辽宁省抚顺二中、沈阳二中2020~2021学年高二上学期期末考试数学试卷及答案

辽宁省抚顺二中、沈阳二中等2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知X 的分布列为：设21Y X =+，则Y 的数学期望()E Y 的值是（ ） A ．16-B ．23C ．1D ．2936【答案】B 【分析】根据分布列的性质，求得13a =，得到()16E X =-，再由21Y X =+，即可求得随机变量Y 的期望. 【详解】由题意，根据分布列的性质，可得11126a ++=，解得13a =，所以随机变量X 的期望为()11111012636E X =-⨯+⨯+⨯=-， 又由21Y X =+，所以随机变量Y 的期望为()()12212()163E Y E X =+=⨯-+= 故选：B. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及期望的计算及性质的应用，其中解答中熟记分布列的性质和期望的公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 2．某批数量很大的产品的次品率为p ，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（ ） A ．3p B ．()31p p -C ．3341C p pD ．334C p【答案】C 【分析】本题可通过n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率的求法得出结果. 【详解】因为次品率为p ，从中任意取出4件， 所以恰好含有3件次品的概率为3341C p p ， 故选：C.3．若n 是正奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋅⋅⋅+被9除的余数为（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】C 【分析】由题意可得，此题求得是(91)1n--被9除的余数，利用二项式定理展开，可得结论【详解】解：因为n 是正奇数，则1122177771n n n n nn n n n C C C C ---+++⋅⋅⋅++-(71)1(91)1n n =+-=--1122199991n n n n nn n n n C C C C ---=-++⋅⋅⋅+--，所以它被9除的余数为12nn C --=-，即它被9除的余数为7，故选：C4．设随机变量()25,X N σ~，若()100.4P X a >-=，则()P X a >=A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2【答案】A 【详解】因为随机变量()25,X N σ~，所以(5)(5)P X P X >=<,因为(10)0.4P X a >-=，所以()0.6P X a >=,故选A.5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为( )A ．BCD ．【答案】C 【分析】首先求出向量OA OB λ+的坐标，及向量OA OB λ+的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可． 【详解】因为()1,?00A ，，()0,1,1B -， 所以()1,?00(0OA OB ，λλ+=+，1-，1)(1=，λ-，)λ， 1OA OB λ+=+2OB =()2OA OB OB λλ+⋅=，所以cos 112022==-，所以0λ<， 且4λ= 解得λ=，故选C ． 【点睛】本题考查的知识要点：空间向量的数量积，空间向量的模及夹角的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．6．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ） A ．23B ．35C ．12D ．25【答案】D 【分析】设男生甲被选中为事件A ，女生乙也被选中为事件B ，分别求得1()2P A =，1()5P AB =，再结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件A ，其概率为25361()2C P A C ==，设女生乙也被选中为事件B，其概率为14361 ()5CP ABC==，所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为()2 (|)1()5215P ABP B AP A===.故选：D.【点睛】本题主要考查了条件概率的求解，其中解答中正确理解题意，熟练应用条件概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.7．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A．84B．54C．42D．18【答案】C【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为1233232218C A AA=种；②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不加以区分，此时，排法种数为14242224C AA=种.综上所述，共有182442+=种不同的排法.故选：C．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．8．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，圆2222+x y a b =+与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A ，B ，四边形21AF BF的周长p 与面积S 满足p = ）A B C ．2D ．3【答案】C 【分析】由双曲线的定义知122AF AF a -=，结合四边形的周长知122pAF AF +=，得到1AF ，2AF 的长度，从而得到矩形21AF BF 的面积，再利用p =助勾股定理2221212AF AF F F +=得到,a c 关系，即可求得离心率.【详解】由双曲线的定义可知122AF AF a -=，又OA OB =，12OF OF =，可知四边形21AF BF 是平行四边形，所以122pAF AF +=联立解得14p AF a =+，24pAF a =-， 又线段12F F 为圆的直径，由双曲线的对称性可知四边形21AF BF 为矩形，所以四边形21AF BF 的面积221216p S AF AF a =⋅=-，又p =232p S =，即2223216p p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得2232p a =，由2221212AF AF F F +=，得222248p a c +=，即2232a c =，即2e =. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．二、多选题9．在()821x -的展开式中，下列说法正确的有（ ） A ．展开式中所有项的系数和为82 B ．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C ．展开式中二项式系数的最大项为第五项D ．展开式中含3x 项的系数为448- 【答案】BCD 【分析】由二项展开式的性质逐个判断即可. 【详解】对于A ，令1x =，可知展开式中所有项的系数和为1，错误；对于B ，展开式中奇数项的二项式系数和为821282=，B 正确；对于C ，易知展开式中二项式系数的最大项为第五项，C 正确；对于D ，展开式中含3x 的项为()()35538C 21448x x -=-，D 正确.故选：BCD . 【点睛】本题考查二项展开式的相关性质，属于基础题. 10．下列命题中，正确的命题是( )A ．已知随机变量服从(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则23p = B ．已知()()0.34,0.71P BA P B ==，则()0.37P BA =C ．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=- D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为()~10,0.8X X B ，，则当8X =时概率最大【答案】BCD 【分析】选项A ：利用二项分布期望、方差公式计算判断； 选项B ：由互斥事件概率的加法公式计算判断； 选项C ：利用正态分布图象的对称性即可判断；选项D ：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出x k =，10k ≤，k ∈N 时的概率，通过解不等式求出k 的范围即可判断. 【详解】对于选项A ：随机变量服从二项分布(),B n p ，()30E X =，()20D X =，可得30np =，()120np p -=，则13p =，选项A 错误； 对于选项B ：A A +为必然事件，所以()B B A A BA B A =+=+，而BA 与B A 互斥，()()()()()()0.710.340.37P B P BA P BA P BA P B P BA ∴=+⇒=-=-=，选项B正确；对于选项C ：随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，则图象关于y 轴对称，若()1P p ξ>=，则()1012P p ξ<<=-，()()110012P P p ξξ-<<=<<=-，选项C 正确；对于选项D ：因为在10次射击中，击中目标的次数为X ，()~10,0,8X B ， 当x k =时，对应的概率()10100.2kkkP X k C -==⋅0.8⋅，所以当1k时，()()()10101110(1)104110.80.210.80.2kk kk k k P X k k C P X k C k-----=-⋅⋅===-⋅⋅，由()()()41111P X k k P X k k =-=≥=-得444k k -≥，即4415k ≤≤， 因为*k N ∈，所以18k ≤≤且*k N ∈，又()()01P X P X =<=， 即8k时，概率()8P X =最大，故选项D 正确．故选：BCD 【点睛】二项分布的概率公式()(1)(,)k k n kn P X k C p p k N k n -==⋅-∈≤，可用作商法确定其中的最大值或最小值．11．已知曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，则下列结论正确的是（ ）A ．当4k =时，曲线C 为圆B ．当0k =时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y = C ．“4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件D ．存在实数k 使得曲线C 【答案】AB 【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，对于A 总，当4k =时，曲线C 的方程为222x y +=，此时曲线C 表示圆心在原点，的圆，所以是正确的；对于B 中，当0k =时，曲线C 的方程为22162y x -=，可得a b ==曲线C 渐近线方程为y =，所以是正确的；对于C 中，当曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--表示焦点在x 轴上的双曲线时，则满足2060k k ->⎧⎨-<⎩，解得6k >，所以 “4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确；对于D 中，当曲线C 的方程为22126x y k k+=--时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时26k k -=-，解得4k =，此时方程表示圆，所以不正确. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.12．如图，正三棱柱11ABC A B C -中，11BC AB ⊥、点D 为AC 中点，点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点则以下结论正确的是A ．()1112DA A A B A BC =-+B ．若//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于2ACC ．异面直线AD 与1BCD ．若点E 到平面11ACC A EB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案. 【详解】解析：对于选项A ，()1112AD A A B A BC =-+，选项A 错误； 对于选项B ，过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D ．以D 为坐标原点，1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，10B b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,，所以122a BC a b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,,，122a AB a b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,． ∵11BC AB ⊥，∴110BC AB ⋅=，即22202a b ⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得2b a =．因为//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于1BB =．选项B 正确．对于选项C ，在选项A 的基础上，002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，00B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,，()0,0,0D ，1022a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,，所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,，122a BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,，因为2111cos ,6||||aBC DA BC DA BC DA a ⎛⎫- ⎪⋅<>===-，所以异面直线1,BC DA 所成C 正确． 对于选项D ，设点E 在底面ABC 的射影为1E ，作1EF 垂直于AC ，垂足为F ，若点E 到平面11ACC A EB ，即有12E F EB =，又因为在1CE F ∆中，112E F E C =，得1EB E C =，其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离，故点E 满足抛物线的定义，另外点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点，所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.三、填空题13．第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有________． 【答案】150【分析】将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：1,1,3或1,2,2，利用平均分堆方法计算分组个数，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内，利用排列知识及分步计算原理得解． 【详解】将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：1,1,3或1,2,2.这种分组方法一共有231455252C N C C =+⨯=，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内共有336A =种不同的分法.所以某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组的安排方法共有33256150M N A =⨯=⨯=种． 【点睛】本题主要考查了平均分堆方法，还考查了分类思想及排列计算，属于中档题． 14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图的“01-三角”在“01-三角”中，从第1行起，设第()n n N +∈次出现全行为1时，1的个数为n a ，则3a 等于_______．【答案】8 【分析】分析第6、7行各数，将所有的奇数全部转化为1，确定第三次出现全为1的情形所出现的行数，进而可求得3a 的值. 【详解】第1行和第3行全是1，已经出现2次，依题意，第6行原来的数是()606,rC r r N ≤≤∈，166C =为偶数，不合题意；第7行原来的数是()707rC r ≤≤，即1、7、21、35、35、21、7、1，一共有8个，全部转化为1，这是第三次出现全为1的情形，所以，38a =. 故答案为：8. 【点睛】关键点点睛：求解有关杨辉三角型数阵的推理，一般要观察行之间数据的特点，进而利用归纳推理求解.15．将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多2人的分配的方法总数为a ，则二项式53x a⎛ ⎝的展开式中含x 项的系数为__________．(用数字作答)【答案】52- 【分析】根据排列、组合的定义，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】由题意可知：2123126a C C A =⋅⋅=，所以553=2x x a⎛⎛ ⎝⎝，二项式52x ⎛ ⎝的通项公式为：455531551()(()(1)22r r r r r r rr x T C C x ---+=⋅⋅=⋅⋅-⋅，令45133r r -=⇒=，所以x 项的系数为3533515()(1)22C -⋅⋅-=-， 故答案为：52-16．已知M ，N 为抛物线28y x =上两点，O 为坐标原点，且90MON ∠=︒，则MN的最小值为______. 【答案】16 【分析】先设出直线MN 的方程，联立抛物线方程，利用判别式大于0来确定,M N 的存在性，设()11,M x y ，()22,N x y ，将90MON ∠=︒转化为向量相乘为0，利用根与系数的关系建立关系式，即可求出.【详解】设直线:MN x ty m =+，代入28y x =， 得2880y ty m --=，264320t m ∴∆=+>，即220t m +>，设()11,M x y ，()22,N x y ，128y y m ∴=-，90MON ∠=︒，12120OM ON x x y y ∴⋅=+=，221212064y y y y ∴+=，280m m ∴-=，故8m =，12MN y y ∴=-==16≥，当且仅当20t =时等号成立，∴MN 的最小值为16.故答案为：16. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，这类综合应用题的特点是：计算过程特别复杂、繁琐，所以对计算能力要求较高.四、解答题17．（1）某地区空气质量监测资料表明，某天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？（2）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占25%，二厂生产的占35%，三厂生产的占40%，又知这三个厂的产品次品率分别为5%,4%,2%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？ 【答案】（1）0.75；（2）0.0345． 【分析】（1）利用条件概率的计算公式算出即可；（2）设事件B 为“任取一件为次品”，事件i A 为“任取一件为i 厂的产品”，1,2,3i =，任何利用()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++算出即可. 【详解】()1设A 表示“某天的空气质量为优良”，设B 表示“随后一天的空气质量为优良”，由题意得()()()()()0.8,0.6,0.75P BA P A P BA P B A P A ====所以已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率是0.75()2设事件B 为“任取一件为次品”，事件i A 为“任取一件为i 厂的产品”，1,2,3i =，123,,A A A 两两互斥，且123A A A =Ω，由全概率公式得()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++因为()()()1230.25,0.35,0.4P A P A P A ===()()()1230.05,0.04,0.02P B A P B A P B A ===故()()()()()()()112233|||P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.050.350.040.40.02=⨯+⨯+⨯0.0345=所以从这批产品中任取一件是次品的概率是0.034518．（1）直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点()2,1P 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．（2）圆心在直线4y x =-上，且与直线:10l x y +-=相切于点()3,2P -，求圆的方程．【答案】（1）0x =或34y x =-或3y x =-+±（2）()()22148x y -++=． 【分析】（1）根据点到直线的距离公式，结合斜率存在情况，进行分类讨论，求得直线方程. （2）两种方法，方法一：设圆的标准方程，分别满足题干中条件，求得参数即可；方法二：由过圆心及切点的直线与切线垂直，从而求得圆心坐标，两点间距离求得半径，从而求得圆的方程. 【详解】（1）①当所求直线经过坐标原点且斜率不存在时，方程为0x =，符合题意 ②当所求直线经过坐标原点且斜率存在时，设其方程为y kx =，由点到直线的距离公式可得2=解得34k =-故所求直线的方程为34y x =-当直线不经过坐标原点且斜率存在时，依题意设所求直线为y x b =-+ 即0x y b +-=2=解得3b =±故所求直线的方程为3y x =-+±综上可知，所求直线的方程0x =或34y x =-或3y x =-+±（2）法一：设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=则有()()222432b a a b r r ⎧⎪=-⎪⎪-+--=⎨=解得1,4,a b r ==-=所求圆的方程为()()22148x y -++=法二：过切点()3,2P -且与10x y +-=垂直的直线23y x +=-由423y x y x =-⎧⎨+=-⎩，得14x y =⎧⎨=-⎩所以圆心为()1,4-所以半径r ==所以所求圆的方程为()()22148x y -++= 【点睛】关键点点睛：（1）对斜率的存在情况分类讨论求解；（2）利用圆与切线的关系求得圆中参数.19．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响.(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大． 【分析】（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为X ，Y ，由于~(6,3,4)X H ，2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，分别写出分布列，再求期望值均为2；（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差. 【详解】（1）设X 为甲正确完成面试题的数量，Y 为乙正确完成面试题的数量， 依题意可得：~(6,3,4)X H ，∴1223461(1)5C C P X C ⋅===，4212363(2)5C C P X C ⋅===，3042361(3)5C C P X C ⋅===， ∴X 的分布列为：∴1232555EX =⨯+⨯+⨯=．2~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴0303211(0)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12132162(1)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 212321124(2)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333218(3)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴Y 的分布列为：∴01232279927EY =⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）2221312(12)(22)(32)5555DX =⨯-+-⨯+-⨯=，2121333(3)DY np p =-=⨯⨯=，∵DX DY <，∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 【点睛】本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的准确性.20．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 【答案】（1）丙；（2）1130【分析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解. 【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=. 因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大. （2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 上的中点.二面角P AC E--.（1）求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值； （2）求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）3；（2）3. 【分析】（1）建立空间坐标系，根据二面角大小计算PC ，得出平面EAC 的法向量m ，计算PA 与m 的夹角得出线面角的正弦值；（2）计算CD 与平面ACE 的夹角正弦值，再计算D 到平面ACE 的距离. 【详解】（1）取AB 的中点F ，连接CF ，//CD AB ，12CD AB AF ==，AB AD ⊥，AD CD =， ∴四边形ADCF 是正方形，CF AB ∴⊥，CF CD ∴⊥，以C 为原点，以CD ，CF ，CP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系C xyz -， 设PC h =，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，11,,222h E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,0,P h ，∴()1,1,0CA =，11,,222h CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ()1,1,AP h =--，设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =，则·0·0m CA m CE ⎧=⎨=⎩，即0110222x y hx y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 令1x =可得21,1,m h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面PAC 的一个法向量为(),,n a b c =，则·0·0n CA n AP ⎧=⎨=⎩，即00a b a b hc +=⎧⎨--+=⎩，则0b ac =-⎧⎨=⎩，令1a =，则()1,1,0n =-，·cos ,2m n m n m n∴<>==⨯，二面角P AC E --的余弦值为3，∴3=，解得2h =，∴()1,1,2AP =--，()1,1,1m =-，·cos 36,AP m AP m AP m∴<>=== ∴直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3；（2）由（1）可得()1,0,0CD =，则·1cos 1,CD m CD m CD m<>===⨯ 设直线CD 与平面EAC 所成角为α，则sin α=， D ∴到平面EAC 的距离为·sin CD α=.【点睛】本题主要考查求线面角的正弦值，考查求点到面的距离，利用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率是e ，定义直线eby =±为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±，长轴长为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，直线l 交椭圆C 于E ，F 两不同点（点E ，F 与点A 不重合），且满足AE AF ⊥，若点P 满足2OP OE OF =+，求直线AP 的斜率的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；（2）5656⎡-⎢⎣⎦. 【分析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程，联立方程组求得216a =，212b =，24c =，则椭圆方程可求；（2）分直线l x ⊥轴与直线l 不垂直于x 轴两种情况讨论，当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠），联立直线方程与椭圆方程，消元由0∆>，得到2216120k t -+>，再列出韦达定理，由AE AF ⊥则0AE AF ⋅=，解得47k t =-，再由2OP OE OF =+，求出P 的坐标，则178AP k k k=+，再利用基本不等式求出取值范围；【详解】解：（1）由题意得：e b ab c==28a =，又222a b c =+， 联立以上可得：216a =，212b =，24c =，∴椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）由（1）得()4,0A ，当直线l x ⊥轴时，又AE AF ⊥，联立224,1,1612y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2732160x x -+=， 解得47x =或4x =，所以47E F x x ==，此时4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AP 的斜率为0. 当直线l 不垂直于x 轴时，设()11,E x y ，()22,F x y ，直线l ：y kx t =+（4t k ≠-，0k ≠）， 联立223448y kx t x y =+⎧⎨+=⎩，整理得()2223484480k x ktx t +++-=， 依题意()()2222644344480k t k t ∆=-+->，即2216120k t -+>（*）且122834kt x x k +=-+，212244834t x x k-⋅=+. 又AE AF ⊥，()()()()()()121212124444AE AF x x y y x x kx t kx t ∴⋅=-⋅-+⋅=-⋅-+++()()222212122732161(4)16034t kt k k x x kt x x t k ++=+⋅+-+++==+， 22732160t kt k ∴++=，即()()7440t k t k ++=，47k t ∴=-且t 满足（*）， ()121222862,,3434kt t OP OE OF x x y y k k ⎛⎫∴=+=++=- ⎪++⎝⎭，2243,3434kt t P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭， 故直线AP 的斜率2222331344716412874834AP t t k k k kt k kt k k k k+==-==+++--++， 当0k <时，7788k k k k ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭当且仅当78k k -=-，即4k =-时取等号，此时056AP k -≤<；当0k >时，78k k +≥=78k k =，即4k =时取等号，此时0AP k <≤；综上，直线AP 的斜率的取值范围为5656⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于难题.。

辽宁省 2021 版高二上学期数学期末考试试卷（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） (2018 高二上·鹤岗期中) 直线的倾斜角为（ ）A.B.C.D. 2. （2 分） (2018 高二上·重庆期中) 已知球的表面积为，则该球的体积为A.B. C. D. 3. （2 分） 若正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为 1，AB1 与底面 ABCD 成 60°角，则 A1C1 到底面 ABCD 的距离为（ ）A. B.1 C.第 1 页 共 13 页D.4. （2 分） (2020 高二上·佛山期末) 圆 A . 外离 B . 相切 C . 相交 D . 内含 5. （2 分） 已知不重合的直线 m、l 和平面 ，且与圆的位置关系为（ ）， ．给出下列命题：①若 ，则 ； ②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ，其中正确命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.46. （2 分） (2019 高二下·丽水期末) 如图，在矩形将沿翻折．在翻折过程中，记二面角中，M 在线段 上，且，的平面角为 ，则的最大值为（ ）第 2 页 共 13 页A.B.C.D.7. （2 分） (2019 高二上·南阳月考) 已知直线N 两点，F 为抛物线的焦点，若，则 m 等于（ ）与抛物线 C：A.及其准线分别交于 M，B.C.D. 8. （2 分） 下列命题中正确的是（ ） A . 由五个平面围成的多面体只能是四棱锥 B . 棱锥的高线可能在几何体之外 C . 仅有一组对面平行的六面体是棱台 D . 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 9. （2 分） 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，平面 AB1C 与平面 A1C1D 间的距离是（ ）A. B. C.第 3 页 共 13 页D.10. （2 分） (2019 高二上·靖安月考) 已知椭圆方程为，和分别是椭圆的左右焦点.①若 P 是椭圆上的动点，延长到 M，使，则 M 的轨迹是圆；②若是椭圆上的动点，则；③以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切；④点 P 为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点三角形的面积为以上说法中，正确的有（ ）A . ①③④B . ①③ C . ②③④ D . ③④二、 双空题 (共 4 题；共 4 分)11.（1 分） (2020 高一下·深圳月考) 平面向量满足，，，则________．12. （1 分） 已知高为 3 的棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形（如图），则三棱锥 B1﹣ABC 的体 积为________．13. （1 分） 已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是 y= x，它的一个焦点在抛物线 y2=48x 的准线上，则双曲线的方程是________14. （1 分） (2019 高二上·丽水月考) 在 则它到棱的距离是________.的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是 10，第 4 页 共 13 页三、 填空题 (共 3 题；共 3 分)15.（1 分）(2020 高二上·如东月考) 过作圆的切线，则其切线方程为________.16. （1 分） (2019 高一下·包头期中) 设，，，则的最小值为________．17. （1 分） 在边长为 a 的等边三角形 ABC 中，AD⊥BC 于 D，沿 AD 折成二面角 B﹣AD﹣C 后，BC= ， 这时 二面角 B﹣AD﹣C 的大小为________ ．四、 解答题 (共 5 题；共 50 分)18. （10 分） (2018 高三上·河北月考) 已知圆 经过原点且与直线相切于点（Ⅰ）求圆 的方程；（Ⅱ）在圆 在,写出直线上是否存在两点关于直线的方程；若不存在，请说明理由对称，且以线段为直径的圆经过原点？若存19. （10 分） (2020·昆山模拟) 如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∠ABC＝90°，AB＝AA1 ， M ， N 分 别是 AC ， B1C1 的中点．求证：（1） MN∥平面 ABB1A1； （2） AN⊥A1B ．第 5 页 共 13 页20. （10 分） (2019·湖北模拟) 已知椭圆焦点的最小值为.的离心率为 ，椭圆上的点到左（1） 求椭圆 的方程；（2） 已知直线与 轴交于点 ，过点 的直线 与 交于 、 两点，点 为直线上任意一点，设直线 与直线交于点 ，记，，的斜率分别为 ， ， ，则是否存在实数 ，使得恒成立？若是，请求出 的值；若不是，请说明理由.21.（10 分）(2018·辽宁模拟) 如图，四棱柱为中点.的底面为菱形，，，（1） 求证：平面；（2） 若底面，且直线与平面所成线面角的正弦值为 ，求的长.22.（10 分）(2020·德州模拟) 已知抛物线的焦点为 F，圆 M 的方程为：，若直线与 轴交于点 ，与抛物线交于点 Q，且.（1） 求出抛物线 E 和圆 M 的方程.（2） 过焦点 F 的直线 与抛物线 E 交于 A、B 两点，与圆 M 交于 C、D 两点（A，C 在 y 轴同侧），求证：第 6 页 共 13 页是定值.第 7 页 共 13 页一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 双空题 (共 4 题；共 4 分)11-1、 12-1、 13-1、 14-1、三、 填空题 (共 3 题；共 3 分)参考答案第 8 页 共 13 页15-1、16-1、17-1、四、 解答题 (共 5 题；共 50 分)18-1、19-1、第 9 页 共 13 页19-2、20-1、第 10 页 共 13 页20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

沈阳二中2021-2022学年度上学期期末考试高二（23届）数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知向量()1,1,0a =，则与a 同向共线的单位向量e =（ ）A ．22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．()0,1,0C ．22⎫⎪⎪⎝⎭D ．()1,1,0--2．设随机变量1~5,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则(3)D X =（ ） A ．10B ．30C ．15D ．53．过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线l ，则切线l 的方程为（ ） A ．y ＝1B ．4x －3y －5＝0C ．y ＝1或4x －3y －5＝0D ．y ＝1或3x －4y －5＝04．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务．若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，丙，丁两名成员前往不同基地，则不同的分配方案总数（ ） A ．86种B ．64种C ．42种D ．30种5．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为a ，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则GE GF ⋅等于（ ）A ．228aB ．28aC ．24aD ．224a6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，AB ＝BC ，22AC =12AA ，点E 为11A C 的中点，点F 在BC 的延长线上且14CF BC =，则异面直线BE 与1C F 所成角的余弦值为（ ）A ．32B ．12-C ．32-D ．127．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ） A ．0.0688B ．0.0198C ．0.049D ．0.058．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 3的直线l '与抛物线C交于点M （M 在x 轴的上方），过M 作MN l ⊥于点N ，连接NF 交抛物线C 于点Q ，则NQQF=（ ） A 3B ．2C ．3D 2二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9．已知双曲线两渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B 3C ．3D ．23310．在二项式8(14)x -的展开式中，下列结论正确的是（ ） A ．第5项的二项式系数最大 B ．所有项的系数和为83C ．所有奇数项的二项式系数和为72-D ．所有偶数项的二项式系数和为7211．若圆1C ：()2212x y ++=与圆2C ：22(1)(1)1x y -+-=相交于M ，N ，则下列说法正确的是（ ）A ．MN 所在直线的方程为2x ＋y －1＝0B ．MN 的中垂线的方程为x －2y ＋1＝0C ．2MN =D ．过M ，N 两点的所有圆中面积最小的圆是2C12．在平面直角坐标系xOy 中，方程22x y +=对应的曲线为E ，则下列结论正确的是（ ） A ．曲线E 是封闭图形，其围成的面积大于42B ．曲线E 关于原点中心对称C ．曲线E 上的点到原点距离的最小值为2D ．曲线E 上的点到直线x ＋y ＝4距离的最小值为728三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．抛物线24x y =-的准线方程为______．14．设随机变量()~15,3,2X H ，则()1P X ==______（结果写成分数形式）．15．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，若用(),m n A 表示三角形数阵中的第m 行第n 个数，则()101,3A =______（结果用数字作答）．16．圆锥曲线又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究．之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线．其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆．如图，一个底面半径为2，高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于1F ，2F ，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于______．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回． 求：（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率． 18．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB ＝1，E 为1CC 的中点，12AA =．（1）证明：平面BDE ⊥平面11A B E ；（2）求1A 到平面BDE 的距离． 19．（本小题满分12分）相距6千米的两个观察站A ，B 先后听到远处传来的爆炸声，已知A 站听到的时间比B 站晚4秒．该爆炸声速是1千米/秒，现以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点（如图）建立直角坐标系．（1）判断爆炸点P 分布在何曲线上，并求出该曲线C 的方程； （2）求直线373y x =与曲线C 的交点坐标． 20．（本小题满分12分）如图所示，四面体ABCD 中，已知平面BCD ⊥平面ABC ，BD DC ⊥，BC ＝6，3AB =ABC ＝30°．（1）求证：AC BD ⊥．（2）若二面角B －AC －D 为45°，求直线AB 与平面ACD 所成的角的正弦值． 21．（本小题满分12分）新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A 类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．B 类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．（1）设A 类服装单件销售价格为ξ元，B 类服装单件销售价格为η元，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益＝售价－成本）的大小； （2）某服装专卖店店庆当天，全场A ，B 两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买A ，B 两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A 类服装的概率均为13．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X 为该店当天所售服装中B 类服装的件数，若()0.5()P X n n ≤≤∈N ，求n 的所有可能取值．22．（本小题满分12分）已知点F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．当直线l 过C 的下顶点时，l 3；当直线l 垂直于C 的长轴时，OMN △的面积为32． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）当2MF FN =时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足2PM PN PF ⋅=，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上，并求出该直线的方程．沈阳二中2021-2022学年度上学期期末考试高二（23届）数学试题参考答案一、单选题1．C 2．A 3．C 4．D 5．C 6．D 7．A 8．B 二、多选题9．AD 10．ABD 11．AB 12．ABD 三、填空题 13．y ＝1 14．123515．4950 163四、解答题17．解：（1）设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”，则13153()5C P A C ==，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为113211543()10C C P AB C C ==． （2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为()3()1103()25P AB P A P B A ===．18．（1）证明：当12AA =时，12B E =2BE =所以22211B E BE BB +=，所以1B E BE ⊥．又11A B ⊥平面11BCC B ，则11A B BE ⊥．因为1111A B B E B ⋂=，所以BE ⊥平面11A B E ， 又BE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面11A B E ．（2）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()11,0,2A ，()0,1,1E ， 所以()1,1,0DB =，()0,1,1DE =，()11,0,2DA =， 设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0x y y z +=⎧⎨+=⎩不妨令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，得()1,1,1n =-．故1A 到平面BDE 的距离1333n DA d n⋅===19．（1）由已知得4PB PA -=，又64AB =>，所以P 在以A ，B 为焦点的双曲线的靠近B 的那一支上，即P 点在双曲线的右支上．由2a ＝4，2c ＝6，得a ＝2，c ＝3，2225b c a =-=，故双曲线C 的方程为：221(2)45x y x -=≥； （2）联立221(2)4537333x y x y x -=≥=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，化简整理得：211562560x x --=，解得：x ＝8或3211x =-（舍去），当x ＝8时，53y =(8,53．20．（1）因为BC ＝6，3AB =ABC ＝30°，所以由余弦定理得：222cos 48367223AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠+-=222CB AC AB +=， 所以AC BC ⊥，因为平面BCD ⊥平面ABC ，交线为BC ，AC ⊂平面ABC ， 所以AC ⊥平面BCD ，因为BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥．（2）由（1）知，AC ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AC CD ⊥，又AC BC ⊥，故∠BCD 即为二面角B －AC －D 的平面角，所以∠BCD ＝45°，又因为BD DC ⊥，所以BCD △为等腰直角三角形，因为BC ＝6，所以sin 324BD BC π=⋅=，因为BD DC ⊥，AC BD ⊥，DC AC C ⋂=，所以BD ⊥平面ACD ，AD 为AB 在平面ACD 上的投影，所以∠BAD 即为直线AB与平面ACD 所成的角，设为θ，0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则326sin 43BD AB θ===． 21．（1）ξ200 170 120 P0.3 0.5 0.2η300 255180 P0.20.40.4设A 类服装、B 类服装的单件收益分别为1X 元，2X 元，则1120X ξ=-，2160X η=-， ()1()12049E X E ξ=-=（元），()2()16074E X E η=-=（元）， ()()12E X E X <，故B 类服装单件收益的期望大；（2）由题意可知，2~5,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，511(0)3243P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()14152110321343P C X ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，23252140(2)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 32352180(3)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，41452180(4)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为1104017(2)0.524381P X ++≤==<，1104080131(3)0.5243243P X +++≤==>，所以当()0.5()P X n n <≤∈N 时，n 可取的值为0，1，2．22．（1）由题设：3bc=232b c a =，解得a ＝2，3b =C 的方程为22143x y +=． （2）当直线l 与x 轴重合时，3MF FN =，不合题意，当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝ty ＋1，()11,M x y ，()22,N x y ， 联立2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 整理得()2234690t y ty ++-=， 有122634t y y t -+=+①，122934y y t -=+②．由2MF FN =，得122y y =-③， 联立①②③得()22227293434t t t--=++，解得25t =． ∴直线l 5250x y ±-=．（3）设()00,P x y ，当直线l 与x 轴重合时，∵点P 在椭圆外，∴02x +，02x -同号，由2PM PN PF ⋅=，得()()()2000221x x x -=-+，解得052x =． 当直线l 与x 轴不重合时，由（2）知122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，∵2101P tM y =+-，2201P t N y y =+-，201y PF t +=，∵点P 在椭圆外，∴10y y -，20y y -同号， 由2PM PN PF ⋅=，得()()102200y y y y y --=，整理得()120120y y y y y -+=，即229603434t y t t ---=++， 解得032y t =，代入直线l 方程x ＝ty ＋1，得052x =，∴点P 在定直线52x =上。

2019-2020学年辽宁省沈阳市高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若4≤a ≤8，0≤b ≤2，则a+b 的取值范围是（ ） A ．（4，10） B ．[4，10]C ．（6，8）D ．[6，8]2．命题p ：“∀x ∈N +，2x ≥2”的否定为（ ） A ．∀x ∈N +，2x ＜2 B ．∀x ∉N +，2x ＜2C ．∃x ∉N +，2x ＜2D ．∃x ∈N +，2x ＜23．双曲线=﹣1的渐近线方程是（ ）A ．y=±xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x4．已知数列{a n }的首项a 1=1，且a n =2a n ﹣1+1（n ≥2），则a 5为（ ） A ．7B ．15C ．30D ．315．已知△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2+b 2﹣ab=c 2，则C=（ ）A ．B ．C ．D ．6．若点（x ，y ）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x ﹣y 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，﹣1]B ．[﹣2，1]C ．[﹣1，2]D ．[1，2]7．已知抛物线x 2=8y 上的点P 到抛物线的焦点距离为5，则点P 的纵坐标为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，b n ＞0恒成立，若a 2=b 2且a 8=b 8，则（ ） A ．a 5≥b 5B ．a 5≤b 5C ．a 5＞b 5D ．a 5＜b 59．已知曲线C 的方程为=1（a ∈R 且a ≠0），则“a＞1”是“曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=1，S 6=9，则的值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．111．在四面体ABCD 中，E ，F 分别是棱BC ，AD 的中点，设=，=，=，且=，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知数列{a n }的通项公式为a n =sin ﹣kn ，数列{a n }的前n 项和为S n ，且{S n }为递减数列，则实数k的取值范围为（ ）A ．k ＞1B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的离心率为 ．14．已知命题“设a ，b ，c ∈R ，如果ac 2＞bc 2，则a ＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为 ．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，则异面直线AE 与A 1D 所成的角的余弦值为 ．16．设a ∈R ，若x ＞0时，均有（3ax ﹣2）（x 2﹣ax ﹣2）≥0，则a= ．三、解答题：（共6小题，满分70分）17．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinC=csinB ． （Ⅰ）判断△ABC 的形状；（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC 边上中线AD 的长． 18．（Ⅰ）解关于x 的一元二次不等式x （x ﹣2）﹣3＞0；（Ⅱ）解关于x 的一元二次不等式（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0（其中a ∈R ）． 19．已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）． （Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ）若过该抛物线焦点F 且斜率为k 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，k ∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．20．已知等差数列{a n }中，a 2=3，a 5=9． （Ⅰ）求数列{a n }的通项a n 和前n 项和S n ；（Ⅱ）证明：命题“∀n ∈N +，”是真命题．21．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2，AA 1=4，点F 为C 1D 1的中点，点E 在CC 1上，且CE=1．（Ⅰ）证明：AE ⊥平面A 1BD ； （Ⅱ）求二面角F ﹣A 1D ﹣B 的余弦值．22．已知椭圆=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP 与直线BQ 交于点M （﹣9，m ），以PQ 为直径作圆C ，判断点A 与圆C 的位置关系，并说明理由．2019-2020学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b的取值范围是（）A．（4，10）B．[4，10] C．（6，8）D．[6，8]【考点】不等关系与不等式．【分析】直接利用不等式的简单性质计算即可．【解答】解：4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b∈[4，10]．故选：B．2．命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为（）A．∀x∈N+，2x＜2 B．∀x∉N+，2x＜2 C．∃x∉N+，2x＜2 D．∃x∈N+，2x＜2【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为：∃x∈N+，2x＜2．故选：D．3．双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】化方程为标准方程，可得a，b，代入y=可得渐近线方程．【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A4．已知数列{a n }的首项a 1=1，且a n =2a n ﹣1+1（n ≥2），则a 5为（ ） A ．7B ．15C ．30D ．31【考点】数列递推式．【分析】（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解 （法二）利用迭代可得a 5=2a 4+1=2（a 3+1）+1=…进行求解（法三）构造可得a n +1=2（a n ﹣1+1），从而可得数列{a n +1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求a n +1，进而可求a n ，把n=5代入可求【解答】解：（法一）∵a n =2a n ﹣1+1，a 1=1 a 2=2a 1+1=3 a 3=2a 2+1=7 a 4=2a 3+1=15 a 5=2a 4+1=31（法二）∵a n =2a n ﹣1+1∴a 5=2a 4+1=4a 3+3=8a 2+7=16a 1+15=31 （法三）∴a n +1=2（a n ﹣1+1） ∵a 1+1=2∴{a n +1}是以2为首项，以2为等比数列 ∴a n +1=2•2n ﹣1=2n ∴a n =2n ﹣1 ∴a 5=25﹣1=31 故选：D5．已知△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2+b 2﹣ab=c 2，则C=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦定理．【分析】把已知条件移项变形得到a 2+b 2﹣c 2=ab ，然后利用余弦定理表示出cosC 的式子，把变形得到的式子代入即可求出cosC 的值，然后根据角C 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数． 【解答】解：由a 2+b 2﹣ab=c 2，可得：a 2+b 2﹣c 2=ab ，根据余弦定理得：cosC===，又C∈（0，π），所以C=．故选：B．6．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，t=x﹣y表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由得B（2，0），由，得A（0，1），当直线t=x﹣y过点A（0，1）时，t最小，t最小是﹣1，当直线t=x﹣y过点B（2，0）时，t最大，t最大是2，则t=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]故选C．7．已知抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，则点P的纵坐标为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，转化求解即可．【解答】解：抛物线x 2=8y 的焦点坐标（0，2），抛物线x 2=8y 上的点P 到抛物线的焦点距离为5， 可得P 的纵坐标为：3， 故选：B ．8．已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，b n ＞0恒成立，若a 2=b 2且a 8=b 8，则（ ） A ．a 5≥b 5B ．a 5≤b 5C ．a 5＞b 5D ．a 5＜b 5【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设公差为d ，公比为q ，作差比较，运用因式分解，即可得出结论． 【解答】解：设公差为d ，公比为q ，则 ∵a 2=b 2，a 8=b 8，∴a 2+6d=a 2q 6，∴d=a 2（q 6﹣1）∴a 5﹣b 5=a 2+3d ﹣a 2q 3=a 2（1﹣q 3）+a 2（q 6﹣1）=a 2（q 3﹣1）2， ∵a 2＞0，（q 3﹣1）2≥0，∴a 2（q 3﹣1）2≥0， 即有a 5≥b 5， 故选：A ．9．已知曲线C 的方程为=1（a ∈R 且a ≠0），则“a＞1”是“曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】曲线C 的方程为=1（a ∈R 且a ≠0），若曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，则a ≠0．即可判断出结论．【解答】解：曲线C 的方程为=1（a ∈R 且a ≠0），若曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，则a ≠0．∴“a＞1”是“曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线”的充分不必要条件， 故选：A ．10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=1，S 6=9，则的值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的前n 项和公式列出方程组求出首项和公比，由此利用经数列前n 项和公式能求出的值．【解答】解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3=1，S 6=9，∴，解得a 1=，q=2，∴===2．故选：C ．11．在四面体ABCD 中，E ，F 分别是棱BC ，AD 的中点，设=，=，=，且=，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可画出图形，根据条件及向量加法、减法及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算便可得到，这样根据平面向量基本定理便可得出x ，y ，z 的值．【解答】解：如图，根据条件， ====；又；∴．故选A ．12．已知数列{a n }的通项公式为a n =sin ﹣kn ，数列{a n }的前n 项和为S n ，且{S n }为递减数列，则实数k的取值范围为（ ）A ．k ＞1B ．C ．D ．【考点】数列与函数的综合．【分析】可通过前n 项的和，结合单调递减，解不等式可得k 的范围，再讨论n 为4的倍数，4的倍数余1，4的倍数余2，4的倍数余3，结合等差数列的求和公式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：a n =sin﹣kn ，可得a 1=1﹣k ，a 2=﹣2k ，a 3=﹣1﹣3k ，a 4=﹣4k ， a 5=1﹣5k ，a 6=﹣6k ，a 7=﹣1﹣7k ，a 8=﹣8k ， 即有S 1=1﹣k ，S 2=1﹣3k ，S 3=﹣6k ，S 4=﹣10k ， S 5=1﹣15k ，S 6=1﹣21k ，S 7=﹣28k ，S 8=﹣36k ，由{S n }为递减数列，可得S 1＞S 2＞S 3＞S 4＞S 5＞S 6＞S 7＞S 8，即为1﹣k ＞1﹣3k ＞﹣6k ＞﹣10k ＞1﹣15k ＞1﹣21k ＞﹣28k ＞﹣36k ，解得k ＞，当n 为4的倍数时，S n =﹣n （n+1）k ，由S n ＞S n+1，可得﹣n （n+1）k ＞1﹣n （n+1）k ﹣（n+1）k ，解得k ＞，显然≤；当n 为4的倍数加1时，S n =1﹣n （n+1）k ，由S n ＞S n+1，可得1﹣n （n+1）k ＞1﹣n （n+1）k ﹣（n+1）k ， 解得k ＞0；当n 为4的倍数加2时，S n =1﹣n （n+1）k ，由S n ＞S n+1，可得1﹣n （n+1）k ＞1﹣n （n+1）k ﹣（n+1）k ， 解得k ＞0；当n 为4的倍数加3时，S n =﹣n （n+1）k ，由S n ＞S n+1，可得﹣n （n+1）k ＞﹣n （n+1）k ﹣（n+1）k ， 解得k ＞0．综上可得k 的范围是k ＞． 故选：C ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由椭圆的标准方程分别求出a ，c ，由此能求出该椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆的方程为=1，∴a==2，=，∴该椭圆的离心率为e==．故答案为：．14．已知命题“设a ，b ，c ∈R ，如果ac 2＞bc 2，则a ＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为 1 ． 【考点】四种命题．【分析】根据四种命题之间的关系分别进行判断即可【解答】解：若ac 2＞bc 2，则c ≠0，∴a ＞b 成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题． 逆命题为：若a ＞b ，则ac 2＞bc 2．当c=0时，ac 2＞bc 2．不成立， ∴逆命题为假命题，则否命题也为假命题． 故逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有1个． 故答案为：1．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，则异面直线AE 与A 1D 所成的角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与A 1D 所成的角的余弦值．【解答】解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A （0，0，0），E （1，0，2），A 1（0，0，2），D （0，2，0），=（1，0，2），=（0，2，﹣2），设异面直线AE 与A 1D 所成的角为θ，则cosθ=|cos ＜，＞|===．∴异面直线AE 与A 1D 所成的角的余弦值为．故答案为：．16．设a ∈R ，若x ＞0时，均有（3ax ﹣2）（x 2﹣ax ﹣2）≥0，则a= ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】构造函数y 1=3ax ﹣2，y 2=x 2﹣ax ﹣2，它们都过定点P （0，﹣2），函数y 2=x 2﹣ax ﹣2，显然过点M（，0），计算即可得到答案．【解答】解：构造函数y 1=3ax ﹣2，y 2=x 2﹣ax ﹣2，它们都过定点P （0，﹣2），考查函数y 1=3ax ﹣2，令y=0，得M （，0），∴a ＞0；考查函数y 2=x 2﹣ax ﹣2，显然过点M （，0），代入得：﹣﹣2=0，解之得：a=，或a=﹣（舍去）．故答案为：三、解答题：（共6小题，满分70分）17．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinC=csinB ． （Ⅰ）判断△ABC 的形状；（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC 边上中线AD 的长． 【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知等式，利用正弦定理可得：ac=cb ，解得：a=b ，即可得解△ABC 为等腰三角形． （Ⅱ）由已知可求C=120°，BD=1，利用余弦定理可求AB ，在△ABD 中，利用余弦定理可求AD 的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵asinC=csinB ． ∴利用正弦定理可得：ac=cb ，解得：a=b ，∴△ABC 为等腰三角形．（Ⅱ）如图所示：∵BC=AC ，B=30°，BC=2， ∴C=120°，BD=1，∴AB===2，∴△ABD 中，AD===．18．（Ⅰ）解关于x 的一元二次不等式x （x ﹣2）﹣3＞0；（Ⅱ）解关于x 的一元二次不等式（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0（其中a ∈R ）． 【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）先求出x 2﹣2x ﹣3＞0，由此能求出关于x 的一元二次不等式x （x ﹣2）﹣3＞0的解集． （Ⅱ）由当2a ＞4，即a ＞2，2a ＜4，即a ＜2，2a=4，即a=2三种情况进行分类讨论，由此能求出关于x 的一元二次不等式（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0（其中a ∈R ）的解集． 【解答】解：（Ⅰ）∵x （x ﹣2）﹣3＞0， ∴x 2﹣2x ﹣3＞0，解方程x 2﹣2x ﹣3=0，得x 1=﹣1，x 2=3，∴关于x 的一元二次不等式x （x ﹣2）﹣3＞0的解集为{x|x ＜﹣1或x ＞3}． （Ⅱ）∵（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0（其中a ∈R ）， ∴（x ﹣4）（x ﹣2a ）=0的解为x 1=4，x 2=2a ， ∴当2a ＞4，即a ＞2时，关于x 的一元二次不等式（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0为{x|4＜x ＜2a}； 当2a ＜4，即a ＜2时，关于x 的一元二次不等式（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0为{x|2a ＜x ＜4}； 当2a=4，即a=2时，关于x 的一元二次不等式（x ﹣4）（x ﹣2a ）＜0为∅．19．已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）． （Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ）若过该抛物线焦点F 且斜率为k 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，k ∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）把定点坐标代入抛物线方程，求得p ，则抛物线方程可求；（Ⅱ）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l 的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的方程为y 2=2px （p ＞0）， 代入点（1，2），可得p=2， ∴抛物线的标准方程y 2=4x ； （Ⅱ）抛物线焦点坐标为F （1，0）， ∴直线l ：y=k （x ﹣1）． 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l ：y=k （x ﹣1）与y 2=4x ，得：k 2x 2﹣（2k 2+4）x+k 2=0，则由韦达定理有：x 1+x 2=2+，x 1x 2=1．则弦长|AB|=•=4+，∵k ∈[1，2]，∴∈[1，4]，∴弦长|AB|的取值范围是[5，8]．20．已知等差数列{a n }中，a 2=3，a 5=9． （Ⅰ）求数列{a n }的通项a n 和前n 项和S n ；（Ⅱ）证明：命题“∀n ∈N +，”是真命题．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项和求和；（Ⅱ）求得==（﹣），运用裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 2=3，a 5=9，可得a 1+d=3，a 1+4d=9， 解得a 1=1，d=2，则a n =a 1+（n ﹣1）d=2n ﹣1；前n 项和S n =n （1+2n ﹣1）=n 2；（Ⅱ）证明： ==（﹣），即有++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣﹣）＜，则命题“∀n ∈N +，”是真命题．21．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2，AA 1=4，点F 为C 1D 1的中点，点E 在CC 1上，且CE=1．（Ⅰ）证明：AE ⊥平面A 1BD ； （Ⅱ）求二面角F ﹣A 1D ﹣B 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE ⊥平面A 1BD ．（Ⅱ）求出平面A 1DF 的法向量和平面A 1BD 的法向量，利用向量法能求出二面角F ﹣A 1D ﹣B 的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）∵在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2，AA 1=4， 点F 为C 1D 1的中点，点E 在CC 1上，且CE=1，∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， A （2，0，0），E （0，2，1），A 1（2，0，4），B （2，2，0），D （0，0，0），=（﹣2，2，1），=（2，0，4），=（2，2，0），•=0，=0，∴AE ⊥DA 1，AE ⊥DB ，又DA 1∩DB=D，∴AE ⊥平面A 1BD ．解：（Ⅱ）F （0，1，4），=（2，0，4），=（0，1，4），=（2，2，0），设平面A1DF 的法向量=（x ，y ，z ）， 则，取z=1，得=（8，﹣4，1），设平面A1BD 的法向量=（a ，b ，c ）， 则，取c=1，得=（﹣2，2，1），设二面角F ﹣A 1D ﹣B 的平面角为θ，cosθ===．∴二面角F ﹣A 1D ﹣B 的余弦值为．22．已知椭圆=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP 与直线BQ 交于点M （﹣9，m ），以PQ 为直径作圆C ，判断点A 与圆C 的位置关系，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由离心率公式和四边形的面积公式，结合a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）A （﹣3，0），B （3，0），M （﹣9，m ），AM 的方程为y=（x+3），代入椭圆的方程8x 2+9y 2=72，运用韦达定理，求得P 的坐标，同理可得Q 的坐标，运用向量AP ，AQ 的坐标，运用数量积的坐标表示，由符号即可得到A 与圆C 的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==， •2a•2b=12，a 2﹣b 2=c 2，解得c=1，a=3，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）A （﹣3，0），B （3，0），M （﹣9，m ），AM 的方程为y=（x+3），代入椭圆的方程8x 2+9y 2=72，可得（32+m 2）x 2+6m 2x+9m 2﹣288=0，由﹣3x P =，解得x P =，y P =，m ≠0，BM 的方程为y=（x ﹣3），代入椭圆的方程8x 2+9y 2=72，可得x 2﹣6m 2x+9m 2﹣1152=0，由3x Q =，解得x Q =，y Q =，由=（，），=（，），即有•==＜0，即有∠PAQ为钝角，即点A在以PQ为直径的圆C的内部．。

辽宁省2020版高二上学期期末数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (共12题；共24分)1. （2分）有下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy=0，则|x|+|y|=0”的逆命题；③“若a>b，则a+c>b+c ”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分）(2020·吉林模拟) 椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为（）A .B .C .D .3. （2分）己知命题“使”是假命题，则实数a的取值范围是（）A .B . (−1,3)C .D . (−3,1)4. （2分）抛物线的焦点坐标是（）A .B .C .D .5. （2分）命题“”的否定是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一下·宁波期末) 正方体中，则异面直线与所成的角是（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°7. （2分） (2019高二上·龙江月考) 已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A .B .C .D .8. （2分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分又不必要条件9. （2分）设A（a,1),B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）A . 4a-5b＝3B . 5a-4b＝3C . 4a+5b＝14D . 5a+4b＝1410. （2分）(2018·辽宁模拟) 设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为A .B . 2C .D .11. （2分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点H是棱B1C1中点，则四边形BDD1H是（）A . 平行四边形B . 矩形C . 空间四边形D . 菱形12. （2分） (2019高二上·阜阳月考) 设双曲线 (a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2 ，则双曲线的渐近线方程为（）A . y＝± xB . y＝±2xC . y＝± xD . y＝± x二、填空题：. (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·凌源期末) 已知向量，，且，则的值为________．14. （1分） (2019高三上·浙江月考) 已知是椭圆的一个焦点，为上一点为坐标原点，若为等边三角形，则的离心率为________.15. （1分）(2017·上高模拟) 已知双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，则双曲线的离心率为________．16. （1分）已知函数f（x）定义域为R，若存在常数c＞0，对∀x∈R都有f（x+c）＞f（x﹣c），则称f（x）具有性质P，给定三个函数①f（x）=|x|，②f（x）=sinx，③f（x）=x3﹣x．其中具有性质P的函数的序号是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (共4题；共40分)17. （10分） (2019高二上·鹤岗期末) 设命题：实数满足，其中；命题：实数满足 .（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18. （10分）(2016·柳州模拟) 在平面直角坐标系xoy中，动点M到点F（1，0）的距离与它到直线x=2的距离之比为．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）设直线y=kx+m（m≠0）与曲线E交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点（且C，D在A，B之间或同时在A，B之外）．问：是否存在定值k，对于满足条件的任意实数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．19. （5分）在平面直角坐标系中，已知，，P（x，y），M（x，﹣2），N（x，1），若实数λ使得（O为坐标原点），求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型．20. （15分） (2020高三上·天津期末) 如图，在三棱柱中，、分别为、的中点，，， .（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）已知为棱上的点，若，求线段的长度.参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (共12题；共24分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题：. (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (共4题；共40分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、。

辽宁省高二数学上册期末模拟试卷（含答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线2233x y -=的渐近线方程是（ ）A ．3y x =B ．13y x =± C ．3y x =± D ．3y x =2.命题P ：“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的集合叫做椭圆”；命题Q ：“平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的集合叫做双曲线”.下列命题中正确的是（ ）A ．命题PB ．命题Q ⌝C ．命题P Q ∨D ．命题P Q ⌝∨ 3.若0a b <<，1a b +=，则a ，12，2ab 中最大的数为（ ） A ．a B ．2ab C ．12D ．无法确定 4.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx y +=的曲线是椭圆”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C.充分必要 D ．既不充分也不必要条件5.下列选项错误的是（ ）A ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件；C.若命题p ：x R ∀∈，210x x ++≠，则p ⌝：0x R ∃∈，2010x x ++=； D ．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题6.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，5642a a a =+，则6a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C.22．47.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ）A ．1122a b c -++B ．1122a b c -+ C. 1122a b c --+ D ．1122a b c ++8.已知抛物线214y x =，P 是抛物线上一点，F 为焦点，一个定点(35)A ，，则PA PF +的最小值为（ ）A ．5B ．6 C.7 D ．89.已知1v ，2v 分别为直线1l ，2l 的方向向量（1l ，2l 不重合），1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中：①1212v v l l ⇔∥∥；②1212v v l l ⊥⇔⊥；③12n n αβ⇔∥∥；④12n n αβ⊥⇔⊥，其中正确的有（ ）个A ．1B ．2 C.3 D ．410.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(0F ，，直线43130x y +-=与其相交于M 、N两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（ ）A ．221325y x +=B ．221325x y += C.221369y x += D ．221369x y +=11.设x ，y 满足约束条件1x y a x y +⎧⎨--⎩≥≤，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ）A ．5-B ．3 C.5-或3 D ．5或3- 12.函数1y x=的图象也是双曲线，请根据上述信息解决以下问题：若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=没有公共点，则半径r 的取值范围是（ ）A ．0r <<B ．02r <<C.0r <<．0r < 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若椭圆的短轴的一个端点与两个焦点是同一个正三角形的顶点，则这个椭圆的离心率为 ．14.已知四面体P ABC -，60PAB BAC PAC ∠=∠=∠=︒，1AB =，2AC =，3AP =，则AB AP AC ++= ．15.已知0x >，0y >，2280x xy y ++-=，则2x y +的最小值是 ．16.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11S =，221132n n n n S a S a ++-=，则数列{}n a 的通项公式为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在等差数列{}n a 中，26a =，420S = （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2(12)n n b n a =-（*n N ∈），12n n T b b b =+++（*n N ∈），求n T 18. 如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，CC '，AA '，C D ''的中点.（1）求证：EF ∥平面GHD ； （2）求直线EF 与BD '所成的角.19. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于A 、B 两点. （1）求证：“如果直线l 过点(30)T ，，那么3OA OB ⋅=-”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.20. 如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11A B AB ∥，11122AB AA A B ===.直角梯形11AA C C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使平面11AAC C ⊥平面11AA B B .M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点.（1）求证：AC AB ⊥；（2）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值； （3）是否存在点P ，使得直线1A C ∥平面AMP ？请说明理由. 21. 在学习过程中，我们通常遇到相似的问题.（1）已知动点P 为圆O ：222x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB .A 、B 为切点，若0PA PB ⋅=，求动点P 的轨迹方程；（2）若动点Q 为椭圆M ：22143x y +=外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD .C 、D 为切点，若0QC QD ⋅=，猜想动点Q 的轨迹是什么，请给出证明并求出动点Q 的轨迹方程. 22.已知抛物线2C ：22x py =（0p >）的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为4，椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为3，且过抛物线2C 的焦点.（1）求抛物线2C 和椭圆1C 的方程；（2）过定点3(1)2M -，引直线l 交抛物线2C 于A 、B 两点（A 在B 的左侧），分别过A 、B作抛物线2C 的切线1l ，2l ，且1l 与椭圆1C 相交于P 、Q 两点，记此时两切线1l ，2l 的交点为D .①求点D 的轨迹方程；②设点1(0)4E ，，求EPQ △的面积的最大值，并求出此时D 点的坐标.参考答案及评分标准一、选择题1-5:ABCBD 6-10:DABDC 11、12：BC二、填空题13.12 14.5 15.4 16.21122n n n a n -=⎧=⎨⎩，，≥三、解答题17.解：设{}n a 的公差为d ，由题意得1164620a d a d +=⎧⎨+=⎩解得182a d =⎧⎨=-⎩得82(1)102n a n n =--=- （2）∵2111(12)(1)1n n b n a n n n n ===--++ 123n n T b b b b =++++=11111(1)()()22311nn n n -+-++-=++ 18.（1）证明：以D 为原点O ，建立空间直角坐标系[;]O DA DC DD '，， 由已知条件可得(000)D ，，，1(10)2G ，，，1(01)2H ，，，1(10)2E ，，，1(01)2F ，，11(1)22EF =-，，，1(10)2DG =，，，1(01)2DH =，，EF DH DG =-，又有EF ⊄平面GHD所以EF ∥平面GHD（其它证法酌情给分，但要注意“EF ⊄平面GHD ”） （2）如（1）问建系，(110)B ，，，(001)D '，， (111)BD '=--，，，11(1)22EF =-，，cos EF BD EF BD EF BD '⋅'=='，11(1)(1)(1)1-⨯-+⨯-+⨯= 所以3EF BD '=，即求直线EF 与BD '所成的角19.证明：（1）设过点(30)T ，的直线l 交抛物线24y x =于点11()A x y ，，22()B x y ， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，此时，直线l与抛物线相交于点(3A ，、(3B -，，∴3OA OB ⋅=- 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠ 由24(3)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得24120ky y k --=，则1212y y =- 又∵21114x y =，22214x y =，∴2121212121()316OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=- 综上所述，命题“如果直线l 过点(30)T ，，那么3OA OB ⋅=-”是真命题. （2）逆命题是：设直线l 交抛物线24y x =于A 、B 两点， 如果3OA OB ⋅=-，那么直线l 过点(30)T ，， 该命题是假命题.例如：取抛物线上的点(12)A ，，(12)B -，.此时3OA OB ⋅=- 直线AB 的方程为1x =，而(30)T ，不在直线AB 上.20.解：（1）由已知190A AC ∠=︒，平面11AAC C ⊥平面11AAB B AC ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面111ABB A AA =所以AC ⊥平面11ABB A 又AB ⊂平面11ACC A 所以AC AB ⊥（2）由（1）可知AC ，AB ，1AA 两两垂直.分别以AC ，AB ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示.由已知1112AB AC AA A B ===1122AC ==所以(000)A ，，，(020)B ，，，(200)C ，，，1(012)B ，，，1(002)A ，， 因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点. 所以(110)M ，，，3(01)2P ，，易知平面ABM 的一个法向量(001)m =，， 设平面APM 的一个法向量为()n x y z =，， 由00n AM n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0302x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩取2y =，得(223)n =--，，由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角， 所以317cos 17m n m n m n⋅===⋅， 所以二面角P AM B --317（3）存在点P ，使得直线1A C ∥平面AMP设111()P x y z ，，，且1BP BB λ=，[01]λ∈，，则111(2)(012)x y z λ-=-，，，， 所以10x =，12y λ=-，12z λ=.所以(022)AP λλ=-，， 设平面AMP 的一个法向量为0000()n x y z =，，，由0000n AM n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00000(2)20x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩取01y =，得02(11)2n λλ-=-，，（0λ=不符合题意） 又1(202)A C =-，，若1A C ∥平面AMP ，则10A C n ⊥ 所以10220AC n λλ-⋅=--=，所以23λ= 所以存在点P ，使得直线1A C ∥平面AMP21.解：（1）由切线的性质及0PA PB ⋅=可知，四边形OAPB 为正方形 所以点P 在以O 为圆心，OP长为半径的圆上，且OP == 进而动点P 的轨迹方程为2222x y r += （2）动点Q 的轨迹是一个圆 设两切线1l ，2l①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为00()Q x y ，，则02x ≠± 设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k-，1l 的方程为00()y y k x x -=-，联立22143x y += 得2220000(34)8()4()120k x k y kx x y kx ++-+--= 因为直线与椭圆相切，所以0=△，得2222200008()4(34)4[()3]0k y kx k y kx --+⋅--=化简，2222200004()(34)()(34)30k y kx k y kx k --+-++= 进而2200()(34)0y kx k --+=所以222000(4)230x k x y k y --+-=所以k 是方程2220000(4)230x k x y k y --+-=的一个根. 同理1k-是方程2220000(4)230x k x y k y --+-=的另一个根. 所以202031()4y k k x -⋅-=-，得2207x y +=，其中02x ≠± ②当1l x ⊥轴或1l x ∥轴时，对应2l x ∥轴或2l x ⊥轴，可知(2P ±±，，满足上式， 综上知：点P 的轨迹方程为227x y += 22.解：（1）∵抛物线2C 的通径长为4 ∴24p =，得2p =∴抛物线2C 的方程为24x y = ∵抛物线2C 的焦点(01)，在椭圆1C 上 ∴211b=，得21b = ∵椭圆1C的离心率为c e a ===∴24a =∴椭圆1C 的方程为2214x y +=（2）设211()4x A x ，，200()4x B x ，其中A B x x ≠，0A x <，0B x > ∵点A 、M 、B 三点共线∴2233424211A B A B x x x x --=++∴60A B A B x x x x +++=（*）设切线1l 的方程为2()4AA x y k x x =-+，与抛物线方程24x y =联立消去y ，得22440A A x kx kx x -+-=，由0=△，可得2A x k =即224A Ax x y x =-同理可得，切线2l 的方程为224B Bx x y x =-联立两方程解得，点D 坐标为()24A B A Bx x x x +，①设点()D x y ，，则2A B x x x +=，4A B x x y = 代入（*）式得，点D 的轨迹方程为：230x y ++= ②由切线1l 和椭圆1C 方程，消去y 得：22344(1)4160A A A x x x x x +-+-=∴321AP Q A x x x x +=+，42164(1)A P Q A x x x x -=+∴PQ ==∵点E 到切线1l的距离为2d =∴EPQ △的面积为212S ==∴当28Ax =，A x =-S此时，由（*）可得B x = ∴点D坐标为辽宁省高二数学上册期末模拟试卷（含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0,1,3}A =，2={|30}B x x x -=，则AB =（ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,3}D ．{0,1,3}2.“2x >”是“2280x x +->”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.函数43y x x =---的最大值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．6 D ．74.已知双曲线的中心为原点，(3,0)F 是双曲线的一个焦点，520x y -=是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（ ） A ．2214536x y -= B ．2213645x y -= C.22154x y -= D ．22145x y -= 5.若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则可能使//l α的是（ ）A ．(1,0,0),(2,0,0)a n ==-B ．(1,3,5),(1,0,1)a n ==C.(0,2,1),(1,0,1)a n ==-- D ．(1,1,3),(0,3,1)a n =-=6.已知(2,1)A 为抛物线22(0)x py p =>上一点，则A 到其焦点F 的距离为（ ）A ．32B ．122+ C.2 D ．21+ 7.执行如图所示的程序框图，如果输出的k 值为3，则输入a 的值可以是（ ）A ．20B ．21 C.22 D ．238.为得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需要将函数cos2()4y x π=-的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C.向右平移3π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 9.若(0,)2πα∈，cos()22cos24παα-=，则sin2α等于（ ）A ．1516B ．78 C.3116 D ．153210.若,x y 满足约束条件201050y x y x y -≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值是（ ） A ．32B ．1 C.2 D ．3 11.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A ．172πB ．9π C.192π D ．10π 12.函数()f x 的定义域为[1,1]-，图象如图1所示；函数()g x 的定义域为[2,2]-，图象如图2所示，方程(())0f g x =有m 个实数根，方程(())=0g f x 有n 个实数根，则m n +=（ ）A ．6B ．8 C.10 D ．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知0,0a b >>，且1a b +=，则11a b +的最小值是 ． 14.已知向量(2,1,3)a =-，(4,,2)b y =-，且()a a b ⊥+，则y 的值为 ．15.已知P 是直线3480x y ++=上的动点，,PA PB 是圆222210x y x y +--+=的切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是 ．16.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的任意一点P (短轴端点除外)与短轴上、下两个端点12,B B 的连线交x 轴于点M 和N ，则|||ON |OM +的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知:p 函数22y x x a =-+在区间(1,2)上有1个零点；:q 函数2(23)1y x a x =+-+图象与x 轴交于不同的两点.若“p q ∧”是假命题，“p q ∨”是真命题，求实数a 的取值范围.18.在数列{}n a 中，112a =，112n n n a a n ++=，n N *∈. （1）求证：数列{}n a n为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.19.已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos a A c B b C =+.（1）求cos A 的值；（2）若224b c +=，求ABC ∆的面积.20.某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示.（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为3，且过点2(2,). （1）求椭圆E 的方程；（2）设不过原点O 的直线:(0)l y kx m k =+≠与椭圆E 交于,P Q 两点，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k ，满足124k k k =+，试问：当k 变化时，2m 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.22.如下图，在三棱锥A BCD -中，CD BD ⊥，AB AD =，E 为BC 的中点.（1）求证：AE BD ⊥；（2）设平面ABD ⊥平面BCD ，2AD CD ==，4BC =，求二面角B AC D --的正弦值.试卷答案一、选择题1-5:CBBDD 6-10:AADAC 11、12：BC二、填空题13.4 14.12 15.2a三、解答题17.解：对于:p 设2()2f x x x a =-+.该二次函数图象开向上，对称轴为直线1x =，所以(1)10(2)0f a f a =-+<⎧⎨=>⎩，所以01a <<； 对于:q 函数2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，所以2(23)40a -->，即241250a a -+>， 解得52a >或12a <. 因为“p q ∧”是假命题，“p q ∨”是真命题，所以,p q 一真一假.①当p 真q 假时，有011522a a <<⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，所以112a ≤<； ②当p 假q 真时，有101522a a a a ≥≤⎧⎪⎨<>⎪⎩或或，所以52a >或0a ≤. 所以实数a 的取值范围是15(,0][,1)(,)22-∞+∞. 18.证明：（1）由112n n n a a n ++=⋅，知1112n n a a n n +=⋅+，又112a =， ∴则数列{}n a n是以12为首项，公比为12的等比数列. 解：（2）由（1）知数列{}n a n是首项为12，公比为12的等比数列， ∴1()22n n a =，∴2n n n a =.∴1212222n nn S =+++，① 则2311122222n n n S +=+++，② ①-②，得2311112222n S =++1122n n n +++-=111211222n n n n n +++--=-， ∴222n n n S +=-. 19.解：（1）因为2cos cos cos a A c B b C =+，所以2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+，所以2sin cos sin()A A B C ⋅=+.因为A B C π++=，所以sin()sin B C A +=，所以2sin cos sin A A A ⋅=.因为0A π<<，所以sin 0A ≠.所以2cos 1A =，所以1cos 2A =.（2）据（1）求解知1cos 2A =，又(0,)A π∈，∴sin A =又据题设知2sin a A=，得2sin a A ==. 因为由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，所以222431bc b c a =+-=-=.所以11sin 22ABC S bc A ∆=== 20.解：（1）第1组人数50.510÷=，所以100.1100n =÷=；第2组人数1000.220⨯=，所以200.918a =⨯=；第3组人数1000.330⨯=，所以27300.9x =÷=；第4组人数1000.2525⨯=，所以250.369b =⨯=；第5组人数1000.1515⨯=，所以3150.2y =÷=.（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18:27:92:3:1=，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人.（3）记抽取的6人中，第2组的记为12,a a ，第3组的记为123,,b b b ，第4组的记为c ，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是121112131(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b a c ，212223212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a c b b ，1312323(,),(,),(,),(,),(,)b b b c b b b c b c ，其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，12122232(,),(,),(,),(,),(,)a c a b a b a b a c ， 故所求概率为93=155. 21.解：（1）依题意，得2222221b c a a b c=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =. 所以椭圆E 的方程是2214x y +=. （2）当k 变化时，2m 为定值.证明如下： 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)84(m 1)0k x kmx +++-=. 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，122814km x x k +=-+，21224(1)14m x x k -=+，（*） 因为直线OP ，直线OQ 的斜率分别为12,k k ，且124k k k =+， 所以111212124y y kx m kx m k x x x x ++=+=+，得12122()kx x m x x =+， 将（*）代入解得212m =，经检验知212m =成立. 故当k 变化时，2m 为定值12. 22.证明：（1）设BD 的中点为O ，分别连接,AO EO .又因为AB AD =，所以AO BD ⊥.因为E 为BC 的中点，O 为BD 的中点，所以//EO CD .又因为CD BD ⊥，所以EO BD ⊥.又因为OA OE O =，,OA OE ⊂平面AOE ，所以BD ⊥平面AOE .又因为AE ⊂平面AOE ，所以BD AE ⊥，即AE BD ⊥.解：（2）由（1）求解知AO BD ⊥，EO BD ⊥.因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ， 所以AO ⊥平面BCD .又因为EO ⊂平面BCD ，所以AO EO ⊥.所以,,OE OD OA 两两相互垂直.因为CD BD ⊥，4BC =，2CD =，所以2223BD BC CD =-=. 因为O 为BD 的中点，AO BD ⊥，2AD =，所以3BO OD ==，221OA AD OD =-=. 以O 为坐标原点，,,OE OD OA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0)O ，(0,0,1)A ，(0,3,0)B -，(2,3,0)C ，(0,3,0)D ，所以(0,31)AB =--，(2,3,1)AC =-，(0,3,1)AD -.设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则n AB ⊥，n AC ⊥.所以30230y z x y z ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩，取3y =-，解得33x z =⎧⎨=⎩. 所以(3,3,3)n =-是平面ABC 的一个法向量.同理可求平面ADC 的一个法向量(0,3,3)m =.设二面角B AC D --的大小为θ，则7|cos |||||||m n m n θ⋅==. 因为0θπ<<，所以242sin 1cos 7θθ=-=，所以二面角B AC D --的正弦值为427.。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

辽宁省第二高级中学2021-2022高二数学上学期期末考试试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数的虚部是（ ）A. iB. -iC. -1D. 12. 曲线3y x x =+在点(0,0)处的切线方程为（ ） A.2y x =- B. y x = C.2y x = D. y x =-3．6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为 ( )A ．36B ．72C ．144D ．184． 已知A,B,C 三点不共线,对于平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C 一定共面的是( )A ．OC OB OA OM ++=B ．OC OB OA OM 613121++=C ．OC OB OA OM 3121++=D ．OC OB OA OM --=25. 已知函数()f x 在R 上有导函数，()f x 图象如图所示， 则下列不等式正确的是（ ）A.()()()f a f b f c '''<<B.()()()f b f c f a '''<<C.()()()f a f c f b '''<<D.()()()f c f a f b '''<<6．复数bi a z +=),(R b a ∈是)21)(2(i i ++的共轭复数，则b a +=( )A.i 5- B. i 5 C. 5- D. 57.从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中,每瓶不空,如果甲、乙两种种子都不许放入第一号瓶子内,那么不同的放法共有( )yO b ca xA ．24108C A 种B ．1599C A 种 C ．1598C C 种D ．1589C A 种8．从0,1,2,3,4,5六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( )A ． 162B ． 180C ． 216D ．300 9.设()55221052xa x a x a a x ++=-，那么531420a a a a a a ++++的值为（ ）A ． 241244-B ．121122- C ． 6061- D ．-1 10.已知向量()()1,1,,1,,1a t t b t t =+=-,则a b -的最小值为( )A.2B.3C.2D.411.已知OABC 是四面体，1G 是ABC ∆的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++（,,x y z R ∈），则(x,y,z)为( )A.(111,,444) B.(333,,444) C.(111,,333) D.(222,,333) 12．已知函数()f x 为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足()()1f x f x '+<恒成立，(0)2019f =，则不等式()20181x f x e -<+的解集为（ ）A ．(),e -∞B ．(),e +∞C ．()0,+∞D ． (),0-∞二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知R y x ∈,，i 为虚数单位，若，则=+yi x .14.在正方体1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别是1BB ，CD 的中点，则异面直线1D F 与DE 所成角的大小为 .15. 今有2个红球、3个黄球、3个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）. 16.若函数()333f x x bx b =-+在内有极小值，则b 的取值范围为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. （本小题满分10分）当实数a 为何值时复数z =a 2-4a +（a 2-3a -4）i ． （1）为实数； （2）为纯虚数；（3）对应的点在第一象限．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，AB DC ∥，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．（1）证明：BE DC ⊥；（2）求二面角E AB P --的余弦值．19．（本小题满分12分）设函数()()xe x ax xf ⋅-=22，其中0≥a ．（Ⅰ）当34=a 时，求()x f 的极值点； （Ⅱ）若()x f 在[]1,1-上为单调函数，求a 的取值范围．20. （本小题满分12分）已知51(2)x x-.（1）求展开式中含1x的项的系数； （2）设51(2)x x-的展开式中前三项的二项式系数之和为M ，6(1)ax +的展开式中各项系数之和为N ，若4M N =，求实数a 的值.21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（1）证明：MN ∥平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．22．（本小题满分12分）已知函数1()ln ax f x x x-=-. （1）当1a =时，求f (x )的单调区间；（2）若对1,x e e ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围 (其中e 是自然对数的底数)．第二高中2021-2022高二期末考试数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.)DBCBA CDBBC AC二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.14. 90 15. 560 16.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.解：（1）若复数z 是实数，则a 2-3a +2=0，得a =1或a =2．·········（2分） （2）复数z 是纯虚数，则由，得，即a =0··（5分）（3）在复平面内对应的点位于对应的点在第一象限， 则，即，解得a ＜0或a ＞2．即实数a 的取值范围是．········（10分）18.解：（1）证明：取PD 中点F ，连接AF ，EF ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，∴EF CD ∥，12EF CD =， AB CD ∥，12AB CD =，∴EF AB ∥，EF AB =，四边形ABEF是平行四边形，∴BE AF∥，PA⊥底面ABCD，∴PA CD⊥，∵AB AD⊥，AB CD∥，AD CD⊥，∴CD⊥面PAD，∴CD AF⊥，∴CD BE⊥．········（6分）（2）以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-，则(0,0,0)A，(1,0,0)B，(0,0,2)P，(2,2,0)C，(1,1,1)E，∴(1,1,1)AE=，(1,0,0)AB=，设平面EAB的法向量为(,,)x y z=m，由00AE x y zxAB⎧⋅=++=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩mm，令1z=，则1y=-，即(0,1,1)=-m，易知平面PAB的一个法向量(0,1,0)=n，设二面角E AB P--的大小为θ，则2cos|cos,|2θ=〈〉=m n．········（12分）19．解：对)(xf求导得()2()212xf x ax a x e'⎡⎤=+--⋅⎣⎦·····························（1分）（Ⅰ）若34=a，由()2242'()212233x xf x ax a x e x x e⎛⎫⎡⎤=+--⋅=+-⋅⎪⎣⎦⎝⎭令0)('=xf，因为0xe>，则2422033x x+-=，123,12x x=-=解得·······（2分）所以()()x f x f ',随x 变化而变化的情况为：所以，21-=x 是极大值点，12=x 是极小值点．·························（5分） （注：未注明极大、极小值扣1分）（Ⅱ）若)(x f 为[]1,1-上的单调函数，又02)0('<-=f ，所以当[]1,1-∈x 时0)('≤x f ，即()0212)(2≤--+=x a ax x g 在[]1,1-上恒成立． ··········（6分）（1）当0=a 时，()22(1)0g x x g =--≤-=，符合题意；···········（8分）（2）当0>a 时，抛物线()212)(2--+=x a ax x g 开口向上，则()0g x ≤的充要条件是()()⎩⎨⎧≤≤-0101g g ，即⎩⎨⎧≤-≤-0430a a ，所以340≤<a ．综合（1）（2）知a 的取值范围是340≤≤a ．······················（12分） 20.解：（1）令55215551C (2)()(0,1,2,3,4,5.)C (),231051,4,.2rr rrr rr r T x r x x r r T x---+===--=-∴=∴=∴展开式中含1x的项的系数是10. ·····（6分） （2）012555C C C 16,M =++=6(1),N a =+∵64,(1)64,1, 3.M N a a a =∴+=∴==-·····（12分）x)23,(--∞23- )1,23(- 1),1(+∞)(x f '+ 0 － 0 + )(x f↗ 极大值↘ 极小值 ↗21．解:（1）证明：由已知得223AM AD==，取BP得中点T，连接AT，TN，∵N为PC的中点∴TN BC∥，122TN BC==．又AD BC∥∴TN AM∥，TN AM=，∴四边形AMNT为平行四边形∴MN AT∥．∵AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，∴MN ∥平面PAB．····（5分）（2）取BC的中点E，连接AE．由AB AC=得AE BC⊥，从而AE AD⊥，且2222()52BCAE AB BE AB=-=-=．以A为坐标原点，AE的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-．由题意知(0,0,4)P，(0,2,0)M，(5,2,0)C，52)N，∴(0,2,4)PM=-，5(2)PN=-，5(2)AN=．设(,,)x y z=n为平面PMN的法向量，则PMPN⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn，即240520y zy z-=⎧⎪⎨+-=⎪，可取(0,2,1)=n ．于是||85|cos ,|25||||AN AN AN ⋅〈〉==n n n ，∴直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525．····（12分） 22．解(1),的定义域为． ,,.所以的单调递增区间为,单调递减区间为．····（6分）(2) ,,令,由当时, ,在[,1]上单调递减当时,,在[1,e]上单调递增,,,,所以g(x)在[,e]上的最大值为所以,所以实数的取值范围为 ····（12分）。

一、单选题1．已知，是椭圆的两个焦点，P 是C 上一点（端点除外），则的周长为1F 2F 22:1916x y C +=12PF F △（ ）A ．14B ．16C ．D ．8+6+【答案】C【分析】根据椭圆的定义和标准方程求得正确答案.【详解】由题可知，的周长为． 4a =c ==12PF F △228a c +=+故选：C2．已知，则（ ）14,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭:(1)P X ==A ． B ． C ．D ．8813281427827【答案】B【分析】根据二项分布的知识求得正确答案.【详解】因为，所以． 14,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:3141232(1)C 3381P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭故选：B3．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向{},,a b c 2m a b =+ n a c =-量是（ ）A ．B ．C ．D ．22a b c +- 4a b c ++ b c - 22a b c -- 【答案】C【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案.【详解】因为， 22(2)()a b c a b a c +-=++-，42(2)()a b c a b a c ++=+-- ，222()a b c a c --=-(2)a b -+ 所以向量，，均与向量，共面． 22a b c +- 4a b c ++ 22a b c --m n 故选：C4．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（ ）2212516x y +=32e =A ．B ．C ．D ．22154x y -=22145x y -=221413x y -=22149x y -=【答案】B【分析】根据已知条件求得双曲线的实半轴、虚半轴，从而求得双曲线方程.【详解】椭圆的焦点为．2212516x y +=(3,0)±因为所求双曲线的离心率， 32e =所以其实半轴长为2， =故所求双曲线的方程为．22145x y -=故选：B5．已知抛物线C ：的焦点为F ，抛物线C 上有一动点P ，，则的最小值216x y =()2,5Q PF PQ +为（ ） A ．6 B ．8C ．7D ．9【答案】D【分析】利用抛物线定义将焦半价转化成到准线距离，再根据三点共线时满足题意即可求得结PF 果.【详解】记抛物线C 的准线为，作于T ，如下图所示：:4l y =-PT l ⊥抛物线定义可知，，且，所以 8p =PF PT =PF PQ PT PQ QT +=+≥当P ，Q ，T 三点共线时，有最小值， PF PQ +最小值为． 592p+=故选：D6．甲、乙、丙等7人站成一排照相，要求队伍最中间只能站甲或乙，且甲与丙不相邻，则不同的站法有（ ） A ．728种 B ．848种C ．918种D ．1008种【答案】D【分析】根据甲或乙在中间进行分类讨论，结合排列与组合的知识求得正确答案.【详解】若甲站最中间，则不同的站法有种；1545C A 480=若乙站最中间，甲和丙站在乙的一侧，则不同的站法有种；124224C A A 96=若乙站最中间，甲和丙站在乙的两侧，则不同的站法有种．11243324C C A A 432=故总的站法有1008种． 故选：D7．在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另焦点我有一椭圆，从一个焦点发出的一条光线经2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 椭圆内壁上一点反射后经过另一个焦点，若，且，则椭圆的离心率C P 2F 1260F PF ∠=︒132PF a =C 为（ ）A ．BCD 12【答案】D【分析】根据椭圆的定义得，，进而结合余弦定理得，再求离心率212PF a =132PF a =22716c a =即可.【详解】解：由椭圆的定义得：， 122PF PF a +=因为，所以． 132PF a =212PF a =所以，在中，由余弦定理得，12PF F △2221212122cos 60F F PF PF PF PF =+-︒所以，整理得，22229131742442224a a c a a a =+-⨯⨯⨯=22716c a =所以，． c =e =故选：D8．在某城市中，A ，B 两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A 地出发去往B 地，途经C 地，则不同的路线有（ ）A ．105种B ．210种C ．260种D ．315种【答案】A【分析】根据分步乘法计数原理以及组合数的计算求得正确答案.【详解】由题可知，不同的路线有种．1337C C 105=故选：A二、多选题9．甲、乙两人进行1次投篮，已知他们命中的概率分别为和，且他们是否命中相互独立，则1213（ ）A ．恰好有1人命中的概率为B ．恰好有1人命中的概率为 1223C ．至少有1人命中的概率为D ．至少有1人命中的概率为2356【答案】AC【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.【详解】由题可知，恰有1人命中的概率为，A 正确，B 不正确．1211123232⨯+⨯=2人均未命中的概率为，故至少有1人命中的概率为，C 正确，D 不正确．121233⨯=23故选：AC10．已知圆，直线，下列结论正确的是（ ） 22:60C x y x ++=:510l kx y k -++=A ．直线l 恒过点 (5,1)-B ．若直线l 平分圆C ，则 12k =C ．圆心C 到直线l 的距离的取值范围为⎡⎣D ．若直线l 与圆C 交于点A ，B ，则面积的最大值为ABC :92【答案】AD【分析】根据直线过定点、直线和圆的位置关系、圆的几何性质等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，令，得，即直线l 恒过点，A 正确． 1(5)y k x -=+5x =-1y =(5,1)-圆C 化为标准方程得，所以圆心． 22(3)9x y ++=(3,0)C -因为直线l 平分圆C ，所以直线l 过圆C 的圆心，所以，解得，B 错误．3510k k -++=12k =-圆心C 到直线l ，最小值为0． =因为直线l 不能表示，所以圆心C 到直线l 的距离不能为2， 5x =-故圆心C 到直线l 的距离的取值范围为，C 错误．([0,2)⋃设圆心C 到直线l 的距离为d ，的面积为ABC :12d ⨯⨯=当时，面积的最大值为，D 正确． 292d =ABC :92故选：AD11．已知离散型随机变量X 的分布列如下，则（ ） X 1 234P 2p 23p 212p p -+213p p -+ A ． B ． C ． D ． 12p =13p =5(2)9P X >=56()81D X =【答案】BCD【分析】根据分布列中概率的性质、数学期望、方差等知识确定正确答案. 【详解】由题意可知，，解得或．26521p p -+=12p =13p =当时，，故，A 不正确，B 正确.12p =311(4)10244P X ==-+=-<13p =，C 正确． 415(2)(3)(4)999P X P X P X >==+==+=， ()()222223()63124139E X p p p p p p =++-++-+=则．D 正确．222212332342312356()12349999999981D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：BCD12．如图，平行六面体的体积为，，，1111ABCD A B C D -11A AB A AD ∠=∠16AA =4AB AD ==，且，M ，N ，P 分别为的中点，则（ ）3DAB π∠=111,,AB CC C DA ．与MC APB ．平面 MP :BDNC ．1DN AC ⊥D ．P 到平面MNC 【答案】AD【分析】先求出底面积，再根据棱柱的体积求出高，依题意可得在底面的投影在上，设出投1A AC 影O ，证明投影O 为的中点，即可以O 为坐标原点，的方向分别为x ，y ，z 轴的正AC 1,,OA OB OA方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量对选项一一验证即可. 【详解】因为，且，4AB AD ==3DAB π∠=所以四边形的面积为．ABCD 44sin3π⨯⨯=因为平行六面体的体积为 1111ABCD A B C D -所以平行六面体 1111ABCD A B C D -=因为， 11A AB A AD ∠=∠所以在底面的投影在上． 1A AC 设在底面的投影为O ，1A则， 1AO =因为， 16AA =所以 OA ===因为，2AC OA ==所以O 为的中点．AC 以O 为坐标原点，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标1,,OA OB OA系，则，，，，，，，A (C -(0,2,0)B (0,2,0)D-M 1A (N -．(P --则，，，，(MN =--(AP =--1(AC =--(MP =--，，，．(DN =-(1,0)MC =-- (0,4,0)DB =(BN =-- 因为，cos ,MC AP == 所以与，故A 正确． MC AP 设平面的法向量为， BDN ()111,,mx y z =则， 11112040BN m y DB m y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩令，则．1x =m =因为，0MP m ⋅=-++30=≠所以与平面不平行，故B 错误．MPBDN 因为，1((0(60DN AC ⋅=-⨯-++-=≠所以与不垂直，故C 错误．DN 1AC设平面的法向量为，MNC ()222,,xn y z =则，2222200n MN y n MC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩令．2x =n =-因为，||||MP n n ⋅==所以P 到平面D 正确． MNC 综上所述：选项AD 正确， 故选：AD.三、填空题13．若直线与垂直，则______． 1:20l x my -+=2:3(2)10l x m y ++-=m =【答案】1或##或13-3-【分析】根据两直线垂直列方程，由此求得的值.m 【详解】因为，所以，解得或． 12l l ⊥3(2)0m m -+=1m =3-故答案为：1或3-14．某兴趣小组对某地区不同年龄段的人群阅读经典名著的情况进行了相关调查，相关数据如下表． 年龄区间 [)0,10 [)10,15 [)15,20 [)20,25[)25,30赋值变量x 1 2 3 4 5 人群数量y 2378a若由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为，则______． 2.10.3y x =-=a 【答案】10【分析】根据回归直线方程过样本中心点求得正确答案. 【详解】由题意可知，，1234535x ++++==23782055a ay +++++==则，解得． 20 2.130.35a+=⨯-10a =故答案为：10四、双空题15．已知，则_____，______．（用5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-0a =13535222a a a ++=数字作答） 【答案】 32144132【分析】利用赋值法求得正确答案.【详解】令，则．1x =50232a ==令，则． 32x =512502552222a a a a ⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭令，则，12x =5125025322a a a a a a ⎛⎫=-+-⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭则， 315351441216222a a a ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭则． 13535144122232a a a ++=故答案为：；32144132五、填空题16．已知双曲线的左焦点为，过F 的直线l 与C 的左支交于点A ，2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>(3,0)F -与C 的其中一条渐近线在第一象限交于点B ，且，（是坐标原点），则2AB FA =||3OB =O =a ______． 【分析】根据已知条件求得点坐标并代入双曲线的方程，化简求得的值. A a 【详解】作轴，垂足为，轴，垂足为．1AA x ⊥1A 1BB x ⊥1B 因为，，， ||3OB c ==OB bk a=222c a b =+所以，．因为， 1OB a =1BB b =2AB FA =所以， 111113AA A F BB B F ==解得，，则．113AA b =11()3A F a c =+11(2),33A a c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，整理得，解得222211(2)991a cb a b --=1(23)c a =-a =【点睛】关键点睛：求双曲线标准方程中的，可考虑利用已知条件列等量关系式，通过等量关,a b 系式来求得的值，在解题过程中，要注意结合图象，利用数形结合的数学思想方法来进行求解.,a b六、解答题17．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常锻炼与性别因素有关，为此随机对该校100名学生进行问卷调查，得到如下列联表． 经常锻炼 不经常锻炼 总计 男 35 女 25 总计100已知从这100名学生中任选1人，经常锻炼的学生被选中的概率为． 12(1)完成上面的列联表；(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．附：，其中，．22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++()20P k αχ=≥0.1 0.05 0.01 0.001k2.7063.841 6.635 10.828【答案】(1)列联表见解析(2)有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关【分析】（1）先计算出经常锻炼的学生人数，进而补全列联表.22⨯（2）计算的值，由此作出判断.2χ【详解】（1）设这100名学生中经常锻炼的学生有x 人，则，解得． 11002x =50x =列联表完成如下．经常锻炼 不经常锻炼 总计 男 35 25 60 女15 25 40 总计50 50 100 （2）由（1）可知，， 22100(35251525) 4.16760405050χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为，所以有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．4.167 2.706>18．在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线的焦点，是抛物线C 上一2:2(0)C y px p =>()00,M x y 点，，且． ||5MF =4tan 3OFM ∠=(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且线段的中点坐标为，求直线l 的方程．AB (6,8)【答案】(1)216y x =(2)2y x =+【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得，从而求得抛物线的方程.p C （2）设，，利用点差法求得直线的斜率，进而求得直线的方程.()11,A x y ()22,B x y l l 【详解】（1）因为是抛物线C 上一点，，且， ()00,M x y ||5MF =4tan 3OFM ∠=所以 200000252432y px p x y p x ⎧⎪⎪=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎪-⎩根据对称性，不妨设点M 在第一象限，解得，00148x y p =⎧⎪=⎨⎪=⎩故抛物线C 的方程为．216y x =（2）设，，则 ()11,A x y ()22,B x y 2112221616y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减得，即． ()22121216y y x x -=-12121216y y x x y y -=-+因为线段AB 的中点坐标为，所以，则，(6,8)1216y y +=12121y y x x -=-故直线l 的方程为．2y x =+19．如图，在正四棱柱中，E ，F ，G 分别是，，的中点．1111ABCDA B C D -1BB 1CC BC ．124AA AB ==(1)证明：平面DEG ；1//D F (2)求平面DEG 与平面的夹角的余弦值．11CC D D 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）通过构造平行四边形的方程，根据线面平行的判定定理证得平面DEG. 1//D F（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面DEG 与平面的夹角的余弦值.11CC D D 【详解】（1）连接，，．1A D 1A E 1B C 因为E ，G 分别是，的中点，所以．1BB BC 1EG B C ∥易证得四边形为平行四边形，所以，所以，11A DCB 11A D B C ∥1EG A D ∥则E ，G ，，D 四点共面，平面DEG 即平面．1A 1A DGE 连接EF ，易证得四边形为平行四边形，所以．11EFD A 11D F A E ∥因为平面DEG ，平面DEG ，所以平面DEG ．1A E ⊂1D F ⊄1D F ∥（2）以D 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， DA则，，，，．(0,0,0)D (1,2,0)G (2,2,2)E (1,2,0)DG = (2,2,2)DE = 设为平面DEG 的法向量，则 (,,)m x y z = 0,0,m DG m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以令，可得． 20,2220.x y x y z +=⎧⎨++=⎩2x =(2,1,1)m =-- 易得DA ⊥平面，所以平面的一个法向量为．11CC D D 11CC D D (2,0,0)DA =cos ,||||m DA m DA m DA ⋅〈===〉⋅ 故平面DEG 与平面．11CC D D20．已知圆C 经过，两点，且圆心C 在直线上．(3,10)A -(5,8)B -20x y +=(1)求圆C 的标准方程；(2)若P 是直线上的动点，Q 是圆C 上的动点，定点，求的最大210x y -+=(8,6)M --||||PQ PM -值．【答案】(1)22(5)(10)4x y ++-=(2)15【分析】（1）根据圆的几何性质求得圆心坐标和半径，进而求得圆的标准方程.（2）利用点关于直线对称点以及三点共线来求得的最大值.(8,6)M --210x y -+=||||PQ PM -【详解】（1）依题可设圆心C 的坐标为，(,2)a a -因为||||AC BC ==解得，5a =-则圆心C 的坐标为，圆C 的半径，(5,10)-||2r AC ==故圆C 的标准方程为．22(5)(10)4x y ++-=（2）因为，所以．||||2PQ PC ≤+||||||||2PQ PM PC PM -≤-+设点关于直线对称的点为，(8,6)M --210x y -+=()00,M x y '则， 00008621022628x y y x -+-+⎧-⨯+=⎪⎪⎨+⎪=-+⎪⎩解得，即． 00102x y =-⎧⎨=-⎩(10,2)M -'-因为，所以，||PM PM '=||||||PC PM PC PM CM '=-≤'-当且仅当P，C ，三点共线时，等号成立．M '，所以的最大值为15．13=||||PQ PM -21．抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中．求：(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；(2)取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望．【答案】(1) 511(2)分布列见解析，数学期望为10191000【分析】（1）根据条件概型的知识求得正确答案.（2）根据取出的一次性筷子的双数求得分布列，并求得数学期望.【详解】（1）设事件A 为第1次取出的是一次性筷子，事件B 为第2次取出的是非一次性筷子， 则．()(|)()P AB P A B P B =其中，， 3()523410P AB =⨯=233333()()()545550P B P AB P AB =+=⨯+⨯=所以． ()5(|)()11P AB P A B P B ==（2）记取了3次后，取出的一次性筷子的个数（双）为X ，则，0,1,2X =， 3327(0)5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 233323332549(1)5445545551000P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 2132123147(2)54554544200P X ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=X 的分布列为 X0 1 2 P 27125 549100 47200X 的数学期望． 27549471019()01212510002001000E X =⨯+⨯+⨯=22．已知椭圆，C ． 2222:1(0)x y C a b a b +=>>2+(1)求C 的方程；(2)若圆的切线l 与C 交于点A ，B ，求的最大值． 2243x y +=||AB 【答案】(1) 22142x y +=【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.,a b C （2）根据直线的存在是否存在进行分类讨论，根据弦长公式求得的表达式，结合二次函数l ||AB 的性质求得的最大值．||AB【详解】（1）因为C ，所以 c a =因为C ，2+所以，解得，2a c +=2a =c 因为，所以，故C 的方程为． 222a b c =+b =22142x y +=（2）当l 的斜率不存在时，可得:l x =当，，则．:l x =AB||AB =当时，同理可得 :l x =||AB =当l 的斜率存在时，设．:l y kx m =+因为l 与圆相切，所以圆心到l2243x y +=(0,0)=即．()22413k m +=联立得． 22,1,42y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222214240k x kmx m +++-=设，，则，． ()11,A x y ()22,B x y 122412km x xk +=-+21222412mx x k -=+||AB=====令，2121k t +=≥则，||AB ===≤=当且仅当，即时，等号成立． 2t =212k =． ≥||AB 【点睛】利用椭圆的离心率求得椭圆的方程，关键点在于根据条件列方程，求得，是两个,a b ,a b参数，所以需要两个条件（方程）来求解.求直线和椭圆相交所得弦长，需要到弦长公式，其中的是通过联立直线方程和椭圆方程，然后利用根与系数关系来求得. 1212,x x x x。

2020-2021学年辽宁省抚顺市六校高二（上）期末数学试卷一．选择题（共8小题）.1．直线的倾斜角为（）A．B．C．D．2．（x2+）5的展开式中x4的系数是（）A．90B．80C．70D．603．抛物线x2＝20y的准线方程为（）A．x＝5B．y＝﹣5C．x＝﹣5D．y＝54．设m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若α∩β＝m，n∥α，则m∥n5．已知直线l1：ax+by+a＝0，l2：x+ay+b＝0，若l1∥l2，且这两条直线间的距离为1，则点P（a，b）到坐标原点的距离为（）A．B．C．12D．276．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长和高均为2，点D为侧棱CC1的中点，连接AD，BD，则点C1到平面ABD的距离为（）A．B．C．D．7．在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，AB＝2，BC＝4，CD＝3，BD＝5，点E在棱AD 上，且AE＝2ED，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，，平面PBC⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．40πB．80πC．D．二．选择题（共4小题）.9．已知直线l的方程为ax+by﹣2＝0，下列判断正确的是（）A．若ab＞0，则l的斜率小于0B．若b＝0，a≠0，则l的倾斜角为90°C．l可能经过坐标原点D．若a＝0，b≠0，则l的倾斜角为0°10．的值可能为（）A．6B．12C．15D．2011．已知空间向量，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．与夹角的余弦值为12．设椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝，|PF2|＝．过点M（﹣2，1）的直线l交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，则下列结论正确的有（）A．椭圆的方程为＝1B．椭圆的焦距为C．椭圆上存在4个点Q，使得•＝0D．直线l的方程为8x﹣9y+25＝0三．填空题（共4小题）.13．经过点A（2，﹣1）且和圆C：x2+y2﹣6x﹣6y+1＝0相切的直线l的方程为．14．若五位游客与两位导游站成一排拍照，则两位导游相邻的不同排法数为．15．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线的两条渐近线分别交于D，E两点．若C的焦距为4，则△ODE面积的最大值为．16．已知P是圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣1＝0外一点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为；此时|PC|2＝．四．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①椭圆C的长轴长为8；②椭圆C与双曲线有相同的焦点；③F1，F2与椭圆C短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1垂直于x轴的弦长为6，且_____．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点，点M是椭圆C上的任意一点，求|MA|+|MF2|的最大值．18．已知双曲线经过点，且实轴长是半焦距的倍．（1）求双曲线C的标准方程．（2）若直线l：x﹣y+2＝0与双曲线C交于P，Q两点，求|PQ|．19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段AC1的中点，N为棱A1D1的中点，且AA1＝A1B1．（1）证明：MN⊥AC1．（2）若，AA1＝2，求B1M与平面AC1D1所成角的正弦值．20．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，AB＝4，BC＝AD＝3，PA ＝PB，E，F分别为PA，AD的中点，平面PAB⊥平面ABCD．（1）证明：EF∥平面PCD．（2）若PA＝2，求二面角E﹣CF﹣A的余弦值．21．设A，B是平面上两点，则满足（其中k为常数，k≠0且k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知，，且．（1）求点P所在圆M的方程．（2）已知圆Ω：（x+2）2+（y﹣2）2＝5与x轴交于C，D两点（点C在点D的左边），斜率不为0的直线l过点D且与圆M交于E，F两点，证明：∠ECD＝∠FCD．22．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：y2＝4x上两个不同的点，C的焦点为F．（1）若直线AB过焦点F，且y12+y22＝32，求|AB|的值；（2）已知点P（﹣2，2），记直线PA，PB的斜率分别为k PA，k PB，且k PA+k PB＝﹣1，当直线AB过定点，且定点在x轴上时，点D在直线AB上，满足•＝0，求点D的轨迹方程．参考答案一．选择题（共8小题）.1．直线的倾斜角为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用直线的斜率和倾斜角的定义，得出结论．解：直线的斜率为，故倾斜角为，故选：D．2．（x2+）5的展开式中x4的系数是（）A．90B．80C．70D．60【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得x4的系数．解：（x2+）5的展开式的通项公式为，令10﹣3r＝4，得r＝2，则x4的系数为，故选：A．3．抛物线x2＝20y的准线方程为（）A．x＝5B．y＝﹣5C．x＝﹣5D．y＝5【分析】利用抛物线的准线方程，结合抛物线方程求解p．然后推出结果即可．解：因为x2＝2py（p＞0）的准线方程为，而2p＝20，所以P＝10，故所求准线方程为y＝﹣5．故选：B．4．设m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若α∩β＝m，n∥α，则m∥n【分析】由面面平行的定义和线线的位置关系可判断A；由面面垂直的定义和线线的位置关系可判断B；由线面垂直的性质定理可判断C；由线面平行的定义和线线的位置关系可判断D．解：对于A，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故A错误；若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m，n相交、平行或异面，故B错误；若m∥n，m⊥α，由线面垂直的性质定理可得n⊥α，故C正确；若α∩β＝m，n∥α，则m∥n，或m，n相交、异面，故D错误．故选：C．5．已知直线l1：ax+by+a＝0，l2：x+ay+b＝0，若l1∥l2，且这两条直线间的距离为1，则点P（a，b）到坐标原点的距离为（）A．B．C．12D．27【分析】直接利用两条直线平行和两条平行线间的距离得到关于a和b的方程，求出a，b，再利用两点间距离公式求解即可．解：由题意可知，a≠0，因为l1∥l2，所以a2＝b，又直线l2的方程可化为ax+a2y+ab＝0，则两条直线间的距离，解得，b＝3，所以点P（a，b）到坐标原点的距离为．故选：A．6．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长和高均为2，点D为侧棱CC1的中点，连接AD，BD，则点C1到平面ABD的距离为（）A．B．C．D．【分析】取A1B1的中点O，分别以OB1、OC1所在直线为x、y轴建立空间直角坐标系，求出平面ABD的一个法向量，再求出的坐标，即可求得点C1到平面ABD的距离．解：如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz，O为A1B1的中点，由已知，得A（﹣1，0，2），B（1，0，2），，，∴，，设平面ABD的法向量为，由，取y＝1，可得，又，∴点C1到平面ABD的距离为．故选：C．7．在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，AB＝2，BC＝4，CD＝3，BD＝5，点E在棱AD 上，且AE＝2ED，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】以B为原点，在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴，BD为y轴，过B作BA 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE与CD所成角的余弦值．解：∵在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，AB＝2，BC＝4，CD＝3，BD＝5，∴以B为原点，在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴，BD为y轴，过B作BA为z 轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2），B（0，0，0），C（0，4，0），D（﹣3，4，0），∵点E在棱AD上，且AE＝2ED，∴＝＝（﹣2，，﹣），＝＝（﹣2，，），＝（﹣3，0，0），设异面直线BE与CD所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为．故选：D．8．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，，平面PBC⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．40πB．80πC．D．【分析】设△ABC外接圆的圆心为O1，连接O1C，O1A，BC∩O1A＝H，连接PH，推导出AH⊥BC，PH⊥平面ABC，O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，连接OO1，OP，OC，过O作OD⊥PH，垂足为D，利用外接球的半径满足，求出半径，利用球的表面积公式求解即可．解：如图，设△ABC外接圆的圆心为O1，连接O1C，O1A，BC∩O1A＝H，连接PH．由题意可得，AH⊥BC，且，．因为平面PBC⊥平面ABC，且PB＝PC，所以PH⊥平面ABC，且．设O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，连接OO1，OP，OC，过O作OD⊥PH，垂足为D，则外接球的半径R满足，所以，解得OO1＝2，从而R2＝20，故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4πR2＝80π．故选：B．二．选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知直线l的方程为ax+by﹣2＝0，下列判断正确的是（）A．若ab＞0，则l的斜率小于0B．若b＝0，a≠0，则l的倾斜角为90°C．l可能经过坐标原点D．若a＝0，b≠0，则l的倾斜角为0°【分析】根据题意，结合直线的斜率与倾斜角的关系，依次判断选项是否正确，综合即可得答案．解：根据题意，依次判断选项：对于A，直线l的方程为ax+by﹣2＝0，若ab＞0，则y＝﹣x+，则其斜率为﹣＜0，A正确；对于B，若b＝0，a≠0，则直线l的方程为x＝，其倾斜角为90°，B正确，对于C，直线l的方程为ax+by﹣2＝0，x＝0且y＝0时，等式不成立，即直线l不经过原点，C错误，对于D，若a＝0，b≠0，则直线l的方程为y＝，其倾斜角为0°，D正确，故选：ABD．10．的值可能为（）A．6B．12C．15D．20【分析】直接利用组合数的运算性质进行判断即可．解：∵，，，．故选：ACD．11．已知空间向量，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．与夹角的余弦值为【分析】直接利用已知空间向量的坐标，利用平行向量、向量的模、垂直向量、向量的夹角公式对四个选项逐一判断即可．解：因为，，而，故A不正确；因为，，所以，故B正确；因为，故C正确；又，故D正确．故选：BCD．12．设椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝，|PF2|＝．过点M（﹣2，1）的直线l交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，则下列结论正确的有（）A．椭圆的方程为＝1B．椭圆的焦距为C．椭圆上存在4个点Q，使得•＝0D．直线l的方程为8x﹣9y+25＝0【分析】由椭圆的定义求出a的值，再利用勾股定理求出c的值，进而可以求出椭圆的方程，即可判断A，B是否正确，再由知∠F1QF2＝90°，故点Q在以F1F2为直径的圆上，即可判断C是否正确，选项D，设出A，B的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求出直线AB的方程，进而可以求解．解：由椭圆的定义知2a＝|PF1|+|PF2|＝6，故a＝3，因为PF1⊥F1F2，所以|F，所以c＝，b＝2，所以椭圆的方程为，所以椭圆的焦距为2c＝2，则A正确，B错误，由知∠F1QF2＝90°，故点Q在以F1F2为直径的圆上，由c＞b知圆与椭圆有4个交点，C正确，依题意知点M（﹣2，1）为弦AB的中点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式作差可得，因为x1+x2＝﹣4，y1+y2＝2，所以k AB＝，故直线l的方程为：y﹣1＝，即8x﹣9y+25＝0，D正确，故选：ACD．三．填空题：把答案填在答题卡中的横线上．13．经过点A（2，﹣1）且和圆C：x2+y2﹣6x﹣6y+1＝0相切的直线l的方程为x+4y+2＝0．【分析】判断A在圆上，然后求解切线的斜率，即可求解切线方程．解：由题可知点A为圆C上一点，圆C的圆心坐标为（3，3），所以，则直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即x+4y+2＝0．故答案为：x+4y+2＝0．14．若五位游客与两位导游站成一排拍照，则两位导游相邻的不同排法数为1440．【分析】利用捆绑法，转化求解排列数即可．解：由捆绑法可得两位导游相邻的不同排法数为．故答案为：1440．15．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线的两条渐近线分别交于D，E两点．若C的焦距为4，则△ODE面积的最大值为2．【分析】不妨设D在第一象限，E在第四象限，联立方程组，求出D（a，b），E（a，﹣b），然后求解三角形的面积，利用基本不等式转化求解最值即可．解：不妨设D在第一象限，E在第四象限，联立方程组，解得，故D（a，b），同理可得E（a，﹣b），所以|ED|＝2b．．因为C的焦距为4，所以c＝2，c2＝a2+b2≥2ab，解得ab≤2，当且仅当时取等号，所以S△ODE的最大值为2．故答案为：2．16．已知P是圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣1＝0外一点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为12﹣18；此时|PC|2＝6．【分析】求出圆C的半径为．设|PC|＝d，则|PA|＝|PB|＝，通过向量的数量积，结合基本不等式转化求解d，推出结果即可．解：圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝6，则圆C的半径为．设|PC|＝d，则|PA|＝|PB|＝，因为sin∠APC＝，所以，所以﹣18，当且仅当d2＝，即d2＝6＞6时，等号成立，故的最小值为12﹣18．故答案为：12﹣18；6．四．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①椭圆C的长轴长为8；②椭圆C与双曲线有相同的焦点；③F1，F2与椭圆C短轴的一个端点组成的三角形为等边三角形这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1垂直于x轴的弦长为6，且_____．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点，点M是椭圆C上的任意一点，求|MA|+|MF2|的最大值．【分析】选①（1）求出a，利用通径求解b，即可得到椭圆方程．选②（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0），求出c．利用通径求解a，b，然后求解椭圆方程．选③（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0），则a＝2c．利用通径求解a，b，然后求解椭圆方程．（2）由题意知F1（﹣2，0），F2（2，0）．通过椭圆的定义判定当M，F1，A三点共线时，|MA|﹣|MF1|取得最大值．然后求解即可．解：选①（1）由题意知2a＝8，a＝4．因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，所以，b2＝12，则椭圆C的标准方程为．选②（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0），则c2＝3+1＝4，c＝2．因为过点F1垂直于x轴的弦长为6，所以，即b2＝3a．由a2﹣22＝3a，解得a2＝16，b2＝12．所以椭圆C的标准方程为．选③（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0），则a＝2c．因为过点F1垂直于x轴的弦长为6．所以，即b2＝3a．由（2c）2﹣c2＝3×2c，得c＝2，从而a2＝16，b2＝12，所以椭圆C的标准方程为．（2）由题意知F1（﹣2，0），F2（2，0）．因为|MF1|+|MF2|＝2a＝8，所以|MA|+|MF2|＝8+|MA|﹣|MF1|．所以当M，F1，A三点共线时，|MA|﹣|MF1|取得最大值．又因为，所以，所以|MA|+|MF2|的最大值为．18．已知双曲线经过点，且实轴长是半焦距的倍．（1）求双曲线C的标准方程．（2）若直线l：x﹣y+2＝0与双曲线C交于P，Q两点，求|PQ|．【分析】（1）利用已知条件推出．结合双曲线C经过点求出a，b，得到双曲线方程．（2）设P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．联立方程组得3x2+16x+20＝0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解即可．解：（1）∵实轴长是半焦距的倍，∴，即．∵双曲线C经过点，∴．∵c2＝a2+b2，∴a＝2，b＝1，．故双曲线C的标准方程为．（2）设P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．联立方程组得3x2+16x+20＝0，则，．故．19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段AC1的中点，N为棱A1D1的中点，且AA1＝A1B1．（1）证明：MN⊥AC1．（2）若，AA1＝2，求B1M与平面AC1D1所成角的正弦值．【分析】（1）连接AN，NC1，设AA1＝C1D1＝2a，B1C1＝2b．求出AN，结合C1D1⊥A1D1，得到AN＝C1N，然后证明MN⊥AC1．法二：以A1为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A1﹣xyz．设AA1＝C1D1＝2a，B1C1＝2b，通过求解，证明MN⊥AC1．（2）如同（1）建立空间直角坐标系．求出平面AC1D1的法向量，利用空间向量的数量积求解B1M与平面AC1D1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一：如图，连接AN，NC1，设AA1＝C1D1＝2a，B1C1＝2b．因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以，又C1D1⊥A1D1，所以，即AN＝C1N，因为M为线段AC1的中点，所以MN⊥AC1．法二：如图，以A1为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A1﹣xyz．设AA1＝C1D1＝2a，B1C1＝2b，则A（0，0，2a），C1（2a，2b，0），M（a，b，a），N（0，b，0），所以，，所以，从而MN⊥AC1．（2）解：如同（1）建立空间直角坐标系．因为，AA1＝2，所以，a＝1，所以，，B1（2，0，0），，则，，．设平面AC1D1的法向量为，则即令y＝1，得．设B1M与平面AC1D1所成角为θ．则，所以B1M与平面AC1D1所成角的正弦值为．20．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，AB＝4，BC＝AD＝3，PA ＝PB，E，F分别为PA，AD的中点，平面PAB⊥平面ABCD．（1）证明：EF∥平面PCD．（2）若PA＝2，求二面角E﹣CF﹣A的余弦值．【分析】（1）证明EF∥PD，利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PCD．（2）取AB的中点O，连接OP．说明PO，AB，l两两垂直．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面CEF的法向量，平面CAF的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．【解答】（1）证明：因为E，F分别为PA，AD的中点，所以EF∥PD，因为PD⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，所以EF∥平面PCD．（2）解：取AB的中点O，连接OP．因为PA＝PB，所以OP⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以OP⊥平面ABCD．过点O在平面ABCD内作AB的垂线l，则PO，AB，l两两垂直．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，因为，所以E（1，0，1），F（2，3，0），C（﹣2，3，0），，设平面CEF的法向量为，所以，即，可取，显然平面CAF的一个法向量为，因为，且二面角E﹣CF﹣A为锐二面角，所以二面角E﹣CF﹣A余弦值为．21．设A，B是平面上两点，则满足（其中k为常数，k≠0且k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知，，且．（1）求点P所在圆M的方程．（2）已知圆Ω：（x+2）2+（y﹣2）2＝5与x轴交于C，D两点（点C在点D的左边），斜率不为0的直线l过点D且与圆M交于E，F两点，证明：∠ECD＝∠FCD．【分析】（1）设动点P的坐标，然后代入已知的等式中化简即可；（2）先求出点C，D的坐标，设出直线l的方程，联立直线和圆M的方程，利用韦达定理和两点间斜率公式进行化简即可证明．【解答】（1）解：由题意可得，，即，设P（x，y），则，整理得x2+y2＝3，故圆M的方程为x2+y2＝3．（2）证明：对于圆Ω，令y＝0，得x＝﹣1或x＝﹣3，所以C（﹣3，0），D（﹣1，0）．设直线l的方程为x＝ty﹣1，E（x1，y1），F（x2，y2）．由，得（1+t2）y2﹣2ty﹣2＝0，则，．所以，则直线EC与FC关于x轴对称，即∠ECD＝∠FCD．22．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：y2＝4x上两个不同的点，C的焦点为F．（1）若直线AB过焦点F，且y12+y22＝32，求|AB|的值；（2）已知点P（﹣2，2），记直线PA，PB的斜率分别为k PA，k PB，且k PA+k PB＝﹣1，当直线AB过定点，且定点在x轴上时，点D在直线AB上，满足•＝0，求点D的轨迹方程．【分析】（1）设直线AB的方程为x＝ty+1，与抛物线方程联立，由根与系数关系的关系及y12+y22＝32即可求得m值，从而可求得|AB|的值；（2）设A（，y1），B（，y2），直线AB过定点（m，0），联立直线AB的方程y＝kx﹣km和抛物线的方程，运用韦达定理，直线的斜率公式，化简整理可得m＝2，再由向量垂直的条件和联立两条直线方程可得所求轨迹方程．解：（1）抛物线C：y2＝4x的焦点坐标为F（1，0），若直线AB过焦点F，设直线AB的方程为x＝ty+1，与抛物线方程联立，消去x，可得y2﹣4ty﹣4＝0，则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，所以y12+y22＝（y1+y2）2﹣2y1y2＝16t2+8＝32，解得t＝±，所以|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+2＝t（y1+y2）+4＝4t2+4＝10；（2）设A（，y1），B（，y2），直线AB过定点（m，0），直线AB的方程为y＝k（x﹣m），由可得ky2﹣4y﹣4km＝0，则y1+y2＝，y1y2＝﹣4m，△＝16+16k2m＞0，又k PA+k PB＝﹣1，即+＝﹣1，化为y1y2（y1+y2）+2（y1+y2）﹣4+＝0，即为﹣m•+﹣4+m2＝0，上式对k≠0恒成立可得m＝2，由•＝0，可得PD⊥AB，可得直线PD的方程为y﹣2＝﹣（x+2），与方程y＝kx﹣2k联立，消去k，可得x2+y2﹣2y﹣4＝0，x≠﹣2，上式即为D的轨迹方程．。

一、单选题1．（ ） 3524A A =A ．10 B ．5 C ．20 D ．4【答案】B【分析】用排列数公式展开即可求得.A (1)(2)(1)mn n n n n m =⨯-⨯-⨯⨯-+ 【详解】． 3524A 5435A 43⨯⨯==⨯故选：B2．已知圆C ：与直线l ：相切，则（ ） 2225x y +=()3400x y m m -+=>m =A ．15 B ．5 C ．20 D ．25【答案】D【分析】根据圆与直线相切的判定列式求解得出答案. 【详解】易知C 的圆心为原点O ， 设O 到直线l 的距离为d ， 因为圆C 与直线l 相切，则，解得. 5d ==25m =故选：D.3．若抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则（ ） 22y mx =223x y -=m =A ．B ．C ．D-【答案】A【分析】由双曲线的定义求得双曲线的右焦点，再求得抛物线的准线，即可得到的值. 2mx =-m【详解】由双曲线即得右焦点为，223x y -=22133y x -=)再由抛物线的准线为，22y mx =2m x =-因此，则. 2m-=m =-故选：A.4．在的展开式中，系数为有理数的项是（ ）72A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【分析】根据二项式定理展开式的通项可确定系数为有理数时的取)2177C kkk k T -+⎛= ⎝k 值，即可得出结果.【详解】在的展开式中，根据通项可知，72)2177C kkk kT -+⎛= ⎝时系数为有理数，即第五项为．4k=)43424157C T T +⎛== ⎝故选：C5．某学习小组共有10名成员，其中有6名女生，为学习期间随时关注学生学习状态，现随机从这10名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解学情，A 表示“抽到的2名成员都是女生”，B 表示“抽到的2名成员性别相同”，则（ ） ()|P A B =A ．B ．C ．D ．715233457【答案】D【分析】由条件概率计算公式可得答案.【详解】由题可知，，，. ()2264210C C 7C 15P B +==()26210C 1C 3P AB ==()()()5|7P AB P A B P B ==故选：D6．向量在向量上的投影向量为（ ）()3,2,1m =- ()3,2,3n =-A ．B ．C ．D ．646,,111111⎛⎫- ⎪⎝⎭313,,221122⎛⎫-⎪⎝⎭323,,111111⎛⎫- ⎪⎝⎭323,,111111⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据向量的投影向量求法直接得出答案.【详解】向量在向量上的投影向量为. ()3,2,1m =- ()3,2,3n =-2323,,111111m n n n⋅⎛⎫=- ⎪⎝⎭故选：C.7．某市场供应的电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙73%27%90%厂产品的合格率是．若从该市场供应的电子产品中任意购买一件电子产品，则该产品不是合格80%品的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．17.2%14.3%12.7%87.3%【分析】利用条件概率和事件的独立性求解概率.【详解】设表示买到的产品来自甲，乙厂，表示买到的产品为合格品， ,A B C 则,()73%,()27%P A P B ==|90%,80%(|),()P C A P C B ==所以, ()()(|)()(|)73%90%+27%80%=87.3%P C P A P C A P B P C B =+=⨯⨯所以该产品不是合格品的概率为， 1()=12.7%P C -故选:C.8．某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜班，已知同一个人不能连续安排三天夜班，则这五天排夜班方式的种数为（ ） A ．800 B ．842 C ．864 D ．888【答案】C【分析】采用间接法，先计算没有限制条件的种数，再减去一人连排三天夜班、四天夜班、五天夜班的种数即可.【详解】所有可能值班安排共有种，若连续安排三天夜班，则连续的工作有三种可能， 54（1）从四人中选一人连排三天夜班，若形如▲▲▲□□或□□▲▲▲排列：共有种； 11432C C 24＝若形如▲▲▲□▲或▲□▲▲▲排列：共有种；11432C C 24＝若形如▲▲▲□○或▲▲▲○□或□○▲▲▲或○□▲▲▲排列：共有种； 12432C A 48＝若形如□▲▲▲□排列：共有种；1143C C 12＝若形如○▲▲▲□或□▲▲▲○排列：共有种； 1243C A 24＝因此，选一人连排三天夜班共有132种．（2）从四人中选一人连排四天夜班，则连续的工作日有两种可能，从四人中选一人连排四天夜班，形如▲▲▲▲□或□▲▲▲▲排列，共有种．11432C C 24=（3）从四人中选一人连排五天夜班，形如▲▲▲▲▲，则只有4种可能． 故满足题意的排夜班方式的种数为． 54132244864---=故选：C.二、多选题9．已知，且，则（ ） (),X B n p :()()393927E X D X -=-=A ． B ．C ．D ． 18n =16n =14p =34p =【答案】BD【分析】由题得，解方程组即得解.39279(1)27np np p -=⎧⎨-=⎩【详解】由题意可知，则，解得，.()()39927E X D X -==39279(1)27np np p -=⎧⎨-=⎩34p =16n =故选：BD10．已知椭圆C ：的一个焦点为F ，P 为C 上一动点，则（ ）22179x y +=A ．C 的短轴长为B ．的最大值为PF C ．C 的长轴长为6 D ．C 【答案】ACD【分析】根据椭圆的几何性质可分别判断ACD ，再利用椭圆性质即可判断B 选项，进而得出结果.【详解】由标准方程可知，，，22179x y +=29a =27b =所以，，3a=b =c==所以短轴长为，即选项AC 正确； 2b =26a =离心率D 正确； c e a ==由椭圆性质得 故选项B 错误. max 3PF a c =+=故选：ACD11．已知关于变量x ，y 的4组数据如表所示：x 6 8 10 12 y a1064根据表中数据计算得到x ，y 之间的线性回归方程为，x ，y 之间的相关系数为r （参ˆ 1.420.6yx =-+考公式：），则（ ）A ． B ．变量x ，y 正相关 C ．r 12a =D ．r =r =【答案】AC【分析】根据回归直线必过点解得，所以选项A 正确；由回归方程和表格可知选项B()x y 12a =错误；利用相关系数求出，所以选项C 正确，选项D 错误. r =【详解】回归直线必过点，，，解得，所以选项(),x y 9x =10641.420.684a y x +++=-+==12a =A 正确；由回归方程和表格可知，变量x ，y 负相关，所以选项B 错误；C 正确，选项4x y r==D 错误. 故选：AC12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．B ．2cos ,3CQPF =122CQ AB AD AA =--+C ．点到直线CQD ．异面直线CQ 与BD1C 【答案】BCD【分析】利用向量的线性运算求出，所以选项B 正确；以为坐标原点，122CQ AB AD AA =--+1A 所在直线为x 轴，所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求出选项ACD 的1A F 11A B几何量判断即得解.【详解】，所以选项B 正确； ()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+ 如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，1A ()10,1,0B ()11,1,0C -()11,0,0D -()0,1,1Q -，，，，()1,1,1C --()11,2,1QC =--()1,2,2CQ =- ()110,1,0PF A B == 则，所以选项A 错误；2cos ,3CQ PF ==- 设，则点到直线CQ 的距离C 正173QC CQ m CQ ⋅==-1C d==确；因为，所以，()111,1,0BD B D ==--cos ,CQ BD ==tan ,CQ BD = 所以选项D 正确. 故选：BCD三、填空题13．已知平面α的一个法向量为，，，则直线AB 与平面α所成(1,m =-()2,1,2A -()1,2,2B 角的正弦值为___________.【分析】根据线面角的向量求法求解即可.【详解】因为，()1,3,0AB =-所以直线AB 与平面α所成角的正弦值为cos ,m AB m AB m AB ⋅=== 14．甲､乙两人各自在1小时内完成某项工作的概率分别为0.6，0.8，两人在1小时内是否完成该项工作相互独立，则在1小时内甲､乙两人中只有一人完成该项工作的概率为___________. 【答案】0.44##1125【分析】由独立事件和互斥事件的概率公式进行求解.【详解】由独立事件概率乘法公式可得：甲完成而乙没有完成工作的概率为， ()0.610.80.12⨯-=乙完成工作而甲没有完成的概率为， ()10.60.80.32-⨯=故概率为. 0.120.320.44+=故答案为：0.44四、双空题15．若，则___________，()()56016221x x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+123456a a a a a a -+-+-=2a =___________.【答案】 24170-【分析】第一空，令，可得，再令，可得； 0x =0a =1x -0123456a a a a a a a -+-+-+第二空，所求即为展开式中的系数，又， 2x ()()()()55522121221x x x x x +-=-+-则为展开式中，系数与2倍系数之和. 2a ()521x -x 2x 【详解】令，则，()()()5221f x x x =+-()002f a ==-，()01234561243f a a a a a a a -=-+-+-+=-故； ()1234562243241a a a a a a -+-+-=---=因，()()()()55522121221x x x x x +-=-+-则，所以. ()()()4232432255C 212C 2170a x x x x x =⋅-+⋅-=-270a =-故答案为：241；.70-五、填空题16．已知P 为抛物线C ：上一点，F 为焦点，过P 作抛物线的准线的垂线，垂足为H ，216x y =-若的周长不小于30，则点P 的纵坐标的取值范围是___________. PFH △【答案】(],5-∞-【分析】设点P 的坐标为，求出的各边即得的周长为，再利(),m n PFH △PFH △()24n +-用函数的单调性解不等式得解.【详解】如图，设点P 的坐标为，则. 准线与y 轴的焦点为A ， (),m n 216m n =-4y =则，4PF PH n ==-==所以的周长为. PFH △()24n -设函数， ()()()240f n n n =-≤则为减函数（减函数+减函数=减函数）， ()f n 因为，所以的解为. ()530f -=()30(5)f n f ≥=-5n ≤-故答案为：(],5-∞-六、解答题17．如图，在底面为矩形的四棱锥E -ABCD 中，底面ABCD ，，G 为棱BE 的中点.⊥AE AE AB =(1)证明：平面BCE .AG ⊥(2)若，，，求. 4AB =6AD =3ED EF =AG CF ⋅【答案】(1)证明见解析；(2).83-【分析】（1）根据已知，利用线面垂直的判定定理可得平面ABE ，从而得到，利用BC ⊥BC AG ⊥等腰三角形的中线性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明平面BCE ；AG BE ⊥AG ⊥（2）以A 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出AB,AG CF 的坐标，利用空间向量数量积的坐标表示即得解.【详解】（1）证明：因为底面ABCD ，所以，⊥AE AE BC ⊥又，，平面ABE ，所以平面ABE ， AB BC ⊥AB AE A = ,AB AE ⊂BC ⊥则.BC AG ⊥因为G 为棱BE 的中点，，所以， AE AB =AG BE ⊥又，平面BCE . BC BE B = ,BC BE ⊂所以平面BCE .AG ⊥（2）以A 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. AB依题意可得，，，.()0,0,0A ()4,6,0C ()2,0,2G 80,2,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为，， ()2,0,2AG = 84,4,3CF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 所以.()()882404233AG CF ⋅=⨯-+⨯-+⨯=-18．已知椭圆C ：的左、右焦点分别为，，P 为C 上一点，且，2221(0)5x y a a +=>1F 2F 15PF =．21PF =(1)求，的坐标．1F 2F (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且弦AB 的中点为，求直线l 的斜率． ()2,1P -【答案】(1)，的坐标分别为，1F 2F ()2,0-()2,0(2) 109【分析】（1）根据椭圆的定义求出长半轴长，根据的关系求解. ,,a b c （2）把设出的两个点代入椭圆方程，化简整理成斜率的形式即可求解. 【详解】（1）因为， 1226PF PF a +==所以，3a =所以，，2224c a b =-=2c =故，的坐标分别为，．1F 2F ()2,0-()2,0（2）设A ，B 两点的坐标分别为，，()11,x y ()22,x y 则， 22112222195195x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得．()()()()12121212590x x x x y y y y -++-+=因为弦AB 的中点在椭圆内，所以，()2,1P -121242x x y y +=-⎧⎨+=⎩所以直线l 的斜率． 1212109AB y y k x x -==-19．一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z （单位：）mm 服从正态分布，且.()2240,N σ()2480.95P z ≤=(1)求或的概率；232z <248z >(2)若从该条生产线上随机选取3个零件，设X 表示零件尺寸小于232加或大于248的零件个mm mm 数，求的概率. 2X =【答案】(1) 0.1(2) 0.027【分析】（1）由正态分布的对称性求解； （2）利用X 服从二项分布求解.()3,0.1X B :【详解】（1）因为零件尺寸z 服从正态分布，()2240,N σ所以，()()24812480.05P z P z >=-≤=因为，所以. 2322482402+=()()2322480.05P z P z <=>=故或的概率为. 232z >248z >0.050.050.1+=（2）依题意可得，()3,0.1X B :所以.()()2232C 0.110.10.027P X ==⨯⨯-=20．如图，三棱柱的底面ABC 是正三角形，侧面是菱形，平面平面111ABC A B C -11ACC A 11ACC A ⊥ABC ，E ，F 分别是棱，的中点.11A C BC(1)证明：平面.EF ∥11ABB A (2)若，，，求平面ABC 与平面EFG 所成角的余弦值. 2AC =160ACC ∠=︒12C G GC =【答案】(1)证明见解析【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)取AC 的中点O ，连接OB ，，证明OB ，OC ，两两垂直，以O 为原点，OB ，OC ，1OC 1OC 1OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求解. 【详解】（1）取的中点，连接，.11A B M ME MB 因为E ，F 分别是棱，BC 的中点，所以，， 11A C 11ME B C BF ∥∥111122ME B C BC BF ===所以四边形MEFB 为平行四边形，.EF MB ∥因为平面，平面，所以平面. EF ⊄11ABB A MB ⊂11ABB A //EF 11ABB A （2）取AC 的中点O ，连接OB ，. 1OC 因为四边形是菱形，所以.11ACC A 1CA CC =因为，所以为等边三角形. 160ACC ∠=︒1ACC △因为O 为AC 的中点，所以.1C O AC ⊥因为平面平面ABC ，平面平面，平面，所以平11ACC A ⊥11ACC A ABC AC =1C O ⊂11ACC A 1C O ⊥面ABC .因为底面ABC 是正三角形，所以.OB AC ⊥以O 为原点，OB ，OC ，所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 1OC 因为，所以，则，，，，所2AC=1C O BO =)B(0,E-1,02F ⎫⎪⎪⎭20,3G ⎛ ⎝以，. 3,2EF =50,,3EG ⎛= ⎝设平面EFG 的法向量为，则 (),,n x y z =3.025.03n EF y n EG y ⎧=+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩令，则.5z=()4,n =因为是平面ABC 的一个法向量，(10,OC =且111cos ,OC n OC n OC n⋅===令平面ABC 与平面EFG 所成角为，由图可知为锐角， θθ所以. cos θ=21．某甜品屋店庆当天为酬谢顾客，当天顾客每消费满一百元获得一次抽奖机会，奖品分别为价值5元，10元，15元的甜品一份，每次抽奖，抽到价值为5元，10元，15元的甜品的概率分别为12，，，且每次抽奖的结果相互独立. 1316(1)若某人当天共获得两次抽奖机会，设这两次抽奖所获甜品价值之和为元，求的分布列与期X X 望.(2)某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”但“有蛀牙”的有35人，“不爱吃甜食”且”无蛀牙”的也有35人. 有蛀牙 无蛀牙 爱吃甜食 不爱吃甜食完成上面的列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析“爱吃甜食”是否更容易导致青少0.05α=年“蛀牙”. 附：，.()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++ ()20P k αχ=≥0.05 0.01 0.005k 3.8416.6357.879【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：503(2)列联表答案见解析，在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关【分析】（1）由题意可得的所有可能取值为，分别求出对应的概率，即可的的X 10,15,20,25,30X 分布列，从而求得数学期望；（2）由已知填充列联表，根据公式计算出，比较临界值即可. 2χ【详解】（1）由题意可得的所有可能取值为，X 10,15,20,25,30，()2111024P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()111152233P X ==⨯⨯=，()2111520226318P X ⎛⎫==⨯⨯+= ⎪⎝⎭，()111252369P X ==⨯⨯=，()21130636P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则X 的分布列为 X 10 15 2025 30P 14 13 51819136故. ()1151150101520253043189363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由题意可得列联表如下： 有蛀牙 无蛀牙 爱吃甜食 85 45 不爱吃甜食 3535所有，()2220045358535 4.4871208070130χ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯查表可得，()23.8415%P χ≥=因为，2 3.841χ>所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关.22．在①C 的渐近线方程为 ②C 这两个条件中任选一个，填在题中的横线y x =±上，并解答．已知双曲线C 的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C 上，且______． (2,P (1)求C 的标准方程；(2)已知C 的右焦点为F ，直线PF 与C 交于另一点Q ，不与直线PF 重合且过F 的动直线l 与C 交于M ，N 两点，直线PM 和QN 交于点A ，证明：A 在定直线上． 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)22122x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据①②提供的渐近线方程和离心率得出之间的关系，再利用在双曲,,a bc (2,P 线上即可求得C 的标准方程；（2）根据坐标位置可利用对称性求得Q 点坐标，分别别写出直线PM 和QN 的直线方程，求得交点A 的坐标表示，利用韦达定理即可证明. 【详解】（1）选①因为C 的渐近线方程为，所以， y x =±1ba=故可设C 的方程为，22x y λ-=代入点P 的坐标得，可得，222(λ-=2λ=故C 的标准方程为．22122x y -=选②．因为C，=a b =故可设C 的方程为，22x y λ-=代入点P 的坐标得，可得，222(λ-=2λ=故C 的标准方程为．22122x y -=（2）由（1）可知F 的坐标为，由双曲线的对称性，可知点Q 的坐标为． ()2,0(设点M ，N 的坐标分别为，直线l 的方程为，1122(,),(,)M x y N x y ()2y k x =-联立直线和双曲线方程得，()222214420k x k x k --++=所以，，212241k x x k +=-2122421kx x k +=-直线PM ：，2)y x=-2y k x k ⎛=-⎝直线QN ：2)y x -2y k x k ⎛=- ⎝消去y ，得， 12121111212222x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭整理得， ()()12121242x x x x x x x +-=--则．()12121224x x x x x x x --=+-因为，所以A 的横坐标为1． 2222121221224242111444241k k x x x x k k k x x k +-----===+---故A 在定直线上．1x =。

辽宁省沈阳市辽中第二中学2021年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 二项式的展开式中的系数为（）A、－5B、5C、10D、－10参考答案：D2. 从甲乙丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（）A. B. C.D. 1参考答案：C3. 由小到大排列的一组数据:,其中每个数据都小于,则样本,的中位数可以表示为（）A、 B、 C、 D、参考答案：C4. 经过点作圆的切线，则切线的方程为（）A. B. C. D.参考答案：C 5. 复数的共轭复数的虚部为（）A. 1B. 3C.D.参考答案：D【分析】根据复数的除法运算、共轭复数的定义求得共轭复数，从而可知虚部.【详解】的共轭复数为：虚部为：本题正确选项：【点睛】本题考查复数除法运算、共轭复数的求解、复数的实部和虚部的定义，属于基础题.6. 已知函数，若，则a=A、 B、 C、1 D、2参考答案：A7. 已知c＜d, a＞b＞0, 下列不等式中必成立的一个是A．a+c＞b+d B．a–c＞b–d C．ad＜bc D．参考答案：B8. 阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11参考答案：B【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．9. 观察由归纳推理可得：若定义在R上的函数满足记为的导函数，则（▲）A．B．C．D．参考答案：B略10. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A. B. C. D.参考答案：A试题分析：由三视图可知，该几何体为一三棱锥，故其体积，故选A. 考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设且,则的最小值为________.参考答案：16略12. 曲线y=e x在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；指数函数的图象与性质．【分析】欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．【解答】解析：依题意得y′=e x，因此曲线y=e x在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y﹣e2=e2（x﹣2），当x=0时，y=﹣e2即y=0时，x=1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S=×e2×1=．故答案为：．13. 长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为．参考答案：48【考点】由三视图求面积、体积．【专题】综合题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由题意，长方体的长宽高分别为3，4，4，即可求出长方体的体积． 【解答】解：由题意，长方体的长宽高分别为3，4，4， 所以长方体的体积为3×4×4=48． 故答案为48．【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．14. （坐标系与参数方程选做题）设点的极坐标为，直线过点且与极轴所成的角为，则直线的极坐标方程为 ．参考答案：或或或略15. 已知O 是△ABC 的外心，AB=2a ，AC=，∠BAC=120°，若=x +y ，则x+y 的最小值是 ．参考答案：2考点： 向量在几何中的应用．专题： 平面向量及应用．分析： 建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O 为△ABC 的外心，把AB 的中垂线 m 方程和AC 的中垂线 n 的方程，联立方程组，求出O 的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求x 和y 的值，最后利用基本不等式求最小值即可．解答： 解：如图：以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立直角系：则A （0，0），B （2a ，0），C （﹣，），∵O 为△ABC 的外心，∴O 在AB 的中垂线 m ：x=a 上，又在AC 的中垂线 n 上，AC 的中点（﹣，），AC 的斜率为tan120°=﹣，∴中垂线n 的方程为 y ﹣=（x+）．把直线 m 和n 的方程联立方程组 ，解得△ABC 的外心O （a ，+），由条件=x+y，得（a ，+）=x （2a ，0）+y （﹣，）=（2ax ﹣，），∴，解得x=+，y=，∴x+y=++=+（）=2．当且仅当a=1时取等号． 故答案为：2．点评： 本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．16. 判断与的大小关是：。

辽宁省抚顺市高二上学期期末文科数学试题满分：150分, 考试时间：120分钟第I 卷（60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，每题只有一个正确答案）1. 在C c b ABC sin ,16,1030B 则，中，===∠∆ 等于（ ）. A.53 B.53± C.54± D.54 2.已知数列{}n a 满足n n a a 211=+，若84=a ，则1a 等于（ ）. A. 1 B.2 C.64 D.1283.已知椭圆)0(11222>=++b b y x 的离心率为1010，则b 等于（ ）. A.3 B.31 C.109 D.10103 4.命题22,:bc ac b a p <<则若；命题,01,:2≤+-∈∃x x R x q 下列命题为真命题的是（ ）.A.q p ∧B.q p ∨C.()q p ∧⌝D.()q p ⌝∨5.函数x x y ln 212-=的单调递减区间为( ）. A.)1,0( B.)1,1(- C.)1,(--∞ D.),1()1,(+∞--∞6.已知双曲线15422=-y x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 是双曲线上一点，且0221=⋅PF F F ，则1PF 等于（ ）. A.213 B.29 C.27 D.23 7.下列说法中正确的个数是（ ）.①0222>->x x x 是的必要不充分条件；②命题“如果2-=x ，则0652=++x x ”的逆命题是假命题；③命题“若023,12≠+-≠x x x 则”的否命题是“若023,12=+-=x x x 则”.A.0B.1C.2D.38.过抛物线x y 42=焦点F 的一条直线与抛物线交A 点（A 在x 轴上方），且2||=AF ,l 为抛物线的准线，点B 在l 上且l AB ⊥，则A 到BF 的距离为（ ）. A.2 B.2 C.332 D.3 9.在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别是c b a ,,，若ac a b A C 23,2sin sin 22=-=，则B cos 等于（ ）. A.21 B.31 C.41 D.51 10.函数x e x y )2(-=的最值情况是( )A. 有最大值e ，无最小值B.有最小值e -，无最大值C. 有最大值e ，有最小值e -D.无最大值，也无最小值11.函数())10(13log ≠>+-=a a x y a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=-+ny mx 上，其中0>⋅n m ，则nm 14+的最小值为（ ）. A.16 B.24 C.25 D.5012.已知数列{}n a 中，*+∈=⋅+-⋅=N n a n a n a n n ,1)1(,211.若对于任意的*∈N n ，不等式a n a n <++11恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）.A.()+∞,3B.)3,(-∞C.[)+∞,3D.]3,(-∞第II 卷（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+124x y x y x ，则162+-=y x Z 的最大值是 .14.某船在A 处测得灯塔D 在其南偏东 60方向上，该船继续向正南方向行驶5海里到B 处，测得灯塔在其北偏东 60方向上，然后该船向东偏南 30方向行驶2海里到C 处，此时船到灯塔D 的距离为___________海里.（用根式表示）15.若实数4,,,1y x 成等差数列，8,,,,2--c b a 成等比数列，则B DCAb x y -=____________. 16.斜率为1的直线与椭圆1222=+y x 相交与B A ,两点，则||AB 的最大值为__________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（10分）已知函数931)(23++-=bx ax x x f ，且0)(='x f 的两根分别为1和3. （1）求)(x f 的解析式；（2）求)(x f 的极值.18.（12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且满足()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-C a b B c 2sin 2cos ππ. (1)求角C 的大小；(2)若,3,13==b c 求ABC ∆的面积.19. (12分）最近北斗三号工程耗资9万元建成一小型设备，已知这台设备从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为)(5.992*∈+N n n 元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了多少天，平均每天耗资多少钱？20.（12分） 已知函数2ln 3)(+=x x x f .（1）求函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程；（2）对任意的1>x ，都有cx x x f -≤2)(，求实数c 的取值范围.21. （12分） 已知数列{}n a 满足2≥n 时，,12221+=+-n n n a a a 且1,21>=n a a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n a n a a n a a a T 2222121⋅++⋅+⋅= 的值.22.（12分）点()1,2M 在椭圆C ：()012222>>=+b a b y a x 上，且点M 到椭圆两焦点的距离之和为52.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线()1+=x k y 与椭圆C 相交于A,B 两点，若⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,37P ，求证：⋅为定值.辽宁省抚顺市高二上学期期末文科数学试题答案一 选择题1-5 DCBDA 6-10ACACB 11-12 CC二 填空题13、0 14、19 15、41-16、334 三解答题17、解：（1）由题可知：b ax x x f +-='2)(2（2分），且022=+-b ax x 的两根为1和3，即⎩⎨⎧=+-=+-069021b a b a 解得3,2==b a 所以93231)(23++-=x x x x f ————（4分） （2）由（1）可知34)(2+-='x x x f ，0)(='x f 的两根为1和3，1<x 时，0)(>'x f ，31<<x 时，0)(<'x f ，3>x 时，0)(>'x f ，（6分）即1=x 是)(x f 的极大值点，极大值331)1(=f （8分） 3=x 是)(x f 的极小值点，极大值9)3(=f （10分）18、（1）在ABC ∆中，)2sin()2()cos(C a b B c --=-ππ，即C a b B c cos )2(cos -=-————（1分）由正弦定理得C A B B C cos )sin 2(sin cos sin -=-————（2分） C A B C C B cos sin 2cos sin cos sin =+C A C B cos sin 2)sin(=+，（3分）即C A A cos sin 2sin =（4分） 又因为在ABC ∆中，0sin ≠A ，所以1cos 2=C ，即21cos =C 所以3π=∠C ————（6分）（2）在ABC ∆中，C ab a b c cos 2222-+=,所以a a 39132-+=解得4=a 或1-=a （舍去），————（9分）所以33sin 21==∆C ab S ABC ————（12分） 19、解：设一共使用了n 天，平均每天耗资为y 元，则n n n y 2)5.992100(90000+++=（3分）75.99490000++=n n （5分） 当且仅当490000n n =时，（8分） 即600=n 时y 取得最小值399.75（元）（11分），所以一共使用了600天，平均每天耗资399.75元————（12分）20、（1）3ln 313ln 3)(+=⋅+='x xx x x f ————（2分） 函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线的斜率k 为31ln 33)1(=+='f （3分）又因为2)1(=f ，即切点坐标为)2,1(，所以切线方程为)1(32-=-x y即013=--y x （5分）（2）cx x x f -≤2)(，即cx x x x -≤+22ln 3， x x x x x x x c 2ln 32ln 32--=+-≤（6分） 设x xx x h ln 32)(--=，则22223321)(x x x x x x h +-=-+='（8分） 0)(='x h ，即0232=+-x x ，解得1=x 或2=x ， 当1<x 时，0)(>'x h ，21<<x 时，0)(<'x h ，2>x 时，0)(>'x h ， 即)(x h 的增区间为)1,(-∞和),2(+∞，减区间为)2,1(， 所以当1>x 时，函数)(x h 有最小值2ln 31)2(-=h ， )(x h c ≤即2ln 31)(min -=≤x h c .(12分)21. （1）,12221+=+-n n n a a a 整理化简可得：0)1(212=---n n a a ，0)1)(1(11=--+---n n n n a a a a ，又因为1>n a ，所以0)1(1>+--n n a a ，011=---n n a a ，即11=--n n a a ，所以}{n a 是公差为1首项为2的等差数列11)1(1+=⋅-+=n n a a n .（4分）（2）因为n a n a a n a a a T 2222121⋅++⋅+⋅= ， 所以122)1(23222+⋅+++⨯+⨯=n a n n T2132)1(2222++⋅++⋅++⨯=n n n n n T两式相减得21332)1()22(2++⋅+-+++=-n n n n T221322)1(21)21(28++-⋅-=⋅+---⨯+=n n n n n 所以22+⋅=n n n T （12分）22. （1）⎪⎩⎪⎨⎧==+52211222a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==35522b a 即椭圆的方程为135522=+y x （4分）（2）设),(),,(2211y x B y x A ，联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=1355)1(22y x x k y 得0536)31(2222=-+++k x k x k ， 02048)53)(13(4362224>+=-+-=∆k k k k ，1353,136********+-=+-=+k k x x k k x x （8分） 所以21212211)37)(37(),37(),37(y y x x y x y x ⋅+++=+⋅+=⋅ )1)(1()37)(37(21221+++++=x x k x x 2212212949))(37()1(k x x k x x k +++++⋅+= 22242222222949135163949)136)(37(1353)1(k k k k k k k k k k k +++---=+++-+++-+=94=（12分）。

辽宁省抚顺市2021届数学高二上学期期末试卷一、选择题1．从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A.12B.18C.14D.382．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为a ，众数为b ，平均值为c ，则( )A.a ＝b ＝cB.a ＝b <cC.a <b <cD.b <a <c3．命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（ ）A ．存在0x R ∈，都有200x ≥ B ．对任意x R ∈，使得20x < C ．存在0x R ∈，使得200x <D ．不存在x R ∈，使得20x <4．设命题：:p x N ∀∈，x ∈Z ，则p ⌝为（ ） A ．x N ∀∈，x Z ∉ B ．0x N ∃∈，0x Z ∉ C ．x N ∀∉，x Z ∉D ．0x N ∃∈，0x Z ∈5．已知倾斜角为45的直线经过(2,4)A ，(1,)B m 两点，则m =（ ） A ．3B ．3-C ．5D ．1-6．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20，45）岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况频率分布直方图如图所示，利用频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ）A ．31.6岁B ．32.6岁C ．33.6岁D ．36.6岁7．已知向量a 、b 的夹角为45°，且1a =，|2|10a b -=，则b =（ ）A ．B ．CD ．18．函数2cos (1sin )y x x =+在区间[0,]2π上的最大值为（ ）A.2B.1+C.12+D.29．设实数a,b,c 满足a+b+c=1,则a,b,c 中至少有一个数不小于 ( ) A ．0 B ．13C ．12D ．110．曲线2y x=与直线1y x =-及直线1x =所围成的封闭图形的面积为( ) A.34 B.52C.42ln 2-D.12ln 22-11．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足： ()()'0f x f x +<，则()221m m f m m e-+-与()1f 的大小关系是（ ） A ．()()2211m m f m m f e-+-> B ．()()2211m m f m m f e-+-< C ．()()2211m m f m m f e-+-≥ D ．不确定12．方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是（ ）A ．114m <<B ．114mm 或 C ．14m <D ．1m >二、填空题13．函数()32xf x e x =-+的单调减区间为______．14．不难证明：一个边长为a ，面积为S 的正三角形的内切圆半径23Sr a=，由此类比到空间，若一个正四面体的一个面的面积为S ，体积为V ，则其内切球的半径为_____________．15．已知变量满足约束条件，则z=4x+y 的最大值为____.16．某样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3．若该样本的平均数为1,则样本方差为_______．三、解答题17．一装有水的直三棱柱容器（厚度忽略不计），上下底面均为边长为5的正三角形，侧棱为10，侧面水平放置，如图所示，点，，，分别在棱，，，上，水面恰好过点，，，，且．（1）证明：；（2）若底面水平放置时，求水面的高．18．有甲、乙两个游戏项目，要参与游戏，均需每次先付费元（不返还），游戏甲有种结果：可能获得元，可能获得元，可能获得元，这三种情况的概率分别为，，；游戏乙有种结果：可能获得元，可能获得元，这两种情况的概率均为.（1）某人花元参与游戏甲两次，用表示该人参加游戏甲的收益（收益=参与游戏获得钱数-付费钱数），求的概率分布及期望；（2）用表示某人参加次游戏乙的收益，为任意正整数，求证：的期望为. 19．已知函数.（1）若，求函数的极值； （2）若在区间内有唯一的零点，求的取值范围.20．已知函数在处有极值.（1）求a 的值； （2）求f(x)在上的最大值和最小值； 21．矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．（Ⅰ）求边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形外接圆的方程；22．已知函数的图象经过点，且在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．(),ln3-∞ 14．34V S15．14 16．2 三、解答题 17．(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）直三棱柱容器侧面水平放置，所以平面平面，由面面平行性质得．（2）当底面ABC 水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积，由于是三棱柱形容器，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，不必求三角形的面积． （1）证明：因为直三棱柱容器侧面水平放置，所以平面平面，因为平面平面，平面平面，所以．（2）解；当侧面水平放置时，可知液体部分是直四棱柱，其高即为直三棱柱容器的高，即侧棱长10. 由（I ）可得，又，所以.当底面水平放置时，设水面的高为，由于两种状态下水的体积相等，所以，即，解得.18．（1）分布列见解析，期望为；（2）见解析．【解析】分析：（1）表示该人参加游戏甲的收益，可能取值为，，，，分布列为：（2）用表示某人参加次游戏乙的收益可能取值为，，，…，，…（且），每次独立，获奖的概率为.满足二项分布。