增大而减小，∴y1＞y2＞y3．故选：A．考点二：二次函数的图象和性质例2 （2012•咸宁）解：①∵△=4m2-4×（-3）=4m2+12＞0，∴它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确；②∵当x≤1时y随x 的增大而减小，∴函数的对称轴x=-22m --≥1在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），则22m--≥1，即m ≥1，故本选项错误；③将m=-1代入解析式，得y=x 2+2x-3，当y=0时，得x 2+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，解得，x 1=1，x 2=-3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，∴对称轴为x=420082+=1006，则22m--=1006，m=1006，原函数可化为y=x 2-2012x-3，当x=2012时，y=20122-2012×2012-3=-3，故本选项正确．故答案为①④（多填、少填或错填均不给分）． 对应训练2．（2012•河北）解：①∵抛物线y 2=12（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x 轴的上方，∴无论x 取何值，y 2的值总是正数，故本小题正确；②把A （1，3）代入，抛物线y 1=a （x+2）2-3得，3=a （1+2）2-3，解得a=23，故本小题错误；③由两函数图象可知，抛物线y 1=a （x+2）2-3过原点，当x=0时，y 2=12（0-3）2+1=112，故y 2-y 1=112，故本小题错误；④∵物线y 1=a （x+2）2-3与y 2=12（x-3）2+1交于点A （1，3），∴y 1的对称轴为x=-2，y 2的对称轴为x=3，∴B （-5，3），C （5，3）∴AB=6，AC=4，∴2AB=3AC ，故本小题正确．故选D ． 考点三：抛物线的特征与a 、b 、c 的关系例3 （2012•玉林）解：由抛物线与y 轴的交点位置得到：c ＞1，选项①错误；∵抛物线的对称轴为x=2ba-=1，∴2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x 轴有两个交点，得到b 2-4ac ＞0，即b2＞4ac ，选项③错误；令抛物线解析式中y=0，得到ax 2+bx+c=0，∵方程的两根为x 1，x 2，且2b a -=1，及b a -=2，∴x 1+x 2=ba-=2，选项④正确，综上，正确的结论有②④．故选C 对应训练3．（2012•重庆）解：A 、∵开口向上，∴a ＞0，∵与y 轴交与负半轴，∴c ＜0，∵对称轴在y 轴左侧，∴2ba-＜0，∴b ＞0，∴abc ＜0，故本选项错误；B 、∵对称轴：x=2b a -=12-，∴a=b ，故本选项错误；C 、当x=1时，a+b+c=2b+c ＜0，故本选项错误；D 、∵对称轴为x=12-，与x 轴的一个交点的取值范围为x1＞1，∴与x 轴的另一个交点的取值范围为x 2＜-2，∴当x=-2时，4a-2b+c ＜0，即4a+c ＜2b ，故本选项正确．故选D ． 考点四：抛物线的平移例4 （2012•桂林）解：∵A 在直线y=x 上，∴设A （m ，m ），∵OA=2，∴m 2+m 2=（2）2，解得：m=±1（m=-1舍去），m=1，∴A （1，1），∴抛物线解析式为：y=（x-1）2+1，故选：C ． 对应训练4．（2012•南京）解：原式可化为：y=（x+1）2-4，由函数图象平移的法则可知，将函数y=x 2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y=（x+1）2-4，的图象，故①正确；函数y=（x+1）2-4的图象开口向上，函数y=-x 2；的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；将y=（x-1）2+2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y=（x+1）2-4的图象，故③正确．故答案为：①③．【聚焦中考】1．解：∵抛物线的顶点在第四象限，∴-m ＞0，n ＜0，∴m ＜0，∴一次函数y=mx+n 的图象经过二、三、四象限，故选C ． 2．解：A 、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y 的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；B 、由图象知，当x=0时，y 的值就是函数图象与y 轴的交点，而图象与y 轴的交点在（1，1）点的左边，故y ＜1；故本选项错误；C 、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y 随x 的增大而增大，∵-1＜1，∴x=-1时，y 的值小于x=-1时，y 的值1，即当x=-1时，y 的值小于1；故本选项错误；D 、当x=-3时，函数图象上的点在点（-2，-1）的左边，所以y 的值小于0；故本选项正确．故选D ． 3．解：∵二次函数图象开口向下，∴a ＜0，∵对称轴x=2ba-＜0，∴b ＜0，∵二次函数图象经过坐标原点，∴c=0，∴一次函数y=bx+c 过第二四象限且经过原点，反比例函数ay x=位于第二四象限，纵观各选项，只有C 选项符合．故选C ． 4．解：∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a ，如右图，∴对称轴是x=-1，∴点A 关于对称轴的点A ′是（0，y 1），那么点A ′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小，于是y 1＞y 2＞y 3．故选A ．5．解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，正确；综上所述，说法正确的有④共1个．故选A ． 6．解：由二次函数图象与x 轴有两个交点，∴b 2-4ac ＞0，选项①正确；又对称轴为直线x=1，即2ba-=1，可得2a+b=0（i ），选项②错误；∵-2对应的函数值为负数，∴当x=-2时，y=4a-2b+c ＜0，选项③错误；∵-1对应的函数值为0，∴当x=-1时，y=a-b+c=0（ii ），联立（i ）（ii ）可得：b=-2a ，c=-3a ，∴a ：b ：c=a ：（-2a ）：（-3a ）=-1：2：3，选项④正确，则正确的选项有：①④．故选D ． 7．A8．解：（1）若设y=kx+b （k ≠0），由7320 6750k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得1577k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以y=15-x+77，把x=70代入得y=65≠83，所以不符合；若设k y x =（k ≠0），由73=20k ，解得k=1460，所以y=1460x，把x=50代入得y=29.2≠67，所以不符合；若设y=ax 2+bx+c ， 则由7340020 67250050 83490070a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得1 508 597a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以y=150x 2-85x+97（18≤x ≤90），把x=80代入得y=97，把x=90代入得y=115，符合题意．所以二次函数能表示所用燃气量y 升与旋钮角度x 度的变化规律； （2）由（1）得：y=150x 2-85x+97=150（x-40）2+65，所以当x=40时，y 取得最小值65．即当旋钮角度为40°时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升；（3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115-65=50（升） 设该家庭以前每月平均用气量为a 立方米，则由题意得：50115a=10，解得a=23（立方米），即该家庭以前每月平均用气量为23立方米．【备考真题过关】1．C 2．D 解：根据题意得：y=|ax 2+bx+c|的图象如右图：所以若|ax 2+bx+c|=k （k ≠0）有两个不相等的实数根，则k ＞3，故选D ．3．B 解：∵当x ≤1时，总有y ≥0，当1≤x ≤3时，总有y ≤0，∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，∵当1≤x ≤3时，总有y ≤0，∴当x=3时，y=9+3b+c ≤0②，①②联立解得：c ≥3，故选B ． 4．B 5．C6.解：由图可知，当x ＞﹣1时，函数值y 随x 的增大而减小，A 、当x=0时，y 的值小于1，故本选项错误；B 、当x=3时，y 的值小于0，故本选项正确；C 、当x=1时，y 的值小于1，故本选项错误；D 、y 的最大值不小于1，故本选项错误．6．C 解：二次函数y=2（x+1）（x-3）可化为y=2（x-1）2-8的形式，A 、∵此二次函数中a=2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误；B 、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故本选项错误；C 、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，故本选项正确； D 、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x=1，故本选项错误．故选C ． 7．B 解：根据图象可得：a ＞0，c ＜0，对称轴：2bx a=-＞0，①∵它与x 轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0），∴对称轴是x=1，∴2ba-=1，∴b+2a=0，故①错误；②∵a ＞0，∴b ＜0，∵c ＜0，∴abc ＞0，故②错误；③∵a-b+c=0，∴c=b-a ，∴a-2b+4c=a-2b+4（b-a ）=2b-3a ，又由①得b=-2a ，∴a-2b+4c=-7a ＜0，故此选项正确；④根据图示知，当x=4时，y ＞0，∴16a+4b+c ＞0，由①知，b=-2a ，∴8a+c ＞0；故④正确；故正确为：③④两个．8．B 解：∵二次函数y=ax 2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点（-1，0），∴易得：a-b+1=0，a ＜0，b ＞0，由a=b-1＜0得到b ＜1，结合上面b ＞0，所以0＜b ＜1①，由b=a+1＞0得到a ＞-1，结合上面a ＜0，所以-1＜a ＜0②，∴由①②得：-1＜a+b ＜1，且c=1，得到0＜a+b+1＜2，∴0＜t ＜2．故选：B ． 9．B 10．D 11．B 解：当x=0时，y=-6，故函数与y 轴交于C （0，-6），当y=0时，x 2-x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，解得x=-2或x=3，即A （-2，0），B （3，0）；由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，故|m|的最小值为2． 二、填空题12．7 解：∵二次项系数为-1，∴函数图象开口向下，顶点坐标为（2，94），当y=0时，-（x-2）2+94=0，解得x 1=12，得x 2=72．可画出草图为：（右图）图象与x 轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个，为（2，0），（2，1），（2，2），（1，0），（1，1），（3，0），（3，1）．13．解：∵抛物线y=a （x-3）2+k 的对称轴为x=3，且AB ∥x 轴，∴AB=2×3=6，∴等边△ABC 的周长=3×6=18．故答案为：18． 14．①②③ 解：根据图象可得：a ＜0，c ＞0，对称轴：x=2b a -=1，2b a=-1，b=-2a ，∵a ＜0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；把x=-1代入函数关系式y=ax 2+bx+c 中得：y=a-b+c ，由图象可以看出当x=-1时，y ＜0，∴a-b+c ＜0，故②正确；∵b=-2a ，∴a-（-2a ）+c ＜0，即：3a+c ＜0，故③正确；由图形可以直接看出④错误．故答案为：①②③． 15．y 1＞y 2 解：由二次函数y=（x-1）2+1可，其对称轴为x=1，∵x1＞x2＞1，∴两点均在对称轴的右侧，∵此函数图象开口向上，∴在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大∵x1＞x2＞1，∴y1＞y2．故答案为：＞． 16．37解：∵x 2-2（a-1）x+a （a-3）=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴[-2（a-1）]2-4a （a-3）＞0，∴a ＞-1，将（1，0）代入y=x 2-（a 2+1）x-a+2得，a 2+a-2=0，解得（a-1）（a+2）=0，a 1=1，a 2=-2．可见，符合要求的点为0，2，3．∴P=3 7 ．故答案为37． 17．y=x 2+x-2 18．y=-（x+1）2-2 解：二次函数y=（x-1）2+2顶点坐标为（1，2），绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（-1，-2），所以，旋转后的新函数图象的解析式为y=-（x+1）2-2．故答案为：y=-（x+1）2-2．18 解：分段函数y=的图象如图：故要使直线y=m （m 为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，常数m 的取值范围为0＜m ＜2，故答案为：0＜m ＜2．19．272解：如图，过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，∵抛物线平移后经过原点O 和点A （-6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x=-3，得出二次函数解析式为：y=12（x+3）2+h ，将（-6，0）代入得出：0=12（-6+3）2+h ，解得：h=92-，∴点P 的坐标是（-3，92-），根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO 的面积，∴S=|-3|×|92-|=272．故答案为：272．三、解答题20．解：（1）抛物线y=34（x-1）2-3，∵a=34＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为x=1； （2）∵a=34＞0，∴函数y 有最小值，最小值为-3； （3）令x=0，则y=34（0-1）2-3=94-，所以，点P 的坐标为（0，94-），令y=0，则34（x-1）2-3=0，解得x 1=-1，x 2=3，所以，点Q 的坐标为（-1，0）或（3，0），当点P （0，94-），Q （-1，0）时，设直线PQ 的解析式为y=kx+b ，则940b k b ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩，解得9494kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线PQ的解析式为y=94-x94-，当P（0，94-），Q（3，0）时，设直线PQ的解析式为y=mx+n，则9430nm n⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得3494mn⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以，直线PQ的解析式为y=34x94-，综上所述，直线PQ的解析式为y=94-x94-或y=34x94-．3．（2012•佛山）解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1；（2）有理数b=（n≠0）；（3）①当x=0时，y=0，当x=时，y=，当x=1时，y=1，当x=时，y=．故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…②当x=0时，y=0，当x=时，y=，当x=时，y=，当x=时，y=，故当x的取值从0开始每增加个单位时，y 的值依次增加、、…。

要题随堂演练1．为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．(1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？(2)若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1 080立方米的挖土量，且总费用不超过12 960元．问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？2．某学校为改善办学条件，计划采购A，B两种型号的空调，已知采购3台A 型空调和2台B型空调，需费用39 000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6 000元．(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元；(2)若学校计划采购A，B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217 000元，该校共有哪几种采购方案？(3)在(2)的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？3．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km.图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题：(1)慢车的速度为km/h，快车的速度为km/h；(2)解释图中点C的实际意义，并求出点C的坐标；(3)求当x为多少时，两车之间的距离为500 km.4．某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y(元)与上网时间x(小时)的函数关系如图所示，其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线．(1)当x≥30，求y与x之间的函数表达式；(2)若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？(3)若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？参考答案1．解：(1)设每台A型，B型挖掘机一小时分别挖土x立方米和y立方米．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝165，4x ＋7y ＝225， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝15.答：每台A 型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B 型挖掘机一小时挖土15立方米．(2)设A 型挖掘机有m 台，总费用为W 元，则B 型挖掘机有(12－m)台．根据题意得W ＝4×300m＋4×180(12－m)＝480m ＋8 640.∵⎩⎪⎨⎪⎧4×30m＋4×15（12－m ）≥1 080，4×300m＋4×180（12－m ）≤12 960， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m≥6，m≤9.又∵m≠12－m ，解得m≠6，∴7≤m≤9，∴共有三种调配方案．方案一：当m ＝7时，12－m ＝5，即A 型挖掘机7台，B 型挖掘机5台； 方案二：当m ＝8时，12－m ＝4，即A 型挖掘机8台，B 型挖掘机4台； 方案三：当m ＝9时，12－m ＝3，即A 型挖掘机9台，B 型挖掘机3台． ∵480>0，由一次函数的性质可知，W 随m 的减小而减小，∴当m ＝7时，W 最小＝480×7＋8 640＝12 000.答：A 型挖掘机7台，B 型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12 000元．2．解：(1)设A 型空调和B 型空调每台需x 元，y 元．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝39 000，4x －5y ＝6 000， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9 000，y ＝6 000. 答：A 型空调每台需9 000元，B 型空调每台需6 000元．(2)设购买A 型空调a 台，则购买B 型空调(30－a)台．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a≥12（30－a ），9 000a ＋6 000（30－a ）≤217 000，解得10≤a≤1213. ∵a 为整数，∴a＝10，11，12，共有三种采购方案．方案一：采购A 型空调10台，B 型空调20台，方案二：采购A 型空调11台，B 型空调19台，方案三：采购A 型空调12台，B 型空调18台．(3)设总费用为w 元．根据题意可得w ＝9 000a ＋6 000(30－a)＝3 000a ＋180 000(10≤a≤1213且a 为整数)， ∴w 随a 的增大而增大，∴当a ＝10时，w 取得最小值，此时w ＝210 000.答：采购A 型空调10台，B 型空调20台可使总费用最低，最低费用是210 000元．3．解：(1)80 120(2)图中点C 的实际意义是快车到达乙地．∵快车走完全程所需时间为720÷120＝6(h )，∴点C 的横坐标为6，纵坐标为(80＋120)×(6－3.6)＝480，即点C(6，480)．(3)由题意可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为500 km . 即相遇前：(80＋120)x ＝720－500，解得x ＝1.1.相遇后：∵点C(6，480)，∴慢车行驶20 km 两车之间的距离为500 km .∵慢车行驶20 km 需要的时间是2080＝0.25(h )， ∴x＝6＋0.25＝6.25.答：x ＝1.1或6.25时，两车之间的距离为500 km .4．(1)当x≥30时，设函数表达式为y ＝kx ＋b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧30k ＋b ＝60，40k ＋b ＝90，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－30， ∴y＝3x －30.(2)4月份上网20小时，应付上网费60元．(3)由75＝3x －30得x ＝35，∴5月份上网35小时．。

北师大版数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：函数综合—巩固练习（提高）【巩固练习】 一、选择题1.函数1y x =- 中自变量x 的取值范围是( ) A ．x≥－3 B ．x≥－3且x≠1 C ．x≠1 D．x≠－3且x≠12．如图为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA ＝OC ＝1，则下列关系中正确的是( )A. a ＋b ＝－1 B ．a －b ＝－1 C ．b ＜2a D ．ac ＜03．设一元二次方程(x －1)(x －2)＝m(m ＞0)的两实根分别为α、β，则α、β满足( )A ．1＜α＜β＜2B ．1＜α＜2 ＜βC ．α＜1＜β＜2D ．α＜1且β＞24．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P 点经过的路线为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是( )A B C D5．（2015•眉山）如图，A 、B 是双曲线y=上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为（ ）A ．B ．C ． 3D ．46．如图，一次函数y ＝－12x ＋2的图象上有两点A 、B ，A 点的横坐标为2，B 点的横坐标为a(0＜a ＜4且a ≠2)，过点A 、B 分别作x 的垂线，垂足为C 、D ，△AOC 、△BOD 的面积分别为S 1、S 2，则S 1、S 2的大小关系是( )A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．无法确定二、填空题7．抛物线2222y ax ax a =+++的一部分如图所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标 是________．8．在直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x 轴于点B ，斜边AO ＝10，sin∠AOB＝35，反比例函数ky x=(k ＞0)的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ，则点D 的坐标为_______________．第7题 第8题 第9题 9．如图，点A 在双曲线ky x=上，AB⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB ＝2，则k ＝______. 10．（2015•贵港）如图，已知二次函数y 1=x 2﹣x 的图象与正比例函数y 2=x 的图象交于点A （3，2），与x 轴交于点B （2，0），若0＜y 1＜y 2，则x 的取值范围是 .11．如图所示，直线OP 经过点P (4, 4)，过x 轴上的点1、3、5、7、9、11……分别作x 轴的垂线，与直线OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3……S n 则S n 关于n 的函数关系式是________．第11题 第12题12．在直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1O 1、A 2B 2C 2C 1、A 3B 3C 3C 2、…、A n B n C n C n －1按如图所示的方式放置，其中点A 1、A 2、A 3、…、A n 均在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，点C 1、C 2、C 3、…、C n 均在x 轴上．若点B 1的坐标为(1,1)，点B 2的坐标为(3,2)，则点A n 的坐标为____________．三、解答题13．已知，如图所示，正方形ABCD 的边长为4 cm ，点P 是BC 边上不与点B 、C 重合的任意一点，连结AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm ． (1)求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值； (2)当14ycm 时，求x 的值．14.（2015•黄石）大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x （元/件）（x ＞0即售价上涨，x ＜0即售价下降），每月饰品销量为y （件），月利润为w （元）．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润； （3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？15．已知关于x 的二次函数2212m y x mx +=-+与2222m y x mx +=--，这两个二次函数的图象中的一条与x 轴交于A 、B 两个不同的点．(1)试判断哪个二次函数的图象经过A 、B 两点； (2)若A 点坐标为(-l ，0)，试求B 点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过A 、B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小？16. 探究 (1)在下图中，已知线段AB ，CD ，其中点分别为E ，F ．①若A(-1，0)，B(3，0)，则E 点坐标为________； ②若C(-2，2)，D(-2，-1)，则F 点坐标为________；(2)在下图中，已知线段AB 的端点坐标为A(a ，b)，B(c ，d)，求出图中AB 中点D 的坐标(用含a ，b ，c ，d 的代数式表示)，并给出求解过程．归纳 无论线段AB 处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A(a ，b)，B(c ，d)，AB 中点为D(x ，y)时，x ＝________，y ＝_______．(不必证明) 运用 在下图中，一次函数y ＝x-2与反比例函数3y x=的图象交点为A ，B ．①求出交点A ，B 的坐标；②若以A ，O ，B ，P 为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P 的坐标． 【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】由x＋3≥0且x－1≠0，得x≥－3且x≠1.2.【答案】B；【解析】由OA＝OC＝1，得A(－1,0)，C(0,1)，所以1a b cc-+=⎧⎨=⎩则a－b＝－1.3.【答案】D；【解析】当y＝(x－1)(x－2)时，抛物线与x轴交点的横坐标为1,2，抛物线与直线y＝m(m＞0)交点的横坐标为α，β，可知α＜1，β＞2.4.【答案】B；【解析】当点P在AD上时，S△APD＝0；当点P在DC上时，S△APD＝12×4×(x－4)＝2x－8；当点P在CB上时，S△APD＝12×4×4＝8；当点P在BA上时，S△APD＝12×4×(16－x)＝－2x＋32.故选B.5.【答案】B；【解析】过点B作BE⊥x轴于点E，∵D为OB的中点，∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE．设A（x，），则B（2x，），CD=，AD=﹣，∵△ADO的面积为1，∴AD•OC=1，（﹣）•x=1，解得y=，∴k=x•=y=．故选B．6.【答案】A ；【解析】当x ＝2时，y ＝－12x ＋2＝1，A(2,1)，S 1＝S △AOC ＝12×2×1＝1； 当x ＝a 时，y ＝－12x ＋2＝－12a ＋2，B(a ，－12a ＋2)， S 2＝S △BOD ＝12×a×1(2)2a -+＝－14a 2＋a ＝－14(a －2)2＋1，当a ＝2时，S 2有最大值1，当a≠2时，S 2＜1.所以S 1＞S 2.二、填空题 7．【答案】(1，0) ；【解析】2222y ax ax a =+++的对称轴212ax a=-=-，由二次函数的对称性知，抛物线与x 轴两交点关于对称轴对称，所以1222x x ba +=-，所以设另一交点坐标为(x 1，0)，则1312x -+=-，解得x 1＝1，故坐标为(1，0)．8．【答案】32（8，）； 【解析】在Rt△AOB 中，AO ＝10.sin∠AOB＝AB 3=AO 5，则AB ＝6，OB ＝8.又点C 是AC 中点，得C(4,3)，k ＝4×3＝12，12y x =.当x ＝8时，12382y ==.∴D 坐标为32（8，）. 9．【答案】－4；【解析】设A(x ，y)．S △AOB ＝12 OB ·AB＝12·|x|·|y|＝12x·(－y)＝12xy -＝2.所以xy ＝－4，即k ＝－4.10．【答案】2＜x ＜3；【解析】∵二次函数y 1=x 2﹣x 的图象与正比例函数y 2=x 的图象交于点A （3，2），与x 轴交于点B （2，0），∴由图象得：若0＜y 1＜y 2，则x 的取值范围是：2＜x ＜3．11．【答案】(8n －；【解析】设直线OP 的解析式为y ＝kx ，由，得4k ，kx.则S 1＝12＋＝，S 2＝12＋＝，S 3＝12＋＝，……，所以S n ＝4(2n －＝(8n －.12．【答案】 (2n －1－1,2n －1)；【解析】可求得A 1(0,1)，A 2(1,2)，A 3(3,4)，A 4(7,8)，…，其横坐标0,1,3,7…的规律为2n －1－1，纵坐标1,2,4,8…的规律为2n －1，所以点A n 的坐标为(2n －1－1,2n －1)．三、解答题13.【答案与解析】解：(1)∵PQ ⊥AP ，∴∠CPQ+∠APB ＝90°．又∵∠BAP+∠APB ＝90°， ∴∠CPQ ＝∠BAP ，∴ tan ∠CPQ ＝tan ∠BAP ，因此点P 在BC 上运动时始终有BP CQAB PC=． ∵AB ＝BC ＝4，BP ＝x ，CQ ＝y ，∴44x yx=-， ∴2211(4)(44)144y x x x x =--=--++21(2)1(04)4x x =--+<<．∵104a =-<，∴y 有最大值，当x ＝2时，1y =最大(cm)．(2)由(1)知21(4)4y x x =--，当y ＝14cm 时， 211(4)44x x =--，整理，得2410x x -+=． ∵24120b ac -=>，∴(4)22x --±==±x 的值是(2+cm 或(2-cm ．14.【答案与解析】解：（1）由题意可得：y=；（2）由题意可得：w=，化简得：w=，即w=，由题意可知x应取整数，故当x=﹣2或x=﹣3时，w＜6125＜6250，故当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；（3）由题意w≥6000，如图，令w=6000，即6000=﹣10（x﹣5）2+6250，6000=﹣20（x+）2+6125，解得：x1=﹣5，x2=0，x3=10，﹣5≤x≤10，故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．15.【答案与解析】解：(1)对于关于x的二次函数2212my x mx+=-+，由于△＝(-m)2-4×1×22120 2mm+=--<，所以此函数的图象与x轴没有交点．对于关于x的二次函数2222my x mx+=--．由于2222=(-)41()3402m m m +∆+⨯⨯=+＞， 所以此函数的图象与x 轴有两个不同的交点．故图象经过A ，B 两点的二次函数为 2222m y x mx +=--．(2)将A(-1，0)代入2222m y x mx +=--，得22102m m ++-=． 整理，得m 2-2＝0．解之，得m ＝0，或m ＝2．当m ＝0时，y ＝x 2-1．令y ＝0，得x 2-1＝0． 解这个方程，得x 1＝-1，x 2＝1． 此时，B 点的坐标是B(1，0)． 当m ＝2时，223y x x =--． 令y ＝0，得2230x x --=．解这个方程，得x 1＝-1，x 2＝3． 此时，B 点的坐标是B(3，0)．(3)当m ＝0时，二次函数为y ＝x 2-l ，此函数的图象开口向上，对称轴为x ＝0，所以当x ＜0时， 函数值y 随x 的增大而减小．当m ＝2时，二次函数为y ＝x 2-2x-3＝(x-1)2-4，此函数的图象开口向上，对称轴为x ＝l ， 所以当x ＜l 时，函数值y 随x 的增大而减小．16.【答案与解析】解：探究(1)①(1，0)； ②12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)过点A ，D ，B 三点分别作x 轴的垂线，垂足分别为A ′，D ′，B ′，则AA ′∥BB ′∥DD ′． ∵D 为AB 中点，由平行线分线段成比例定理得A ′D ′＝D ′B ′．∴OD ′＝22c a a ca -++=， 即D 点的横坐标是2a c+．同理可得D 点的纵坐标是2b d+， ∴AB 中点D 的坐标为,22a c b d ++⎛⎫⎪⎝⎭， 归纳2a c +，2b d+，运用 ①由题意得2,3.y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得31x y =⎧⎨=⎩， 或 1,3.x y =-⎧⎨=-⎩∴即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1)． ②以AB 为对角线时，由上面的结论知AB 中点M 的坐标为(1，-1)， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴OM ＝MP ，即M 为OP 的中点， ∴P 点坐标为(2，-2)，同理可得分别以OA ，OB 为对角线时，点P 坐标分别为(4，4)，(-4，-4)， ∴满足条件的点P 有三个，坐标分别是(2，-2)，(4，4)，(-4，-4)．。

初三数学函数专题复习北师大版（一）一次函数 1. 定义：在定义中应注意的问题y ＝kx ＋b 中，k 、b 为常数，且k ≠0，x 的指数一定为1。

2.图象及其性质（1）形状：直线（）时，随的增大而增大，直线一定过一、三象限时，随的增大而减小，直线一定过二、四象限200ky x ky x （）若直线：：3111222l yk xb l y k xb 当时，；当时，与交于，点。

k k l l b b b l l b 121212120//()（4）当b>0时直线与y 轴交于原点上方；当b<0时，直线与y 轴交于原点的下方。

（5）当b=0时，y ＝kx （k ≠0）为正比例函数，其图象是一过原点的直线。

（6）二元一次方程组与一次函数的关系：两一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。

3.应用：要点是（1）会通过图象得信息；（2）能根据题目中所给的信息写出表达式。

【例题分析】例1. 已知一次函数y ＝kx ＋2的图象过第一、二、三象限且与x 、y 轴分别交于A 、B两点，O 为原点，若ΔAOB 的面积为2，求此一次函数的表达式。

例2. 小明用的练习本可以在甲商店买，也可以在乙店买，已知两店的标价都是每本1元，但甲店的优惠条件是：购买10本以上从第11本开始按标价的70%卖，乙店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%卖。

（1）小明买练习本若干本（多于10）设购买x 本，在甲店买付款数为y 1元，在乙店买付款数为y 2元，请分别写出在两家店购练习本的付款数与练习本数之间的函数关系式；（2）小明买20本到哪个商店购买更合算？（3）小明现有24元钱，最多可买多少本？（二）反比例函数 1.定义：应注意的问题：中（）是不为的常数；（）的指数一定为“”ykxk x 1021 2.图象及其性质：（1）形状：双曲线（）对称性：是中心对称图形，对称中心是原点是轴对称图形，对称轴是直线和212()()yx yx（）时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内随的增大而减小时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内随的增大而增大300ky x ky x （4）过图象上任一点作x 轴与y 轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。

要题随堂演练1．若b ＞0，则一次函数y ＝－x ＋b 的图象大致是( )2．下列函数中，对于任意实数x 1，x 2，当x 1＞x 2时，满足y 1＜y 2的是( )A ．y ＝－3x ＋2B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝2x 2＋1 D ．y ＝－1x 3．如图，直线l 是一次函数y ＝kx ＋b 的图象，如果点A(3，m)在直线l 上，则m 的值为( )A ．－5 B.32 C.52D ．7 4．对于实数a ，b ，定义符号min {a ，b}，其意义为：当a≥b 时，min {a ，b}＝b ；当a ＜b 时，min {a ，b}＝a.例如：min ＝{2，－1}＝－1，若关于x 的函数y ＝min {2x －1，－x ＋3}，则该函数的最大值为( )A.23 B ．1 C.43 D.535．将直线y ＝x 向上平移2个单位长度，平移后直线的表达式为 .6．如图，直线y ＝kx ＋b 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，则不等式x(kx ＋b)＜0的解集为 ．7．设点(－1，m)和点(12，n)是直线y ＝(k 2－1)x ＋b(0＜k ＜1)上的两个点，则m ，n 的大小关系为 ．8．如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A ，B ，将△AOB 沿直线AB翻折得△ACB.若C(32，32)，则该一次函数的表达式为_____________．9．已知一次函数的图象经过A(－2，－3)，B(1，3)两点．(1)求这个一次函数的表达式；(2)试判断点P(－1，1)是否在这个一次函数的图象上；(3)求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积．参考答案1．C 2.A 3.C 4.D5．y ＝x ＋2 6.－3＜x ＜0 7.m ＞n 8.y ＝－3x ＋ 39．解：(1)设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－3＝－2k ＋b ，3＝k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1， ∴函数的表达式为y ＝2x ＋1.(2)将点P(－1，1)代入函数表达式，1≠－2＋1，∴点P 不在这个一次函数的图象上．(3)当x ＝0时，y ＝1，当y ＝0时，x ＝－12， 此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为12×1×|－12|＝14.。

锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b的平方和等于斜边 c 的平方。

a 2b2 c 22、如下图，在Rt △ABC中，∠ C为直角，则∠ A 的锐角三角函数为 ( ∠A 可换成∠ B)：定义表达式取值范围关系正sin A A的对边sin Aa 0 sin A 1 sin A cosB弦斜边c( ∠ A 为锐角 )cos A sin B余cos A A的邻边cos A b 0 cos A 1 sin 2 A cos2 A 1 弦斜边 c ( ∠ A 为锐角 )正的对边a tan A 0 tan A cot Btan A A tan A cot A tan B切A的邻边 b ( ∠ A 为锐角 )1tan A ( 倒数 )余cot A A的邻边cot Ab cot A 0 cot Atan A cot A 1切A的对边 a ( ∠ A 为锐角 )3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

B sin A cosB 由 A B 90 sin A cos(90 A)对cos A sin B 得 B 90 A cos A sin(90 A) 斜边 c a边bA C邻边4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

tan A cot B 由 A B 90 tan A cot(90 A)cot A tan B 得 B 90 A cot A tan(90 A)5、 0°、 30°、 45°、 60°、 90°特殊角的三角函数值( 重要 )三角函数0°30°45°60°90°sin 0 1 2 312 2 2cos 1 3 2 1 02 2 2tan 0 3 1 3 -3cot - 3 1 3 036、正弦、余弦的增减性：当 0°≤≤ 90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。

2019-2020年九年级总复习（北师大版） 第三章 第5节 二次函数的图象和性质二次函数的定义形如y ＝________________(其中a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数． 二次函数的图象及性质1．图象：二次函数的图象是________．2．抛物线的开口与最值：当a ＞0时，抛物线的开口向________，顶点的纵坐标是函数的________值；当a ＜0时，抛物线的开口向________，顶点的纵坐标是函数的________值．3．性质：当a ＞0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而________，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而________；当a ＜0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而________，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而________．4．抛物线y ＝a(x －h)2＋k 是由抛物线y ＝ax 2通过平移得到的，平移后的顶点坐标为(h ，k)．二次函数的解析式1．一般式：y ＝________________. 2．顶点式：y ＝________________. 3．交点式：y ＝________________. 二次函数与一元二次方程b 2－4ac ＞0⇔抛物线与x 轴有______个交点；b 2－4ac ＝0⇔抛物线与x 轴有且只有________公共点； b 2－4ac ＜0⇔抛物线与x 轴________公共点．二次函数的图象和性质 【例1】(1)(xx·新疆)对于二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象，下列说法正确的是( C ) A ．开口向下 B ．对称轴是x ＝－1 C ．顶点坐标是(1，2) D ．与x 轴有两个交点(2)已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152.若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( A )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＜y 3＜y 1将二次函数的解析式化成顶点式，作出草图，根据二次函数的性质即可解答，数形结合是解决此类问题的常用方法．二次函数与一元二次方程【例2】已知y 关于x 的函数y ＝(k －1)x 2－2kx ＋k ＋2的图象与x 轴有交点． (1)求k 的取值范围；(2)若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足(k －1)x 12＋2kx 2＋k ＋2＝4x 1x 2. ①求k 的值；②当k ≤x ≤k ＋2时，请结合函数图象确定y 的最大值和最小值．解：(1)当k ＝1时，函数为一次函数y ＝－2x ＋3，其图象与x 轴有一个交点；当k ≠1时，Δ＝(－2k )2－4(k －1)(k ＋2)≥0，解得k ≤2，即k ≤2且k ≠1.综上可知，k 的取值范围是k ≤2 (2)①∵x 1≠x 2，则由(1)知k ＜2且k ≠1.由题意得(k －1)x 12＋(k ＋2)＝2kx 1，将其代入(k －1)x 12＋2kx 2＋k ＋2＝4x 1x 2中，得2k (x 1＋x 2)＝4x 1x 2.∵x 1＋x 2＝2kk －1，x 1x 2＝k ＋2k －1，∴2k ·2kk －1＝4·k ＋2k －1，解得k 1＝－1，k 2＝2(不合题意，舍去)，故所求k 值为－1②如图，∵k ＝－1，y ＝－2x 2＋2x ＋1＝－2(x －12)2＋32且－1≤x ≤1，∴由图象可知：当x ＝－1时，y 最小＝－3；当x ＝12时，y 最大＝32，∴y 的最大值为32，最小值为－3二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴的两个交点的横坐标为x 1，x 2，即为一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根． 确定二次函数的解析式【例3】(xx·呼和浩特)如图，已知直线l 的解析式为y ＝12x －1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过点A(m ，0)，B(2，0)，D(1，54)三点．(1)求抛物线的解析式及A 点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象； (2)已知点P(x ，y)为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P 作PE 垂直x 轴于点E ，延长PE 与直线l 交于点F ，请你将四边形PAFB 的面积S 表示为点P 的横坐标x 的函数，并求出S 的最大值及S 最大时点P 的坐标；(3)将(2)中S 最大时的点P 与点B 相连，求证：直线l 上的任意一点关于x 轴的对称点一定在PB 所在直线上．解：(1)y ＝－14x 2－12x ＋2，A (－4，0)，图象略 (2)S ＝12AB·PF ＝12×6×[(－14x 2－12x ＋2)－(12x －1)]＝－34x 2－3x ＋9＝－34(x ＋2)2＋12，其中－4＜x ＜0，∴S 最大＝12，P (－2，2) (3)∵直线PB 过P (－2，2)和B (2，0)，可求直线PB 为y ＝－12x ＋1，设Q (a ，12a －1)是直线y ＝12x －1上任一点，∴Q 关于x 轴对称点为(a ，1－12a )，将(a ，1－12a )代入y ＝－12x ＋1，成立，∴一定在PB 所在直线上(1)将B ，D 两点坐标代入，可求出a ，b 的值；(2)由S 四边形PAFB ＝12AB·PF 可得S 与x关系式，确定最大值；(3)求直线PB 解析式，再将对称点的坐标代入检验，得出结论．真题热身 1．(xx·海南)将抛物线y ＝x 2平移得到抛物线y ＝(x ＋2)2，则这个平移过程正确的是( A ) A ．向左平移2个单位 B ．向右平移2个单位 C ．向上平移2个单位 D ．向下平移2个单位2．(xx·昭通)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( B )A ．a ＞0B ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根C ．a ＋b ＋c ＝0D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小3．(xx·淄博)如图，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点B(0，－2)，它与反比例函数y ＝－8x的图象交于点A(m ，4)，则这个二次函数的解析式为( A )A ．y ＝x 2－x －2B ．y ＝x 2－x ＋2C ．y ＝x 2＋x －2D ．y ＝x 2＋x ＋24．(xx·东营)若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( D )A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－25．(xx·天津)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0没有实数根，有下列结论：①b 2－4ac ＞0；②abc ＜0；③m ＞2.其中，正确结论的个数是( D )A ．0B ．1C ．2D ．3 6．(xx·北京)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝2x 2＋mx ＋n 经过点A(0，－2)，B(3，4)．(1)求抛物线的表达式及对称轴；(2)设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G(包含A ，B 两点)．若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图象，求点D 纵坐标t 的取值范围．解：(1)y ＝2x 2－4x －2，对称轴x ＝1(2)由题意可知C (－3，－4)，二次函数y ＝2x 2－4x －2的最小值为－4，由图象可以看出D 点纵坐标最小值即为－4，最大值即BC 与对称轴交点的纵坐标，易求直线BC 的解析式y ＝43x ，当x ＝1时y ＝43，－4≤t ≤43。