线性系统的校正方法a——不稳定自振交点b
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线性系统的校正方法详解演示文稿
这类问题称为系统的综合与校正，或者称为 系统的设计。
系统设计的目的：在系统中引入合适的附加装 置，使原有系统的缺点得到校正，从而满足一定的 性能指标，引入的附加装置称为校正装置。
6.1 校正的基本概念
在研究系统校正装置时, 将系统中除了校正装 置以外的部分, 包括被控对象及控制器的基本组成 部分一起, 称为“原有部分” 。
4. 干扰补偿
干 扰 补 偿 装 置 Gc(s) 直 接 或 间 接 测 量 干 扰 信 号 n(t)，并经变换后接入系统，形成一条附加的、对 干扰的影响进行补偿的通道，如图6-4所示。
图6-4 干扰补偿
根据校正装置的特性，校正装置可分为超前 校正装置、滞后校正装置和滞后-超前校正装置。
(1) 超前校正装置
因此, 控制系统的校正, 就是按给定的原有部 分和性能指标, 设计校正装置。
6.1.1 系统的性能指标
系统的性能指标，按其类型可以分为： (1) 时域性能指标：包括稳态性能指标和动态 性能指标； (2) 频域性能指标：包括开环频域指标和闭环 频域指标； (3) 综合性能指标(误差积分准则) 。
1. 时域性能指标
超前校正网络加放大器后，校正装置的传递函数
Gc (s)
U o (s) Ui (s)
1 Ts
1 Ts
,
1
其频率特性
Gc
(
j
)
1 1
jT jT
可见，超前校正环节的结构是确定的，但 参数可调，现在的任务就是确定参数a，T，使 系统满足给定的性能指标。
L( ) / dB 20 lg
20 dB/d ec 10 lg
校正装置输出信号在相位上超前于输入信号， 即校正装置具有正的相角特性，这种校正装置称 为超前校正装置，对系统的校正称为超前校正。
系统设计的目的：在系统中引入合适的附加装 置，使原有系统的缺点得到校正，从而满足一定的 性能指标，引入的附加装置称为校正装置。
6.1 校正的基本概念
在研究系统校正装置时, 将系统中除了校正装 置以外的部分, 包括被控对象及控制器的基本组成 部分一起, 称为“原有部分” 。
4. 干扰补偿
干 扰 补 偿 装 置 Gc(s) 直 接 或 间 接 测 量 干 扰 信 号 n(t)，并经变换后接入系统，形成一条附加的、对 干扰的影响进行补偿的通道，如图6-4所示。
图6-4 干扰补偿
根据校正装置的特性，校正装置可分为超前 校正装置、滞后校正装置和滞后-超前校正装置。
(1) 超前校正装置
因此, 控制系统的校正, 就是按给定的原有部 分和性能指标, 设计校正装置。
6.1.1 系统的性能指标
系统的性能指标，按其类型可以分为： (1) 时域性能指标：包括稳态性能指标和动态 性能指标； (2) 频域性能指标：包括开环频域指标和闭环 频域指标； (3) 综合性能指标(误差积分准则) 。
1. 时域性能指标
超前校正网络加放大器后，校正装置的传递函数
Gc (s)
U o (s) Ui (s)
1 Ts
1 Ts
,
1
其频率特性
Gc
(
j
)
1 1
jT jT
可见，超前校正环节的结构是确定的，但 参数可调，现在的任务就是确定参数a，T，使 系统满足给定的性能指标。
L( ) / dB 20 lg
20 dB/d ec 10 lg
校正装置输出信号在相位上超前于输入信号， 即校正装置具有正的相角特性，这种校正装置称 为超前校正装置，对系统的校正称为超前校正。
第6章线性系统校正方法
,可得超前校正传递函数
1 aTs Gc (s) 1 Ts
6）校验指标。
当系统仍不满足要求时，则增大ε值，从2）算起。
k 例: 设单位负反馈系统开环传函： G0 (s) s(s 1)
要使系统
（1）稳态速度误差系数Kv=12 （2）相位裕量 400，试设计一个校正装置。
解： (1)根据稳态误差要求，确定开环增益K
Kv
lim
s0
sG
0
(s)
lim s
s0
k s(s 1)
12
k
12
原系统频率特性
G0 (jω)
12 jω(jω 1)
L( ) dB
20 -20dB/dec
-40dB/dec
画出原系统bode图
0
3.5
( )
90
求出原系统性能
0
剪切频率ωc0 ＝3.5 rad /s 相角裕量 0 =150
RC超前网络
G(s) E0 (s) R2
R1Cs 1
E1 (s)
R1 R2
R2 R1 R2
R1Cs 1
常用如下形式：
Gc
(s)
1 aTs（a 1 Ts
1）
PD超前校正作用大于带惯性环节的PD 但后者在提高系统抗高频干扰能力方面优于前者
最大补偿相角c ()和m
为了准确复现输入信号，要求系统具有较大带宽；而要抑 制噪声，则不想系统带宽过大。
因此，合理选择控制系统的带宽，在系统设计中是一个很 重要的问题。
系统带宽的确定
如输入信号带宽为 1 ~ n ，噪声信号集中起作 用的频带为 0 ~ M ，则控制系统的带宽频率
自动控制原理第六章线性系统的校正方法
对数幅频特性曲线如下图
16
10 3) 预选Gc(s)=τs+1，则 Gk ( s ) = (τs + 1) s ( s + 1)
′ 要求τ使系统满足 γ ′′ 和 ω c′ 的要求。 ′ 选择 ω c′=4.4dB/dec，求τ，则：
" L( wc ) = 20 lg 10 − 20 lg 4.4 − 20 lg 4.4 + 20 lg 4.4τ
1 / 2T 则 Gk ( s ) = s (Ts + 1)
其相频特性为： ϕ (ω ) = −90o − arctan Tω
1 = 63.5o γ (ωc ) = 180 + ϕ (ωc ) = 180 − 90 − arctan T ⋅ 2T
o o o
h=∞
21
∴由 ξ = 0.707 得性能指标为：
2
N R E
串联 校正 控制器 对象
已知被控对象数学模型 G p (s)，即根据生产要求而 得到的系统数学模型，称为 固有部分数学模型，在工程 实际中是不能改变的。
C
反馈 校正
根据固有数学模型和性能要求进行分析，若现有闭环情况 下没有满足的性能指标或部分没有满足要求的性能指标，则人 为的在固有数学模型基础上，另加一些环节，使系统全面满足 性能指标要求，这个方法或过程称为校正，也称为系统设计。 所附加的环节被称为控制器，其物理装置称为校正装置。 通常记为Gc(s)
2 2 典型二阶系统可表示为： ωn ωn Φ(s) = 2 Gk ( s) = 2 s ( s + 2ξω n ) s + 2ξω n s + ω n
ξ
19
2 ωn C ( jω ) Φ ( jω ) = = =1 2 2 R ( jω ) ( jω ) + 2ξωn ⋅ jω + ωn 2 ωn
第六章 线性系统的校正方法
Байду номын сангаас
（2）、高阶系统频域指标与时域指标的关系
1 谐振峰值M r sin 超调量 0.16 0.4( M r 1) 调节时间t s K 0 (1 M r 1.8)
c
K 0 2 1.5( M r 1) 2.5( M r 1) 2
(1 M r 1.8)
Ts 2 (Ts 1) i 系统的型次由原来的Ⅰ型提高到Ⅱ型→稳态误差ess↓. G(s) K 0 K p (Ts 1) i
r(t) 例：对单位斜坡（速度）输入， t,
1 1 加校正前： ess K v K0
加校正后： e 1 1 0 ss
Kv
K v lim sG(s)H(s)
N
对象
图 前馈校正
N（S）
C
Gn (S )
R(s)
Gr (S )
+
E（S）
-
G1 ( S )
+
C(s)
G2 ( S )
E（S）
R(s) -
) S ((1S ) G1 G
+
C(s)
G2 ( S )
(a)按扰动补偿的复合校正
(b)按输入补偿的复合校正
串联校正设计和反馈校正在实际控制系统中用得较多，串联校 正比反馈校正简单。在性能指标要求较高的控制系统设计中， 常常把串联校正与反馈校正结合起来使用。
4. 控制系统基本规律 按反馈原理构成的控制系统，主要是利用偏差信号e(t)来对系 统起控制作用。为了提高系统的控制性能，可以改造信号e(t)，使 e(t)按照某种函数关系加以变换，形成所需要的控制规律。 m(t)=f[e(t)] 所谓PID控制规律，就是一种对偏差信号e(t)进行比例、积分、 微分变换的控制规律，即：
（2）、高阶系统频域指标与时域指标的关系
1 谐振峰值M r sin 超调量 0.16 0.4( M r 1) 调节时间t s K 0 (1 M r 1.8)
c
K 0 2 1.5( M r 1) 2.5( M r 1) 2
(1 M r 1.8)
Ts 2 (Ts 1) i 系统的型次由原来的Ⅰ型提高到Ⅱ型→稳态误差ess↓. G(s) K 0 K p (Ts 1) i
r(t) 例：对单位斜坡（速度）输入， t,
1 1 加校正前： ess K v K0
加校正后： e 1 1 0 ss
Kv
K v lim sG(s)H(s)
N
对象
图 前馈校正
N（S）
C
Gn (S )
R(s)
Gr (S )
+
E（S）
-
G1 ( S )
+
C(s)
G2 ( S )
E（S）
R(s) -
) S ((1S ) G1 G
+
C(s)
G2 ( S )
(a)按扰动补偿的复合校正
(b)按输入补偿的复合校正
串联校正设计和反馈校正在实际控制系统中用得较多，串联校 正比反馈校正简单。在性能指标要求较高的控制系统设计中， 常常把串联校正与反馈校正结合起来使用。
4. 控制系统基本规律 按反馈原理构成的控制系统，主要是利用偏差信号e(t)来对系 统起控制作用。为了提高系统的控制性能，可以改造信号e(t)，使 e(t)按照某种函数关系加以变换，形成所需要的控制规律。 m(t)=f[e(t)] 所谓PID控制规律，就是一种对偏差信号e(t)进行比例、积分、 微分变换的控制规律，即：
第六章线性系统的校正方法
第六章线性系统的校正方法第六章线性系统的校正方法一、教学目的与要求：通过对本章内容的讲述，要让学生懂得校正的目的，校正的基本方式。
掌握控制系统的基本控制规律，常用校正装置的特点与功能，串联超前、滞后、滞后- 超前校正的设计步骤。
关键是通过这些知识的学习，将前面几章的内容综合起来加以运用，本章知识是在实际应用中的指导思想。
二、授课主要内容：1．系统的设计与校正问题1）性能指标2）校正方式3）基本控制规律2．常用校正装置及其特性1）无源校正装置2）有源校正装置3．串联校正1）串联超前校正2）串联滞后校正3）串联滞后—超前校正（详细内容见讲稿）三、重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学）（1）重点掌握的内容1）掌握用解析法设计一阶、二阶串联校正装置的方法。
2）掌握本书介绍的两大类利用Bode 图设计串级校正装置的频率域方法。
3）掌握本书中介绍的前馈校正装置（包括前置滤波器）的设计方法。
（2）一般掌握的内容1）掌握用解析法设计串联PID 控制器的方法。
2）掌握用解析法设计并联校正装置的方法。
（3）一般了解的内容1）了解校正的四大方式及其作用。
2）了解校正装置的RC 网络实现的物理构成。
3）了解解析法设计一般二次校正装置的思想。
4）了解频率域与时域指标间的互换公式。
四、主要外语词汇性能指标performance specification 校正方式compensation mode 基本控制规律basic control rule 串联校正series compensation 反馈校正feedbackcompensation 超前校正lead compensation 滞后校正lag compensation 超前-滞后校正lag-lead compensation 复合校正complex compensation五、辅助教学情况（见课件）六、复习思考题1. 什么是控制系统的校正？什么是串联校正方式？校正装置的选取原则是什么？2. 简述串联校正方式中调节器的设计方法并说明各设计方法的特点？3. 比例微分控制规律对改变系统的性能有什么作用？4. 比例积分控制规律对改变系统的性能有什么作用？5. Kc、Ti 及Td 改变后对系统控制质量的影响如何?6. 分析积分作用的强弱，对系统有何影响？7. 将PID 环节中的微分部分改为不完全微分形式，曲线形状如何？七、参考教材（资料）1．《自动控制理论与设计》曹柱中徐薇莉编上海交通大学出版社2．《自动控制原理》翁思义杨平编著中国电力出版社参考两书第六章有关内容。
自动控制原理课件之第六章线性系统的校正方法
1. 常用时域性能指标（主要对阶跃响应定义） 超调量、调节时间、上升时间、无差度、稳态 误差或开环增益等。
编辑ppt
7
2. 常用的频域指标 闭环频域指标：峰值比Mr /M0、峰值频率、带宽 开环频域指标：剪切频率、稳定裕度
3. 常用的复数域指标 通常以系统闭环极点在复平面的分布区域来定义。
可采用某种组合。
编辑ppt
14
三、校正设计的方法
1. 频率法 基本思想：利用适当校正装置的Bode图，配合 开环增益调整来修改原来开环系统Bode图，使 得开环系统经校正和增益调整后的Bode图符合 性能指标要求。
原开环Bode图＋校正环节Bode图＋增益调 整＝校正后的开环Bode图
编辑ppt
➢ 一个具体系统对指标的要求应有所侧重 调速系统对平稳性和稳态精度要求严格； 随动系统对快速性期望很高。
➢ 性能指标的提出要有依据，不能脱离实际 负载能力的约束； 能源功率的约束等。
编辑ppt
10
二、几种校正方式
➢ 根据校正装置加入系统的方式和所起的作用不同， 可将其作如下分类：
R(s) +
η
θ
编辑ppt
8
几点说明： ➢ 上述这些性能指标之间有一定的换算关系，但有时
很复杂。 ➢ 动态性能各指标之间对系统的参数与结构的要求往
往存在矛盾。 稳态误差与稳定性对系统开环增益、积分环节
数目的要求； 系统快速性与抑制噪声能力对带宽的要求。
编辑ppt
9
➢ 性能指标通常由控制系统的使用单位或被控对象的 制造单位提出。
4. 校正的实质 ➢ 通过改变系统的零极点来改变系统性能。
编辑ppt
5
5.校正装置的实现 通常是参数易于调整的专用装置（模电或数电装 置） 校正方式多样化：串联校正、反馈校正、前馈补 偿等 注意：校正方案不唯一
编辑ppt
7
2. 常用的频域指标 闭环频域指标：峰值比Mr /M0、峰值频率、带宽 开环频域指标：剪切频率、稳定裕度
3. 常用的复数域指标 通常以系统闭环极点在复平面的分布区域来定义。
可采用某种组合。
编辑ppt
14
三、校正设计的方法
1. 频率法 基本思想：利用适当校正装置的Bode图，配合 开环增益调整来修改原来开环系统Bode图，使 得开环系统经校正和增益调整后的Bode图符合 性能指标要求。
原开环Bode图＋校正环节Bode图＋增益调 整＝校正后的开环Bode图
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➢ 一个具体系统对指标的要求应有所侧重 调速系统对平稳性和稳态精度要求严格； 随动系统对快速性期望很高。
➢ 性能指标的提出要有依据，不能脱离实际 负载能力的约束； 能源功率的约束等。
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10
二、几种校正方式
➢ 根据校正装置加入系统的方式和所起的作用不同， 可将其作如下分类：
R(s) +
η
θ
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8
几点说明： ➢ 上述这些性能指标之间有一定的换算关系，但有时
很复杂。 ➢ 动态性能各指标之间对系统的参数与结构的要求往
往存在矛盾。 稳态误差与稳定性对系统开环增益、积分环节
数目的要求； 系统快速性与抑制噪声能力对带宽的要求。
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9
➢ 性能指标通常由控制系统的使用单位或被控对象的 制造单位提出。
4. 校正的实质 ➢ 通过改变系统的零极点来改变系统性能。
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5
5.校正装置的实现 通常是参数易于调整的专用装置（模电或数电装 置） 校正方式多样化：串联校正、反馈校正、前馈补 偿等 注意：校正方案不唯一
第六章 线性系统的校正方法
无源迟后网络 返回
• 传递函数为：
Gc
(s)
1 bTs， 1 Ts
b
1
1/T b m
m
arcsin1 1
b b
无源迟后网络作用 返回
无源迟后—超前网络 返回
•
传递函数为：
Gc (s)
(1 Ta s)(1 Tbs)
(1 Ta s)(1 Tbs )
,
1
第六章 线性系统的校正方法
6.1 引 言 性 6.2 常用校正装置及其特性 6.3 串 联 校 正 6.4 反 馈 校 正 本章作业
End
6.1 引言
6.2 6.3 6.4
1. 校正的概念 2. 性能指标与校正方法 3. 校正的本质 4. 校正方式 ：串联 反馈 顺馈 复合 5. 基本控制规律 ：
6.1 6.2 6.3
G1(s) Hc(s)
G(s)
G1 ( s ) 1 G1(s)Hc (s)
若G1(
j)Hc (
j ) 1
则G(
j )
1
Hc ( j )
❖利用反馈校正改变局部结构、参数
➢比例反馈包围积分环节:
G1 ( s )
➢比例反馈包围惯性环节
K
/
s,
Hc
(s)
K h , G(s)
1
K
1/ Kh s / KK
Kd
s
Ki
s
K i (1 T 1 s)(1 T 2 s)
s
6.2 常用校正装置及其特性
• 无源校正网络 – 无源超前网络 作用 – 无源迟后网络 作用 – 无源迟后—超前网络
• 有源校正网络
6.1 6.3 6.4
6.3 串联校正 6.1 6.2 6.4
线性系统的校正方法
6－1 系统的设计与校正问题
输入r e
放大装置
执行装置
测量装置
被控对象
输出c
控制系统设计的目的：
是将构成控制器的元件与被控对象适当组合起来， 使之满足控制精度、阻尼程度和响应速度的性能指标要 求。如果通过调整放大器增益后仍不能满足设计指标， 则需要增加校正装置。 校正：在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的 机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定 的各项性能指标。
6－1 系统的设计与校正问题
一. 性能指标
1.谐振峰值 2.谐振频率 3.带宽频率 4.截止频率 5.相角裕度
Mr 1 2 1
2
r n 1 2
b n 1 2
2
2
4
2 4
2
4
4
c n
1 4
arct an
2
4
2
6－1 系统的设计与校正问题
三.校正方式
R(s) -
对参数变化敏感，简单易用。
C(s)
1.串联校正 Gc(s) 超前、滞后和滞后—超前等环节。
e
串联校正 控制器 对象
2.反馈校正
R(s) e C(s) 控制器 对象 反馈校正
反馈校正可以削弱系统非线性特性的影响，提高响应 速度，降低对参数变化的敏感性以及抑制噪声的影响。
解：由超前校正传递函数 a 1 可得a=4,再由 m arcsin 37
a 1
a 4.4 T
6－2 常用校正装置及其特性
一.串联超前校正
例：某最小相位系统的开环对数幅频特性如图所 示，其中ABCD是校正前系统的图，ABEFL是加入某 种串联校正环节后的图。
自动控制原理第六章线性系统的校正方法
5 • 20 •c • 6 •c 1 c •1• • 200 •cc
c 3rad s
230
验算指标(相角裕度) c 2.1rad s
(20j 1)(6j 1) • 5
1
(200j 1)(0.3j 1)j(j 1)(0.25j 1)
180 0＋(c)
（2）画出未校正系统的伯德图，计算未校正系统的
相角裕度和截止频率。
（3）根据设计要求，确定期望相角裕度和截止频率。
Mr
1
sin
,
350 900
超调量 0.16 0.4(Mr 1), 1 Mr 1.8
调节时间
ts
K c
K 2 1.5(M r 1) 2.5(M r 1)2
超调量 0.3 0.16 0.4( 1 1) , 1 1.35 460
装置：
(1)
Kv
70
1 s
(2)
ts 0.1S
(3) % 30%
解(1) 根据I型系统和速度误差系统要求取:K=70
G( j)
70
j(0.12 j 1)(0.02 j 1)
70
exp j 90 tg-10.12 tg-10.02
(0.12)2 1 (0.02)2 1
(2)绘制未校正系统的伯德图，如图红线所示。由图可知
1
2
1 10
1.35 1.35
＝ 1
1 2.6
，
2＝2
rad s
1 1 1.35 ＝ 1 ,
3 10 1.35 1 17.4
3
20
ra
d s
L( )dB
60
40 20 0 0.1 -20
-20
LLc () -40
第六章线性系统校正方法共68页
通过调节增益改变系统性能，但有时不能满足 要求。
用什么校正？ • 校正装置——为了改善系统性能，引入的附加装
置叫作校正装置，也叫补偿器； • 校正装置可以是电气的、机械的、气动的、液压
的或其他形式的元件组成； • 电气的校正装置分为有源的和无源的两种，应用
无源的校正装置时，要考虑负载效应。
8
校正方式？
兼顾上述两种方法的优点，可以产生滞后超前校正 网络。
29
无源滞后-超前网络
网络传递函数
Gc(s)TaTbs(2Tas(Ta1)T (TbbsT1a)b)s1
U1
Ta R1C1, Tb R2C2, TabR1C2
R1
C1
R2 U 2
C2
G c ( s ) ( ( T T 1 a s s 1 1 ) )T T 2 b ( ( s s 1 1 ) ),T 1 T 2 T a T b ,T 1 T 2 T a T b T ab
R1
R2
1 CS
(R2
1) CS
R2Cs1 (R1 R2)Cs1
U1
bTs1 Ts1
T (R1 R2)C,
b R2 1 R1 R2
R2 U 2 C
m 1
Tb
m
arcsi1nb 1b
L( )
无源滞后网络对低频信号 20dB/dec
20 log b
不产生衰减，对高频噪声
2、如系统稳定且有较满意的误差，但其动态性能 较差，则应改变系统的中频段和高频段，以改 变系统的截止频率和相角裕度；
3、如果一个系统的稳态和动态性能均不能令人满 意，就必须增加低频增益，并改变中频段和高 频段。
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用什么校正？ • 校正装置——为了改善系统性能，引入的附加装
置叫作校正装置，也叫补偿器； • 校正装置可以是电气的、机械的、气动的、液压
的或其他形式的元件组成； • 电气的校正装置分为有源的和无源的两种，应用
无源的校正装置时，要考虑负载效应。
8
校正方式？
兼顾上述两种方法的优点，可以产生滞后超前校正 网络。
29
无源滞后-超前网络
网络传递函数
Gc(s)TaTbs(2Tas(Ta1)T (TbbsT1a)b)s1
U1
Ta R1C1, Tb R2C2, TabR1C2
R1
C1
R2 U 2
C2
G c ( s ) ( ( T T 1 a s s 1 1 ) )T T 2 b ( ( s s 1 1 ) ),T 1 T 2 T a T b ,T 1 T 2 T a T b T ab
R1
R2
1 CS
(R2
1) CS
R2Cs1 (R1 R2)Cs1
U1
bTs1 Ts1
T (R1 R2)C,
b R2 1 R1 R2
R2 U 2 C
m 1
Tb
m
arcsi1nb 1b
L( )
无源滞后网络对低频信号 20dB/dec
20 log b
不产生衰减，对高频噪声
2、如系统稳定且有较满意的误差，但其动态性能 较差，则应改变系统的中频段和高频段，以改 变系统的截止频率和相角裕度；
3、如果一个系统的稳态和动态性能均不能令人满 意，就必须增加低频增益，并改变中频段和高 频段。
12
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描述函数的概念
针对一任意非线性系统，设输入x=Xsinωt, 输出波形为y(t)，则可以将y(t)表示为富 氏级数形式
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1 A0 Yn sin(nt n ) n1
式中：A0
1
2
2
y(t)dt
0
1
An
2
y(t) cos ntdt
当微小扰动使振幅A减小到d点， d点“(-1,j0)”未被G(j )轨 迹包围，系统稳定；
振幅A继续减小； 不能返回到a。 a点为不稳定自振交点。
微小扰动
当微小扰动使振幅A增大到e点时， e点“(-1,j0)”未被G(j )轨迹包围， 系统稳定； 振幅A减小； 返回到b。
当微小扰动使振幅A减小到f点， f点“(-1,j0)” 被G(j )轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A增大； 返回到b。
(A 0)
死区继电器特性
N(A) 4M 1 ( a )2
A
A
(A a)
滞环继电器特性
N(A) 4M sin 1 h (A h)
A
A
间隙、滞环特性
N(A) A12 B12 tg1 A1
A
B1
(A a)
A1
4kA [( a )2 A
a] A
B1
kA
[ 2
sin 1 (1
2a ) A
y(t) A1 cost B1 sint Y1 sin(t 1)
式中：Y1
A12
B12，1
arctan
A1 B1
非线性元件在正弦输入下，其输出也是一个同频率 的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。这与线性 元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的相似性 ，故称上述近似处理为谐波线性化。
一般高次谐波的振幅小于基波的振幅，因而为 进行近似处理提供了可靠的物理基础。
① G(j)不包围负倒描述函数 闭环系统稳定
② G(j)包围负倒描述函数 闭 环系统不稳定
③ G(j) 与负倒描述函数相交 闭环系统出现自持振荡(极限环振荡)
稳定 ？不稳定？ 振幅（A）？ 频率()？
分析法 当微小扰动使振幅A增大到c点时，
c点“(-1,j0)” 被G(j )轨迹 包围，
系统不稳定； 振幅A继续增大； 不能返回到a。
0
Bn
1
2
y(t) sin ntdt
0
Yn Ann Bn
对于奇对称函数
A0 0
非线性环节的正弦响应
y(t)
ωt y(t)
ωt
y(t) ωt
y(t) ωt
非线性特性的线性化表示方法：以输出y(t)的 基波分量近似地代替整个输出。亦即略去输出的高
次谐波，将输出表示为
0
1 M sin td (t) 4M
0
饱和特性
N(A) 2k [sin 1 a a 1 ( a )2 ] (A a)
AA
A
死区特性
N(A) 2k [ sin 1 a a 1 ( a )2 ] (A a)
2
AA
A
死区饱和特性
N(A) 2k [sin 1 s sin 1 a s 1 ( s )2 a 1 ( a )2 ] (A s)
Y A B 1 非线性环节可近似认为2具有和线性环节相类似的频率响应形式 2
A 2 y(t)dt 为此，0定义正弦信号0作用下，非线性环节的稳态输n出中一次谐波 n
2 n
分A量n1和输入1信号02的复y数(t比)为c非os线n1性环节td的描t述函B数，n1 用N(1A)表02示：y(t)sin n1tdt
描述函数法的定义是：输入为正弦函数 时，输出的基波分量与输入正弦量的复数 比。其数学表达式为
N
X
R
X
Y1
sin(t X sint
1)
Y1 X
1
A12 B12 arctan A1
X
B1
式中：A1
1
2
y(t) cos ntdt
0
B1
1
2
y(t) sin ntdt
0
描述函数的定义
y(t)= A0+∑n∞X=(1A(tn)co=snAωts+iBnnsωintnωt) ∞ =yA(t0)+∑≈n=Y1 Yn(1sisninnω(ωt+tφ+n)φ1)
N(A) = N(A) e = Y e B jA 正弦若响A应0仅=0有，一且次当谐n>波1时分，量Y！n均很j∠小，N则(A可)近似认为1非线性j环1节的 1
1
A
A
y(t)≈ A1cosω t+B1sinω t ≈ Y1sin(ωt+φ1)
φ1= arctgA1/B1
理想继电特性
典型非线性特性的描述 函数
A
AA
AA
A
非线性增益I
N(A)
k2
2
(k1
k2
)[sin
1
a A
a A
1 ( a )2 ] A
(A a)
非线性增益II
N(A)
k3
2
(k1
k2
)[sin1
a A
a A
1 ( a )2 ] A
2
(k 2
k3)[sin1
s A
s A
1 ( s )2 ] A
(A s)
理想继电器特性
N(A) 4M A
x(t) Asin t
y(t)
M M
(0 t ) ( t 2)
傅氏展开
y(t) A0 (An cos nt Bn sin nt) n 1
斜对称、奇函数A0=An=0
y1(t) B1 sin t
N(A) Y1 0 4M
A
A
B1
1
2 0
y(t) sin td (t)
2 y(t) sin td (t)
非线性环节N(A) 线性部分G(s)
假定： ①非线性环节非线性，即不是时间的函数； ②非线性环节特性是斜对称的； ③系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。
非线性系统的频率特性法
C(s) G(s)N(A) R(s) 1 G(s)N(A)
类似传递函数 谐波线性化方法
非线性系统的稳定性
C(s) G(s)N(A) R(s) 1 G(s)N(A)
D(s) 1 N(A)G(s) 0
N(A) 1
线性系统
1 G(s) 0
G(s) 1
G(s) 1 N(A)
负倒描述函数（描述函数负倒特性)
(乃奎斯特判据) 若开环稳定，则闭环 稳定的充要条件是 G(j) 轨迹不包围G平 面的(-1,j0)。
1 N(A)
?
(-1,j0)
设：系统开环的线性部分G(j)稳定
2(1
2a ) A
a ( a )2 ] AA
1）单值非线性的描述函数是实数,非单值非线性的描述函 数是复数。 2）如果一非线性可以看作是两个非线性的叠加、即
y y1 y2
设y1、y2、y分别有N1(A)、N2(A)、N(A）
N(A) N1(A) N2 (A)
基于描述函数的控制系统分析 系统开环部分可分离为：
针对一任意非线性系统，设输入x=Xsinωt, 输出波形为y(t)，则可以将y(t)表示为富 氏级数形式
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1 A0 Yn sin(nt n ) n1
式中：A0
1
2
2
y(t)dt
0
1
An
2
y(t) cos ntdt
当微小扰动使振幅A减小到d点， d点“(-1,j0)”未被G(j )轨 迹包围，系统稳定；
振幅A继续减小； 不能返回到a。 a点为不稳定自振交点。
微小扰动
当微小扰动使振幅A增大到e点时， e点“(-1,j0)”未被G(j )轨迹包围， 系统稳定； 振幅A减小； 返回到b。
当微小扰动使振幅A减小到f点， f点“(-1,j0)” 被G(j )轨迹包围， 系统不稳定； 振幅A增大； 返回到b。
(A 0)
死区继电器特性
N(A) 4M 1 ( a )2
A
A
(A a)
滞环继电器特性
N(A) 4M sin 1 h (A h)
A
A
间隙、滞环特性
N(A) A12 B12 tg1 A1
A
B1
(A a)
A1
4kA [( a )2 A
a] A
B1
kA
[ 2
sin 1 (1
2a ) A
y(t) A1 cost B1 sint Y1 sin(t 1)
式中：Y1
A12
B12，1
arctan
A1 B1
非线性元件在正弦输入下，其输出也是一个同频率 的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。这与线性 元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的相似性 ，故称上述近似处理为谐波线性化。
一般高次谐波的振幅小于基波的振幅，因而为 进行近似处理提供了可靠的物理基础。
① G(j)不包围负倒描述函数 闭环系统稳定
② G(j)包围负倒描述函数 闭 环系统不稳定
③ G(j) 与负倒描述函数相交 闭环系统出现自持振荡(极限环振荡)
稳定 ？不稳定？ 振幅（A）？ 频率()？
分析法 当微小扰动使振幅A增大到c点时，
c点“(-1,j0)” 被G(j )轨迹 包围，
系统不稳定； 振幅A继续增大； 不能返回到a。
0
Bn
1
2
y(t) sin ntdt
0
Yn Ann Bn
对于奇对称函数
A0 0
非线性环节的正弦响应
y(t)
ωt y(t)
ωt
y(t) ωt
y(t) ωt
非线性特性的线性化表示方法：以输出y(t)的 基波分量近似地代替整个输出。亦即略去输出的高
次谐波，将输出表示为
0
1 M sin td (t) 4M
0
饱和特性
N(A) 2k [sin 1 a a 1 ( a )2 ] (A a)
AA
A
死区特性
N(A) 2k [ sin 1 a a 1 ( a )2 ] (A a)
2
AA
A
死区饱和特性
N(A) 2k [sin 1 s sin 1 a s 1 ( s )2 a 1 ( a )2 ] (A s)
Y A B 1 非线性环节可近似认为2具有和线性环节相类似的频率响应形式 2
A 2 y(t)dt 为此，0定义正弦信号0作用下，非线性环节的稳态输n出中一次谐波 n
2 n
分A量n1和输入1信号02的复y数(t比)为c非os线n1性环节td的描t述函B数，n1 用N(1A)表02示：y(t)sin n1tdt
描述函数法的定义是：输入为正弦函数 时，输出的基波分量与输入正弦量的复数 比。其数学表达式为
N
X
R
X
Y1
sin(t X sint
1)
Y1 X
1
A12 B12 arctan A1
X
B1
式中：A1
1
2
y(t) cos ntdt
0
B1
1
2
y(t) sin ntdt
0
描述函数的定义
y(t)= A0+∑n∞X=(1A(tn)co=snAωts+iBnnsωintnωt) ∞ =yA(t0)+∑≈n=Y1 Yn(1sisninnω(ωt+tφ+n)φ1)
N(A) = N(A) e = Y e B jA 正弦若响A应0仅=0有，一且次当谐n>波1时分，量Y！n均很j∠小，N则(A可)近似认为1非线性j环1节的 1
1
A
A
y(t)≈ A1cosω t+B1sinω t ≈ Y1sin(ωt+φ1)
φ1= arctgA1/B1
理想继电特性
典型非线性特性的描述 函数
A
AA
AA
A
非线性增益I
N(A)
k2
2
(k1
k2
)[sin
1
a A
a A
1 ( a )2 ] A
(A a)
非线性增益II
N(A)
k3
2
(k1
k2
)[sin1
a A
a A
1 ( a )2 ] A
2
(k 2
k3)[sin1
s A
s A
1 ( s )2 ] A
(A s)
理想继电器特性
N(A) 4M A
x(t) Asin t
y(t)
M M
(0 t ) ( t 2)
傅氏展开
y(t) A0 (An cos nt Bn sin nt) n 1
斜对称、奇函数A0=An=0
y1(t) B1 sin t
N(A) Y1 0 4M
A
A
B1
1
2 0
y(t) sin td (t)
2 y(t) sin td (t)
非线性环节N(A) 线性部分G(s)
假定： ①非线性环节非线性，即不是时间的函数； ②非线性环节特性是斜对称的； ③系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。
非线性系统的频率特性法
C(s) G(s)N(A) R(s) 1 G(s)N(A)
类似传递函数 谐波线性化方法
非线性系统的稳定性
C(s) G(s)N(A) R(s) 1 G(s)N(A)
D(s) 1 N(A)G(s) 0
N(A) 1
线性系统
1 G(s) 0
G(s) 1
G(s) 1 N(A)
负倒描述函数（描述函数负倒特性)
(乃奎斯特判据) 若开环稳定，则闭环 稳定的充要条件是 G(j) 轨迹不包围G平 面的(-1,j0)。
1 N(A)
?
(-1,j0)
设：系统开环的线性部分G(j)稳定
2(1
2a ) A
a ( a )2 ] AA
1）单值非线性的描述函数是实数,非单值非线性的描述函 数是复数。 2）如果一非线性可以看作是两个非线性的叠加、即
y y1 y2
设y1、y2、y分别有N1(A)、N2(A)、N(A）
N(A) N1(A) N2 (A)
基于描述函数的控制系统分析 系统开环部分可分离为：