集合

集合名词解释集合是数学中用来描述事物的一个重要概念。

它的基本意思是说“某些或全部确定的对象的全体所组成的整体”。

集合指的是元素个数相同，最多不超过两个的具有共同属性的一类对象的总体。

集合具有两大特点：(1)集合与属于同一集合的每个对象之间具有一一对应关系;(2)集合中的任一对象都有唯一确定的属于它自身的元素。

集合既可以按其元素进行分类，又可以按集合中元素间的关系进行分类。

其中，我们把第一类称为元素集合;把第二类称为属性集合。

而事实上，任何事物都可以看作是由许多部分组成的，各个部分又都可以再分成更小的单位，并且这些单位还可能发生重叠。

所谓集合，是指大于或等于两个集体(或对象)的可以被考虑为一个整体的一切对象的总体。

在现实生活中，没有绝对的空间和时间，只有相对的、形式化了的空间和时间，因此人们通常研究集合的外延，即集合的表示法。

集合论是一门建立在集合概念基础上的逻辑理论。

一般地，集合论研究的是用公理化的方法构造集合，并研究集合之间的关系。

从本质上说，集合论的主要目标是构造一种一般性的理论结构来描述现实世界的模型。

尽管关于集合的真正内涵至今还是一个谜，但是人们却已经给出了各种各样的解释，大致可以分为四类：第一类是以代数结构为研究对象的数理逻辑的集合论;第二类是以函数为研究对象的代数函数论;第三类是以图形为研究对象的图论;第四类是以集合为研究对象的代数集合论。

集合是抽象出来的一类实际事物的典型例子，反映了人类认识的一个层次，可以说，研究集合论就是研究实际问题的数学模型，探索如何使实际问题简单化。

研究集合论，可以为设计智能机器人提供必要的数学工具，为探讨软件设计方法开辟新途径。

因此，搞好集合论的教学对提高人们的计算机水平和工程技术水平有着极其重要的意义。

在哲学中，集合是一个非常古老的概念。

古希腊时期，毕达哥拉斯学派曾将数分为数和形，这里的数就是后来所说的“数”，形则是点、线、面等几何图形。

当时的“数”就是元素，即组成事物的基本单位。

集合知识点总结集合是现代数学中的一个重要概念，它在数学的各个领域都有着广泛的应用。

下面就让我们一起来系统地总结一下集合的相关知识点。

一、集合的定义集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体。

这些对象称为集合的元素。

例如，一个班级里的所有学生可以构成一个集合，其中每个学生就是这个集合的元素；自然数的全体也能构成一个集合，每个自然数都是其中的元素。

二、集合的表示方法1、列举法将集合中的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来。

例如，集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。

2、描述法用集合中元素所具有的共同特征来表示集合。

例如，集合 B ＝｛x ｜ x 是大于 5 的整数}。

3、图示法包括韦恩图（Venn Diagram），通过图形直观地表示集合之间的关系。

三、集合中元素的性质1、确定性对于一个给定的集合，其元素必须是确定的。

也就是说，一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，不存在模棱两可的情况。

2、互异性集合中的元素不能重复。

例如，集合{1, 1, 2}是不正确的，应该写成{1, 2}。

3、无序性集合中的元素没有顺序之分。

例如，｛1, 2, 3}和{3, 2, 1}表示的是同一个集合。

四、集合的分类1、有限集集合中元素的个数是有限的。

2、无限集集合中元素的个数是无限的。

比如自然数集就是一个无限集。

3、空集不含任何元素的集合，记作∅。

五、常见的数集1、自然数集：N ＝｛0, 1, 2, 3, …｝2、正整数集：N+ ＝｛1, 2, 3, …｝3、整数集：Z ＝｛…，－2, －1, 0, 1, 2, …｝4、有理数集：Q5、实数集：R六、集合间的关系1、子集如果集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素，那么称集合 A 是集合B 的子集，记作 A ⊆ B。

特别地，如果 A 是 B 的子集，但 A 不等于 B，就称 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。

例如，集合 A ＝｛1, 2}，集合 B ＝｛1, 2, 3}，则 A 是 B 的子集。

集合的所有概念
集合是现代数学的一个重要概念，它是指由一些确定的元素所组成的整体。

以下是集合的一些基本概念：
1. 元素：组成集合的个体。

2. 子集：如果集合A 中的所有元素都属于集合B，则称集合A 是集合B 的子集。

3. 真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但A 不等于B，则称集合A 是集合B 的真子集。

4. 并集：由属于集合A 或属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集。

5. 交集：由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集。

6. 补集：在一个给定的集合中，除了该集合中的元素之外的所有元素组成的集合，称为该集合的补集。

7. 空集：不包含任何元素的集合。

8. 列举法：将集合中的元素一一列举出来表示集合的方法。

9. 描述法：用集合所满足的条件来表示集合的方法。

10. 文氏图：用平面上的矩形框来表示集合及集合之间的关系的图形。

集合的概念一、集合的有关概念由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的。

我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素。

定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合。

1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作（3）整数集：全体整数的集合记作（4）有理数集：全体有理数的集合记作（5）实数集：全体实数的集合记作3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作Aa∉4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如元素通常用小写的拉丁字母表示，如⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写二、集合的表示方法1.列举法：将所给集合中的元素出来，写在里，元素与元素之间用分开适用情况：（1）集合是有限集，元素又不太多；例如：15的所有正因数构成的集合表示为：（2）集合是有限集，元素较多但有一定规律；例如：不大于100的正整数的全体构成的集合表示为：（3）有规律的无限集；例如：2.描述法：将所给集合中元素的共同特征和性质用文字或符号语言描述出来。

其一般格式如下：{x|x适合的条件}大括号内竖线左边的x表示：；大括号内竖线右边表示：；3.Venn图三、集合的基本关系1.子集一般地，对于两个集合，如果A中任意一个元素都是B的元素，称集合A是集合B的子集，记作A ⊆B.读作“A包含于B”或“B包含A”.这时说集合A是集合B的子集.2.真子集如果A⊆B，但存在元素x ∈B，且x ∉A，称A是B的真子集.3.空集不含任何元素的集合为空集，记作∅.规定：空集是任何集合的子集，空集是任何集合的真子集.4.集合相等对于两个集合A与B，若A⊆B且B⊆A，则这两个集合相等，记为A=B.两个非空集合相等当且仅当它们的元素完全相同.例1⑴写出集合{a，b}的所有子集；⑵写出所有{a，b，c}的所有子集；⑶写出所有{a，b，c，d }的所有子集总结：一般地，集合A含有n个元素，则A的子集共有2n个，A的真子集共有2n－1个. 例2 设集合A＝{1, a, b}，B＝{a, a2, ab}，若A＝B，求实数a，b.例3 已知A＝{x | x2－2x－3＝0},B＝{x | ax－1＝0},若B⊆A, 求实数a的值．四、集合的基本运算1.并集（1）并集的定义由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合称为集合A与B的并集，记作A ∪B（读作“A并B”）；（2）并集的符号表示A∪B=｛x|x∈A或x∈B｝.并集定义的数学表达式中“或”字的意义应引起注意，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的.x∈A，或x∈B包括如下三种情况：①x∈A，但x∉B；②x∈B，但x∉A；③x∈A，且x∈B.由集合A中元素的互异性知，A与B的公共元素在A∪B中只出现一次，因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合.2、交集（1）交集的定义由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B（读作“A交B”）.（2）交集的符号表示A∩B=｛x|x∈A且x∈B｝.（3）交集的图形表示如下所示Venn图.BA)()23(1)(图（1）表示集合A与集合B的关系是A⊆B，此时集合A与B的公共部分就是A，即A∩B=A.图（2）表示集合A与集合B的公共部分不是空集，但不是A，也不是B，即A∩B≠A，且A∩B ≠B.图（3）表示集合A与集合B的公共部分是空集，即A∩B=∅.3、补集一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S 中子集A 的补集(或余集)记作CsA.例4 已知M =｛y |y =2x 2+1，x ∈R ｝，N =｛y |y =－x 2+1，x ∈R ｝，则M ∩N =________，M ∪N =________.例5 设A =｛x |x 2+4x =0｝，B =｛x |x 2+2（a +1）x +a 2－1=0｝.（1）若A ∩B =B ，求a 的值；（2）若A ∪B =B ，求a 的值.1． 下列说法正确的是 ( )A.{}1,2,{}2,1是两个集合B.{}(0,2)中有两个元素Ｃ.6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集 Ｄ.{}2|20x Q x x ∈++=且是空集 ２.将集合{}|33x x x N -≤≤∈且用列举法表示正确的是 ( )Ａ.{}3,2,1,0,1,2,3--- Ｂ.{}2,1,0,1,2-- Ｃ.{}0,1,2,3 Ｄ.{}1,2,3３.{},0.3,0,00R Q N +∉∈∈其中正确的个数是( ) Ａ.１个 Ｂ.２个 Ｃ.３个 Ｄ.４个４.方程组25x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ５.已知集合Ａ＝{}20,1,x x -则x 在实数范围内不能取哪些值＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6.已知集合{},,S a b c =中的三个元素是ABC ∆的三边长,那么ABC ∆一定不是 ( )Ａ.锐角三角形 Ｂ.直角三角形 Ｃ.钝角三角形 Ｄ.等腰三角形一、选择题１.已知{}|22,M x R x a π=∈≥=,给定下列关系：①a M ∈,②{}a M ③a M ④{}a M ∈其中正确的是 ( )Ａ①② Ｂ④ Ｃ③ Ｄ①②④２.若,x y R ∈,集合{}(,)|,(,)|1y A x y y x B x y x ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭,则Ａ,Ｂ的关系为( ) Ａ Ａ＝Ｂ Ｂ Ａ⊆Ｂ Ｃ ＡＢ Ｄ ＢＡ ３.若,A B A⊆C,且Ａ中含有两个元素,{}{}0,1,2,3,0,2,4,5B C ==则满足上述条件的集合Ａ可能为( ).Ａ {}0,1 Ｂ {}0,3 Ｃ {}2,4 Ｄ {}0,2４.满足{}a M ⊆{},,,a b c d 的集合Ｍ共有( )Ａ６个 Ｂ７个 Ｃ８个 Ｄ９个二、填空题５.已知{}{}{}A B C ===菱形正方形平行四边形,则集合Ａ,Ｂ,Ｃ之间的关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ６.已知集合{}{}2|320,|10A x x x B x ax =-+==-=若B A ,则实数a 的值为＿＿.７.已知集合{}{}|40,|12A x R x p B x x x A B =∈+≤=≤≥⊆或且,则实数p 的取值集合为＿＿＿＿＿＿＿. ８.集合{}|21,A x x k k Z ==-∈,集合{}|21,B x x k k Z ==+∈,则Ａ与Ｂ的关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ９.已知Ａ＝{},a b ,{}|B x x A =∈,集合Ａ与集合Ｂ的关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.三.解答题10.写出满足{},a b A⊆{},,,a b c d 的所有集合Ａ.11.已知集合{}{}22,,,2,2,A x y B x y A B ===且,求,x y 的值.12.已知{}{}|25,|121A x x B x a x a =-≤≤=+≤≤-,B A ⊆,求实数a 的取值范围.。

数学集合公式集合是数学中一种重要的概念，它是由一些特定的对象组成的整体。

在集合中，我们所关心的是元素，也就是集合中的每一个对象。

下面，我们将介绍一些常用的集合公式，帮助读者更深入地理解集合的概念和运算方式。

一、基本概念1. 集合的定义：将具有共同性质的事物组成的整体称为集合。

2. 元素：一个集合中的每一个对象都称为该集合的元素。

3. 相等：当且仅当两个集合的元素相同，它们才相等。

二、集合运算1. 并集：两个集合的所有元素的总和称为它们的并集，用符号“∪”表示，例如：A∪B。

2. 交集：两个集合公共拥有的元素称为它们的交集，用符号“∩”表示，例如：A∩B。

3. 差集：从一个集合中减去另一个集合中的元素所得到的新集合称为差集，用符号“-”表示，例如：A-B。

4. 补集：对于一个集合，不属于该集合的所有元素构成的集合称为该集合的补集，常用符号“c”表示，例如：A的补集为A的补。

三、集合公式1. 并集公式：对于任意集合A、B和C，以下公式成立：（1）交换律：A∪B=B∪A。

（2）结合律：A∪（B∪C）=（A∪B）∪C。

（3）分配律：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）。

2. 交集公式：对于任意集合A、B和C，以下公式成立：（1）交换律：A∩B=B∩A。

（2）结合律：A∩（B∩C）=（A∩B）∩C。

（3）分配律：A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）。

3. 差集公式：对于任意集合A、B和C，以下公式成立：（1）交换律：A-B=B-A。

（2）结合律：A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C)。

（3）分配律：A∩（B-C）=(A∩B)-(A∩C)。

4. 补集公式：对于任意集合A和B，以下公式成立：（1）均衡律：（A的补）的补=A。

（2）德摩根定律：（A∩B）的补=A的补∪B的补，（A∪B）的补=A的补∩B的补。

以上为常用的集合公式，它们可以帮助我们更好地理解数学中集合运算的概念和运算法则。

在实际应用中，我们可以通过运用这些公式，以及更进一步的集合运算方法，解决各种问题，为我们的科学研究和生活带来便利和效益。

集合的概念和定义
集合是指具有一定特性的事物的总体，是由一些个体构成的整体。

集合中的个体称为元素，元素不重复，且没有顺序。

集合的定义包括以下几个要素：
1. 元素：集合中的个体，可以是任意事物，例如数字、字母、人、动物等。

2. 集合符号：用大括号{}表示一个集合，元素用逗号分隔并放入大括号中。

例如，{1, 2, 3}表示一个包含元素1、2、3的集合。

3. 空集：不包含任何元素的集合，用符号{}表示。

4. 元素的判断：对于集合中的任意一个元素，要么属于集合，要么不属于集合，用符号"∈"表示属于，用符号"∉"表示不属于。

5. 元素的重复：集合中的元素是唯一的，不会有重复的元素。

即使多次出现同一个元素，也只算作一个元素。

6. 无序性：集合中的元素没有顺序，元素之间没有先后关系。

7. 相等性：集合的相等性是指两个集合包含的元素完全相同，不考虑元素的顺序。

8. 子集和超集：若集合A中的所有元素都属于集合B，那么
集合A称为集合B的子集，集合B称为集合A的超集，用符号"⊆"表示子集，用符号"⊇"表示超集。

以上是集合的基本概念和定义，集合理论是数学中的一个基础概念，被广泛应用于各个领域。

集合是什么集合是数学中的一个重要概念，用于描述元素的组合。

简单来说，集合是由一些确定的事物、对象、元素组成的整体，这些元素可以是任何事物，可以是数字、字母、符号、单词、图形等等。

在集合中，元素的顺序是无关紧要的，每个元素在集合中只能出现一次，不能重复。

如果一个集合中的元素可以重复出现，则称为多重集合或重复集合。

集合是数学中最基本的概念之一，它是由康托尔在19世纪中叶引入的。

集合论是数学的一个重要分支，研究集合的性质、操作和关系，通过集合论可以建立数学的基础框架。

集合论在数学、计算机科学、逻辑学等领域都有广泛的应用。

集合的表示方法有两种常见的方式：列表法和描述法。

列表法是列举出集合中的所有元素，用大括号括起来，元素之间用逗号分隔。

例如，集合A={1,2,3,4,5}表示由数字1、2、3、4、5组成的集合。

描述法是通过描述集合中元素的特性来表示集合。

例如，集合B={x|x是正整数且小于10}表示由所有小于10的正整数所组成的集合。

集合的运算有三种基本的操作：并集、交集和补集。

并集表示两个集合中所有元素的总和，用符号∪表示；交集表示两个集合中共有的元素，用符号∩表示；补集表示一个集合中不属于另一个集合的元素，用符号-表示。

集合还可以进行子集、真子集、空集等概念的定义。

如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，并用符号A⊆B表示。

如果集合A是集合B的子集且存在元素属于B但不属于A，则称A是B的真子集，用符号A⊂B表示。

空集是不包含任何元素的集合，用符号∅表示。

在实际问题中，集合常用于描述事物的分类、关系和属性等。

例如，可以用集合来描述一个班级的学生，通过集合的运算可以求出选了某门课的学生、选了两门以上课的学生等。

集合还可以用于模拟和描述现实世界中的各种情况和问题。

通过集合的概念，我们可以更好地理解事物之间的关联和联系，更准确地描述和分析问题。

集合论在数学和其他领域中的应用广泛，是更高级数学理论的重要基础，对于培养逻辑思维和解决实际问题具有重要意义。

集合及其表示方法
集合是由一组独立的对象组成的，这些对象被称为集合的元素。

集合的表示方法有以
下几种：
1. 列举法：将集合的元素逐一列举出来，并用花括号{}括起来。

例如，集合{1, 2, 3}
表示由元素1、2和3组成的集合。

2. 描述法：用一个条件来描述集合中的元素。

描述法的一般形式为{ x | P(x) }，其中
x是集合中的元素，P(x)是关于x的性质。

例如，集合{ x | x是正整数，且x小于10}表示小于10的正整数组成的集合。

3. 空集：没有任何元素的集合称为空集，用符号∅表示。

4. 全集：包含所有可能元素的集合称为全集，用符号U表示。

5. 子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则称前一个集合为后一个
集合的子集。

用符号A ⊆ B表示集合A是集合B的子集。

6. 幂集：对于一个集合A，包含A的所有子集的集合称为A的幂集，用符号P(A)表示。

以上是集合的一些常见表示方法，不同的表示方法适用于不同的情况。

《集合》知识点总结集合是现代数学中的一个重要概念，它在数学的各个领域都有着广泛的应用。

接下来，咱们就来详细总结一下集合的相关知识点。

一、集合的定义集合是把一些确定的、不同的对象作为一个整体来考虑，这个整体就叫做集合。

组成集合的这些对象称为集合的元素。

比如，一个班级里的所有学生可以组成一个集合，每一个学生就是这个集合中的元素。

二、集合的表示方法1、列举法把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

例如，由元素 1，2，3 组成的集合，可以表示为{1，2，3}。

2、描述法用集合所含元素的共同特征来表示集合。

比如，所有小于 5 的正整数组成的集合，可以表示为{x ｜ x 是小于 5 的正整数}。

3、图示法（韦恩图）用一个封闭的曲线（通常是圆或椭圆）来表示集合，曲线内部表示集合的元素。

三、集合中元素的特性1、确定性对于一个给定的集合，元素的性质是明确的，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，不存在模棱两可的情况。

2、互异性集合中的元素是互不相同的，如果有重复的元素，只算一个。

3、无序性集合中的元素排列顺序是任意的，比如{1，2，3}和{3，2，1}表示的是同一个集合。

四、集合的分类1、有限集集合中元素的个数是有限的。

2、无限集集合中元素的个数是无限的。

3、空集不含任何元素的集合，记为∅。

五、常见的数集1、自然数集 N：包括 0 和正整数。

2、正整数集 N 或 N+：不包括 0 的自然数。

3、整数集 Z：包括正整数、负整数和 0。

4、有理数集 Q：包括整数和分数。

5、实数集 R：包括有理数和无理数。

六、集合间的关系1、子集如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，记作 A⊆B。

特别地，空集是任何集合的子集。

2、真子集如果集合 A 是集合 B 的子集，并且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集，记作 A⊂B。

3、集合相等如果集合 A 和集合 B 中的元素完全相同，那么集合 A 和集合 B 相等，记作 A ＝ B。

名词解释：集合
集合在数学中是一个基本概念，它是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。

构成集合的这些对象称为该集合的元素。

例如，全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。

通常用大写字母如A,B,S,T,...表
示集合，而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。

若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。

若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为y∉S。

此外，根据集合中元素的数目，可以将集合分为有限集和无限集。

当集合中元素的数目是有限的时候，称为有限集；当集合中元素的数目是无限的时候，称为无限集。

此外，还有一类特殊的集合，它不包含任何元素，称之为空集，记为∅。

以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅数学专业书籍或咨询数学专业人士。