人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.1平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质课时1 平行四边形的边、角的特征教案【教学目标】1．理解平行四边形的概念；2．掌握平行四边形边、角的性质；3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．【教学重点】1．理解平行四边形的概念；2．掌握平行四边形边、角的性质.【教学难点】会利用平行四边形边、角的性质解决问题．【教学过程设计】一、情境导入如图，平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？二、合作探究知识点一：平行四边形的定义例1如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD 是平行四边形．解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可．证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．知识点二：平行四边形的边、角特征【类型一】利用平行四边形的性质求边长例2如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA 延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF.∴AD ＝BF，∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．【类型二】利用平行四边形的性质求角例3如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE 的度数为()A．35°B．55°C．25°D．30°解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A ＝125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选A.方法总结：平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．【类型三】利用平行四边形的性质证明有关结论例4如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG ＝DC ，CE ＝CF ，点P 是射线GC 上一点，连接FP ，EP .求证：FP ＝EP .解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC ＝∠GCB ，根据等腰三角形性质求出∠DGC ＝∠DCG ，推出∠DCG ＝∠GCB ，根据“等角的补角相等”求出∠DCP ＝∠FCP ，根据“SAS ”证出△PCF ≌△PCE 即可得出结论．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DGC ＝∠GCB .∵DG ＝DC ，∴∠DGC ＝∠DCG ，∴∠DCG ＝∠GCB .∵∠DCG ＋∠ECP ＝180°，∠GCB＋∠FCP ＝180°，∴∠ECP ＝∠FCP .在△PCF 和△PCE 中，∵⎩⎨⎧CF ＝CE ，∠FCP ＝∠ECP ，CP ＝CP ，∴△PCF ≌△PCE (SAS)，∴PF ＝PE .方法总结：平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等常综合应用，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题，在证明时应用较多．【类型四】 判断直线的位置关系例5 如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2AD ，M 为AB 的中点，连接DM 、MC ，试问直线DM 和MC 有何位置关系？请证明．解析：由AB ＝2AD ，M 是AB 的中点的位置关系，可得出DM 、CM 分别是∠ADC 与∠BCD 的平分线．又由平行线的性质可得∠ADC ＋∠BCD ＝180°，进而可得出DM 与MC 的位置关系．解：DM 与MC 互相垂直．证明如下：∵M 是AB 的中点，∴AB ＝2AM .又∵AB ＝2AD ，∴AM ＝AD ，∴∠ADM ＝∠AMD .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠AMD ＝∠MDC ，∴∠ADM ＝∠MDC ，则∠MDC ＝12∠ADC ，同理∠MCD ＝12∠BCD .∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＋∠DCB ＝180°，∴∠MDC ＋∠MCD ＝12∠BCD ＋12∠ADC ＝90°.∵∠MDC ＋∠MCD ＋∠DMC ＝180°，∴∠DMC ＝90°，∴DM 与MC 互相垂直．方法总结：根据平行四边形的性质，将已知条件转化到同一个三角形中，即可判断两条直线的关系．知识点三：两平行线间的距离例6如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO 与△FHO面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝12GH·h，S△FGH＝12GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴△EGO的面积等于△FHO的面积．方法总结：根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等．三、学习检测1.已知▱ABCD中,∠A+∠C=200°,则∠B的度数是()A.100°B.160°C.80°D.60°解析:∵∠A+∠C=200°,∠A=∠C,∴∠A=100°,又AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠B=180°-∠A=80°.故选C.2.如图所示,在平行四边形ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF,GH相交于点O,则图中共有平行四边形的个数为()A.6B.7C.8D.9解析:图中的平行四边形有:平行四边形AEOG、平行四边形BHOE、平行四边形CHOF、平行四边形OFDG、平行四边形ABHG、平行四边形CHGD、平行四边形AEFD、平行四边形BEFC、平行四边形ABCD.故选D.3.如图所示,在▱ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB 的长为()A.4B.3C.D.2解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE,∵CE平分∠DCB,∴∠DCE=∠BCE,∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC=AB,∵AD=2AB=2CD,CD=DE,∴AD=2DE,∴AE=DE=3,∴DC=AB=DE=3.故选B.4.如图所示,在▱ABCD中,△ABC和△DBC的面积的大小关系是.解析:∵两平行线AD,BC间的距离相等,∴△ABC与△DBC是同底等高的两个三角形,∴它们的面积相等.故填相等.5.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,∠C=60°,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F.(1)求∠EDF的度数;(2)若AE=4,CF=7,求平行四边形ABCD的周长.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠A=∠C=60°,∴∠C+∠B=180°.∵∠C=60°,∴∠B=180°-∠C=120°.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEB=∠DFB=90°,∴∠EDF=360°-∠DEB-∠DFB-∠B=60°.(2)在Rt△ADE和Rt△CDF中,∠A=∠C=60°,∴∠ADE=∠CDF=30°,∴AD=2AE=8,CD=2CF=14,∴平行四边形ABCD的周长为2×(8+14)=44.【板书设计】18.1平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质课时1 平行四边形的边、角的特征1．平行四边形的定义2．平行四边形的边、角特征3．两平行线间的距离【教学反思】在本节数学课的教学中，学生通过观看多媒体课件的演示和动手操作的过程，得出并掌握平行四边形的性质，效果比较好．例题能够引导学生用不同的方法去解决问题并加以变式练习，使教师能根据学生的掌握情况及时解决学生在练习的过程中发现问题，并通过投影指出错误，规范说理过程，极大提高课堂效率．人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.1平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质课时1 平行四边形的边、角的特征学案【学习目标】1．掌握平行四边形的对边相等、对角相等的两条性质；2．根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明；3．经历“实验—猜想—验证—证明”的过程,发展学生的思维水平【学习重点】掌握平行四边形的对边相等、对角相等的两条性质.【学习难点】能根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明．【自主学习】一、知识回顾1.平行四边形的定义是什么？如何表示一个平行四边形？2.如图，DC∥GH ∥AB，DA∥EF∥CB，图中的平行四边形有多少个？将它们表示出来.二、自主探究知识点1：平行四边形的边、角的特征量一量1.画一个平行四边形ABCD，用尺子等工具度量它的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗?2.再用量角器等工具度量它的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与∠D之间的数量关系吗?思考你发现了什么规律？证一证已知：四边形ABCD是平行四边形.求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD___BC，AB___CD,∴∠1___∠2，∠3___∠4.又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，∴△ABC____△CDA,∴AD___BC，AB___CD，∠ABC___∠ADC.∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，∴∠BAD___∠BCD.思考不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？要点归纳：平行四边形的对边____________；平行四边形的对角___________．【典例探究】例1如图，在平行四边形ABCD中.(1)若∠A =32°,求其余三个角的度数.(2)连接AC，已知平行四边形ABCD的周长等于20 cm，AC=7cm，求△ABC的周长.变式题(1)在平行四边形ABCD中,∠A:∠B=2:3,求各角的度数.(2)若平行四边形ABCD的周长为28cm,AB:BC=3:4,求各边的长度.方法总结:已知平行四边形的边角的比例关系求其他边角时，常会用到方程思想，结合平行四边形的性质列方程.例2如图，在平行四边形ABCD中,E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF，求证：BE=DF.【跟踪练习】1.如图，在平行四边形ABCD中.(1)若∠A=130°，则∠B=______ ，∠C=______ ，∠D=______.(2)若AB=3,BC=5,则它的周长= ______.(3)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_____，∠B=______.2.如图，在平行四边形ABCD中，若AE平分∠DAB，AB=5cm,AD＝9cm,则EC＝_________.3.剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？知识点2：平行线间的距离想一想:如图,若m // n,作AB // CD // EF，分别交m于A、C、E，交n于B、D、F.由________________________易知四边形ABCD，CDEF均为__________________.由平行四边形的性质得AB______CD_______EF.填一填:如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E，F．求证：DE=BF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A_____∠C，AD______CB.又∠AED= ∠CFB=90°，∴△ADE____△CBF（_____）,∴AE_____CF.要点归纳：1.两条平行线之间的任何平行线段都__________.2.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的_________.3.两条平行线间的距离__________.【典例探究】例3如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4cm，S△ABC=12cm2，求△ABD中AB边上的高．三、知识梳理平行四边形内容定义两组对边分别平行的四边形性质1.两组对边分别平行，相等2.两组对角分别相等，邻角互补其它结论1.两条平行线间的距离相等2.两条平行线间的平行线段也相等四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)：(1)四平行四边形两组对边分别平行且相等 ( )(2)平行四边形的四个内角都相等 ( )(3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180° ( )(4)如果平行四边形相邻两边长分别是2cm和3cm，那么周长是10cm ( )(5)在平行四边形ABCD中，如果∠A=42°，那么∠B=48° ( )(6)在平行四边形ABCD中，如果∠A=35°，那么∠C=145° ( ) 2.在平行四边形ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（）A .45° B. 55°C. 65°D. 75°3.如图，D、E、F 分别在△ABC的边AB、BC、AC上，且DE∥AC,DF∥BC,EF∥AB，则图中有_____个平行四边形.4.如图，直线AE//BD,点C在BD上,若AE=5，BD=8,△ABD的面积为16,则△ACE的面积为____________.5.已知在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC,BF平分∠ABC.求证:AE=CF.第2题图第3题图第4题图6.有一块形状如图所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？7.如图，在△ABC中,AD平分∠BAC,点M,E,F分别是AB,AD,AC上的点,四边形BEFM 是平行四边形.求证：AF=BM.8.在▱ABCD中,∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E,BH⊥EC于点H.求证CH=EH.证明:如图所示,∵在▱ABCD中,BE∥CD,∴∠E=∠2.∵CE平分∠BCD,∴∠1=∠2.∴∠1=∠E.∴BE=BC.又∵BH⊥EC,∴CH=EH.9.如图所示,四边形ABCD是一个平行四边形,BE⊥CD于点E,BF⊥AD于点F.(1)请用图中的字母表示出平行线AD与BC之间的距离;(2)若BE=2 cm,求平行线AB与CD之间的距离.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∵BF⊥AD,∴BF⊥BC,∴平行线AD与BC之间的距离是线段BF的长度.(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∵BE⊥CD,∴BE⊥AB,∴平行线AB与CD之间的距离是线段BE 的长度,是2 cm.10.如图所示,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,交其延长线于点E,AF⊥CD于点F,∠EAF=30°,AE=4 cm,AF=3 cm,求平行四边形ABCD的周长.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠B=∠D.∵AE⊥BC,AF⊥CD,∠EAF=30°,∴∠ECD=∠B=∠D=30°. ∵AE=4 cm,AF=3 cm,∴AB=8 cm,AD=6 cm,∴平行四边形ABCD的周长为8+8+6+6=28(cm).11.如图所示,已知四边形ABDE是平行四边形,C为边BD延长线上一点,连接AC,CE,AB=AC.(1)求证△BAD≌△ACE;(2)若∠B=30°,∠ADC=45°,BD=10,求平行四边形ABDE的面积..(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.又∵四边形ABDE是平行四边形,∴AE∥BD,AE=BD,∴∠ACB=∠CAE=∠B.在△DBA和△AEC中,∴△DBA≌△EAC(SAS).(2)解:过A作AG⊥BC,垂足为G,如图所示.设AG=x, 在Rt△AGD中,∵∠ADC=45°,∴AG=DG=x.在Rt△AGB中,由∠B=30°,易得BG=x.又∵BD=10,∴BG-DG=BD=10,即x-x=10,解得x==5+5,∴S=BD·AG=10×(5+5)=50+50.平行四边形ABDE12.如图所示,点E,F分别在平行四边形ABCD的边DC,CB上,且AE=AF,DG⊥AF,BH⊥AE,G,H是垂足.求证DG=BH.证明:连接BE,DF.设平行四边形ABCD的面积为S,AB,AD边上的高分别为a和b, 依题意:S=AB×a=AD×b,∵S△ABE=×AB×a=S,S△ADF=×AD×b=S,∴S△ABE=S△ADF.∵DG⊥AF,BH⊥AE,∴S△ABE=×AE×BH,S△ADF=×AF×DG,∴AE×BH=AF×DG,∵AE=AF,∴DG=BH.。
