全等三角形小结(1)

全等三角形相关模型总结一、角均分线模型(一）角均分线的性质模型辅助线：过点G 作 GE⊥射线 ACA、例题1、如图，在△ ABC中，∠ C=90°， AD 均分∠ CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点 D 到直线 AB 的距离是cm.2、如图，已知，∠1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，求证： AP 均分∠ BAC.B、模型牢固1、如图，在四边形ABCD中， BC＞ AB，AD＝ CD，BD 均分∠ ABC，求证：∠ A＋∠ C＝ 180° .（二）角均分线＋垂线，等腰三角形必表现A、例题辅助线：延长ED 交射线 OB 于 F辅助线：过点 E 作 EF∥射线 OB例 1、如图，在△ABC中，∠ ABC＝ 3∠ C， AD 是∠ BAC的均分线， BE⊥ AD 于 F .1求证： BE( AC AB) .例 2、如图，在△ ABC中，∠ BAC的角均分线 AD 交 BC 于点 D，且 AB＝ AD，作 CM⊥ AD 交1AD 的延长线于M. 求证：AM( AB AC) .2（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON 上取点 B，使 OB＝ OA，从而使△ OAC≌△ OBC .A、例题1、如图，在△ ABC 中，∠ BAC=60°，∠ C=40°， AP 均分∠ BAC交 BC 于 P， BQ 均分∠ ABC 交AC 于 Q，求证： AB＋ BP＝ BQ＋ AQ .2、如图，在△ ABC 中， AD 是∠ BAC的外角均分线， P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，试比较PB＋ PC与 AB＋ AC的大小，并说明原由 .B、模型牢固1、在△ ABC中， AB＞ AC， AD 是∠ BAC的均分线， P 是线段 AD 上任意一点（不与 A 重合） . 求证： AB－AC＞ PB－ PC .2、如图，△ ABC中， AB＝ AC，∠ A＝ 100°，∠ B 的均分线交 AC 于 D，求证： AD＋BD＝BC .3、如图，△ ABC中， BC＝AC，∠ C＝ 90°，∠ A 的均分线交 BC 于 D，求证： AC＋ CD＝ AB .二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角极点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将△ ABD 逆时针旋转 90°，得△ ACM ≌ △ ABD，从而推出△ ADM 为等腰直角三角形 .（2）辅助线作法：过点 C 作 MC⊥ BC，使 CM＝ BD，连接 AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上转动的旋转全等：操作过程：连接AD.（1）使 BF＝AE（或 AF＝ CE），导出△ BDF ≌ △ADE.（2）使∠ EDF＋∠ BAC＝ 180°，导出△ BDF ≌ △ ADE.A、例题1、如图，在等腰直角△ ABC中，∠BAC＝ 90°，点 M 、N 在斜边 BC上滑动，且∠ MAN ＝45°，试试究 BM、 MN 、 CN 之间的数量关系 .2、两个全等的含有 30°， 60°角的直角三角板 ADE 和 ABC，按以以下图放置， E、A、 C 三点在一条直线上，连接 BD，取 BD 的中点 M ，连接 ME、 MC.试判断△ EMC 的形状，并证明你的结论.B、模型牢固1、已知，以以下图，Rt△ABC中， AB＝ AC，∠ BAC＝90°， O 为 BC中点，若 M 、N 分别在线段 AC、 AB 上搬动，且在搬动中保持AN＝ CM.（1）试判断△ OMN 的形状，并证明你的结论.（2）当 M、 N 分别在线段AC、 AB 上搬动时，四边形AMON 的面积如何变化？2、在正方形ABCD中， BE＝ 3，EF＝ 5， DF＝4，求∠ BAE＋∠ DCF为多少度 .（三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，以以下图：A、例题应用1、如图，在等腰直角△ABC 中， AC＝ BC，∠ ACB＝ 90°， P 为三角形ABC内部一点，满足 PB＝ PC， AP＝ AC，求证：∠ BCP＝ 15° .三、三垂直模型（弦图模型）A、例题已知：以以下图，在△ ABC中， AB＝ AC，∠ BAC＝ 90°， D 为 AC 中点， AF⊥ BD 于点 E，交 BC 于 F，连接 DF .求证：∠ ADB＝∠ CDF .变式 1、已知：以以下图，在△ABC中， AB＝ AC，AM ＝ CN， AF⊥ BM 于 E，交 BC 于 F，连接NF .求证：（ 1）∠ AMB＝∠ CNF；（2） BM＝ AF＋ FN .变式 2、在变式 1 的基础上，其他条件不变，可是将BM 和 FN 分别延长交于点P，求证：（ 1） PM＝ PN；（ 2） PB＝ PF＋ AF .四、手拉手模型1、△ ABE和△ ACF均为等边三角形结论：（ 1）△ ABF≌△ AEC .（2）∠ BOE＝∠ BAE＝60° .（3） OA 均分∠ EOF .（四点共圆证）拓展：△ ABC和△ CDE均为等边三角形结论：（ 1） AD＝ BE；（2）∠ ACB＝∠ AOB；（3）△ PCQ为等边三角形；（4） PQ∥ AE；（5） AP＝BQ；（6） CO均分∠ AOE；（四点共圆证）（7） OA＝ OB＋OC；（8） OE＝OC＋ OD .（（7），（ 8）需构造等边三角形证明）例、如图①，点 M为锐角三角形 ABC内任意一点，连接 AM、BM、 CM．以 AB为一边向外作等边三角形△ ABE，将 BM绕点 B 逆时针旋转 60°获取 BN，连接 EN．（1）求证：△ AMB≌△ ENB；（2）若 AM+BM+CM的值最小，则称点 M为△ ABC的费尔马点．若点 M为△ ABC的费尔马点，试求此时∠ AMB、∠ BMC、∠ CMA的度数；（3）小翔受以上启示，获取一个作锐角三角形费尔马点的简略方法：如图②，分别以△ABC 的 AB、 AC 为一边向外作等边△ABE和等边△ ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M 即为△ ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．2、△ ABD 和△ ACE均为等腰直角三角形结论：（ 1） BE＝ CD；（2） BE⊥ CD .3、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形结论：（ 1） BD＝ CF；（ 2）BD⊥ CF .变式 1、四边形 ABEF和四边形 ACHD均为正方形， AS⊥ BC 交 FD 于 T，求证：（ 1） T 为 FD 中点；（ 2）SV ABC SV ADF .变式 2、四边形 ABEF和四边形 ACHD均为正方形， T 为 FD 中点， TA 交 BC于 S，求证： AS⊥ BC .360 4、如图，以△ ABC的边 AB、 AC为边构造正多边形时，总有：1 2 180n五、半角模型条件： 1 , 且 + =180 ，两边相等.2思路： 1、旋转辅助线：①延长CD到 E，使 ED=BM，连 AE 或延长 CB到 F，使 FB=DN，连 AF②将△ ADN绕点 A 顺时针旋转 90°得△ ABF，注意：旋转需证F、 B、 M三点共线结论：（ 1） MN ＝ BM＋ DN；（2）CV CMN=2 AB；（3） AM、 AN 分别均分∠ BMN 、∠ MND .2、翻折（对称）辅助线：①作AP⊥ MN 交 MN 于点 P②将△ ADN、△ ABM分别沿 AN、 AM翻折，但必然要证明M、P、 N 三点共线 .A、例题例1、在正方形 ABCD中，若 M、 N 分别在边 BC、 CD 上搬动，且满足 MN ＝ BM＋DN，求证：（ 1）∠ MAN ＝ 45°；（2）CV CMN=2 AB；（3） AM、 AN 分别均分∠ BMN 和∠ DNM .变式：在正方形 ABCD中，已知∠ MAN ＝45°，若 M 、N 分别在边 CB、DC 的延长线上搬动，AH⊥MN ，垂足为 H，（1）试试究线段 MN 、BM、 DN 之间的数量关系；（2）求证： AB＝ AH例 2、在四边形 ABCD 中，∠ B ＋∠ D ＝ 180°， AB ＝ AD ，若 E 、 F 分别为边 BC 、 CD 上的点，且满足 EF ＝BE ＋ DF ，求证： EAF 1BAD .2变式：在四边形 ABCD 中，∠ B ＝ 90°，∠ D ＝ 90°， AB ＝ AD ，若 E 、 F 分别为边 BC 、CD 上的点，且 EAF1 BAD ，求证： EF ＝ BE ＋DF .2。

【第1部分 全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

概念深入理解：（1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。

（外观长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

（位置变化）2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC ≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。

（1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。

（2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。

（3）全等三角形周长，面积相等。

4、寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；图3图1 图2（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转；5、全等三角形的判定：（深入理解）①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS）⑤斜边，直角边（HL）注意：（容易出错）（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；（2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。

全等三角形知识点总结(精选18篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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全等三角形复习[ 知识要点 ]一、全等三角形1．判定和性质一般三角形直角三角形边角边（ SAS）、角边角（ ASA）具备一般三角形的判定方法判定斜边和一条直角边对应相等（ HL ）角角边（ AAS）、边边边（ SSS）对应边相等，对应角相等性质对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2．证题的思路：找夹角（ SAS）已知两边找直角（ HL ）找第三边（ SSS）若边为角的对边，则找任意角（ AAS）找已知角的另一边（SAS）已知一边一角边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA）找两角的夹边（ASA）已知两角找任意一边（AAS）性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

( 以上可以简称 : 全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用 SAS找全等三角形。

4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。

以及等角，用于工业和军事。

有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

《全等三角形》教学感悟（优秀范文五篇）第一篇：《全等三角形》教学感悟《全等三角形》教学感悟《全等三角形》教学感悟感悟一：对应边、对应角是在全等形概念的基础上加以定义的，学生往往找对应边、对应角时只找出了边、角的一部分，因此教学中：不完全把两个全等三角形的图画成规范位置，变换它们的位置，帮助学生观察其对应元素，促使其正确地找对应边、对应角，为后面的学习做铺垫。

感悟二：学生刚学三角形全等判定条件时，在证明的规范性上存在一定问题，如：随便添加条件，甚至把已知条件全部罗列后直接的出结论等。

因此要放缓教学进度，在规范证明格式上让学生多模仿、多体会、多思、多练、多评，使学生进一步了解证明过程具有严密性。

感悟三：教材中例题及练习题所要求证的结论基本上是通过一次三角形全等完成的。

为加强学生思维能力的培养，学会由已知条件、基本事实、定理等出发，正确地进行推理，可根据教学实际适当增加难度。

感悟四：随着判断全等方法的增多，学生受认知基础和思维定势的影响，在方法的灵活运用上存在一定问题，甚至迷茫，因此教学中适当加强变式训练和将问题不断深入，以培养学生思维的灵活性，使学生的发现欲、成功欲得到表现。

案例1.（八年级上 P45第13题）如图1,在△ABC中，AB=AC, 点D是BC中点，点E在AD上，找出图中的全等三角形，并证明它们全等。

《全等三角形》教学感悟变式一：如图2,AB=AD,CD=BC,AC、BD交于点E,你可得出那些结论？变式二：如图3，E为AD上一点，BE=DE,AB=AD.求证：BC=CD案例2.（八年级上 P44第11题）《全等三角形》教学感悟变式一：如图4，AB=DE, AB∥ED, BF=EC.求证:AC∥DF.变式二：如图5，AB=DE, AC=DF，BF=EC.求证:∠A=∠D.案例3.（八年级上P36例1）追问：AD是高线吗？还是角平分线吗？案例4.（八年级上 P56第11题）进一步思考：若AD、AˋDˋ分别是对应边上的中线，结论还成立吗？若AD、AˋDˋ分别是对应边上的角平分线，结论还成立吗？案例5.（八年级上 P56第12题）进一步提问：若AD为△ABC的中线，△ABD与△ACD的面积有怎样的关系？若AD是高线呢？感悟五：角平分线的性质打破了利用三角形全等证明线段相等的思维定势，学生在运用时往往重复它的证明过程，因此教学中要注重文字语言、图形语言、符号语言三者之间的相互对应，学会用几何符号语言和图形之间联系学习几何，并获得一定数学活动经验，少走弯路，将知识内化为能力。

《全等三角形》全章小结、复习学习目标：1、了解全等形及全等三角形概念2、理解掌握全等三角形的性质及判定3、掌握角平分线的引用4、通过学习培养学生的综合应用能力和几何知觉学习重点：全等三角形性质和条件的综合应用学习难点：全等三角形性质和条件和其他几何知识的应用 一、课前预习（自我总结 形成体系） 三角形全等探究 三角形 全等的 条件二、基本训练，掌握双基 1.填空(1)能够 的两个图形叫做全等形，能够 的两个三角形叫做全等三角形. (2)把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 . (3)全等三角形的 边相等，全等三角形的 角相等. (4) 对应相等的两个三角形全等（边边边或 ）.(5)两边和它们的 对应相等的两个三角形全等（边角边或 ）. (6)两角和它们的 对应相等的两个三角形全等（角边角或 ）. (7)两角和其中一角的 对应相等的两个三角形全等（角角边或 ）.(8) 和一条 对应相等的两个直角三角形全等（斜边、直角边或(9)角的 上的点到角的两边的距离相等. 2.如图，图中有两对三角形全等，填空：(1)△CDO ≌ ，其中，CD 的对应边是 ，DO 的对应边是 ，OC 的对应边是 ； (2)△ABC ≌ ，∠A 的对应角是 ， ∠B 的对应角是 ，∠ACB 的对应角是 . 3.判断对错：对的画“√”，错的画“×”.(1)一边一角对应相等的两个三角形不一定全等. （ ） (2)三角对应相等的两个三角形一定全等. （ ）(3)两边一角对应相等的两个三角形一定全等. （ ） (4)两角一边对应相等的两个三角形一定全等. （ ） (5)三边对应相等的两个三角形一定全等. （ ） (6)两直角边对应相等的两个直角三角形一定全等. （ ） (7)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等. （ ） (8)一边一锐角对应相等的两个直角三角形一定全等. （ ） 4.如图，AB ⊥AC ，DC ⊥DB ，填空：(1)已知AB ＝DC ，利用 可以判定 △ABO ≌△DCO ； (2)已知AB ＝DC ，∠BAD ＝∠CDA ，利用 可以判△ABD ≌△DCA ； B ABCDO两边一____两边一对角____________ ____________三边_________________边_____________两角一边对应相等 __________________一个条件两个条件三个条件OA OC ,AOB __________,OB OD ,⎧=⎪∠=⎨⎪=⎩(3)已知AC ＝DB ，利用 可以判定△ABC ≌△DCB ；(4)已知AO ＝DO ，利用 可以判定△ABO ≌△DCO ； (5)已知AB ＝DC ，BD ＝CA ，利用 可以判定△ABD ≌△DCA.5.完成下面的证明过程： 如图，OA ＝OC ，OB ＝OD.6.完成下面的证明过程：如图，AB ∥DC ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，BF ＝DE.求证：AB ∥DC. 求证：△ABE ≌△CDF. 证明：在△ABO 和△CDO 中， 证明：∵AB ∥DC∴∠1＝ .∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴∠AEB ＝ . ∵BF ＝DE ∴△ABO ≌△CDO （ ）. ∴BE ＝ . ∴∠A ＝ . 在△ABE 和△CDF 中，∴AB ∥DC （ 相等，两直线平行） 1______,BE ______,AEB _______,⎧∠=⎪=⎨⎪∠=⎩. ∴△ABE ≌△CDF （ ）.三、典型题目，加深理解题1 如图，AB ＝AD ，BC ＝DC. 求证：∠B ＝∠D. 题2 如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，OB ＝OC. 求证：∠1＝∠2.四、综合运用，发展能力 1.如图，OA ⊥AC ，OB ⊥BC ，填空：(1)利用“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”， 已知 ＝ ，可得 ＝ ；(2)利用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”， 已知 ＝ ，可得 ＝ ； 2.如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处300米.如果图中1厘米表示100米，请在图中标出集贸市场的位置.3.如图，CD ＝CA ，∠1＝∠2，EC ＝BC. 求证：DE ＝AB.4.如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF. 求证：AB ∥DE.5.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，BE ＝CF.求证：AD 是△ABC 的角平分线.6. 如图，∠ACB=90°,AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE.求证：△ACD ≌△ABCD OABCD12ABCDEF21E D CBAO12OABCEABCD12FABCDE ABCDE F ABCDE。

全等三角形知识点总结及复习一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理 （一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边；(4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。