不等式选讲之不等式证明与数学归纳法单元过关检测卷(四)附答案新人教版高中数学名师一点通艺考生专用

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单元质量评估(四)第四讲（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n ∈N +)时,第一步验证n=1时,左边应取的项是 ( ) A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4 2.(2013·佛山高二检测)设S(n)=1n +1n+1+1n+2+…+1n2,则 ( )A.S(n)共有n 项,当n=2时,S(2)=12+13B.S(n)共有n+1项,当n=2时,S(2)=12+13+14C.S(n)共有n 2-n 项,当n=2时,S(2)=12+13+14D.S(n)共有n 2-n+1项,当n=2时,S(2)=12+13+143.设凸n 边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线的条数f(n+1)为 ( ) A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-24.设0<θ<π2,已知a 1=2cos θ,a n+1=√2+a n ,则猜想a n 为 ( )A.2cos θ2B.2cosθ2C.2cos θ2D.2sin θ25.已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,a n+1=2a n +a n-1(n ∈N +),用数学归纳法证明a 4n 能被4整除,假设a 4k 能被4整除,然后应该证明 ( ) A.a 4k+1能被4整除 B.a 4k+2能被4整除 C.a 4k+3能被4整除 D.a 4k+4能被4整除6.已知一个命题P(k),k=2n(n ∈N +),若n=1,2,…,1000时,P(k)成立,且当n=1000+1时它也成立,下列判断中,正确的是 ( ) A.P(k)对k=2013成立 B.P(k)对每一个自然数k 成立 C.P(k)对每一个正偶数k 成立 D.P(k)对某些偶数可能不成立7.(2013·广州高二检测)已知n 为正偶数,用数学归纳法证明:1-12+13-14+…+1n−1=2(1n+2+1n+4+⋯+12n)时,若已假设n=k(k ≥2且为偶数)时,等式成立,则还需要利用归纳假设再证( )A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立8.用数学归纳法证明34n+1+52n+1(n ∈N +)能被8整除时,若n=k 时命题成立,欲证当n=k+1时命题成立,对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为 ( ) A.56×34k+1+25(34k+1+52k+1) B.34×34k+1+52×52k C.34k+1+52k+1 D.25(34k+1+52k+1)9.(2013·深圳高二检测)利用数学归纳法证明“对任意偶数n,a n -b n 能被a+b 整除”时,其第二步论证应该是 ( )A.假设n=k 时命题成立,再证n=k+1时命题也成立B.假设n=2k 时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立C.假设n=k 时命题成立,再证n=k+2时命题也成立D.假设n=2k 时命题成立,再证n=2(k+1)时命题也成立 10.用数学归纳法证明不等式1+12+14+…+12n−1>12764(n ∈N +)成立时,起始值至少应取( )A.7B.8C.9D.1011.若k 棱柱有f(k)个对角面,则k+1棱柱的对角面的个数为 ( ) A.2f(k) B.f(k)+k-1 C.f(k)+k D.f(k)+212.用数学归纳法证明12+cos α+cos3α+…+cos(2n-1)α=sin2n+12α·cos 2n−12αsin α(α≠k π,k ∈Z,n ∈N +),在验证n=1时,左边计算所得的项是 ( ) A.12B.12+cos αC.12+cos α+cos3αD.12+cos α+cos2α+cos3α二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.观察下式:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72;…,则可得出第n 个式子为 .14.(2013·丹东高二检测)设f(n)=(1+1n )(1+1n+1)…(1+1n+n ),用数学归纳法证明f(n)≥3.在“假设n=k 时成立”后,f(k+1)与f(k)的关系是f(k+1)=f(k)· .15.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n ×3n-1=3n (na-b)+c 对一切n ∈N +都成立, 那么a= ,b= ,c= . 16.有以下四个命题: (1)2n >2n+1(n ≥3).(2)2+4+6+…+2n=n 2+n+2(n ≥1).(3)凸n 边形内角和为f(n)=(n-1)π(n ≥3). (4)凸n 边形对角线条数f(n)=n(n−2)2(n ≥4).其中满足“假设n=k(k ∈N +,k ≥n 0)时命题成立,则当n=k+1时命题也成立.”但不满足“当n=n 0(n 0是题中给定的n 的初始值)时命题成立”的命题序号是 . 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)求证:两个连续正整数的积能被2整除.18.(12分)证明:tan α·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(n-1)α·tann α=tann αtan α-n(n ≥2,n ∈N +).19.(12分)(2013·盐城高二检测)数列{a n }满足S n =2n-a n (n ∈N +). (1)计算a 1,a 2,a 3,a 4,并由此猜想通项公式a n . (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.20.(12分)设函数f n (x)=C n 2+C n 3x+C n 4x 2+…+C n n x n-2(n ∈N,n ≥2),当x>-1,且x ≠0时,证明:f n (x)>0恒成立.21.(12分)(能力挑战题)在平面内有n 条直线,每两条直线都相交,任何三条直线不共点,求证:这n 条直线分平面为n 2+n+22个部分.22.(12分)(能力挑战题)已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lga n-1(n ≥2,n ∈N),且f(1)=-lga,是否存在实数α,β,使f(n)=(αn 2+βn-1)lga,对任意n ∈N +都成立?证明你的结论.答案解析1.【解析】选D.因为1+3=4,所以左边应取的项是1+2+3+4.2.【解析】选D.S(n)共有n 2-n+1项,当n=2时,S(2)=12+13+14.3.【解析】选C.凸n+1边形的对角线的条数等于凸n 边形的对角线的条数,加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(n-2)条,再加上原来有一边成为对角线,共有f(n)+n-1条对角线,故选C.4.【解析】选B.a 1=2cos θ,a 2=√2+2cos θ=2cos θ2,a 3=√2+2cos θ2=2cos θ4,猜想a n =2cosθ2.5.【解析】选D.由假设a 4k 能被4整除,则当n=k+1时,应该证明a 4(k+1)=a 4k+4能被4整除.6.【解析】选D.由已知得k=2,4,6,…,2000时命题成立.故排除A,B,C,应选D.7.【解析】选B.偶数k 的后继偶数为k+2,故应再证n=k+2时等式成立. 【误区警示】解答本题易忽视k 的限制条件:k ≥2且为偶数,而错选A.8.【解析】选A.由34(k+1)+1+52(k+1)+1 =81×34k+1+25×52k+1+25×34k+1-25×34k+1 =56×34k+1+25(34k+1+52k+1),故选A.9.【解析】选D.第k 个偶数应是2k,所以应假设n=2k 时,命题成立,再证n=2(k+1)时也成立.10.【解析】选B.原不等式可化为1−(12)n 1−12>12764,即2(1−12n )>12764,即2-12n−1>12764,所以1>1n−1,即16>1n−1,所以n-1>6,故n>7,n 的最小值为8.【拓展提升】应用数学归纳法时第一步应注意的问题(1)用数学归纳法证明某命题对于全体正整数都成立时,应取n 0=1.(2)用数学归纳法证明一个命题对于不小于某正整数n 0的所有正整数n 都成立时,要根据题目要求确定n 0的值.11.【解析】选B.如图所示是k+1棱柱的一个横截面,显然从k 棱柱到k+1棱柱,增加了从A k+1发出的对角线k-2条,即相应对角面k-2个,以及A 1A k 棱变为对角线(变为相应的对角面).故f(k+1)=f(k)+(k-2)+1=f(k)+k-1. 12.【解析】选B.当n=1时,左边最后一项为cos(2×1-1)α=cos α, 即左边所得项是12+cos α.13.【解析】各式的左边是第n 个自然数到第3n-2个连续自然数的和,右边是2n-1的平方,故可得出第n 个式子是:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 14.【解析】当n=k 时,f(k)=(1+1k )(1+1k+1)…(1+1k+k ); 当n=k+1时,f(k+1)=(1+1k+1)(1+1k+2)…(1+12k+2), 所以f(k)应乘(1+12k+1)(1+12k+2)·kk+1. 答案:(1+12k+1)(1+12k+2)·kk+115.【解析】取n=1,2,3得{1=31(a −b)+c,1+2×3=32(2a −b)+c,1+2×3+3×32=33(3a −b)+c,解得a=12,b=14,c=14.答案:12141416.【解析】当n 取第一个值时经验证(2),(3),(4)均不成立,(1)不符合题意,对于(4)假设n=k(k ∈N +,k ≥n 0)时命题成立,则当n=k+1时命题不成立.所以(2)(3)正确. 答案:(2)(3)17.【证明】设n ∈N +,则要证明n(n+1)能被2整除. (1)当n=1时,1×(1+1)=2,能被2整除,即命题成立.(2)假设n=k(k ≥1,k ∈N +)时,命题成立,即k ·(k+1)能被2整除. 那么当n=k+1时,(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1), 由归纳假设k(k+1)及2(k+1)都能被2整除. 所以(k+1)(k+2)能被2整除.故n=k+1时命题也成立. 由(1)(2)可知,命题对一切n ∈N +都成立. 18.【证明】(1)当n=2时,左边=tan α·tan2α, 右边=tan2αtan α-2=2tan α1−tan 2α·1tan α-2=21−tan 2α-2=2tan 2α1−tan 2α=tan α·2tan α1−tan 2α=tan α·tan2α=左边,等式成立.(2)假设当n=k(k ≥2,k ∈N +)时等式成立,即 tan α·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α· tank α=tank αtan α-k.当n=k+1时,tan α·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tank α+tank α·tan(k+1)α=tank αtan α-k+tank α·tan(k+1)α=tank α[1+tan α·tan(k+1)α]tan α-k=1tan α[tan(k+1)α−tan α1+tan(k+1)α·tan α][1+tan(k+1)α·tan α]-k=1tan α[tan(k+1)α-tan α]-k=tan(k+1)αtan α-(k+1),所以当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2)知,当n ≥2,n ∈N +时等式恒成立. 19.【解析】(1)当n=1时,a 1=S 1=2-a 1,所以a 1=1. 当n=2时,a 1+a 2=S 2=2×2-a 2,所以a 2=32.当n=3时,a 1+a 2+a 3=S 3=2×3-a 3, 所以a 3=74.当n=4时,a 1+a 2+a 3+a 4=S 4=2×4-a 4, 所以a 4=158.由此猜想a n =2n −12(n ∈N +).(2)当n=1时,a 1=1,结论成立.假设n=k(k ≥1且k ∈N +)时,结论成立,即a k =2k −12k−1,那么n=k+1(k ≥1且k ∈N +)时, a k+1=S k+1-S k =2(k+1)-a k+1-2k+a k =2+a k -a k+1. 所以2a k+1=2+a k , 所以a k+1=2+a k 2=2+2k −12k−12=2k+1−12k,这表明n=k+1时,结论成立, 综上可得a n =2n −12n−1(n ∈N +).20.【证明】要证f n (x)>0恒成立,因为x>-1,且x ≠0,所以只需证C n 0+C n 1·x+C n 2·x 2+…+C n n x n >1+nx,即证(1+x)n >1+nx, ①当n=2时,显然成立.②假设当n=k(k ≥2)时成立,即(1+x)k >1+kx,则当n=k+1时,有(1+x)k+1=(1+x)k ·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx 2>1+(k+1)x,即当n=k+1时,不等式也成立.所以对任意n ∈N,n ≥2,(1+x)n >1+nx 成立,即f n (x)>0恒成立. 21.【证明】(1)当n=1时,一条直线把平面分成两部分, 而f(1)=12+1+22=2,所以命题成立.(2)假设当n=k(k ≥1)时命题成立,即k 条直线把平面分成f(k)=k 2+k+22个部分.则当n=k+1时,即增加一条直线l ,因为任何两条直线都相交,所以l 与k 条直线都相交,有k 个交点;又因为任何三条直线不共点,所以这k 个交点不同于k 条直线的交点,且k 个交点也互不相同,如此k 个交点把直线l 分成k+1段,每一段把它所在的平面区域分为两部分,故新增加了k+1个平面部分. 所以f(k+1)=f(k)+k+1=k 2+k+22+k+1=k 2+k+2+2k+22=(k+1)2+(k+1)+22.所以当n=k+1时命题也成立. 由(1)(2)可知当n ∈N +时,命题成立, 即平面上通过同一点的n 条直线分平面为n 2+n+22个部分.22.【解析】f(n)=f(n-1)+lga n-1. 令n=2,f(2)=f(1)+lga=-lga+lga=0. 又f(1)=(-1)lga,所以{α+β−1=−1,4α+2β−1=0,解得α=12,β=-12.所以f(n)=(12n 2−12n −1)lga.下证对任何n ∈N +都成立. (1)当n=1时,显然成立. (2)假设当n=k(k ≥1)时成立,即f(k)=(12k 2−12k −1)lga,则n=k+1时,f(k+1)=f(k)+lga k =f(k)+klga =(12k 2−12k −1+k)lga =[12(k +1)2−12(k +1)−1]lga,所以当n=k+1时等式成立,综合(1),(2)知存在α,β且α=12,β=-12,使f(n)=(αn 2+βn-1)lga 对任意n ∈N +都成立.关闭Word 文档返回原板块。

评估验收卷(四)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是( )A．若一个命题当n＝1，2时为真，则此命题为真命题B．若一个命题当n＝k时成立且推得n＝k＋1时也成立，则此命题为真命题C．若一个命题当n＝1，2时为真，则当n＝3时此命题也为真D．若一个命题当n＝1时为真，n＝k时为真能推得n＝k＋1时亦为真，则此命题为真命题解析：由数学归纳法定义可知，只有当n的初始取值成立且由n＝k成立能推得n＝k＋1时也成立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可．A，B，C项均不全面．答案：D2．等式12＋22＋32＋…＋n2＝12(5n2－7n＋4)( )A．n为任何正整数时都成立B．仅当n＝1, 2，3时成立C．当n＝4时成立，n＝5时不成立D．仅当n＝4时不成立解析：把n＝1，2，3，4，5代入验证可知B正确．答案：B3．用数学归纳法证明不等式1＋123＋133＋…＋1n 3＜2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋123＜2－12B ．1＋123＋133＜2－13C ．1＋123＜2－13D ．1＋123＋133＜2－14解析：因为n ≥2，所以第一步验证不等式应为n ＝2时1＋123＜2－12. 答案：A4．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N ＋)，则f(n ＋1)－f(n)等于( ) A.13n ＋2B.13n ＋13n ＋1C.13n ＋1＋13n ＋2D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2 解析：因为f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n －1，所以f(n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2，所以f(n ＋1)－f(n)＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.答案：D5．已知f(n)＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A ．f(n)中共有n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13B ．f(n)中共有n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋14C ．f(n)中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13D ．f(n)中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋14解析：本题主要考查数列的概念．由n 到n 2一共有整数n 2－n ＋1个，所以f(n)有n 2－n ＋1项， 当n ＝2时代入得，f(2)＝12＋13＋14. 故本题正确答案为D.答案：D6．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(k ∈N ＋)B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(k ∈N ＋)C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(k ∈N ＋)D ．假设n ≤k(k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N ＋)。

高中数学专题复习
《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过
关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ；
2．1 ．（汇编年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______. 评卷人
得分 二、解答题
3．(选修4-5：不等式选讲）
设R x y ∈，，z ，且满足：222++z 1x y =，2314x y ++=z ，求证：
3147
x y z ++=.
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.。

第四讲 数学归纳法证明不等式达标检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用数学归纳法证明“对任意x ＞0和正整数n ，都有x n ＋x n －2＋x n －4＋…＋1x n －4＋1x n －2＋1xn ≥n ＋1”时，需要验证的使命题成立的最小正整数值n 0应为( )A ．n 0＝1B ．n 0＝2C ．n 0＝1,2D ．以上答案均不正确解析：当n 0＝1时，x ＋1x≥2成立，故选A.答案：A2．从一楼到二楼的楼梯共有n 级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这n 级台阶共有f (n )种走法，则下面的猜想正确的是( ) A ．f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ≥3) B ．f (n )＝2f (n －1)(n ≥2) C ．f (n )＝2f (n －1)－1(n ≥2) D ． f (n )＝f (n －1) f (n －2)(n ≥3)解析：别离取n ＝1,2,3,4验证，得f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝1，2，f n －1＋f n －2，n ≥3.答案：A3．设凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角形的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析：凸n ＋1边形的对角线的条数等于凸n 边形的对角线的条数，加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(n －2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有f (n )＋n －1条对角线，故选C. 答案：C4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3，n ∈N ＋能被9整除”，利用归纳假设证n ＝k＋1，只需展开( )A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析：n＝k时，式子为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3，n＝k＋1时，式子为(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3，故只需展开(k＋3)3.答案：A5．下列说法中正确的是( )A．若一个命题当n＝1,2时为真，则此命题为真命题B．若一个命题当n＝k时成立且推得n＝k＋1时也成立，则这个命题为真命题C．若一个命题当n＝1,2时为真，则当n＝3时这个命题也为真D．若一个命题当n＝1时为真，n＝k时为真能推得n＝k＋1时亦为真，则此命题为真命题解析：由完全归纳法可知，只有当n的初始取值成立且由n＝k成立能推得n＝k＋1时也成立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可．A，B，C项均不全面．答案：D6．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为( )A．f(k)＋1 B．f(k)＋kC．f(k)＋k＋1 D．k·f(k)解析：第k＋1条直线与前k条直线都相交且有不同交点时，交点个数最多，此时应比原先增加k个交点．答案：B7．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被8整除时，若n＝k时，命题成立，欲证当n ＝k＋1时命题成立，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为( )A．56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)B．34×34k＋1＋52×52kC．34k＋1＋52k＋1D．25(34k＋1＋52k＋1)解析：由34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋1＋25×52k＋1＋25×34k＋1－25×34k＋1＝56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．答案：A8．数列{a n}的前n项和S n＝n2·a n(n≥2)，而a1＝1通过计算a2，a3，a4，猜想a n等于( )A.4n＋12B．2n n＋1C.12n－1 D ．12n －1解析：由a 2＝S 2－S 1＝4a 2－1得a 2＝13＝22×3由a 3＝S 3－S 2＝9a 3－4a 2得a 3＝12a 2＝16＝23×4.由a 4＝S 4－S 3＝16a 4－9a 3得a 4＝35a 3＝110＝24×5，猜想a n ＝2n n ＋1.答案：B9．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)(n ∈N ＋)时，从k 到k ＋1，左侧需要增加的代数式为( ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1解析：当n ＝k 时左侧的最后一项是2k ，n ＝k ＋1时左边的最后一项是2k ＋2， 而左侧各项都是持续的，所以n ＝k ＋1时比n ＝k 时左边少了(k ＋1)，而多了 (2k ＋1)·(2k ＋2)．因此增加的代数式是2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：B10．把正整数按如图所示的规律排序，则从2 018到2 020的箭头方向依次为( )A ．↓→B ．→↓C ．↑→D ．→↑解析：由2 018＝4×504＋2，而a n ＝4n 是每一个下边不封锁的正方形左上极点的数，故应选D. 答案：D11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2B ．(k ＋1)2C.k ＋14＋k ＋122D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2解析：∵当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故应选D. 答案：D12．若k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱的对角面的个数为( ) A ．2f (k ) B ．f (k )＋k －1 C ．f (k )＋kD ．f (k )＋2解析：如图所示是k ＋1棱柱的一个横截面，显然从k 棱柱到k ＋1棱柱，增加了从A k ＋1发出的对角线k －2条，即相应对角面k －2个，和A 1A k 棱变成对角线(变成相应的对角面)．故f (k ＋1)＝f (k )＋(k －2)＋1＝f (k )＋k －1.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝________时等式成立．解析：∵n ＝k 为偶数，∴下一个偶数为n ＝k ＋2. 答案：k ＋214．在数列{a n }中，a 1＝1，且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，则S 2，S 3，S 4别离为________，猜想S n ＝________.解析：S 1＝1,2S n ＋1＝S n ＋2S 1. 当n ＝1时，2S 2＝S 1＋2＝3，S 2＝32；当n ＝2时，2S 3＝S 2＋2，S 3＝74；当n ＝3时，2S 4＝S 3＋2，S 4＝158.猜想S n ＝2n－12n －1.答案：32、74、158 2n－12n －115．设f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋n ，用数学归纳法证明f (n )≥3.在“假设n ＝k 时成立”后，f (k ＋1)与f (k )的关系是f (k ＋1)＝f (k )·________. 解析：当n ＝k 时，f (k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋k ；当n ＝k ＋1时，f (k ＋1) ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＋2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2， 所以应乘⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2·k k ＋1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k ＋2·k k ＋1 16. 有以下四个命题： (1)2n>2n ＋1(n ≥3)．(2)2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ＋2(n ≥1)． (3)凸n 边形内角和为f (n )＝(n －1)π(n ≥3)． (4)凸n 边形对角线条数f (n )＝n n －22(n ≥4)．其中知足“假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立，则当n ＝k ＋1时命题也成立．”但不满足“当n ＝n 0(n 0是题中给定的n 的初始值)时命题成立”的命题序号是________．解析：当n 取第一个值时经验证(2)，(3)，(4)均不成立，(1)不符合题意，对于(4)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立，则当n ＝k ＋1时命题不成立．所以(2)(3)正确． 答案：(2)(3)三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤) 17．(12分)用数学归纳法证明对于整数n ≥0，A n ＝11n ＋2＋122n ＋1能被133整除．证明：(1)当n ＝0时，A 0＝112＋12＝133能被133整除． (2)假设n ＝k 时，A k ＝11k ＋2＋122k ＋1能被133整除．当n ＝k ＋1时，A k ＋1＝11k ＋3＋122k ＋3＝11·11k ＋2＋122·122k ＋1＝11·11k ＋2＋11·122k ＋1＋(122－11)·122k ＋1.＝11·(11k ＋2＋122k ＋1)＋133·122k ＋1.∴n ＝k ＋1时，命题也成立．按照(1)(2)，对于任意整数n ≥0，命题都成立．18．(12分)设{x n }是由x 1＝2，x n ＋1＝x n 2＋1x n (n ∈N ＋)概念的数列，求证：x n <2＋1n.证明：(1)当n ＝1时，x 1＝2<2＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即x k <2＋1k ，那么，当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝x k 2＋1x k.由归纳假设，x k <2＋1k ，则x k 2<22＋12k ，1x k>12＋1k.∵x k >2，∴1x k <22. ∴x k ＋1＝x k 2＋1x k <22＋12k ＋22＝2＋12k ≤2＋1k ＋1.即x k ＋1<2＋1k ＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式x n <2＋1n成立．综上，得x n <2＋1n(n ∈N ＋)．19．(12分)证明：tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n －1)α·tan nα＝ tan nαtan α－n (n ≥2，n ∈N ＋)．证明：(1)当n ＝2时，左侧＝tan α·tan 2α， 右边＝tan 2αtan α－2＝2tan α1－tan 2α·1tan α－2 ＝21－tan 2α－2 ＝2tan 2α1－tan 2α＝tan α·2tan α1－tan 2α＝tan α·tan 2α＝左侧，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时等式成立，即tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k －1)α·tan kα＝tan kαtan α－k .当n ＝k ＋1时，tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k －1)α·tan kα＋tan kα·tan(k ＋1)α ＝tan kαtan α－k ＋tan kα·tan(k ＋1)α ＝tan kα[1＋tan α·tan k ＋1α]tan α－k＝1tan α⎣⎢⎡⎦⎥⎤tan k ＋1α－tan α1＋tan k ＋1α·tan α[1＋tan(k ＋1)α·tan α]－k ＝1tan α[tan(k ＋1)α－tan α]－k ＝tan k ＋1αtan α－(k ＋1)，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)知，当n ≥2，n ∈N ＋时等式恒成立． 20．(12分)数列{a n }知足S n ＝2n －a n (n ∈N ＋)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解析：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1. 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N ＋)．(2)证明：当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么n ＝k ＋1(k ≥1且k ∈N ＋)时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1.∴2a k ＋1＝2＋a k ，∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k. 这表明n ＝k ＋1时，结论成立， 所以a n ＝2n－12n －1(n ∈N ＋)．21．(13分)在平面内有n 条直线，每两条直线都相交，任何三条直线不共点，求证：这n 条直线分平面为n 2＋n ＋22个部份．证明：(1)当n ＝1时，一条直线把平面分成两部份，而f (1)＝12＋1＋22＝2，所以命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立，即k 条直线把平面分成f (k )＝k 2＋k ＋22个部份．则当n ＝k ＋1时，即增加一条直线l ，因为任何两条直线都相交，所以l 与k 条直线都相交，有k 个交点；又因为任何三条直线不共点，所以这k 个交点不同于k 条直线的交点，且k 个交点也互不相同，如此k 个交点把直线l 分成k ＋1段，每一段把它所在的平面区域分为两部份，故新增加了k ＋1个平脸部分．所以f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1＝k 2＋k ＋22＋k ＋1＝k 2＋k ＋2＋2k ＋22＝k ＋12＋k ＋1＋22.所以当n ＝k ＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知当n ∈N ＋时，命题成立， 即平面上通过同一点的n 条直线分平面为n 2＋n ＋22个部份．22．(13分)设x 1>0，x 1≠1，且x n ＋1＝x n x 2n ＋33x 2n ＋1，n ∈N ＋.用数学归纳法证明：若是0<x 1<1，则x n <x n ＋1.证明：用数学归纳法证明： 若是0<x 1<1，则0<x n <1.(1)n ＝1时，x 2＝x 1x 21＋33x 21＋1， 因为0<x 1<1，所以(x 1－1)3<0. 则有x 31＋3x 1<3x 21＋1，故x 2＝x 1x 21＋33x 21＋1＝x 31＋3x 13x 21＋1<1. 故n ＝1时命题成立．(2)当n ＝k (k ≥1)时命题成立， 即0<x k <1，(x k －1)3<0.也有x 3k ＋3x k <3x 2k ＋1，即x 3k ＋3x k3x 2k ＋1<1.故x k ＋1＝x k x 2k ＋33x 2k ＋1＝x 3k ＋3x k3x 2k ＋1<1. 且x k ＋1>0.由(1)、(2)知n ∈N ＋时命题都成立．x n －x n ＋1＝x n －x n x 2n ＋33x 2n ＋1＝3x 3n ＋x n －x 3n －3x n 3x 2n ＋1 ＝2x n x n ＋1x n －13x 2n ＋1<0，于是x n <x n ＋1.。

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4。

2用数学归纳法证明不等式一、选择题1。

（1>n ，*∈N n ),在证明1+=k n 这一步时，需要证明的不等式是（ )ABCD 答案：D解析:解答:当1+=k n 时，那不等式左边的式子中的n 都换成1+k ，得到分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据2. 11>2n -++第二步由k 到k+1时不等式左边需增加（ )A 1C 12k++答案:D解析：解答:由题意，n=k n=k+1n=k 变到n=k+1时,左边增加了2k-（2k-1+1)+1=2k —112k ++故选D ． 分析:本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据根据数学归纳法证明的步骤分析计算即可3。

,由k 到k+1,不等式左端的变化是（ ）A B.C D.以上结论均错 答案：C解析:解答:n=k 时，左边=11k ++12k ++。

.。

.。

+1k k+， n=k 时，左边=()111k +++()112k +++……+()()111k k +++=(11k ++12k ++。

....。

+1k k +）-11k ++121k ++122k + 故选C分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据观察不等式11n +开始,以 12n项结束,共n 项，当由n=k 到n=k+1时，项数也由k 变到k+1时,但前边少了一项,后面多了两项，分析四个答案,即可求出结论．4. 121n++-时，由(1)n k k =>不等式成立,推证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ）A ．12k -B ．21k -C ．2kD ．21k +答案:C解析：解答:121n++-由(1)n k k =>不等式成立，等式左边有21k -，因此推证1n k =+时，左边应121+-k ，因此应该增加的项数是2k ，选C分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的方法分析计算即可5. 121n++-（,1n N n +∈>）时，第一步应验证不等式( )A BC D 答案:B解析：解答：数学归纳法中，一般情况下第一步验证1n =时的情况.因为本题中要求1n >，所以第一步验证2n =的情况，而2213-=，所以此时验证不等式111223++<，故选B.分析:本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析计算即可6. 112n -++>,其n 的初始值至少应为 （ )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案：B解析：解答：112n -++=，当8n =时，左边分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式,解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式分析计算即可7. 121n ++-f （n)（n≥2，n ∈N *）的过程中，由n ＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了（ ） A ．1项 B ．k 项 C ．2k －1项 D ．2k项答案：D解析：解答：n k =时左面为121k++-，1n k =+时左面为1121k +++-增加的项数为()()121212k k k +---=分析：本题主要考查了数学归纳法证明不等式，解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析计算即可解决问题 8. 用数学归纳法证明不等式33311111223n n<-＋＋＋＋ （n ≥2,n ∈N ＋)时,第一步应验证不等式（ ） A.3111222<-＋ B 。

一、选择题1.用数学归纳法证“42n －1＋3n ＋1(n ∈N ＋)能被13整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时为了使用归纳假设，对42k ＋1＋3k ＋2变形正确的是( ) A.16(42k －1＋3k ＋1)－13×3k ＋1 B.4×42k ＋9×3kC.(42k －1＋3k ＋1)＋15×42k －1＋2×3k ＋1D.3(42k －1＋3k ＋1)－13×42k －1 解析 42n ＋1＋3k ＋2＝42·42n －1＋3·3k ＋1 ＝16·42n －1＋16·3k ＋1－13·3k ＋1＝16(42n －1＋3k ＋1)－13·3k ＋1.故选A. 答案 A2.数列{a n }中的a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则a n ＋1的表达式是( )A.a n ＋1＝a n ＋12n ＋2B.a n ＋1＝a n ＋12n ＋1＋12n ＋2C.a n ＋1＝a n ＋12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1D.a n ＋1＝a n ＋12n ＋2－1n ＋1解析 a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝a n ＋12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1，选C.答案 C3.用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n ，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1＞2n ＋12成立时，当n ＝2时验证的不等式是( ) A.1＋13＞52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15＞52 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15≥52 D.以上都不对 解析 n ＝2时，1＋12×2－1＝1＋13，所以应为1＋13＞52，选A. 答案 A4.用数学归纳法证明“对任意 x ＞0和正整数n ，都有x n ＋x n －2＋x n －4＋…＋1xn －4＋1x n －2＋1x n ≥n ＋1”时，需要验证的使命题成立的最小正整数值n 0应为( ) A.n 0＝1 B.n 0＝2C.n 0＝1，2D.以上答案均不正确解析 当n 0＝1，x ＋1x ≥2成立，故选A. 答案 A5.数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝1，又n ≥3时，a n ＝a n －1＋a n －2，则( ) A.当n ∈N *，n ＞2时，a n 是偶数 B.n ∈N *，a 3n 是2的倍数 C.n ∈N *，a n ＝12n 2－32n ＋2D.以上都不对解析 a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝5，a 6＝8， 规律为a 3n 为偶数，a 3n ＋1为奇数，a 3n ＋2为奇数. 所以，a 3n 是2的倍数，选B. 答案 B6.用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n （3n ＋1）2的第二步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时的等式左边的差等于( ) A.3k ＋2B.3k ＋1C.k ＋1D.3k解析 n ＝k 时，(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(k ＋k )，n ＝k ＋1时，(k ＋2)＋(k ＋3)＋…＋(k ＋k )＋(k ＋k ＋1)＋(k ＋k ＋2). 故差为2k ＋1＋2k ＋2－(k ＋1)＝3k ＋2，选A. 答案 A7.上一个n 层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为f (n )，则下列猜想正确的是( ) A.f (n )＝nB.f (n )＝f (n )＋f (n －2)C.f (n )＝f (n )·f (n －2)D.f (n )＝⎩⎨⎧n （n ＝1，2）f （n －1）＋f （n －2）（n ≥3）解析 f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝3，f (4)＝C 04＋C 13＋C 22＝5，f (5)＝C 05＋C 14＋C 23＝1＋4＋3＝8，f (6)＝C 06＋C 16＋C 24＋C 23＝1＋5＋6＋1＝13，从以上6个式子可找出规律，选D. 答案 D 8.用数学归纳法证明11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n （n ＋1）＝nn ＋1(n ∈N ＋)时，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”，等式左边需增添的项是( ) A.1k （k ＋1）B.1k （k ＋1）＋1（k ＋1）（k ＋2）C.1（k ＋1）（k ＋2） D.1k （k ＋2）解析 n ＝k 时，11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k （k ＋1）n ＝k ＋1时，11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k （k ＋1）＋1（k ＋1）（k ＋2）增添的项为1（k ＋1）（k ＋2），应选C.答案 C9.若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＜n (n ∈N *)成立，则n 的取值范围是( )A.n ∈N *B.n ≥2C.n ≥3D.1≤n ≤3解析 n ＝1时，左边2，右边为1，2＜1不成立. n ＝2时，左边⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝94，右边为2，94＜2不成立.n ＝3时，左边6427，右边为3，6427＜3成立，故选C. 答案 C10.从1＝1，1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出( )A.1－4＋9－16＋…＋(－n )2＝(－1)n －1·n （n ＋1）2B.1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n －1·n （n ＋1）2C.1－4＋9－16＋…＋(－1)n n 2＝(－1)n －1·n （n －1）2D.1－4＋9－16＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n ·n （n －1）2解析 1＝1，1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3 1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n －1(1＋2＋3＋…＋n )＝(－1)n －1n （n ＋1）2.答案 B 二、填空题11.设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2，用数学归纳法证明a n ＝4·2n －1－2的第二步中，设n ＝k 时结论成立，即a k ＝4·2k －1－2，那么当n ＝k ＋1时，________. 解析 a k ＋1＝2a k ＋2＝2(4·2k －1－2)＋2 ＝4·2k －4＋2＝4·2k －2＝4·2(k ＋1)－1－2. 答案 a k ＋1＝4·2(k ＋1)－1－212.观察下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1，1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，1＋12＋13＋…＋131＞52，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N *). 解析 3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1， 可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2.答案 1＋12＋13＋…＋12n －1＞n213.在数列{a n }中，a 1＝1且S n ，S n ＋1，2S 1成等差数列，则S 2，S 3，S 4分别为________，猜想S n ＝________.解析 S 1＝1，2S n ＋1＝S n ＋2S 1， 当n ＝1时，2S 2＝S 1＋2＝3，S 2＝32. 当n ＝2时，2S 3＝S 2＋2，S 3＝74. 当n ＝3时，2S 4＝S 3＋2，S 4＝158. 猜想S n ＝2n －12n －1.答案 32、74、158 2n－12n －114.用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1（n ＋1）2＞12－1n ＋2，假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标是________.解析 当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1（k ＋1）2＋1（k ＋2）2＞12－1k ＋3.答案 122＋132＋142＋…＋1（k ＋2）2＞12－1k ＋3 三、解答题15.用数学归纳法证明：f (n )＝3·52n ＋1＋23n ＋1(n ∈N *)能被17整除. 证明 (1)当n ＝1时，f (1)＝3×53＋24＝391＝17×23， 故f (1)能被17整除. (2)假设n ＝k 时，命题成立.即f (k )＝3·52k ＋1＋23k ＋1能被17整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝3·52k ＋3＋23k ＋4 ＝52·3·52k ＋1＋52·23k ＋1－52·23k ＋1＋23k ＋4 ＝25f (k )－17·23k ＋1.由归纳假设，可知f (k )能被17整除，又17·23k ＋1显然可被17整除， 故f (k ＋1)能被17整除.综合(1)(2)可知，对任意正整数n ，f (n )能被17整除. 16.求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞56(n ≥2，n ∈N ＋). 证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＞56，不等式成立. (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，命题成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞56. 则当n ＝k ＋1时，1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13（k ＋1）＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 ＞56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立.由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N ＋均成立.17.设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15. (1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式. 解 (1)由题意知S 2＝4a 3－20，∴S 3＝S 2＋a 3＝5a 3－20.又S 3＝15，∴a 3＝7，S 2＝4a 3－20＝8. 又S 2＝S 1＋a 2＝(2a 2－7)＋a 2＝3a 2－7， ∴a 2＝5，a 1＝S 1＝2a 2－7＝3. 综上知，a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明. ①当n ＝1时，结论显然成立 ； ②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k ＝2k ＋1， 则S k ＝3＋5＋7＋…＋(2k ＋1)＝k [3＋（2k ＋1）]2＝k (k ＋2).又S k ＝2ka k ＋1－3k 2－4k ， ∴k (k ＋2)＝2ka k ＋1－3k 2－4k ， 解得2a k ＋1＝4k ＋6， `∴a k ＋1＝2(k ＋1)＋1， 即当n ＝k ＋1时，结论成立. 由①②知，∀n ∈N *，a n ＝2n ＋1.18.如右图，圆C 上有n 个不同点P 1，P 2，…，P n ，设两两连结这些点所得线段P i P j 中，任意三条在圆内都不共点，试证它们在圆内共有C 4n 个交点(n ≥4). 证明 设圆内交点个数为P (n )，(1)当n ＝4时，则P (4)＝1＝C 44，命题成立.(2)假设n ＝k 时，P (k )＝C 4k ，不妨设第k ＋1个点在P k P 1︵上，且P 1，P 2，…，P k ，P k ＋1按逆时针方向排列，依次连结P k ＋1P 1，P k ＋1P 2，…，可增加k 条线段，分别考查这k 条线段与此前圆内线段的交点个数：与P k ＋1P 1：0个； 与P k ＋1P 2：k －2个(与P 1P 3，P 1P 4，…，P 1P k 交得)；与P k ＋1P 3：2(k －3)个(与P 1P 4，P 1P 5，…，P 1P k ；P 2P 4，…，P 2P k 交得)； 与P k ＋1P 4：3(k －4)个(分别与P 1P 5，…P 1P k ，…，P 3P k 交得)； 与P k ＋i P k －1：(k －2)×1个(分别与P 1P k ，P 2P k ，…，P k －2P k 交得)，故总共增加：1(k －2)＋2(k －3)＋3(k －4)＋…＋(k －2)[(k －1)－(k －2)]＝k ＋2k ＋…＋(k －2)k －[1×2＋2×3＋3×4＋…＋(k －2)(k －1)]个交点，得P(k＋1)＝C4k＋k（k－1）（k－2）2－2[C22＋C23＋…＋C2k－1]＝C4k＋3C3k－2C3k＝C4k＋C3k＝C4k＋1，可见命题当n＝k＋1时成立，从而对一切n≥4的自然数n成立.。

综合检测 (四)(120 分，分 150 分)一、 (本大共 12 小，每小 5 分，共 60 分．在每小出的四个中，只有一是切合目要求的)1．用数学法明“1＋2＋22＋⋯＋25n－1(n∈N＋ )能被 31 整除”，当 n＝ 1原式 ()A．1B．1＋2C．1＋2＋3＋4D．1＋2＋22＋23＋24【分析】25n－1，所以 n＝ 15×1左＝ 1＋2＋2 ＋⋯＋2， 1＋2＋⋯＋2－1＝ 1＋ 2＋ 22＋23＋24.故 D.【答案】 D2．以下法中正确的选项是 ()A．若一个命当n＝1,2 真，此命真命B．若一个命当 n＝k 建立且推得 n＝k＋1 也建立，此命真命C．若一个命当 n＝1,2 真，当 n＝3 此命也真D．若一个命当n＝1 真， n＝ k 真能推得 n＝ k＋1 亦真，此命真命【分析】由数学法定可知，只有当n 的初始取建立且由 n＝k 成立能推得 n＝k＋ 1 也建立，才能够明正确，两者缺一不行．A，B，C 均不全面．【答案】 D1＋1＋113． S(n)＝n n＋1n＋2＋⋯＋2)n， (11A．S(n)共有 n ，当 n＝ 2 ， S(2)＝2＋3111B．S(n)共有 n＋1 ，当 n＝2 ， S(2)＝2＋3＋4C．S(n)共有 n2－ n ，当 n＝2 ， S(2)＝12＋13＋14D．S(n)共有 n2－ n＋ 1 项，当 n＝2 时， S(2)＝12＋13＋14S(n)共有 n2－n＋1 项，当 n＝2 时， S(2)＝111【分析】2＋3＋4.【答案】D4．数列 a n中，已知 a1＝1，当 n≥2时， a n－a n－1＝2n－1，挨次计算 a2，a3，4 后，猜想a n 的表达式是()aA．3n－ 2B．n2C．3n－1D．4n－ 3【分析】计算知 a1＝1，a2＝4, a3＝9，a4＝ 16，∴可猜想 a n＝n2.【答案】 B5．平面内原有 k 条直线，他们的交点个数记为f(k)，则增添一条直线 l 后，它们的交点个数最多为 ()A．f(k)＋1B．f(k)＋kC．f(k)＋k＋1D．k·f(k)【分析】第 k＋1 条直线与前 k 条直线都有不一样的交点，此时应比原来增加 k 个交点．【答案】 B．以下代数式，n∈N *，能被 13 整除的是 ()634n＋12n＋1A．n ＋ 5n B．3＋5C．62n－1＋1D．42n＋1＋3n＋ 2【分析】当 n＝1 时，n3＋5n＝ 6,34n＋1＋52n＋1＝368,62n－1＋ 1＝ 7,42n＋1＋3n＋2＝ 91，只有 91 能被 13 整除．【答案】Dn n7．用数学概括法证明命题“当n是正奇数时，x＋y能被x＋y整除”时，第二步正确的证明方法是 ()A．假定 n＝k(k∈N＋ )时建立，证明 n＝k＋1 时命题也建立B．假定 n＝k(k 是正奇数 )时建立，证明 n＝ k＋ 1 时命题也建立C．假定 n＝2k＋ 1(k∈N＋ )时建立，证明 n＝ 2k＋3 时命题也建立D ．假 n ＝2k － 1(k ∈ N ＋) 建立， 明 n ＝ 2k ＋1 命 也建立【分析】假 n 的取 必 取到初始1，且后边的 n 的 比前方的 大2.A 、 B 、 C ．故 D.【答案】 D．π2＋ a ， 猜想 a ()θ ，已知 a ＝ 2cos θ，a ＋ ＝80<<21 n 1nnθθA ．2cos 2nB ．2cos 2n － 1θθC ．2cos 2n ＋ 1D ．2sin 2nθθ θ【分析】 a 1＝2cos θ，a 2＝ 2＋2cos θ＝ 2cos 2，a 3＝2＋ 2cos 2＝2cos 4，猜想 a n ＝2cos θn － 1.2 【答案】B．用数学 法 明422＝n＋n， 当 n ＝k ＋1 左端 在91＋ 2＋ 3＋ ⋯＋n2n ＝k 的基 上加上 ()A ．k 2B ．(k ＋1)2k ＋4＋ k ＋2 C.2D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋ ⋯＋(k ＋1)2【分析】当 n ＝k ，左端＝ 1＋1＋2＋3＋⋯ ＋k 2，当 n ＝ k ＋1 ，左端＝ 1＋2＋3＋ ⋯＋k 2＋(k 2＋ 1)＋(k 2＋ 2)＋⋯＋ (k ＋1)2.222故当 n ＝ k ＋ 1 ，左端 在 n ＝k 的基 上加上 (k ＋1)＋ (k ＋2)＋⋯＋(k ＋ 1) .2n － 1＋ 3n ＋1 (n ∈N ＋)能被 13 整除 ”的第二步中，当 n10．用数学 法 明 “4＝ k ＋1 了使用 假 ，42k ＋1＋3k ＋ 2形正确的选项是 ()A ．16(42k － 1＋3k ＋1)－ 13×3k ＋1B ．4×42k ＋9×3kC ．(42k － 1＋3k ＋ 1)＋15×42k － 1＋2×3k ＋1D．3(42k－1＋3k＋1)－13×42k－1【分析】42k＋1＋3k＋2＝ 16×42k－1＋ 3k＋2＝16(42k－1＋3k＋1)＋ 3k＋2－16×3k＋1＝16(42k－1＋3k＋1)－ 13×3k＋1.【答案】A11．假如命题 P(n)关于 n＝k 建立，则它对 n＝k＋2 亦建立，又若 P(n)对 n＝ 2 建立，则以下结论正确的选项是()A．P(n)对全部自然数n 建立B．P(n)对全部偶自然数n 建立C．P(n)对全部正自然数n 建立D．P(n)对全部比 1 大的自然数 n 建立【分析】因为 n＝2 时，由 n＝k＋2 的“递推”关系，可获得 n＝4 建立，再获得 n＝6 建立，挨次类推，所以，命题 P(n)对全部的偶自然数 n 建立．【答案】B112．在数列 { a n} 中，a1＝3且 S n＝ n(2n－1)a n，经过求 a2，a3， a4，猜想 a n的表达式为 ()11A.n－n＋B．2n n＋C.1D．1n－n＋n＋n＋1【分析】∵a1＝3，由 S n＝n(2n－ 1)a n得，a1＋a2＝ 2(2 ×2－1)a2，1 1解得 a2＝15＝3×5，a1＋a2＋ a3＝3×(2 ×3－1)a3，1 1解得 a3＝35＝5×7，a1＋a2＋ a3＋a4＝ 4(2 ×4－1)a4，1 1解得 a4＝63＝7×9，1所以猜想 a n ＝.n －n ＋【答案】C二、填空 (本大 共 4 小 ，每小 5 分，共 20 分． 把答案填在 中横上 )13．探究表达式 A ＝ (n －1)(n －1)！＋ (n － 2)(n －2)！＋ ⋯＋2·！＋ 1·1！(n>1且 n ∈N ＋)的 果 ，第一步 n ＝ ________ ， A ＝ ________.【分析】第一步 n ＝2 ，A ＝(2－1)(2－1)！＝ 1.【答案】2 114．已知 1＋2×3＋ 3×32＋ 4×33＋⋯ ＋n ×3n －1＝3n (na －b)＋c 全部 n ∈ N ＋都建立，那么 a ＝________， b ＝ ________，c ＝________.【分析】 先分 取 n ＝1,2,3 并 立方程 得1＝31a －b ＋c ，1＋2×3＝32a －b ＋c ，2＝33－＋c.1＋2×3＋3×3a b111解得 a ＝2， b ＝ 4， c ＝ 4.而后可用数学 法 明．【答案】1 1 12 4 415． 明 1＋1＋1＋1＋⋯ ＋ n1>n(n ∈ N ＋)，假 n ＝k 建立，当 n ＝ k ＋2 34 2 －1 21 ，左 增添的 数是 ________．【分析】左 增添的 数 2k ＋1－ 1－ 2k ＋1＝2k .【答案】2k16．假 凸 k 形的 角 有 f(k)条， 凸 k ＋1 形的 角 的条数 f(k ＋1) ________．【分析】凸 k ＋1 形的 角 的条数等于凸 k 形的 角 的条 ，加上多的那个点向其余点引的 角 的条数 (k － 2)条，再加上本来有一 成 角，共有 f(k)＋k －1 条 角 ．【答案】f(k)＋ k －1三、解答 (本大 共 6 小 ，共 70 分，解答 写出文字 明、 明 程或演算步 )17． (本小 分 10 分)用数学 法 明：1111n (n ∈N ＋ )．2×4＋4×6＋6×8＋⋯＋2n＋ ＝＋nn【 明】(1)当 n ＝ 1 ，11左 ＝2×1× ＋＝8，11 右 ＝ ＋ ＝8，左 ＝右 ．∴当 n ＝1 ，等式建立．(2)假 n ＝k(k ∈N ＋ ) 等式建立，即有1 ＋ 1 ＋ 1 ＋⋯＋12×4 4×66×8 2k＋k＝k，k ＋当 n ＝k ＋ 1 ，1 ＋ 1 ＋ 1＋ 1 ＋k ＋12×4 4×6 6×8 2k k ＋k ＋ ＋ 2]＝k ＋1k ＋k ＋k ＋k k ＋＋1k ＋2＝＝k ＋k ＋ k ＋k ＋k ＋ 1＝k ＋1.＝k ＋1＋k ＋所以当 n ＝k ＋1 ， 等式也建立．由(1)(2)可知， 于全部n ∈ N ＋等式都建立．18．(本小 分 12 分)求 ： 于整数 n ≥0 ，11n ＋ 2＋ 122n ＋ 1能被 133 整除．【 明】 (1)n ＝0 ，原式＝ 112＋ 12＝133 能被 133 整除．假k ＋ 2＋ 122k ＋1 能被 133 整除， (2) n ＝k(k ≥0， k ∈ N ) ， 11n ＝k ＋ 1 ，原式＝ 11k ＋ 3＋122k ＋ 3＝11(11k＋2＋122k＋1)－11·122k＋1＋122k＋3＝11(11k＋2＋122k＋1)＋122k＋1·133 也能被 133 整除．由(1)(2)可知：于整数 n≥0,11n＋2＋122n＋1能被 133 整除．19． (本小分 12 分)平面内有 n 个，随意两个都订交于两点，随意三个不订交于同一点，求：n 个将平面分红f(n)＝n2－n＋2 个部分 (n∈N＋)．【明】(1)当 n＝ 1 ，一个将平面分红两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝ 2，所以 n＝1 命建立．(2)假 n＝k(k∈N＋，k≥1)命建立，即 k 个把平面分红 f(k)＝ k2－k＋ 2个部分．n＝ k＋1 ，在 k＋1 个中任取一个 O，剩下的 k 个将平面分红 f(k) 个部分，而 O 与 k 个有 2k 个交点， 2k 个交点将 O 分红 2k 段弧，每段弧将原平面一分二，故得 f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝ (k＋1)2－(k＋1)＋2.所以当 n＝k＋1 ，命建立．由(1)(2)可知，全部 n∈N＋，命建立，即几个将平面分红 f(n)＝n2－n＋ 2 个部分 (n∈N＋)．1 1 11n－ 220． (本小分 12 分)求：2＋3＋4＋⋯＋2n－1>2 (n≥ 2)．1【明】(1)当 n＝ 2 ，2>0，不等式建立．(2)假 n＝k(k≥2)，原不等式建立．11111k－2即2＋3＋4＋5＋⋯＋2k－1> 2.当 n＝k＋ 1 ，1111111左＝2＋3＋4＋⋯＋2k－ 1＋2k－1＋1＋2k－ 1＋2＋⋯＋2k－ 1＋2k－1>k－ 21＋ k－11k－ 1 2＋ k－11＋⋯＋ k－ 12＋1 2＋22＋2k－ 2111－1> 2＋2k＋2k＋⋯＋2k(共2k 1 个2k)k －2 2k －1k －1＝2 ＋ 2k ＝ 2k ＋－ 2＝.2∴当 n ＝k ＋ 1 ，原不等式建立．由(1)(2)知，原不等式n ≥2 的全部的自然数都建立．－1＋3a n21．(本小 分 12 分 )假如数列 { a n } 足条件： a 1＝－ 4，a n ＋ 1＝2－a n (n＝ 1,2， ⋯)， 明： 任何自然数 n ，都有 a n ＋1>a n 且 a n <0. 【 明】(1)因为 a 1＝－ 4，－ 1＋ 3a 1－1－12 －13a 2＝ 2－a 1 ＝ 2＋ 4 ＝ 6 >a 1.且 a 1<0，所以，当 n ＝1 不等式建立．(2)假 当 n ＝ k(k ≥1) ， a k ＋1>a k 且 a k <0.－ 1＋ 3a k那么 a k ＋ 1＝ 2－a k <0.当 n ＝ k ＋1 ，－1＋3a k ＋ 1有a k ＋2＝2－a k ＋ 1－1＋3a k ＋ 1 －1＋ 3a k∴a k ＋ 2－ a k ＋1＝ 2－a k ＋ 1－2－a ka k ＋1 －a k＝>0.－ a k ＋1－a k所以 a k ＋ 2>a k ＋1 且 a k ＋1<0，就是 ，当 n ＝k ＋1 不等式也建立，依据 (1)(2)，不等式 任何自然数n 都建立．所以， 任何自然数n ，都有 a n ＋ 1>a n 且 a n <0.22． (本小 分 12 分)已知数列 {a n } 的前 n 和 S n ，且 S n ，a n 的等差中1.(1)写出 a 1， a 2，a 3；(2)猜想 a n 的表达式，并用数学 法 明．1【解】(1)由 意 S n ＋a n ＝ 2，可得 a 1＝1，a 2＝2，1a 3＝4.1 n －1(2)猜想 a n ＝ (2).下边用数学概括法证明：①当1 n － 11 0＝1，等式建立． n ＝1 时， a 1＝1，( )＝ ( ) 22②假定当 n ＝k 时，等式建立，即 a k ＝( 1 k － 12)，则当 n ＝k ＋ 1 时，由 S k ＋ 1＋a k ＋ 1＝2，S k ＋a k ＝ 2，得(S k ＋1－S k )＋a k ＋ 1－a k ＝ 0，即 2a k ＋ 1＝ a k ，∴a k ＋ 1＝1k ＝ (1 1 k －11 ( k ＋ 1)－12a·＝(2) (2)2). 即当 n ＝k ＋ 1 时，等式建立．*1 n － 1由①②可知，对 n ∈N ，a n ＝( 2).。

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1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．若,,x y z 为正实数，则222
xy yz x y z +++的最大值是22. 提示：2222112222
x y y z xy yz +++≥+. 2．已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12z S xyz +=
的最小值为________ 评卷人
得分 二、解答题
3．选修4—5：不等式选讲
已知不等式222|2|23a x y z -++≤对满足1x y z ++=
的一切实数x ，y ，z 都成立，求实数a 的取值范围．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．。

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得分 一、填空题
1．1 ．（汇编年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________
2．考察下列一组不等式：33224433
252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人
得分 二、解答题
3．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）
已知,,a b c 均为正数,证明：2222111()63a b c a b c
+++++≥． 4．已知,x y 均为正实数，求证：1144x y +≥1x y +。

5．(1)设321,,a a a 均为正数，且m a a a =++321，求证m a a a 9111321≥++；。

阶段质量检测(四)(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 等式12+ 22+ 32+…+ n2= *5n2—7n+ 4)()A. n为任何正整数时都成立B. 仅当n = 1,2,3时成立C .当n = 4时成立，n = 5时不成立D .仅当n = 4时不成立解析：选B 分别用n = 1,2,3,4,5验证即可.11 112. 用数学归纳法证明不等式1 +云+亍+…+孑<2 —^(n>2, n€ N +)时，第一步应验证不等式()A. 1+ 步<2 —2B. 1 + 23 + 3｝<2 —1C. 1+ *<2D . 1 + p + 33<2解析：选A 第一步验证n = 2时不等式成立，即 1 + ?<2 —2n+ 22 …+ 1 1 —a3. 用数学归纳法证明1 + a + a +…+ a = (a* 1),在验证n = 1时，左端计算1 —a所得的项为()A. 1B. 1+ a2 2,3C. 1+ a + aD. 1+ a+ a + a解析：选C 左端为n + 2项和，n = 1时应为三项和，即 1 + a+ a2.4. 用数学归纳法证明2°>n2(n€ N + , n> 5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是()A .假设n=k时命题成立B. 假设n = k(k€ N+)时命题成立C .假设n = k(k > 5)时命题成立D .假设n = k(k>5)时命题成立解析：选C k应满足k>5, C正确.5 .数列｛a n｝中，已知a1= 1,当n> 2 时，a n—a n—1 = 2n—1，依次计算a?, a?, a°后，猜想a n的表达式是()A . 3n —2B . n2C . 3n —1D . 4n—3解析：选 B 计算出a i= 1, a2= 4, a3= 9, a4= 16,可猜想a n = n2.6.平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为( )A. f(k)＋1B. f(k)＋kC. f(k)+ k + 1D. k f(k)解析：选 B 第k＋ 1 条直线与前k 条直线都相交且有不同交点时,交点个数最多,此时应比原先增加k 个交点.7•用数学归纳法证明34n+1+ 52n T(n€ N + )能被8整除时，若n= k时，命题成立，欲证当n= k+ 1时命题成立，对于34(k+1)+1+ 52(k+1)+1可变形为()4k+ 1 4k+ 1 2k+1A. 56 X 3 + 25(3 + 5 )B. 34X 34k+1+ 52X 52kC．34k+1+52k+1D．25(34k+1+52k+1)解析：选A 由34(k+1)+1+ 52(k+1)+1= 81 X 34k+1+ 25 X 52k+1+ 25 X 34k+1-25 X 34k+1 =56X 34k+1+ 25(34k+1+ 52k+1).8•已知f(n) = 12+ 22+ 32+…+ (2n)2,则f(k + 1)与f(k)的关系是()22A. f(k + 1) = f(k)+ (2k + 1) + (2k+ 2)B. f(k + 1) = f(k) + (k+ 1)2C. f(k + 1) = f(k)+ (2k + 2)2D. f(k + 1) = f(k)+ (2k + 1)2解析：选A f(k+ 1) = 12+ 22+ 32+…+ (2k)2+ (2k+ 1)2+ [2(k+ 1)]2= f(k) + (2k + 1)2+ (2k+ 2)2,故选 A.9. 用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n+ y n能被x+ y整除”，第二步归纳假设应该写成( )A .假设当n = k(k€ N +)时，x k+ y k能被x+ y整除B.假设当n = 2k(k€ N +)时，x k+ y k能被x + y整除C .假设当n = 2k+ 1(k € N + )时，X + y*能被x + y整除D .假设当n = 2k—1(k € N + )时，x k+ y k能被x + y整除解析：选D 第k个奇数应是n= 2k—1, k€ N +.10. 已知f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)> k2成立时，总可推出f(k+ 1)> (k+ 1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()A. 若f(3)>9成立，则当k> 1时，均有f(k)>k2成立B. 若f(4) > 16成立，则当k>4时，均有f(k)vk2成立C .若f(7) > 49成立，则当k<7时，均有f(k)vk2成立2D .若f(4) = 25成立，则当 k > 4时，均有f(k) > k 成立 解析：选 D •/ f(k)> k 2 成立时 f(k +1) > (k + 1)2 成立， 当 k = 4 时，f(4) = 25>16 = 42 成立. .•.当k > 4时，有f(k)> k 2成立.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分•把答案填写在题中的横线上 ) 11•用数学归纳法证明 1 + 2 + 3+ 4+-+ n 2 =匚^丄⑴€ N + ),贝U n = k + 1时，左端应 为在n = k 时的基础上加上解析：n = k + 1 时，左端=1 + 2+ 3+ - + k 2 + (k 2+ 1) +…+ (k + 1)2. 所以增加了(k 2+ 1)+…+ (k + 1)2. 答案：(k 2+ 1) + …+ (k +1)212•设f(n)= ji+n”+n ++7丿…]+n ++n 丿，用数学归纳法证明f (m >3,在假设n =k 时成立后，f(k + 1)与f(k)的关系是f(k + 1) = f(k) • _________________ .解析：••• f(k)= 1 +匚 1+k +1 • (1)k +k ，f(k+ 1)= 1 +土 1+k ++2 …“ + k +h，1 +k+k+l - 1 +k +k+213.设数列｛a n ｝满足a 1= 2, a n +1 = 2a n + 2,用数学归纳法证明 a n = 4 2n 1— 2的第二步 中，设n = k 时结论成立，即a k = 4 2^1 — 2,那么当n = k + 1时，应证明等式 ____________ 成立.答案：a k +1= 4 2(k +1)—1 — 214.在数列｛a n ｝中，a 1= 1,且S n , S n +1,2$成等差数列，则S 2, S 3, S 4分别为 _____________ 猜想S n = __________ .解析：因为S n , S n + 1,2S 1成等差数列. 所以 2S n +1 = S n + 2S 1 ,又 S 1= a 1= 1. 所以 2S 2= S 1 + 2S 1 = 3S 1= 3,于是 S 2=2S 3= S 2+ 2S 1= 3+ 2 = 7,于是 S 3= 由此猜想S n =茅1.2答案：1+11 +1丄2k + 12k + 2 k + 1.f(k + 1) = f(k) - 1 + 右 1 +1 k 2k +2 k + 1.3 = 22- 12 = 2 ,三、解答题（本大题共4个小题，满分50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤11115.（本小题满分12分）用数学归纳法证明，对于n € N +,都有帀 + 药 + 3^+…+ —1n n+ 1 n + 11 1 1证明：（1）当n_1时，左边_己_ 1,右边_ -,所以等式成立.(2)假设n= k(k> 1, k€ N + )时等式成立,即丄+丄+丄+•••+亠 _丄,1X 2 2X 3 3X 4 k k+ 1 k + 1当n = k+ 1时,1 1 1 11X 2+2X 3+3X 4+ +k k + 1 +k + 1 k+ 2_丘+k+ 1 k+ 1 k+ 22_ k(k+ 2 卄1 _ (k+ 1)_ k + 1_ (k + 1 Jk+ 2 _ (k + 1 (k+ 2 _ k + 2.即n _ k+ 1时等式成立.由（1）（2）可知，对于任意的自然数n等式都成立.•••当n = k + 1时，不等式也成立.由(1)(2)可知，对于一切大于 1的自然数n ,不等式都成立.—1 + 3a n17.(本小题满分12分)如杲数列｛a n ｝满足条件：a 1=- 4, a “+1=(n = 1,2,…),2 — a n证明：对任何自然数 n ,都有a n + 1>a n 且a n <0. 证明：⑴由于a 1=— 4,—1+ 3a 1 — 1 — 12 — 13 a 2= = =' >a 1.2— a 1 2 + 4 6 且a 1<0，因此，当n = 1时不等式成立. (2)假设当 n = k(k > 1)时，a k + 1>a k 且 a k <0,那么 —1 + 3a ka k +1= <0,2— a k—1 + 3a k +1 — 1 + 3御a k +2 — a k +1= —2— a k +1 2 — a k 5 a k +1 —a k= >0.2 — a k +1 12 — a k j1+316 .（本小题满分 12分）用数学归纳法证明：对一切大于 ＞二2土J 均成立.1的自然数，不等式1 +2^证明：（1）当n = 2时，左边=1 + 3 =彳，右边=~25.•••左边〉右边，•••不等式成(2)假设当n = k(k >2，且k € N +)时不等式成立，1 + _L 、,2k + 1+2k - 1则当n = k + 1时,1+1 1+1一 瞩+5丿…V ' + 2k - 1 丿J + 2(k + 1 — 11 +」 p2k + 1 2k +2 _ > 2 2k + 1 2p2k + 12k + 2 ；：4k 2+2 ;2k + 12 ；2k + 1p2k +3#2k + 1 _P 2fk + 1 -+12 2k + 12这就是说，当n= k+ 1时不等式也成立，根据(1)(2)，不等式对任何自然数n都成立.因此，对任何自然数n,都有a n+ 1>a n，且a n v 0.18. (本小题满分14分)已知数列｛a n｝满足a1= 2, a“+1 = 2a“+入n+七—(n € N +).a n(1) 若匸尸1,证明数列｛lg(a n + 1)｝为等比数列，并求数列｛a n｝的通项公式；(2) 若入=0，是否存在实数L,使得a n> 2对一切n € N +恒成立？若存在，求出L的取值范围；若不存在，请说明理由.解：(1) •••入 =卩=1,贝U a n+1= a j；+ 2a n,•a n + 1 + 1= (a n+ 1)2, lg(a n + 1 + 1)= 2lg(a n+ 1),•｛lg(a n+ 1)｝是公比为2的等比数列，且首项为lg 3,•••lg(a n+ 1) = 2n—1ig 3,•a n + 1= 32n—1,「. a n = 32n—1—1(n€ N +).(2)由a2 = 2a1+L—J = 4+宁 >2,得详—3,a1 2猜想—3时，对一切n € N + , a n> 2恒成立.①当n= 1时，a1= 2，猜想成立.②假设当n= k(k> 1且k€ N +)时，a k>2,2 22a n+ 卩―12a k—2a k+ 卩―1则由a n+1= ，得a k+1-2 =a n a kI；1+ .. 32乂l'3"2+ " 322 ak 2 +.- 2 2 x 2 +.- 2 叶 3= A = A 0,a k a k a k••• n= k+ 1 时，a k+1> 2,猜想成立.由①②可知，当 & —3时，对一切n€ N+,恒有a n>2.。