三角函数的有关计算

Ⅰ．前景材料雷达如何测定目标的高度（一）雷达（radar ）是利用极短的无线电波进行探测的装置，无线电波传播时遇到障碍物就会反射回来，雷达就是根据这个原理把无线电波发射出去，再用接受装置接受反射回来的无线电波，这样就可以测定目标的方向、距离、大小等，雷达在使用上不受气候条件的影响，广泛应用于军事、天文、航海、航空等领域。

你知道雷达是如何测定目标的高度吗？假设大地是一个平面，目标的高低角θ可以测出，根据无线电波的传播速度及其来回所用的时间，可以计算出雷达与目标之间的倾斜距离d （如图1-3-1）．这时，目标的高度为h=dsin θ．当然，大地并不是平面，而是曲面，因此计算目标高度h 的近似公式是h=dsin θ+R d 22．其中，R 表示地球的半径（约等于6370千米）．Ⅱ．课前准备一、课标要求经历用计算器由已知锐角求它的三角函数值及由三角函数值求相应的锐角的过程，进一步体会三角函数的意义，能够运用计算器进行三角函数值的运算，能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题。

二、预习提示对于一般角的三角函数值可以通过计算器来求；反过来已知锐角的三角函数值，我们也可以通过计算器求出角的大小．三、预习效果反馈1．用计算器计算cos48°，cos50°，并比较大小．2．将sin69°，sin53°，sin41°，sin44°的值按由小到大的顺序排列是 ．3．已知下列各值，求锐角A ．（1）tanA=1.4036；（2）tanA=0.8637．Ⅲ．课堂跟讲一、背记知识随堂笔记1．通过本节学习，我们要善于归纳学习中的规律和结论：锐角A 的正弦值在0～1之间，即 ＜sinA ＜ ．锐角A 的余弦值在0～1之间，即 ＜cosA ＜ ．锐角A 的正切值取值范围是tanA ．2．规律的探索当角度在0°～90°之间变化时，正弦值随角度的增大而 ，余弦值随角度的增大而 ，正切值随角度的增大而 ．3．常用名词当从低处观测高处目标时，视线与水平线所成的锐角称为 ．当从高处观测低处目标时，视线与水平线所成的锐角称为 ．二、教材中“？”解答1．问题（P 14） 解答：计算缆车垂直上升的高度BC ，要在Rt △ABC 中利用sin α计算．∵sin α=ABBC ，∴BC =ABsin16°=55.12（米）． 要用科学计算器求出三角函数值，不同的计算器的按键方式可能不同，同学们可利用自己的计算器探索计算三角函数的具体步骤．2．想一想（P 15） 解答：还能计算上升的高度和水平移动的距离等．上升的高度为BD ·sin β=200×sin42°≈133.8261（米）．水平移动的距离为BD ·cos β=200错误！链接无效。

≈148.6290（米）．3．问题（P 19） 解答：利用计算器算得，若sinA=41，则∠A=14°28′39″． 三、重点难点易错点讲解本节重点是用计算器进行三角函数值的计算．本节难点是解决简单的直角三角形问题．一般分为两种类型：一是已知直角三角形的一锐角和一条边，求另一直角边或第三边；二是已知直角三角形的两边，求某一锐角的度数．它们都是利用三角形中的边角关系，求三角函数问题．四、经典例题精讲（一）应用举例【例1】 若∠A 是锐角，cosA=0.618，则sin （90°－∠A ）的值为 ．思维入门指导：由余弦值求得正弦值方法较多，但要求90°－∠A 的正弦，因此应利用互余角正、余弦间的关系．解：∵sin （90°－∠A ）=cosA ，且cosA=0.618，∴sin （90°－∠A ）=0.618．点拨：掌握好互余角的正、余弦间的关系．【例2】 如图1-3-2，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，sinB=135，求四边形各内角的度数．思维入门指导：由sinB=135≈0.3846，用计算器求得∠B=22°37′8″，再利用菱形的性质求其他角的度数．解：∵sinB=135，用计算器解得∠B=22°37′8″．又∵菱形对角相等，邻角互补，∴∠D=∠B=22°37′8″，∠A=∠C=180°－22°37′8″=157°22′52″．点拨：由sinB=135，用计算器求得∠B 度数是解决本题的关键． （二）中考题【例3】 （2003，广东）如图1-3-3，灯塔A 周围1000米水域内有礁石，一舰艇由西向东航行，在O 处测得灯塔A 在北偏东74°方向上，这时O 、A 相距4200米．如果不改变航向，此舰艇是否有触礁的危险？解：设该航艇航行路线为OP ，过A 作AD ⊥OP ，垂足为D ．则AD=OA ·sin ∠AOD=4200×sin （90°－74°）=4200×cos74°≈1158（米）＞1000米．故此航艇没有触礁的危险．点拨：灯塔到航线的距离大于礁石区域半径，就不会有危险．（三）学科内综合题【例4】 已知2＋3是方程x 2－5sin θ·x ＋1=0的一个根, θ为锐角，求θ的度数． 解：设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系，得（2＋3）x 1=1，∴x 1=2－3． ∴（2＋3）＋（2－3）=5sin θ．∴sin θ=54=0.8，利用计算器求得θ≈53°8′. 点拨：本题sin θ也可以根据方程的定义来解，这是方程与三角函数的综合题，把（2＋3）代入方程，解关于sin θ的方程即可．【例5】 已知等腰三角形的底边为20，面积为3100，求各角的大小．解：如图1-3-4，作AD ⊥BC 于D ．∵AB=AC ，∴BD=DC ．又∵BD=DC ，BC=20，∴BD=10．∴∠BAC=180°－2×18°26′=143°8′．点拨：三角函数是在直角三角形中定义的，故只有在直角三角形中才能应用，所以在解直角三角形或在不含直角三角形的其他图形中（如斜三角形、梯形等），必须通过作高线构造出直角三角形，这是解决三角形问题的常用办法．（四）学科间综合题【例6】 质量为20千克的物体M 在如图1-3-5所示的斜面上下滑，已知AB=10米，∠A=47°，求物体M 由B 滑向A 时重力所做的功．思维入门指导：这是一道物理知识与数学知识的综合题，应正确理解物理学上功的概念及公式．本题考查斜面做功和正弦．解：物体下滑的垂直高度为：BC=AB ·sin47°=10×0.7314≈7．314（米）．∴重力所做的功为W=F ·s=20×9.8×7.314≈1433.54（焦）．点拨：重力所做的功为重力与物体在重力方向上移动的距离的乘积，重力在重力方向上移动的距离是BC 而不是AB ．（五）创新题【例7】 身高相同的甲、乙、丙三位同学星期天到野外去比赛放风筝，看谁放得高（第一名得100分，第二名得80分，第三名得60分）．甲、乙、丙放出的线长分别为300m 、250m 、200m ，线与地平面的夹角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的，人的高度不计在内），请你给三位同学打一下分数．思维入门指导：本题应利用三角函数求出每人放的风筝高度即可．解：根据题意画出示意图1-3-6．设甲、乙、丙所放的风筝的高度为xm 、ym 、zm ．由正弦定义，得sin30°=300x ，sin45°=250y ，sin60°=200z ．∴x=300sin30°=300×21=150（m ），y=250×sin45°=1252≈176.8（m ），z=200×sin60°=200×23=1003≈173.2（m ），∴甲同学得60分，乙同学得100分，丙同学得80分．点拨：本题关键是画出示意图帮助解题，本题命题形式和背景较新颖，形式活泼，与中学生假期娱乐生活紧密相连．（六）应用题【例8】如图1-3-7，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的点B取∠ABD=135°，BD=1200米，∠BDE=45°，那么开挖点E 离D多远（精确到0．1米）正好能使A、C、E成一条直线？思维入门指导：这是一道测量水平距离的应用题，根据已知可知∠DBE=∠BDE=45°，显然只要∠DEB=90°，A、C、E就成一条直线．解：连接DB．∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°．∵∠BDE=45°，且要A、C、E成一条直线，∴∠DEB=90°．在Rt△DEB中，答：开挖点E离D应为848.4米．点拨：本题体现了数学知识在现实生产中的应用，这是近几年各地市中考命题的热点内容之一．【例9】如图1-3-8所示，在高2米，坡角为32°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？（精确到0.1米）思维入门指导：本题考查正、余弦的概念，既要铺水平面又要铺竖直面，因此地毯的总长度为（AC+BC）的长．解：由题意，得地毯的长度为（AC+BC）的长．在Rt△ABC中，∠A=32°，BC=2米．∴AC+BC=3.20+2≈5.2（米）．答：地毯的长度至少需要5.2米．点拨：本题与实际生活联系密切，解题时应认真分析题目内容，准确理解题意，从整体上提炼出需要的地毯长为AC与BC的长度和．Ⅳ．当堂练习（5分钟）1．用计算器求下列各式的值：（1）sin44′56″+cos5′36″；（2）cos78°33′52″+tan50′36″；（3）sin48°30′28″+cos53°26′34″+tan32″．2．根据条件求角：（1）sinα=0.964；（2）cosα=0.291；（3）tanα=8.665．3．某段公路每前进100米，路面就升高4米，求这段公路的坡角．【同步达纲练习】Ⅴ．课后巩固练习（90分 90分钟）一、基础题（每题3分，共24分）1．天河宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯．已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2m ，其侧面如图1-3-9所示，则购买地毯至少需要（ ）A ．405元B ．504元C ．84元D ．168元2．如图1-3-10，在高为h 的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°和60°，用h 表示这个建筑物的高为（ ）A ．32hB ．23hC ．33hD ．3h3．sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（ ）A ．tan70°＜cos70°＜sin70°B ．cos70°＜tan70°＜sin70°C ．sin70°＜cos70°＜tan70°D ．cos70°＜sin70°＜tan70°4．如图1-3-11，某建筑物BC 直立于水平面，AC=9m ，要建造阶梯AB ，使每阶高不超过20cm ，则此阶梯最少要建 阶．（最后一阶不足20 cm 时，按一阶计算）5．已知△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，且c=3b ，则∠A= ．6．α为锐角，sin 248°+sin 2α=1，则α= ．7．已知sin42°54′=0.6807，若cos α=0.6807，则α= ．8．“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到∠A=30°，AC=40m ，BC=25m ，请你求出这块花圃的面积．二、学科内综合题（7分）9．已知一元二次方程3x 2－4xsin α＋2（1－cos α）=0有两个不相等的实数根，α为锐角，求α的范围．三、学科间综合题（每题10分，共20分）10．如图1-3-12，某轮船沿正北方向航行，在A 点处测得灯塔B 在北偏西30°，船以每小时25海里的速度航行2小时后到达C 点，测得灯塔B 在北偏西75°，问当时船到达灯塔B 的正东方向时，船距灯塔有多远？（结果保留两个有效数字）11．如图1-3-13，某人在A处利用杠杆抬起位于B点处的重物M．已知M=10千克，杠杆与地面的夹角为10°，在A处的人和B点处的重点与支点的距离都为3米，求这人将重物M抬至水平位置时所做的功．四、应用题（每题5分，共15分）12．我人民解放军在东海海域进行“保卫祖国”军事演习，当我机与我舰保持垂直的10km高度时，发现“敌舰”C在我机俯角15°的海面上浮出（如图1-3-14所示），请计算“敌舰”与我机的距离．（精确到1km）13．刘岩同学到烈士陵园去测英雄纪念碑的高度，他在距碑42m的地方，用测角仪测得碑顶的仰角为30°．已知测角仪的高度是1.5m，求纪念碑的高度．14．某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200m，一部拖拉机从O点出发，以每秒5m的速度沿北偏西53°方向行驶．设拖拉机的噪声污染半径为130m，试问教室A 是否在拖拉机噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒？五、创新题（8分）一题多解15．如图1-3-15，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC交于E、F两点．求证：四边形AFCE为菱形．六、中考题（16分）16．（2003，甘肃，8分）如图1-3-16所示，住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？（精确到0.1m，2≈1.41，3≈1.73）17．（2004，天津，8分）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度．如图1-3-17，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角θ愈小，楼梯的安全程度愈高．如图1-3-18，设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2．已知d1=4m，∠θ1=40°，∠θ2=36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0．01m）参考数据：sin36°=0.5878，cos36°=0.8090，tan36°=0.7265，sin40°=0.6428，cos40°=0.7660，tan40°=0.8391．加试题：竞赛趣味题（6分）求证：在锐角三角形ABC中，b2=a2＋c2－2ac·cosB．Ⅵ．探究题为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况，在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心、半径与AB等长的圆形危险区．现在某工人站在离B点3m远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B的俯角为30°（如图1-3-19），问距离B点8m的保护物是否在危险区内？（3的近似值取1．73）参考答案三角函数的有关计算Ⅱ．三、1．cos48°=0.6691，cos50°=0.6428，cos48°＞cos50°．2．∵sin69°=0.9336，sin53°=0.7986，sin41°=0.6561，sin44°=0.6947，∴sin41°＜sin44°＜sin53°＜sin69°．点拨：用计算器计算时，一定注意先进入“角度”状态．3．（1）tanA=1.4036，∠A=54.53°≈54°31′55″；（2）tanA=0.8607，∠A=40.82°≈40°43′2″．Ⅲ．1．0＜sinA ＜1；0＜cosA ＜1；tanA ＞0 2．增大；减小；增大 3．仰角；俯角 Ⅳ．1．解：（1）sin44°56″＋cos5′36″≈1．0131；（2）cos78°33′52″＋tan50′36″≈0.2130；（3）sin48°30′28″＋cos53°26′34″＋tan32″≈1．3448．2．解：（1）α=74°34′46″；（2）α=73°4′56″；（3）α=83°25′1″．点拨：用计算器计算三角函数注意：①首先进入“角度”状态；②已知三角函数值，求角度时先启用第二功能键；③不足1°的角输入时，先输然后输入分、秒等．3．解：设坡角为α．根据题意，得sin α=1004=0.04，解得α=2°17′33″． Ⅴ．一、1．B 点拨：地毯总长为2．6＋5.8=8.4（m ），总面积为8.4×2=16.8（m 2），所以至少需要16.8×30=504（元）．2．A 点拨：先算得山与建筑物的距离h ·cot60°，再解得山比建筑物高h ·cot60°·tan30°=31h ，故这个建筑物的高为32h ． 3．D 解：∵cos70°=sin20°，∴sin70°＞sin20°．∵tan70°＞sin70°，∴tan70°＞sin70°＞cos70°．点拨：①同角的正切值必大于正弦值；②利用正弦增减性．本题也可以用计算器验证．4．36 解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=38°，AC=9m ．∵tanA=ACBC ，∴BC=AC ·tanA=9×0.7812≈7.032（m ）． ∵每一阶高不超过20cm=0.2m ，∴此阶梯最少要建的阶数为2.0032.7=35.16≈36． 点拨：所建阶梯的总高度不变（即为BC 长）． 5．70°31′51″ 点拨：∵∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a ，b ，c ，∴cosA=c b ． ∵c=3b ，∴cosA=31，用计算器解得∠A=70°31′51″． 6．42° 点拨：sin 2α＋sin 248=1，cos 2（90°－α）＋sin 248°=1，∴90°－α=48°．∴α=42°．7．47°6′ 点拨：sin42°54′=cos α，∴α＋42°54′=90°．∴α=47°6′．8．解：分两种情况：（1）如答图1-3-1，过点C 作CD ⊥AB 于D ．在Rt △ADC 中，∠A=30°，AC=40，∴CD=20，AD=AC ·cos30°=203．在Rt △CDB 中，CD=20，CB=25，∴DB=22CD CB =15．∴S △ABC =21AB ·CD=21（AD ＋DB ）·CD=（2003＋150）（m 2）．（2）如答图1-3-2，过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于D ．由（1）可得CD=20，AD=203，DB=15，∴S △ABC =21AB ·CD=21（AD ＋DB ）·CD=（2003＋150）（m 2）． 点拨：要全面分析考虑，按两种情况讨论．二、9．解：∵二次方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即16sin 2α－24（1－cos α）＞0．化简，得2（1－cos 2α）－3（1－cos α）＞0，分解为（1－cos α）（2 cos α－1）＞0． 又∵0＜cos α＜1，∴1－cos α＞0．∴2 cos α－1＞0．∴cos α＞21． ∵余弦函数值随角度的增大而减少，∴α＜60°，即0°＜α＜60°．点拨：不要搞错余弦函数的增减性，把α的范围求为60°＜α＜90°．三、10．解：如答图1-3-3，作BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ．由题意得∠BCD=75°，∠A=30°，AC=25×2=50．在Rt △ACE 中，∠A=30°，∠CEA=90°，∴CE=21AC=21×50=25，AE=AC ·cos α=50×23=253． ∵∠BCD=75°，∠A=30°，∴∠EBC=75°－30°=45°．∴△BEC 为等腰直角三角形．∴BE=CE=25．∴AB=AE ＋BE=25＋253．在Rt △ABD 中，∵∠A=30°，∴BD=21AB=21×25（3＋1）≈34（海里）． 答：略． 点拨：（1）理解题意，找准方向角及所求的距离；（2）构造直角三角形求BD ．11．解：过点A 作地面作垂线AC ，过O 作OD ⊥AC 于D ，则∠AOD=10°，OD=3m ．在Rt △ADO 中，AD=OD ·tan10°≈3×0.18=0.54（m ）．∴人做功为W=Mg·AD=10×9.8×0．54=52.92（焦耳）．答：这人将重物M 抬至水平位置做功为52.92焦耳．点拨：本题关键是求出AD 长；在力的方向上移动的距离可看作线段AD ．四、12．解：约38km ． 点拨：15sin 10≈38（km ）． 13．解：画出示意答图1-3-4．由题意，得BC=DE=42m ，CD=BE=1.5m ， ∠ADE=30°．在Rt △ADE 中，∵cos30°=AD DE ，∴AB=AE ＋BE=（143＋1．5）≈25．75（m ）．答：纪念碑的高度为25.75m ．点拨：也可以用正切AE=tan30°·DE 求．14．解：画出示意图1-3-5．由题意，得∠α=53°，OA=200m ，作AB ⊥OM 于B ．∵∠α=53°，∴∠BOA=37°，∴AB=OA ·sin37°≈200×0．60=120．∵120＜130，∴A 在噪声污染范围内．据题意在OM 上取两点C 和D ，使AC=AD=130m ．答：教室A 在拖拉机噪声污染范围内，受污染的时间为20秒．点拨：画出示意图，将实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．五、15．证法一：∵AD ∥BC ，∴∠α=∠β．∴tan α=tan β．∵EF 垂直平分AC ，∴∠AOE=∠FOC=90°，且OA=OC ．证法二：∵AD ∥BC ，∴∠α=∠β．∵EF 垂直平分AC ，∴OA=OC ，∠AOE=∠FOC=90°．∴△AOE ≌△COF ．∴EO=FO ． 又∵OA=OC ，∴四边形AFCE 是平行四边形．∵EF ⊥AC ，∴□AFCE 为菱形．点拨：本题可以用三角形全等来证，也可以用三角函数来证．用三角函数证线段相等是本题的创新之处．六、16．解：设甲楼的影子在乙楼上的最高点为E ，作EF ⊥AB ，垂足为F ，如答图1-3-6．∵∠BEF=30°，∴在Rt△BFE中，BF=EF·tan30°=AC·tan30°=83≈13.8（m）．∴CE=AF=AB－BF≈16.2（m）．答：甲楼的影子在乙楼上的高度约为16．2m．点拨：关键是根据实际意义画出几何图形．17．解：在Rt△ABC中，BC=d1，∠ACB=∠θ1，AB=BC·tan∠ACB，∴AB= d1·tanθ1=4tan40°．在Rt△ABD中，BD= d2，∠ADB=∠θ2，∴AB= d2·tanθ2= d2tan36°．∴d2－d1≈4．620－4≈0．620≈0.62（m）．答：楼梯占用地板的长度增加了0.62m．加试题：证明：如答图1-3-7，作CD⊥BC于D，设DB=x，则AD=c－x．在Rt△BCD中，x=a·cosB，CD2=a2－x2．在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=CD2＋AD2，即b2=a2－x2＋（c－x）2=a2－2cx＋c2．∵x=acosB，∴b2=a2＋c2－2ac·cosB．Ⅵ．解：作CE⊥AB，垂足为E，根据题意，得CE=3m，∠BCE=30°，∠ACE=60°．∴AB=AE＋BE=43≈4×1.73=6．92（m）＜8m．因此可判断该保护物不在危险之内．点拨：（1）构造直角三角形是角直角三角形中最常用、最基本的方法；（2）要参考距B 点8m远的保护物是否在危险区内，关键的一点是要测算出树AB的高度；（3）解应用题应学会建立数学模型．。